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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 
juin 2004}~\decofourright}} 

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'affirmation signifie que $f'(0) = - \dfrac{1}{4}$.

$f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s'annulant pas car $1 + \text{e}^x \geqslant 1 > 0$.
 
$f'(x) = - \dfrac{\text{e}^x}{\left(1 + \text{e}^x\right)^2}$ et $f'(0) = - \dfrac{1}{(1 + 1)^2 }=  - \dfrac{1}{4}$.
 
L'affirmation est vraie.
 
\item $\vect{MM'} = -\vect{M\text{A}} +
\vect{M\text{B}} + 4\vect{M\text{C}} \iff \vect{M\text{G}} + \vect{\text{G}M'} = - \vect{M\text{G}} - \vect{\text{GA}} + \vect{M\text{G}} + \vect{\text{GB}} + 4\vect{M\text{G}} + 4\vect{\text{GC}} \iff \vect{\text{G}M'}  = 3\vect{M\text{G}} \iff \vect{\text{G}M'}  = - 3\vect{\text{G}M}$ (car par définition du barycentre : $- \vect{\text{GA}}  + \vect{\text{GB}}  + 4\vect{\text{GC}} = \vect{0}$.
 
La dernière égalité trouvée montre bien que $M'$ est l'image de $M$ dans l'homothétie de centre G et de rapport $- 3$.
 
\item $f(x) = \dfrac{1}{2}x \iff x \sin 3x = \dfrac{1}{2}x \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 x&=&0\\
 \sin 3x&= &\dfrac{1}{2} \\
 \end{array} \right.$
 
$\sin 3x = \dfrac{1}{2} \iff \sin 3x = \sin \frac{\pi}{6}$ ou  $\sin 3x = \sin \frac{5\pi}{6}$. Donc :
\begin{itemize}
\item d'une part $\sin 3x = \sin \frac{\pi}{6} \iff 3x =  \frac{\pi}{6}\quad [2\pi] \iff x =  \frac{\pi}{18} \quad \left[\frac{2\pi}{3}\right]$.
\item ou d'autre part $\sin 3x = \sin \frac{5\pi}{6} \iff 3x =  \frac{5\pi}{6}\quad [2\pi] \iff x =  \frac{5\pi}{18} \quad \left[\frac{2\pi}{3}\right]$.
\end{itemize}

Donc l'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On développe $(z - 7\text{i})(z + \text{i}) = z^2 -  6\text{i}z + 7.$
		\item $M \neq \text{A}$ est invariant si et seulement si $M = M' \iff$
		
$ z' = z \iff z = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}} \iff z(z - 3\text{i}) = 3\text{i}z - 7 \iff z^2 -3\text{i}z = 3\text{i}z - 7 \iff z^2 -  6\text{i}z + 7 = 0 \iff (z - 7\text{i})(z + \text{i}) = 0~\text{d'après la question précédente}~\iff \left\{\begin{array}{l c l}
		z&=&7\text{i}\\
		z&=&- \text{i}\\
		\end{array}  \right.$
		
Il existe donc deux points invariants par $f$ : B($7\text{i}$) et C$(- \text{i})$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On vérifie aisément que le milieu de [BC] est le point A qui est donc le centre du cercle $\Sigma$ et que BC = 8 dont le rayon de $\Sigma$ est égal à 4.
		
En posant $\theta = \left(\vect{\text{e}_{1}},~\vect{\text{A}M} \right)$, on a en calculant l'affixe du vecteur $\vect{\text{A}M}$ :

$z - 3\text{i} = 4\text{e}^{\text{i}\theta} \iff z = 3\text{i}  + 4\text{e}^{\text{i}\theta}.$
		\item On a donc $z' = \dfrac{3\text{i}\left(3\text{i} + 4\text{e}^{\text{i}\theta}\right) - 7}{4\text{e}^{\text{i}\theta}} = \dfrac{-16 + 12\text{i}\text{e}^{\text{i}\theta}}{4\text{e}^{\text{i}\theta}} = 3\text{i} - 4\text{e}^{-\text{i}\theta} =$
		
$3\text{i} + 4(-\cos \theta + \text{i}\sin \theta) = 3\text{i} + 4(\cos (\pi - \theta) + \text{i}\sin(\pi - \theta)) = 3\text{i} + 4\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$.
		
Cette dernière égalité montre que $M'$ appartient lui aussi au cercle $\Sigma.$
		\item On a avec $z = 3\text{i}  + 4\text{e}^{\text{i}\theta},$
		
		$\overline{z} = - 3\text{i}  + 4\text{e}^{\text{i}\theta}$
		
		$-\overline{z} =  3\text{i}  - 4\text{e}^{\text{i}\theta} = z'$ comme on l'a vu à la question précédente.
		
Le point $M'$ se construit en prenant le symétrique de $M$ autour de l'axe des abscisses, puis le symétrique de ce point autour de O, ou encore plus simplement par symétrie autour de l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\item On reprend la question 2 mais avec un cercle de rayon $r$. Un point de ce cercle a une affixe égale à $z = 3\text{i} + r\text{e}^{\text{i}\theta}$.

