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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat S}}
\lfoot{Antilles-Guyane}
\rfoot{20 juin 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}
%: EXERCICE 1
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Arbre pondéré:
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,65}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,08}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,92}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$~}\tbput{0,35}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,95}	  
	  }	
}\end{center}

\medskip

\item Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, on a donc, d'après la formule des probabilités totales:
\[
p\left(\overline{D}\right)= p\left(A\cap\overline{D}\right) + p\left(B\cap\overline{D}\right) = \np{0,65}\times\np{0,92} + \np{0,35}\times \np{0,95} = \np{0,9305}.
\]
\item Par définition d'une probabilité conditionnelle:
\[
p_{\overline{D}}(A) =\dfrac{p\left(A\cap\overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{\np{0,65}\times\np{0,92}}{\np{0,9305}}=\np{0,6427}
\]
\end{enumerate}
\item Soit $X$ le nombre d'ampoules sans défaut. Les choix d'ampoules étant assimilés à un tirage successif avec remise, on est en présence d'un schéma de Bernoulli et $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \np{0,92}$ (les ampoules sont issues de la machine A). Par conséquent, à l'aide de la calculatrice:
\[
p(X\geqslant 9) = p(X = 9) + p(X = 10) = 10 \times 0,92^9 \times0,08 + 0,92^{10} \approx  \np{0,8121}.
\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On  a $P(T\leqslant a)=\displaystyle\int_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\text{d}x=\left[-\e^{-\lambda x}\right]_0^a=-\e^{-\lambda a}+1$, donc
		
\[p(T\geqslant a) = p(\overline{T\leqslant a})=1-p(T\leqslant a)=1-\left(-\e^{-\lambda a}+1\right)=\e^{-\lambda a}.
\]
		\item On a:
\begin{eqnarray*}
p_{(T\geqslant t)}(T \geqslant t + a)&=&\dfrac{p\big((T\geqslant t+a)\cap(T\geqslant t)\big)}{p(T\geqslant t)}\\
&=&\dfrac{p(T\geqslant t+a)}{p(T\geqslant t)}\\
&=&\dfrac{\e^{-\lambda(t+a)}}{\e^{-\lambda t}}\\
&=&\e^{-\lambda(t+a-t)}\\
&=&\e^{-\lambda a}\\
&=&p(T\geqslant a).
\end{eqnarray*}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après le cours $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$. On en déduit que $\lambda=\dfrac{1}{E(T)}=\dfrac{1}{\np{10000}}=\np{0,0001}$.
		\item On a $p(T\geqslant\np{5000})=\e^{-\np{0,0001}\times 5000}=\e^{-\np{0,5}}\approx\np{0,6065}$.
		\item Il s'agit de calculer $p_{T\geqslant 7000}(T\geqslant 12000)$. Puisque la loi est sans vieillissement:
		
\[p_{T\geqslant \np{7000}}(T\geqslant \np{12000})=p_{T\geqslant \np{7000}}(T\geqslant \np{7000} + \np{5000})=p(T\geqslant \np{5000})\approx\np{0,6065}.
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On fait l'hypothèse que la proportion d'ampoules défectueuses est $p = \np{0,06}$. L'échantillon est de taille $n=\np{1000}$.

On a $n\geqslant 30$, $np=60\geqslant 5$ et $n(1-p)=940\geqslant 5$. Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% sont respectées, et, en notant $I$, cet intervalle on a :

\begin{eqnarray*}
I&=&\left[\np{0,06}-\np{1,96}\dfrac{\sqrt{\np{0,06}\times\np{0,94}}}{\sqrt{1000}}~;~\np{0,06}+\np{1,96}\dfrac{\sqrt{\np{0,06}\times\np{0,94}}}{\sqrt{1000}}\right]\\
&=&\left[\np{0,0452}~;~\np{0,0748}\right]
\end{eqnarray*}
\item Notons $f$ la fréquence observée d'ampoules défectueuses dans l'échantillon, on a $f=\dfrac{71}{1000}=\np{0,071}$. On constate que $f\in I$, il n'y a donc pas lieu de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 2
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Notons $A$ le point d'affixe $2$. Soit $M$ un point d'affixe $z$, alors $AM=\left\vert{z-2}\right\vert$. Par conséquent:
\[
M\in\mathcal{C}\Longleftrightarrow \left\vert{z-2}\right\vert=1\Longleftrightarrow AM=1.
\]
L'ensemble $\mathcal{C}$ est donc le cercle de centre $A$ et de rayon 1.
\item Posons $z=x+ \text{i}y$ avec $x\in\R$ et $y\in\R$. Alors $z-2=(x-2)+ \text{i}y$ et 

