\documentclass[10pt,leqno]{scrartcl} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !!! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Merci à l'académie de la Martinique pour le sujet %Corrigé : François Hache %\usepackage{pst-plot,pst-text} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pst-all} %\usepackage{pst-bezier} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{vmargin} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole--La Réunion S - septembre 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\text{e}\,} % le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\,\text{i\,}} % le i des complexes \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% supérieur ou égal à \newcommand{\pp}{\leqslant}% inférieur ou égal à \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt] Septembre 2015}} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par $f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}$ On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$. \bigskip \subsubsection*{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_1$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}$. On admet que $f_1$ est dérivable sur $\R$ et on note $f_1'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item% Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$. $f_1'(x)=2x\times \e^{-2x} + x^2\times (-2)\e^{-2x}=2x\e^{-2x}-2x^2\e^{-2x}=2x\e^{-2x}(1-x)$ \item% Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\R$. Pour déterminer les variations de la fonction $f_1$, on étudie le signe de $f_1'$ sur $\R$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & -\infty & \hspace*{\esp} & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ \hline x & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ \hline \e^{-2x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ \hline 1-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline f_1'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline % & \Rnode{max1}{A} & & & & \Rnode{max2}{C} & & \\ %f (x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ % & & & \Rnode{min1}{B} & & & & \Rnode{min2}{D} \rule{0pt}{\hauteur} %\ncline{->}{max1}{min1} %\ncline{->}{min1}{max2} %\ncline{->}{max2}{min2} \\ %\hline \end{array}$ } \end{center} Donc la fonction $f_1$ est strictement décroissante sur les intervalles $\cg -\infty\,;\, 0\cg$ et $\cd 1\,;\, +\infty\cd$, et elle est strictement croissante sur l'intervalle $\cd0\,;\,1\cg$. \item% Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$. On calcule la limite de $f_1$ en $\-\infty$: $\left. \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to -\infty}x^2 = +\infty\\ \left. \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to -\infty} -2x = +\infty\\ \text{On pose }X =-2x\\ \ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X} = +\infty \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-2x}=+\infty \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to -\infty} f_1(x)=+\infty $ \item% Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$. Pour tout réel $x$, $f_1(x)=x^2\e^{-2x} = x^2 \left (\e^{-x}\right )^2 = \left (x\e^{-x}\right )^2 = \left ( \dfrac{x}{\e^{x}}\right )^2$ On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}} = 0$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \left (\dfrac{x}{\e^{x}}\right )^2 = 0$: $\ds\lim_{x\to +\infty} f_1(x)=0$ \end{enumerate} \item En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$. %En déduire la valeur exacte de $I_1$. $F_1$ est une primitive de $f_1$ donc: $I_1=\ds\int_0^1 f_1(x) \d x = F_1(1)-F_1(0) =\left ( -\e^{-2}\left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right )\right ) - \left ( -\e^{0}\left ( 0+0+\dfrac{1}{4}\right )\right ) = -\dfrac{5\e^{-2}}{4} +\dfrac{1}{4}$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B : Étude de la suite \boldmath $\left(I_n\right)$\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item% Interpréter graphiquement la quantité $I_n$. $I_n= \ds\int_0^1 f_n(x)\d x = \ds\int_0^1 x^2\e^{-2nx}\d x$ Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, $x^2 \pg 0$ et $\e^{-2nx}>0$ donc $f_n(x)\pg 0$ On en déduit que $I_n$ représente, en unités d'aire, l'aire du domaine défini par l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ telles que $0 \pp x \pp 1$ et $0 \pp y \pp f_n(x)$. \item% Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture. \begin{minipage}[t]{0.55\linewidth} \vspace*{0pt}\par Si