On en déduit que :

$z' = \dfrac{3\text{i}\left(3\text{i} + r\text{e}^{\text{i}\theta}\right) - 7}{r\text{e}^{\text{i}\theta}} = \dfrac{-16 + 3r\text{i}\text{e}^{\text{i}\theta}}{r\text{e}^{\text{i}\theta}} = - \dfrac{16}{r}\text{e}^{-\text{i}\theta} +  3\text{i} = 3\text{i} + \dfrac{16}{r}\text{e}^{(\pi - \theta)}$.

Cette dernière égalité montre que $M'$ appartient au cercle de centre A$(3\text{i})$ et de rayon $\dfrac{16}{r}.$

L'image d'un cercle de centre A est un cercle de centre A.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $a$ pair et tel que $a^2 + 9 = 2^n \iff 9 = 2^n - a^2$.%

Ceci ne peut être vrai puisque la différence de deux pairs est paire. Donc si $a$ existe, $a$ est impair.%
		\item On a donc $a = 2k + 1,~k \in \N$, donc $a^2 + 9 = 2^n \iff 4k^2 + 4k + 10 = 2^n$.%

Or $4k^2 + 4k + 10 \equiv 2 \quad [4]$ et $2^n \equiv 0 \quad [4]$, puisque $n \geqslant 4$.%

Conclusion : il n'existe pas de solution à l'équation $a^2 + 9 = 2^n.$%
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item $a^2 + 9 = 3^n$. Pour $n \geqslant 3,~3 \equiv - 1 \quad [4]$, donc
		
$3^n \equiv (-1)^n \quad [4]$.
		
Si $n$ est pair $3^n \equiv 1 \quad [4]$ et si $n$ est impair $3^n \equiv - 1 \quad [4]$ ou encore 

$3^n \equiv 3 \quad [4]$.
		\item Soit $a$ tel que $a^2 + 9 = 3^n$. Si $a$ est impair, son carré l'est aussi donc $a^2 + 9$ est pair, alors que $3^n$ est impair pour tout $n$.
		
Conclusion : si $a$ existe, il est pair.

Puisque $a$ est pair il existe $p \in \N$ tel que $a = 2p$, d'où $a^2 = 4p^2$.

Donc $a^2 \equiv 0 \quad [4]$. 

Il en résulte que $a^2 + 9 \equiv 9 \quad [4]$ ou plus simplement $a^2 + 9 \equiv 1 \quad [4]$.

Conclusion : $a^2 + 9 = 3^n$ seulement si $3^n \equiv 1 \quad [4]$, mais ceci n'est vrai que si $n$ est pair.

Si $a^2 + 9 = 3^n$, alors $n$ est pair. 
		\item On pose donc $n = 2p,~p \in \N$ supérieur à 1.
		
-- Si $a = 0$, alors $a^2 + 9 = 9 = 3^{2p}$, d'où $p = 1$ : impossible car $p > 1$.

-- Donc $a \ne 0$
		
L'équation s'écrit $a^2 + 9 = 3^{2p} \iff 9 = \left(3^p \right)^2  - a^2 = 9 \iff$

$ \left(3^p + a \right)\left(3^p - a\right) = 9.$

Les diviseurs de 9 sont 1,~3 et 9. Il y a donc deux possibilités

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left\{\begin{array}{l c l}
3^p + a&=&3\\
3^p - a&=&3\\
\end{array}\right.$ qui n'a pas de solution car les deux nombres ne sont pas égaux,  $a$ n'étant pas nul,
\item[$\bullet~$] $\left\{\begin{array}{l c l}
3^p + a&=&9\\
3^p - a&=&1\\
\end{array}\right.$
\end{itemize}
car $3^p + a > 3^p - a$. On en déduit en sommant : $2 \times 3^p = 10 \iff 3^p = 5$ qui n'a pas de solution car 5 n'est pas une puissance de $3$.

Conclusion : l'équation $a^2 + 9 = 3^n$ n'a pas de solution.
	 	\end{enumerate}
\item $a^2 + 9 = 5^n,~n \geqslant 2$
	\begin{enumerate}
		\item Supposons $n$ impair ; il existe donc $k \in \N$ tel que $n = 2k + 1$.
		
$5^n = 5^{2k + 1} = 5^{2k} \times 5$, donc puisque $5 \equiv 2 \quad [3],~5^2 \equiv 2^2 \quad [3]$, ou $5^2 \equiv 1 \quad [3]$ et enfin $5^n \equiv 2 \quad [3]$.

Donc s'il existe une solution $a$, alors $a^2 + 9 \equiv 2 \quad [3]$.

Comme $a$ est congru à 0,~1, ou 2 modulo 3, son carré est congru à 0 ou 1 modulo 3, et comme 9 est congru à 0 modulo 3, $a^2 + 9$ est congru à 0 ou 1 modulo 3, alors que $5^n$ est congru à 2 modulo 3.

Ces deux nombres ne sont donc pas égaux.