$\vert z-2\vert=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
M\in\mathcal{C}\cap\mathcal{D}&\Longleftrightarrow& \sqrt{(x-2)^2+y^2} = 1\text{ et }y = ax\\
&\Longleftrightarrow&(x-2)^2+y^2=1\text{ et }y=ax\\
&\Longleftrightarrow&(x-2)^2+(ax)^2=1\text{ et }y=ax\\
&\Longleftrightarrow& x^2-4x+4+a^2x^2=1\text{ et }y=ax\\
&\Longleftrightarrow& (1+a^2)x^2-4x+3=0\text{ et }y=ax
\end{eqnarray*}
$(1+a^2)x^2-4x+3$ est un polynôme du second degré de discriminant 

$\Delta=(-4)^2-4\times(1+a^2)\times 3=4-12a^2$. On a donc: 
\begin{eqnarray*}
\Delta>0&\Longleftrightarrow& 4-12a^2>0\\
&\Longleftrightarrow& a^2<\frac13\\
&\Longleftrightarrow& -\frac{\sqrt{3}}{3}<a<\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{eqnarray*}
On peut alors distinguer trois cas:
\begin{itemize}
\item \textbf{Premier cas.} $a\in\left]-\infty~;-\frac{\sqrt{3}}{3}\right[\cup\left]\frac{\sqrt{3}}{3}~;~\infty\right[$:  aucun point d'intersection.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.99)(4.,3.)
\multips(0,-2)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(4.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,3.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.99)(4.,3.)
\pscircle(2.,0.){1.}
\psplot{-1.}{4.}{(-0.--0.9*x)/1.}
\end{pspicture*}

\end{center}
\item \textbf{Deuxième cas.} $a=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$: un seul point d'intersection (la droite et le cercle sont tangents).
\begin{center}\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,algebraic=true}

\begin{pspicture*}(-1.,-1.99)(4.,3.)
\multips(0,-2)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(4.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,3.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.99)(4.,3.)
\pscircle(2.,0.){1.}
\psplot{-1.}{4.}{(-0.--0.5773502691896257*x)/1.}
\end{pspicture*}

\qquad

\begin{pspicture*}(-1.,-1.99)(4.,3.)
\multips(0,-2)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(4.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,3.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.99)(4.,3.)
\pscircle(2.,0.){1.}
\psplot{-1.}{4.}{(-0.5773502691896257*x)/1.}
\end{pspicture*}

\end{center}
\item \textbf{Troisième cas.} $a\in\left]-\frac{\sqrt{3}}{3}~;~\frac{\sqrt{3}}{3}\right[$: deux points d'intersection.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,algebraic=true}

\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(4.,3.)
\multips(0,-2)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(4.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,3.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.99)(4.,3.)
\pscircle(2.,0.){1.}
\psplot{-1.}{4.}{0.4*x}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{itemize}
\end{enumerate}