on trace sur une calculatrice les représentations graphiques des fonctions $f_1$, $\red f_2$ et $\blue f_3$, on voit que sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, $f_1(x) > {\red f_2(x)} > {\blue f_3(x)} >0$. Les intégrales entre 0 et 1 sont rangées dans le même ordre que les fonctions donc la suite $(I_n)$ semble décroissante et semble tendre vers 0. \par\vspace*{0pt} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[t]{0.40\linewidth} \par\vspace*{0pt} \begin{flushright} \psset{xunit=4cm, yunit=13cm} \def\xmin {-0.1} \def\xmax {1.1} \def\ymin {-0.03} \def\ymax {0.15} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} %\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,-0.01)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){$O$} %\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180] \psplot[plotpoints=2000]{0}{1}{x x 2.718 -2 x mul exp mul mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{1}{x x 2.718 -4 x mul exp mul mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{1}{x x 2.718 -6 x mul exp mul mul} \psline[linestyle=dashed,linecolor=gray](1,0)(1,0.135) \uput[d](1,0){1} \end{pspicture} \end{flushright} \par\vspace*{0pt} \end{minipage} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], $f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x)$ $f_{n+1}(x)=x^2 \e^{-2(n+1)x} = x^2 \e^{-2nx -2x} = x^2 \e^{-2nx}\times \e^{-2x} = \e^{-2x} f_n(x)$ \item% En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\] $x\in \cd 0\,;\, 1\cg \iff 0 \pp x \pp 1 \iff -2 \pp -2x \pp 0 \iff \e^{-2} \pp \e^{-2x} \pp \e^{0} \implies \e^{-2x}\pp 1$ Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$ $\left. \begin{array}{@{} l} f_n(x) \pg 0\\ \e^{-2x}\pp 1 \end{array} \right\rbrace \implies \e^{-2x} f_n(x)\pp f_n(x) \iff f_{n+1}(x) \pp f_n(x)$ \item% Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$. Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$ et pour tout $n\pg 1$, $f_{n+1}(x) \pp f_n(x)$ donc, d'après la positivité de l'intégration: $\ds\int_0^1 f_{n+1}(x) \d x \pp \ds\int_0^1 f_{n}(x) \d x$ ou autrement dit $I_{n+1} \pp I_n$. La suite $(I_n)$ est donc décroissante. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item% Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[0 \leqslant f_n(x) \leqslant \text{e}^{-2x}.\] %On a déjà vu que, pour tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $f_n(x) \pg 0$. Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, $0\pp x^2 \pp 1$ donc, en multipliant par $\e^{-2x}>0$, on obtient $0 \pp x^2 \e^{-2nx} \pp \e^{-2nx}$ autrement dit: $0 \pp f_n(x) \pp \e^{-2nx}$ \item% En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite. $0 \pp f_n(x) \pp \e^{-2nx}$ donc, d'après la positivité de l'intégration: $\ds\int_0^1 0 \d x \pp \ds\int_0^1 f_n(x) \d x \pp \ds\int_0^1 \e^{-2nx} \d x \iff 0 \pp I_n \pp \ds\int_0^1 \e^{-2nx} \d x$ La fonction $x \longmapsto \e^{-2nx}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto -\dfrac{\e^{-2nx}}{2n}$. Donc $\ds\int_0^1 \e^{-2nx} \d x = \left [ -\dfrac{\e^{-2nx}}{2n} \right ]_0^1 = -\dfrac{\e^{-2n}}{2n} + \dfrac{1}{2n}$ $\left. \begin{array}{@{} r} \left. \begin{array}{@{} r} \ds\lim_{n\to+\infty} \e^{-2n} =0\\ \ds\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{2n}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{n\to+\infty} -\dfrac{\e^{-2n}}{2n}=0\\ \ds\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{2n}=0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{n\to+\infty} -\dfrac{\e^{-2n}}{2n} + \dfrac{1}{2n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \e^{-2nx} \d x=0$ On sait que pour tout $n\pg 1$, $0 \pp I_n \pp \ds \int_0^1 \e^{-2nx} \d x$ et que $\ds\lim_{n\to+\infty} 0= \ds\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \e^{-2nx} \d x=0$; donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ est convergente et $\ds\lim_{n\to+\infty} I_n =0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points} \medskip Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ; \item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1]. Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg. On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants : $R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ; $J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg. \bigskip \subsubsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On représente cette situation à l'aide d'un arbre pondéré: \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$}\naput{0,4}} {\TR{$J$}\naput{0,25} \TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,25=0,75$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}} {\TR{$J$}\naput{$x$} \TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-x$} } } \end{center} \bigskip \item% Déterminer la valeur exacte de $x$. On sait que 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg{} donc $P(J) = 0,2$. D'après la formule des probabilités totales: $P(J) = P(R \cap J) + P\left(\overline R \cap J\right) = P(R)\times P_R(J) + P\left(\overline{R}\right)\times P_{\overline{R}}(J) = 0,4\times 0,25 + 0,6\times x = 0,1 + 0,6x$ $\left. \begin{array}{@{} l !{=} l} P(J) & 0,2\\ P(J) & 0,1 + 0,6x \end{array} \right\rbrace \implies 0,2 = 0,1+ 0,6x \iff x=\dfrac{1}{6} $ \item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg. C'est une bouteille de jus d'orange avec la probabilité $P_J(R) = \dfrac{P(R \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0,1}{0,2}= \dfrac{1}{2}$ \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot. On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres. On prend au hasard une bouteille dans un lot de 500; il n'y a que deux issues possibles: elle est \og pur jus\fg{} avec une probabilité égale à $p=0,2$ ou elle ne l'est pas avec la probabilité $1 - p = 0,8$. On répète de façon indépendante 500 fois cette épreuve donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de bouteilles \og pur jus\fg{} suit la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,2$. \item% Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième. On cherche $P(X\pg 75)$ qui est égal à $1 - P(X\pp 74)$. \`A la calculatrice on trouve $P(X\pp 74)\approx \np{0,0016}$ ce qui donne $0,998$ pour la probabilité cherchée. \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie C} \medskip Un fournisseur assure que 90\,\% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2\,\% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$~bouteilles présentent moins de 2\,\% de pulpe. \medskip \begin{enumerate} \item Un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe au seuil de 95\,\% est donné par: \[I=\left[ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \,;\, p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \right] \] sous les conditions $n\pg 30$, $np\pg 5$ et $n(1-p)\pg 5$. Or $p=0,9$ et $n=900\pg 30$, donc $np = 810\pg 5$ et $n(1-p) = 90 \pg 5$ On peut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe: $I= \left [\np{0,8804}\,;\,0,9196 \right]$ \item% Que penser de l'affirmation du fournisseur ? Dans l'échantillon, il y a 766 bouteilles présentant moins de 2\,\% de pulpe, donc la fréquence de bouteilles présentant moins de 2\,\% de pulpe est de $\dfrac{766}{900} \approx 0,851$. Cette fréquence observée est en dehors de l'intervalle $I$, donc l'affirmation du fournisseur semble erronée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points} \medskip %\emph{Les trois questions sont indépendantes.} % %\smallskip % %\emph{Toute réponse doit être justifiée.} % %\medskip \begin{enumerate} \item On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $\ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1$ %La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? $\ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1 \iff \ln \left(u_{n+1}\right) -\ln \left(u_{n}\right)= -1 \iff \ln \left(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)= \ln(\e^{-1}) \iff \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \e^{-1}\\ \phantom{\ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1} \iff u_{n+1} = \e^{-1} u_n.$ Donc la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\e^{-1}$. \item Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$. On appelle $(\mathcal{P})$ la proposition suivante: si la suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est majorée. Soit la suite définie pour tout naturel par $v_n = \dfrac{1}{n+1}$ : elle est bien à termes positifs et elle est majorée par 1. Or pour tout naturel $n$, \: $w_n = 1 -\ln \left(\dfrac{1}{n+1} \right) = 1 + \ln (n + 1)$ ; cette suite n'est pas majorée. La proposition $(\mathcal P)$ est fausse. %La suite $(v_n)$ est majorée donc il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n$, $v_n \pp M$. % %La fonction ln est croissante sur $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ donc % %$\ln(v_n) \pp \ln (M) \iff -\ln(v_n) \pg - \ln(M) \iff 1 - \ln(v_n) \pg 1 - \ln(M) \iff w_n \pg 1-\ln(M)$. % %Donc la suite $(w_n)$ est minorée ; la proposition $(\mathcal P)$ est fausse. \item La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} z_0 & 2 + 3\text{i}\\ z_{n+1} & \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n,\ \forall n\in \N \end{array} \right. $ %Pour quelles valeurs de $n$,\: $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ? $z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n \implies \left |z_{n+1}\right | = \left |\left(\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right)z_n\right | \iff \left |z_{n+1}\right | = \left |\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right | \times \left |z_n\right | $ $\left |\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right |^2 = \left( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{4}\right) + \left( \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4}\right)^2 = \dfrac{2}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$ donc $\left |\dfrac{\ds\sqrt{2}}{4} + \i \dfrac{\ds\sqrt{6}}{4} \right | = \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}$ Pour tout $n$, $|z_{n+1}| = \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}|z_n|$ donc la suite $(|z_n|)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $|z_0|=\left |2+3\i\right | = \ds\sqrt{2^2+3^2} = \ds\sqrt{13}$ D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout $n$, $|z_n| = |z_0|\times q^n = \ds\sqrt{13} \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n$. Tous les termes de la suite géométrique $(|z_n|)$ sont positifs; la raison de cette suite est strictement comprise entre $0$ et $1$ donc cette suite est décroissante et converge vers 0. Il y aura donc un plus petit rang $n_0$ tel que $|z_{n_0}| \pp 10^{-20}$ et pour tout $n\pg n_0$ on aura $|z_{n}| \pp 10^{-20}$. On cherche donc $n$ tel que $|z_n| \pp 10^{-20}$ ce qui équivaut à: $\begin{array}{@{} l !{\iff} l l} \ds\sqrt{13} \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n \pp 10^{-20} & \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n \pp \dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}} & \\[7pt] & \ln\left (\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )^n\right ) \pp \ln \left ( \dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}}\right ) & \text{croissance de la fonction ln} \\[7pt] & n\times \ln\left( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right) \pp \ln \left( \dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}}\right) & \text{propriété de la fonction ln} \\[7pt] & n \pg \dfrac{\ln\left (\dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}} \right )}{\ln\left (\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )} & \text{car } \ln\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )<0 \end{array}$ $\dfrac{\ln\left (\dfrac{10^{-20}}{\ds\sqrt{13}} \right )}{\ln\left (\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )} \approx 136,6$ donc pour $n \pg 137$, on a $\left|z_n\right| \pp 10^{-20}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} \medskip Soit $ABCDEFGH$ le cube ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(8.5,8.5) \psframe(0.5,0.5)(5.5,5.5)%DCGH \psline(5.5,0.5)(7.6,2.3)(7.6,7.3)(5.5,5.5)%CBFG \psline(7.6,7.3)(2.6,7.3)(0.5,5.5)%FEH \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.6,2.3)(7.6,2.3)%DAB \psline[linestyle=dashed](2.6,2.3)(2.6,7.3)%AE \uput[dr](2.6,2.3){$A$} \uput[r](7.6,2.3){$B$} \uput[dr](5.5,0.5){$C$} \uput[dl](0.5,0.5){$D$} \uput[u](2.6,7.3){$E$} \uput[u](7.6,7.3){$F$} \uput[ul](5.5,5.5){$G$} \uput[ul](0.5,5.5){$H$} \end{pspicture} \end{center} On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{{AB}},\: \vect{{AD}},\: \vect{{AE}}\right)$. Donc $A\,(0\,;\,0\,;\,0)$, $B\,(1\,;\,0\,;\,0)$, $D\,(0\,;\,1\,;\,0)$ et $E\,(0\,;\,0\,;\,1)$ \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique % \[\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& \phantom{1 -}s\\ %y &=& 1 - s ,\\ %z &=& \phantom{1 -}0 %\end{array}\right.,\: \text{où s décrit l'ensemble } \R\: \text{des nombres réels}.\] La droite $(DB)$ a pour vecteur directeur $\vect{DB}\,( 1 \,;\, -1 \,;\, 0 )$. Elle passe par le point $D$. C'est donc l'ensemble des points $M\,(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\vect{DM}$ et $\vect{DB}$ sont colinéaires, c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ tels que $\vect{DM} = s\,\vect{DB}$ où $s \in \R$. Cela s'écrit $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x -0 & 1\times s\\ y -1 & (-1)\times s\\ z -0& 0 \times s \end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{l !