\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès relu et corrigé par François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}\,;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles-Guyane 22 juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{22 juin 2015}} \rfoot{\small{Antilles-Guyane}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane ~\decofourright\\[4pt]22 juin 2015 }}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$. % %Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par % %$g_a(x) = ax^2$. % %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$. % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip %On a construit en \textbf{annexe 1} (\emph{à rendre avec la copie}) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée. Pour toutes les courbes, on a $g_a(1) = a$. Donc on a de bas en haut les courbes $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$. \item %Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de %$\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$. Les courbes $\Gamma_{0,05}$ et $\Gamma_{0,1}$ semblent sécantes à $\mathcal{C}$ en deux points ; La courbe $\Gamma_{0,19}$ semble être tangente à $\mathcal{C}$ ; La courbe $\Gamma_{0,4}$ et $\mathcal{C}$ semblent ne pas être sécantes. Il semble donc que : \begin{itemize} \item si $0< a < 0,19$, $\Gamma_a$ et $\mathcal{C}$ ont deux points communs ; \item si $a = 0,19$, $\Gamma_{0,19}$ et $\mathcal{C}$ ont un point commun ; \item si $a > 0,19$, $\Gamma_a$ et $\mathcal{C}$ n'ont pas de point commun. \end{itemize} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par % %\[h_a(x) = \ln x - ax^2.\] \begin{enumerate} \item %Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$ Si $m(x~;~y) \in \mathcal{C} \cap \Gamma_a$, alors $\ln x = ax^2 \iff \ln x- ax^2 = 0 \iff h_a(x) = 0$. Le nombre de points communs à $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ est donc égal au nombre de solutions de l'équation $h_a(x) = 0$. \item \begin{enumerate} \item ~%On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle. %Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous. %Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\frac{1}{\sqrt{2a}}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$h'_a(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$} \rput(0.5,1){$h_a(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{- 1 - \ln (2a)}{2}$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} On a en fait : $h'_a(x) = \dfrac{1}{x} - 2ax = \dfrac{1 - 2ax^2}{x}$. Comme $x > 0$ et $a > 0$, le signe de $h'_a(x)$ est celui de $1 - 2ax^2$. Or $1 - 2ax^2 = 0 \iff 1 = 2ax^2 \iff \dfrac{1}{2a} = x^2 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt{2a}}$. D'où le tableau de variation de $h_a$. \item %Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Comme $h_a(x) = x\left(\frac{\ln x}{x} - 2ax \right)$, on a donc : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln x}{x} - 2ax = - \infty$ et par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\left(\frac{\ln x}{x} - 2ax \right) = - \infty$. %On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$. \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$. \begin{enumerate} \item %Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution. $h_{0,1}(x) = 0 \iff \ln x - 0,1 x^2 = 0$. Soit $i$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $i(x) = \ln x - 0,1 x^2$ ; cette fonction est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle : $i'(x) = \dfrac{1}{x} - 0,2x$. or $i'(x) = 0 \iff \dfrac{1}{x} - 0,2x = 0 \iff 1 = 0,2x^2 \iff 5 = x^2 \iff x = \sqrt{5}$. On a de même $i'(x) > 0 \iff \dfrac{1}{x} - 0,2x > 0 \iff 1 > 0,2x^2 \iff 5 > x^2 \iff x < \sqrt{5}$. Sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt{5}\right[$, la fonction $i$ est continue et strictement croissante de $- \infty$ à $\ln \sqrt{5} - 0,1 \times \left(\sqrt{5} \right)^2 = \dfrac{1}{2}\ln 5 - 0,5 \approx 0,3 > 0$ : la fonction $i$ s'annule donc une seule fois sur cet intervalle. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\sqrt{5}~;~+ \infty \right[$. \item %Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ? D'après la question précédente la courbe $\Gamma_{0,}$ et $\mathcal{C}$ ont deux points communs : l'un sur $]0~;~\sqrt{5}[$ et l'autre sur $\left]\sqrt{5}~;~+ \infty \right[$. \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Le tableau de variations montre que le maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$ est égal à $\dfrac{- 1 - \ln \frac{1}{\text{e}}}{2} = \dfrac{- 1 + \ln \text{e}}{2} = 0$. \item %En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier. Le maximum étant nul, on en déduit que $h_{\frac{1}{2\text{e}}}(x) \leqslant 0 \iff \ln x \leqslant \frac{1}{2\text{e}}x^2$ ; autrement dit $\mathcal{C}$ est sous $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$, sauf pour $x = \dfrac{1}{\sqrt{2\frac{1}{2\text{e}}}} = \sqrt{\text{e}}$ où elles ont un seul point commun. \end{enumerate} \item %Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ? %Justifier. On a vu que $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection lorsque l'équation $h_a(x) = 0$ n'a pas de solution, c'est-à-dire lorsque le maximum de la fonction $h_a$ est inférieur à zéro, soit : $\dfrac{- 1 - \ln (2a)}{2} < 0 \iff - 1 - \ln (2a) < 0 \iff \ln 2a > - 1 \iff \text{e}^{\ln 2a} > \text{e}^{- 1} \iff$ $2a > \text{e}^{- 1} \iff $ $a > \dfrac{1}{2\text{e}} \approx \np{0,18394} \approx 0,19$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip %On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. % %On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, % %\[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] % %On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par % %\[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] % %On note $\R$ l'ensemble des nombres réels. % %On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que %\[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\] D'après l'indication : $\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \left[- \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x = - \left(x + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda x} - \left[- \left(0 + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda \times 0}\right] = $ $\dfrac{1}{\lambda} - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t} = \dfrac{1}{\lambda}\left[1 - x \lambda \text{e}^{- \lambda x} + \text{e}^{- \lambda x}\right]$ \item %En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, on en déduit avec $\lambda > 0$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- \lambda x} = 0$ et aussi $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \lambda \text{e}^{- \lambda x} = 0$. Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = \displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une %variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. % %La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}. % %\medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) : \begin{enumerate} \item %Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$. Voir la surface hachurée sur l'annexe 2 à la fin. \item %Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$. On lit comme ordonnée à l'origine $\lambda = 0,5$. \end{enumerate} \item On suppose que $E(X) = 2$. \begin{enumerate} \item %Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ? $E(X) = 2$ signifie que la durée de vie d'un composant est en moyenne égale à 2 ans. \item %Calculer la valeur de $\lambda$. On a vu que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 2 \iff \lambda = 0,5$. \item %Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. On a : $P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int_0^2 \lambda\text{e}^{- 0,5 t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- 0,5 t} \right]_0^2 = - \text{e}^{- 0,5 \times 2} - \left(\text{e}^{- 0,5 \times 0} \right) = 1 - \text{e}^{- 1} = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}} \approx 0,632 \approx 0,63$ au centième près. %Interpréter ce résultat. Ce résultat est la probabilité qu'un composant ait une durée de vie inférieure à l'espérance $E(X)$. \item %Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte. Il faut trouver : $P_{(X \geqslant 1)}(X \geqslant 3) = P_{(X \geqslant 1)}(X \geqslant 2) = P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 2) = 1 - \left(1 - \text{e}^{- 1}\right) = \text{e}^{- 1}\approx 0,368$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip %Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. %On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg. % %On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que % %$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$. % %Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(10,3.4) %%\psgrid %\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2) %\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2) %\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2} %\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B} %\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5) %\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant %uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité %que le circuit A soit défaillant avant un an. Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants, donc : $P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right) = 0,39 \times 0,39 = \np{0,1521}$. \item %Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'unau moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit %défaillant avant un an. Ici la probabilité est égale à : $P\left(D_1 \cup D_2 \right) = P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \np{0,6279}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On appelle $\C$ l'ensemble des nombres complexes. % %Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv{} on a placé un point $M$ d'affixe $z$ %appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe %$\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$. % \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7) %\psgrid \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \pscircle(0,0){2.6} \psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0)(1.879,1.158)(0.939,0.579) \uput[u](1.879,1.158){$I$}\uput[ul](0.939,0.579){$M'$} \uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psline(2.6;63)(2.6;0) \psline(2.6;31.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item %Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$. Puisque O$M$ = O$R$, on a $\left|z_M \right| = \left|z_R \right| = |z|$. Comme $R$ a un argument égal à $0$ à $2\pi$ près on a $z_R = |z|$. \item %Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] %Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$. L'affixe de $\dfrac{z + |z|}{2}$ est égale à la demi-somme des affixes de celles de $M$ et de $R$. Le point ayant cette affixe est donc le milieu $I$ du segment $[MR]$. Finalement le point $M'$ est le milieu de [O$I$]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : % %\[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\] % %Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ? Si $z_0$ est un nombre réel négatif, on a $\left|z_0 \right| = - z_0$. D'où $z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 - z_0 }{4} = 0$ et tous les termes suivants de la suite sont nuls. La suite converge vers $0$. \item %Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ? Si $z_0$ est un nombre réel positif, on a $\left|z_0 \right| = z_0$. D'où $z_1 = \dfrac{z_0 + \left|z_0 \right|}{4} = \dfrac{z_0 + z_0}{4} = \dfrac{z_0}{2}$, puis $z_2 = \dfrac{z_1 + \left|z_1 \right|}{4} = \dfrac{\frac{z_0 }{2} + \frac{z_0 }{2}}{4} = \dfrac{z_0}{4}$. Montrons par récurrence que $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$. \emph{Initialisation} : on vu que la relation est vraie pour $n = 0$. \emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$, \: $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$ ; alors $z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4} = \frac{\frac{z_0}{2^n} + \frac{z_0}{2^n} }{4} = \frac{\frac{z_0}{2^{n - 1}}}{2^2} = \frac{z_0}{2^{n+1}}$ : la relation est vraie au rang $n + 1$. On a montré que $z_0 = \dfrac{z_0}{2^0}$ et que si pour $n \in \N$, \: $z_n = \dfrac{z_0}{2^n}$ alors $z_{n+1} = \frac{z_0}{2^{n+1}}$ On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n$, \: $u_n = \dfrac{z_0}{2^n}$. La suite $\left(z_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $z_0$ et de raison $\frac{1}{2}$. Comme $- 1 < \frac{1}{2} < 1$, on sait que cette suite converge vers $0$. \item %On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel. \begin{enumerate} \item %Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite %$\left(\left|z_n\right|\right)$ ? D'après la première construction, le module de $z_M'$ est inférieur à celui de $z_M$ et son argument est égal à la moitié. On peut donc conjecturer que la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ va elle aussi converger vers $0$. \item %Démontrer cette conjecture, puis conclure. On sait (inégalité triangulaire) que pour tous complexes $z_1$ et $z_2$, que $\left|z_1 + z_2 \right|\leqslant \left|z_1 \right| + \left|z_2 \right|$. En appliquant cette inégalité à $\frac{z_n}{4}$ et à $\frac{|z_n|}{4}$, on obtient : $\left|z_{n+1} \right| \leqslant \left|\frac{z_n}{4} \right| + \left| \frac{|z_n|}{4}\right|$ ou encore $\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{2\left|z_n \right|}{4} $ ou $\left|z_{n+1} \right| \leqslant \dfrac{\left|z_n \right|}{2}$. On montre de la même façon que précédemment par récurrence que $\left|z_n \right| \leqslant \dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n}$. La suite $\left(\dfrac{\left|z_0 \right|}{2^n} \right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ qui converge vers $0$. Donc d'après le théorème des gendarmes la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ converge elle aussi vers $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : &$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée : & Demander la valeur de $p$\\ Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\ &\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\ &\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\ &\hspace{0.3mm}Fin de pour\\ Sortie:& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline valeur de $k$& &1 &2\\ \hline valeur de $u$&5 &1 &$-0,5$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %Quel nombre obtient-on en sortie ? On obtient en sortie : $- 0,5$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\] \begin{enumerate} \item %Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$. Algorithme modifié : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : &$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée : & Demander la valeur de $p$\\ Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\ &\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\ &\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\ &\hspace{0.6mm}Afficher $u$\\ Sortie: &\hspace{0.3mm}Fin de pour \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$n$ &1 &2 &3 &4\\ \hline %$u_n$ &1 &$- 0,5$ & $-0,75$ &$- 0,375$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} %Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? %Justifier. Puisque $u_4 > u_3$ la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4. \item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. \emph{Initialisation} On vient de voir que $u_4 > u_3$ : la relation est vraie pour $n = 3$. \emph{Hérédité} On suppose que pour $n \in \N$, \: $n \geqslant 3$ on ait \:$u_{n+1} > u_n$. D'où $0,5u_{n+1} > 0,5u_n$ ; D'autre part : $n+1 > n \Rightarrow 0,5(n + 1) > 0,5n$ d'où par somme des ces deux dernières inégalités : $0,5u_{n+1} + 0,5(n + 1) > 0,5u_n + 0,5n$ et en ajoutant $- 1,5$ à chaque membre : $0,5u_{n+1} + 0,5(n + 1) - 1,5 > 0,5u_n + 0,5n - 1,5$ soit $u_{n+2} > u_{n+1}$ : la relation est vraie au rang $n + 1$. On a donc démontré que $u_4 > u_3$ et que pour $n$ entier naturel supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$ entraîne $u_{n+2} > u_{n+1}$ ce qui montre d'après le principe de récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante à partir du rang 4. %Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 0,1u_{n+1} - 0,1(n + 1) + 0,5 = 0,1u_{n+1} - 0,1n + 0,4 = $ $0,1\left(0,5u_n + 0,5n - 1,5 \right) - 0,1n + 0,4 = 0,05u_n + 0,05n - 0,15 - 0,1n + 0,4 =0,05u_n - 0,05n + 0,25 = 0,5\left(0,1u_n - 0,1n + 0,5 \right) = 0,5v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison 0,5. Le premier terme est : $v_0 = 0,1 \times 5 - 0,1 \times 0 + 0,5 = 1$. On a donc pour tout naturel $n$, \: $v_n = 1 \times 0,5^n = 0,5^n = \dfrac{1}{2^n}$. \item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, %\[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\] On a $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5 \iff 0,5^n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5 \iff 10\times 0,5^n = u_n - n + 5 \iff $ $u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5$. \item % Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comme $- 1 < 0,5 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$. La suite $\left(u_n\right)$ ne converge pas. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$. % %On considère l'algorithme suivant : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline %Variables :&$c$ est un entier naturel\\ % &$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\ %Entrées : &Demander $a$\\ % &Demander $b$\\ %Traitement: &Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ % &Tant que $c \ne 0$\\ % &\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\ % &\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\ % &\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ % &Fin Tant que\\ %Sortie : &Afficher $b$\\ \hline % \end{tabularx} % \end{center} \begin{enumerate} \item ~%Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline valeur de $a$&26&9&8\\ \hline valeur de $b$&9&8&1\\ \hline valeur de $c$&8&1&0\\ \hline Affichage &&&1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item ~%Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$. %Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre %eux ou non. \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline Variables :&$c$ est un entier naturel\\ &$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\ Entrées : &Demander $a$\\ &Demander $b$\\ Traitement: &Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Tant que $c \ne 0$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Fin Tant que\\ \hline Sortie : &Si $b = 1$\\ &\hspace{0.5cm}Afficher \og les nombres entrés sont premiers entre eux \fg\\ &Sinon \\ &\hspace{0.5cm}Afficher \og les nombres entrés ne sont pas premiers entre eux \fg\\ &Fin de Si\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre %0 et 25. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline %0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline %N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline %13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %On définit un procédé de codage de la façon suivante : % %\textbf{Étape 1 :} on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$. % %\textbf{Étape 2 :} à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus. % %\textbf{Étape 3 :} on calcule l'entier $x'$ défini par les relations % %\[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\] % %\textbf{Étape 4 :} à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau. % %\medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. Dans le tableau V correspond à 21, or $9 \times 21 + 2 = 189 + 2 = 191$ et $191 = 26 \times 7 + 9$ ; donc $x' \equiv 9\quad [26]$. Dans le tableau 9 correspond à la lettre J. \item %Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient. 9 et 26 étant premiers entre eux, le théorème de Bezout permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Le couple $(3~;~- 1)$ est un couple simple solution de cette équation. \item %Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$. On a $x' \equiv 9x + 2\quad [26] \iff $ il existe $k \in \Z,\:\: x' = 26k + 9x + 2 \iff $ $3x' = 26k' + 27x + 6\iff 3x' = 26k' + 26x + x + 6\iff 3x' = 26r'' + x + 6 \iff x = 26(- r'') + 3x' - 6 \iff x = 26(- r'') + 3x' + 20$, soit $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$ \item %Décoder la lettre R. R correspond à $x' = 17$, donc $3x' + 20 = 51 + 20 = 71$ et $71 = 26 \times 2 + 19$, soit $71 \equiv 19 \quad [26]$. On a donc $x = 19$ qui correspond à la lettre T. \end{enumerate} \item %Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D. J correspond à $x = 9$ et D correspond à $x' = 3$. de plus $q = 2$ ; on a donc : $3 = 9p + 2 \quad [26] \iff 9p \equiv 1 \quad [26]$ ou encore $27p \equiv 3 \quad [26]$, mais on sait que $27 \equiv 1 \quad [26]$ ; il en résulte que $p \equiv 3 \quad [26]$ et comme $p$ est compris entre 0 et 25, on a donc $p = 3$. %Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique). \item %Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ? B correspond à $x = 1$, d'où $x' = 13x + 2 \equiv 15 \quad [26]$ et 15 correspond à la lettre P. D correspond à $x = 3$, d'où $x' = 13x + 2 \equiv 41 \quad [26]$ et $41 \equiv 15 \quad [26]$ et 15 correspond à la lettre P. Conclusion : deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codage n'est pas bon puisque le décryptage donnera plusieurs solutions. \end{enumerate} %\vspace*{-15cm} \pagebreak \begin{landscape} \begin{center} \psset{unit=2.2cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.5,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=12](-0.5,-0.5)(7,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.05 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.1 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.19 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.4 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.4}{7}{x ln} \rput{-90}(7.5,2.5){\textbf{\large ANNEXE 1 de l'exercice 1}} \uput[d](6.9,2.3){$\Gamma_{0,05}$} \uput[d](6.95,4.7){$\Gamma_{0,1}$} \uput[d](5.1,4.7){$\Gamma_{0,19}$} \uput[d](3.5,4.5){$\Gamma_{0,4}$} \rput{-90}(8,2.5){\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}} \end{pspicture*} \end{center} \end{landscape} \newpage \begin{center} \textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0.5cm} \textbf{\large ANNEXE 2 de l'exercice 2} \vspace{0.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1,-0.1)(10.5,1) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,1)} \multido{\n=0.0+0.1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)} %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=25] \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(10.5,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div} \uput[u](10.3,0){$x$}\uput[r](0,0.98){$y$} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div} \psline(1,0)(0,0)} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}