%: EXERCICE 3
\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x>0$, on a $f(x)=x\e^{1-x^2}=x\times\dfrac{\e}{\e^{-x^2}}=\dfrac{\e}{x}\times\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.
Par opérations:
\begin{equation}
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\e}{x}=0.
\end{equation}
De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ et par croissance comparée $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{\e^t}{t}=+\infty$. Par composée des limites on alors $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\e^{x^2}}{x^2}=+\infty$, puis par inverse:
\begin{equation}
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0,
\end{equation}
enfin, par produit de (1) et (2) on a \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$}.
\item 
\begin{enumerate}
\item On utilise la dérivée d'un produit, ainsi que la dérivée des fonctions de la forme $\e^u$:
\[
f'(x)=1\e^{1-x^2}+x\times(-2x)\e^{1-x^2}=\e^{1-x^2}-2x^2\e^{1-x^2}=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}.
\]
\item Pour tout réel $x$, $\e^{1-x^2}>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $1-2x^2$. Or:
\[
1-2x^2\geqslant 0\Longleftrightarrow -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqslant x\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
\]
De plus $f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\e}=\sqrt{\dfrac{\e}{2}}$; de même $f\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{\dfrac{\e}{2}}$.
On en déduit de ce qui précède  le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2.5]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/3}{$-\infty$,$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
\tkzTabVar{+/$0$/,-/$-\sqrt{\dfrac{\e}{2}}$,+/{$\sqrt{\dfrac{\e}{2}}$},-/$0$/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il semble que $\mathcal{C}_f$ soit toujours au dessous de $\mathcal{C}_g$.
\item Soit $x$ un réel tel que $x\leqslant 0$, alors $x\e^{1-x^2}\leqslant 0$, c'est-à-dire $f(x)\leqslant 0$, alors que $g(x)=\e^{1-x}>0$ par conséquent il est clair que $f(x)< g(x)$.
\item \begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel tel que $x>0$, alors, par application de la fonction $\ln$ qui est strictement croissante:
\begin{eqnarray*}
f(x)\leqslant g(x) &\Longleftrightarrow& x\e^{1-x^2}\leqslant \e^{1-x}\\
&\Longleftrightarrow& \ln x+1-x^2\leqslant 1-x\\
&\Longleftrightarrow&\ln x-x^2+x\leqslant 0\\
&\Longleftrightarrow&\Phi(x)\leqslant 0.
\end{eqnarray*}
\item On a $\Phi'(x)=\dfrac1x-2x+1=\dfrac{-2x^2+x+1}{x}$. Comme $x>0$, $\Phi'(x)$ a le même signe que $-2x^2+x+1$. Ce polynôme du second degré a pour discriminant $\Delta=9$ et pour racines $-\frac12$ et 1. Ainsi:
\[
-2x^2+x+1>0\Longleftrightarrow -\frac12<x<1.
\]
On a $\Phi(1)=\ln 1-1^2+1=0$. Sur $]0~;~+\infty[$ le tableau de variation (sans limite) de $\Phi$ est donc:
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2.5]{$x$/1,$\Phi'(x)$/1,$\Phi(x)$/2}{$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,0,-,}
\tkzTabVar{D-/{},+/{$0$},-/{}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Le tableau de variation précédent montre que la fonction $\Phi$ possède en 1 un maximum qui vaut $0$, autrement dit, pour tout réel $x>0$, on a $\Phi(x)\leqslant 0$.
\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item D'après B 1 et B 3 c, on a, pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant g(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc toujours en dessous de $\mathcal{C}_g$.
\item Sur $]-\infty~;~0]$, on a $f(x)<g(x)$ les courbes n'y ont donc aucun point commun.\\
Sur $]0~;~+\infty[$, on a $f(x) = g(x)\Leftrightarrow x = 1$. Ces deux courbes ont donc un unique point commun $A$ dont l'abscisse est 1.
		\item On a $f(1)=g(1)=1$. De plus $f'(1)=(1-2\times 1^2)\e^{1-1^2}=-1$, et $g'(x)=-\e^{1-x}$ donc $g'(x) = - \e^{1-1}=-1$, donc $f'(1)=g'(1)$. Au point d'abscisse 1, les tangentes respectives à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ passe par un même point, et ont même coefficient directeur, elles sont donc confondues. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a $\vect{DF}\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}
0\\-1\\1
\end{pmatrix}$ et $\vect{BE}\begin{pmatrix}
-1\\0\\1
\end{pmatrix}$. Par conséquent:
\[
\vect{DF}\cdot\vect{BG}=1\times 0+1\times(-1)+1\times 1=0\quad\text{ et }\quad
\vect{DF}\cdot\vect{BE}=1\times(-1)+1\times 0+1\times 1=0.
\]
On en déduit que \[(DF)\perp(BG)\quad\text{ et }\quad(DF)\perp(BE).\]
La droite $(DF)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(BGE)$, elle est donc orthogonale à ce plan, et le vecteur $\vect{DF}$ est donc un vecteur normal au plan $(BGE)$.
\item Les plans $\mathcal{P}$ et $(BGE)$ sont parallèles, le vecteur $\vect{DF}\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$ est donc également un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. Ce dernier a donc une équation cartésienne du type:
\[
x+y+z+d=0
\]
où $d$ est un réel à déterminer. Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $I\left(\frac12~;~1~;~0\right)$, donc
\[
\frac12+1+0+d=0\Longleftrightarrow d=-\frac32.
\]
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc \fbox{$x+y+z-\frac32=0$}.
\end{enumerate}
\item Les plans $\mathcal{P}$ et $(BGE)$ sont parallèles. Leurs intersections respectives avec le plan $(ABE)$ sont donc deux droites parallèles. L'une de ces droites est $(IN)$, l'autre est $(BE)$. Ainsi dans le triangle $ABE$ les droites $(IN)$ et $(BE)$ sont parallèles et $I$ est le milieu de $[AB]$, donc d'après le théorème \og de la droite des milieux\fg{} le point $N$ est le milieu de $[AE]$.
\item 
\begin{enumerate}
\item
La droite $(HB)$ passe par le point $H(0~;~0~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\vect{HB}\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}$, une représentation paramétrique de cette droite est donc:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&t\\
y&=&t\qquad(t\in\R)\\
z&=&1-t
\end{array}
\right..
\]
\item Les  vecteurs $\vect{HG}$ et $\vect{DF}$ ne sont pas orthogonaux, la droite $(HG)$ est le plan $\mathcal{P}$ sont donc sécants en un unique point $T$. Comme $T\in(HG)$, il existe un réel $t$ tel que $T(t~;~t~;~1-t)$. Alors:
\[
T\in\mathcal{P}\Longleftrightarrow t+t+1-t-\frac32=0\Longleftrightarrow t=\frac12,
\]
les coordonnées de $T$ sont donc $T\left(\frac12~;~\frac12~;~\frac12\right)$.
\end{enumerate}
\item Le tétraèdre $FBGE$
\begin{itemize}
\item a pour base le triangle $FBG$ qui est rectangle isocèle en $F$ et a pour aire $\mathcal{B}=\frac12\times FE\times FB=\frac12$;
\item pour hauteur $h=FE=1$.
\end{itemize}
Le volume $\mathcal{V}$ du tétraèdre $FBGE$ est donc
\[
\mathcal{V}=\frac13\mathcal{B}\times h=\frac13\times\frac12\times 1=\frac16.
\]
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}