{=} r l} x & s\\ y & 1 - s & \text{où } s \in \R\\ z & \phantom{1 -}0 \end{array}\right.$ \item% Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel. La droite $(AG)$ est l'ensemble des points $M\,(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $\vect{AM}$ et $\vect{AG}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\vect{AM} = t\,\vect{AG}$ où $t\in \R$. $\vect{AG} = \vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CG} = \vect{AB} + \vect{AD} + \vect{AE}$ donc $G$ a pour coordonnées $(1\,;\,1\,;\,1)$. $\vect{AM} = t\,\vect{AG} \iff \left\{\begin{array}{l !{=} r l} x-0 & 1\times t\\ y-0 & 1\times t \\ z-0 & 1\times t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l !{=} r l} x & t\\ y & t & \text{où } t \in \R\\ z & t \end{array}\right. $ \end{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque de la droite (DB) et $N$ un point quelconque de la droite (AG). Le point $M$ a donc pour coordonnées $(s\,;\, 1-s\,;\, 0)$ où $s\in\R$, et le point $N$ a pour coordonnées $(t\,;\, t\,;\, t)$ où $t\in\R$. Alors $\vect{MN}$ a pour coordonnées $(t-s\,;\, t-1+s\,;\, t)$. La droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites $(AG)$ et $(DB)$ si et seulement si d'une part les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{AG}$ sont orthogonaux, et si d'autre part les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{DB}$ sont orthogonaux.; autrement dit si $\vect{MN}\,.\,\vect{AG}=0$ et $\vect{MN}\,.\,\vect{DB}=0$. $\vect{MN}\,.\,\vect{AG}=0 \iff (t-s)\times 1 + (t-1+s)\times 1 + t \times 1 = 0 \iff t-s+t-1+s+t=0 \iff 3t=1 \iff t=\dfrac{1}{3} $ $\vect{MN}\,.\,\vect{DB}=0 \iff (t-s)\times 1 + (t-1+s)\times (-1) + t \times 0 = 0 \iff t-s -t+1-s =0 \iff 1=2s \iff s=\dfrac{1}{2} $ Les coordonnées de $M$ sont donc $\left( \dfrac{1}{2}\,;\, \dfrac{1}{2}\,;\, 0\right )$ et celles de $N$ sont $\left( \dfrac{1}{3}\,;\, \dfrac{1}{3}\,;\, \dfrac{1}{3}\right )$. \item Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s~;~1 - s~;~0)$ un point de la droite $(DB)$ et $N(t~;~t~;~t)$ un point de la droite $(AG)$. \begin{enumerate} \item% Montrer que $MN^2 = 3 \left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$. Le vecteur $\vect{MN}$ a pour coordonnées $(t-s\,;\, t-1+s\,;\, t)$ donc $MN^2=(t-s)^2+(t-1+s)2+t^2 = t^2-2ts+s^2 + t^2+1+s^2 -2t -2s +2ts +t^2 = 3t^2 -2t +2s^2 -2s+1$ $3\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2 + 2\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{6} = 3\left( t^2 -\dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{9} \right) + 2\left( s^2-s+\dfrac{1}{4} \right) + \dfrac{1}{6}\\ \phantom{3\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2 + 2\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{6}} = 3t^2 - 2t + \dfrac{1}{3} + 2s^2 -2s +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = 3t^2 -2t +2s^2 -2s+1$ Donc $MN^2=3\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2 + 2\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{6}$ \item% En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale. % %Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ? La distance $MN$ est minimale quand le nombre $MN^2$ est minimal; $MN^2$ est la somme de trois nombres positifs ou nuls qui sera minimale si chaque nombre est minimal. Autrement dit pour que $MN^2$ soit minimal, il faut que $\left( t-\dfrac{1}{3} \right)^2$ et $\left( s-\dfrac{1}{2} \right)^2$ soient minimaux. Les carrés seront minimaux s'ils sont nuls donc pour $t=\dfrac{1}{3}$ et $s=\dfrac{1}{2}$. Dans ce cas, on a vu que la droite $(MN)$ était la perpendiculaire commune aux deux droites $(AG)$ et $(BD)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} \medskip \subsubsection*{Partie A} \medskip On considère l'équation $51x - 26y = 1$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item% Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution. $51=3\times 17$ et $26=2\times 13$ donc les deux nombres 51 et 26 sont premiers entre eux; d'après le théorème de Bézout, on peut en déduire que l'équation $51x - 26y = 1$ admet des solutions en entiers relatifs. \item \begin{enumerate} \item% Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation. Comme $2\times 26 = 52 = 51+1$, on a: $(-1)\times 51 - (-2)\times 26 = 1$ donc le couple $(x_0\,;\,y_0) = (-1\,;\,-2)$ est solution de l'équation. \item% Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation. On cherche un couple $(x\,;\,y)$ solution donc tel que $51x-26y=1$; or le couple $(x_0\,;\,y_0)$ est solution. On a donc: \begin{center} $\begin{array}{l !