\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'algorithme complété est le suivant:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{ll}
Variables: & X est un nombre entier\\
& Y est un nombre entier\\
Début: & Pour X variant de $-5$ à 10\\
&\phantom{XXXX} Pour Y variant de $-5$ à 10\\
&\phantom{XXXXXXXX} Si 7*X$-$3*Y=1 alors: \\
&\phantom{XXXXXXXXXXXX} Afficher X et Y\\
&\phantom{XXXXXXXX} Fin Si\\
&\phantom{XXXX}Fin Pour\\
&Fin Pour\\
Fin&
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item
Le couple $(1,\:2)$ est une solution particulière de (E) car $7\times 1-3\times 2=1$.
\item Soit $(x,\:y)$ un couple d'entiers relatifs, alors:
\begin{eqnarray*}
(x,\:y)\text{ solution de (E) }&\Longleftrightarrow& 7x-3y=7\times 1-3\times 2\\
&\Longleftrightarrow&7(x-1) = 3(y-2)
\end{eqnarray*}
Ainsi $3$ divise $7(x - 1)$, or $3$ et $7$ sont premiers entre eux, donc, par le théorème de Gauss, $3$ divise  $x - 1$. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que 

$x - 1 = 3k \iff x = 1 + 3k$. On obtient alors $7\times 3k = 3(y - 2)$ d'où $y = 2 + 7k$.

Réciproquement, on vérifie aisément que les couples du type 

$(1+3k~;~2+7k)$ avec $k\in\Z$ sont bien solutions de (E). 
\item Soit $(x,\:y)$ un couple solution de (E), alors il existe $k\in\Z$ tel que $x=1+3k$ et $y=2+7k$. Par conséquent:
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{ccccc}
-5&\leqslant& x&\leqslant& 10\\
-5&\leqslant& y&\leqslant& 10
\end{array}
\right.
&\Longleftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{ccccc}
-5&\leqslant& 1+3k&\leqslant& 10\\
-5&\leqslant& 2+7k&\leqslant& 10
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{ccccc}
-2&\leqslant& k&\leqslant& 3\\
-1&\leqslant& k&\leqslant& \frac87
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow& k\in\{-1~;~0~;~1\}.
\end{eqnarray*}
Il n'y a donc que trois couples vérifiant les conditions demandées:

\[(-2,\: 5)\qquad (1,\: 2)\qquad\text{ et }\qquad(4,\: 9). \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Soit $n\in\N$ alors:
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\[
MX_n=\begin{pmatrix}
-\frac{13}{2}&3\\-\frac{35}{2}&8
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
x_n\\y_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{13}{2}x_n+3y_n\\-\frac{35}{2}x_n+8y_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\y_{n+1}
\end{pmatrix}=X_{n+1}
\]
\item La suite $\left(X_n\right)$ est géométrique de raison $M$ et de premier terme $M_0$, donc, pour tout $n\in\N$ on a:
\[
X_n = M^n X_0.
\]
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a, à l'aide de la calculatrice:
\begin{eqnarray*}
P^{-1}MP&=&\begin{pmatrix}
7&-3\\-5&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-\frac{13}{2}&3\\-\frac{15}{2}&8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2&-3\\-5&-7
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
1&0\\0&\frac12
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
\item On a, pour tout $n\in\N$, $D^n=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\frac{1}{2^n}
\end{pmatrix}$.
\item Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\N$, on a $M^n=PD^nP^{-1}$.
\begin{itemize}
\item
\textbf{Initialisation.}
On a $M^0=I_3$ (où $I_3$ est la matrice identité d'ordre 3), et $PD^0P^{-1}=PI_3P^{-1}=PP^{-1}=I_3$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.
\item \textbf{Hérédité.}
Supposons que pour  $n\in\N$ quelconque on ait  $M^n = PD^nP^{-1}$, on doit alors montrer que $M^{n+1}=PD^{n+1}P^{-1}$.\\
On a
\begin{eqnarray*}
M^{n+1}&=&M^n\times M\\
&=&PD^nP^{-1}\times PDP^{-1}\\
&=&PD^n\times P^{-1}P\times DP^{-1}\\
&=&PD^{n+1}P^{-1}
\end{eqnarray*}
ce qu'il fallait démontrer.
\item \textbf{Conclusion.}
 
La relation est vraie au rang $0$ et pour $n \in \N$ quelconque $M^n = PD^nP^{-1}$ entraîne $M^{n+1} = PD^{n+1}P^{-1}$, donc d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$, on a $M^n = PD^nP^{-1}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$, alors 
\begin{eqnarray*}
X_n&=&M^nX_0\\
&=&\begin{pmatrix}
 -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex]
 -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n}
 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 1\\2
 \end{pmatrix}\\
 &=&\begin{pmatrix}
 -14+\frac{15}{2^n}+12-\frac{12}{2^n}\\[1.5ex]
 -35+\frac{35}{2^n}+30-\frac{28}{2^n}
 \end{pmatrix}\\
 &=&
 \begin{pmatrix}
 -2+\frac{3}{2^n}\\-5+\frac{7}{2^n}
 \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
On a donc, pour tout $n\in\N$, $x_n=-2+\frac{3}{2^n}$ et $y_n=-5+\frac{7}{2^n}$.
\end{enumerate}
\item Soit $n\in\N$, alors $A_n\left(-2+\frac{3}{2^n}~;~-5+\frac{7}{2^n}\right)$ et 
\[
7\left(-2+\frac{3}{2^n}\right)-3\left(-5+\frac{7}{2^n}\right)-1=-14+\frac{21}{2^n}+15-\frac{21}{2^n}-1=-15+15=0
\]
ce qui prouve bien que $A_n\in\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\end{document}