{-} l !{=} l} 51x & 26 y & 1\\ 51x_0 & 26 y_0 & 1\\ \hline 51\,(x-x_0) & 26\,(y-y_0) & 0 \end{array}$ \end{center} $51\,(x-x_0) - 26\,(y-y_0) = 0 \iff 51\,(x-x_0) = 26\,(y-y_0)$ $51$ divise $26\,(y-y_0)$; or 51 et 26 sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, 51 divise $y-y_0$. On peut donc écrire $y-y_0=51k$ avec $k\in \Z$. $51\,(x-x_0) = 26\,(y-y_0)$ et $y-y_0=51k$ donc $51\,(x-x_0) = 26\times 51k$ et donc $x-x_0=26k$. Si $(x\,;\,y)$ est solution, alors $x=x_0+26k = -1+26k$ et $y=y_0+51k = -2+51k$, avec $k\in \Z$. réciproquement, si $x=-1+26k$ et $y= -2+51k$, où $k\in \Z$, alors $51x-26y=1$ donc le couple $(x\,;\,y)$ est solution de l'équation $51x-26y=1$. L'ensemble des couples solutions de l'équation $51x-26y=1$ est donc l'ensemble des couples $(-1+26k\,;\,-2+51k)$ avec $k\in\Z$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsubsection*{Partie B} \medskip On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$. La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$. \medskip \begin{enumerate} \item% Coder la lettre N. La lettre N correspond à $x=13$ donc $51x+2 = 51\times 13+2= 665$. Comme $665=25\times 26+15$, le reste de la division de 665 par 26 est 15 et $f(13)=15$. Le nombre 15 correspond à la lettre P donc la lettre N est codée en P. \item $51a \equiv 1\:\:[26]$ signifie que $51a$ s'écrit $1+26b$ avec $b\in\Z$. $51a=1+26b \iff 51a-26b=1$ donc, d'après la partie A, $a=-1+26k$ avec $k\in \Z$. On cherche $k$ de $\Z$ pour que $0\pp a\pp 25$ donc on prend $k=1$ ce qui donne $a=25$. L'entier $a$ tel que $0\pp a\pp 25$ et $51a \equiv 1\:\:[26]$ est $a=25$. \item% Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$. On suppose que la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par la lettre correspondant à un entier $y$; alors $y$ es le reste de la division de $51x+2$ par 26 ce qui signifie que $y\equiv 51x+2~[26]$ et $0\pp y\pp 15$. $a=25$ donc $ay+2=25y+2$ $y\equiv 51x+2~[26] \implies 25y \equiv 25\times 51x + 25\times 2~[26] $ On sait que $51a\equiv 1~[26]$ donc $51\times 25 \equiv 1~[26]$ et donc $25\times 51x \equiv x~[26]$ On peut donc dire que $25y \equiv x + 50~[26]$ donc que $25y+2 \equiv x + 52~[26]$. Or $52=2\times 26$ donc $52\equiv 0~[26]$. Donc $25y + 2\equiv x~[26]$ On sait que $x$ est le nombre correspondant à une lettre donc $0\pp x\pp 25$. $\left. \begin{array}{l} 25y + 2\equiv x~[26]\\ 0\pp x\pp 25 \end{array} \right\rbrace \implies x \text{ est le reste de la division de } 25y+2 \text{ par } 26 $ \item% Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N. La lettre N correspond au nombre 13. On cherche donc le nombre $x$ tel que $y=f(x)$ soit égal à 13. Si $y=13$, alors $x$ est le reste de la division de $25y+2$ par 26. $25\times 13+2 = 327$ et $327 = 26\times 12 + 15$ donc $x=15$ La lettre qui est codée N correspond au nombre 15 donc c'est P. \item% On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on? Soit une lettre $\Omega$ correspondant au nombre $x$. Elle se code en une lettre $\Omega_1$ correspondant au nombre $x_1$, reste de la division de $51x+2$ par 26, donc $x_1\equiv 51x+2~[26]$. Si on cherche à coder $\Omega_1$, on aura la lettre $\Omega_2$ correspondant au reste $x_2$ de la division de $51x_1 + 2$ par 26 donc $x_2 \equiv 51x_1+2~[26]$. $\left. \begin{array}{@{} l !{\equiv} l} x_1 & 51x+2~[26]\\ x_2 & 51x_1+2~[26] \end{array} \right\rbrace \implies x_2 \equiv 51\,(51x+2)+2~[26] \iff x_2 \equiv \np{2601}x+ 104~[26] $ $\np{2601} = 26\times 100+1$ donc $\np{2601} \equiv 1~[26]$ et donc $\np{2601}x \equiv x~[26]$ $104 = 26\times 4$ donc $104\equiv 0~[26]$ Donc $x_2 \equiv \np{2601}x+ 104~[26] \iff x_2 \equiv x~[26]$ Et comme $x$ et $x_2$ sont tous les deux des restes dans la division par 26, $x_2=x$. Cela veut dire que si on applique deux fois la fonction de codage $f$ à un nombre correspondant à une certaine lettre, on retrouve ce nombre : $f(f(x))=x$. Ce sera encore vrai si on applique un nombre pair de fois la fonction de codage. Donc si on applique 100 fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre correspondant à une certaine lettre, on obtient la lettre du départ. \end{enumerate} \end{document}