Conclusion : si $n$ est impair l'équation $a^2 + 9 = 5^n,~n \geqslant 2$ n'a pas de solution.
		\item	On suppose donc $n$ pair ; il existe donc $k \in \N$ tel que $n = 2k$ avec $k \geqslant 1$. L'équation s'écrit :
		
$a^2 + 9 = 5^{2k} \iff a^2 + 9 = \left(5^k\right)^2 \iff 9 = \left(5^k\right)^2 - a^2 \iff$

$\left(5^k + a \right)\left(5^k - a \right) = 9$, d'où deux possibilités :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left\{\begin{array}{l c l}
5^k + a&=&3\\
5^k - a&=&3\\
\end{array}\right.$ d'où par différence $2a = 0 \iff a = 0$, mais alors on aurait $a^2 + 9 = 9 = 5^n$ ce qui n'est pas possible puisque 9 n'est pas une puissance de 5.

\item[$\bullet~$] $\left\{\begin{array}{l c l}
5^k + a&=&9\\
5^k - a&=&1\\
\end{array}\right.$ 	 soit en sommant $2\times 5^k = 10 \iff 5^k = 5 \iff k = 1$ et donc $a = 4$
\end{itemize}
	\end{enumerate}
	
Conclusion : l'équation  $a^2 + 9 = 5^n,~n \geqslant 2$ a une seule solution : 4.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous  les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(\begin{array}{c}
2\\ -1\\0\end{array} \right)$ et $\left(\begin{array}{c}
3\\ 1\\-1\end{array} \right)$ sont des vecteurs normaux respectivement à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles et sont donc sécants suivant une droite $\mathcal{D}$.

Tout point commun à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ a des coordonnées $(x~;~y~;~z)$ qui vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c r}
2x - y&=&-5\\
3x + y - z&=&0\\
\end{array}\right.$

En posant $x = \alpha$, le système devient : $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\alpha\\
2x - y&=&-5\\
3x + y - z&=&0\\
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{2}\alpha\\
y&=&2\alpha + 5\\
z&=& 5\alpha + 5\\
\end{array}\right.$

\item 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{R}$ si un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est orthogonal à un vecteur normal à $\mathcal{R}$ c'est-à-dire si $\left(\begin{array}{c}
1\\ 2\\5\end{array} \right)~\cdot~\left(\begin{array}{c}
-5\\ 5\\-1\end{array} \right) = 0 \iff - 5 + 10 - 5 = 0$ qui est bien vraie.
\item[$\bullet~$] Deux droites sont coplanaires si elles ont un point commun ou si elles sont parallèles.

$\star$ Si elles sont sécantes  c'est-à-dire si $\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&- 3 \beta\\
2\alpha + 5&=&1 + \beta\\
5\alpha + 5&=&2  + 2\beta\\
\end{array}\right. \iff $

$ \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&- 3 \beta\\
- 6\beta + 5&=&1 + \beta\\
- 15\beta + 5&=&2  + 2\beta\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&- 3 \beta\\
\beta&=&\dfrac{4}{7}\\
\beta &=&\dfrac{5}{17}\\
\end{array}\right.$

Ce système n'a pas de solution.

Conclusion : les deux droites ne sont pas sécantes.

$\star$ Si elles sont parallèles  leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

$\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vect{u}(1~;~2~;~5)$ et $\mathcal{D}'$ a pour vecteur directeur $\vect{v}(- 3~;~1~;~2)$. Ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires. Donc les droites ne sont pas parallèles.

Conclusion : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous  les candidats}

\[f(x) =  \ln (1 + 2x)~ \text{sur}~ \left] - 
\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[.\]

\medskip

\textbf{I Première partie étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme $1 + 2x > 0$ sur I, $f$ est définie sur cet intervalle et est dérivable comme fonction composée de fonctions dérivables :

$f'(x) = \dfrac{2}{1 + 2x} > 0$. La fonction est donc croissante sur I.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} (1 + 2x) = 0_{+}, \displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} f(x) = - \infty$.
\item Sur I, $g(x) = f(x) - x$ ; $g$ est dérivable comme différence de deux fonctions dérivables sur I et $g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{2}{1 + 2x} - 1 = \dfrac{2 - 1 - 2x}{1 + 2x} = \dfrac{1 - 2x}{1 + 2x}$ qui est du signe de $1 - 2x$ puisque sur I, $1 + 2x > 0$.

$1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$.

Conclusion : $g$ est croissante sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right]$ et décroissante sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right]$.
		\item On a $g\left(\dfrac{1}{2} \right) = \ln 2 - \dfrac{1}{2}> 0$.
		
Cherchons la limite de $g$ au voisinage de $+ \infty$ :

$g(x) = \ln (1 + 2x) - x = \ln x\left(2 + \dfrac{1}{x} \right) - x = \ln x + \ln \left(2 + \dfrac{1}{x} \right) - x =$

$ x \left[\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{\ln \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)}{x} - 1\right]$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x}  = 0, {} \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)}{x} = 0$, la limite du crochet est donc égale à $-1$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
		
Sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right],\:g$  est croissante de $- \infty$ à $\ln 2 - \dfrac{1}{2}> 0$. $f$ étant continue sur cet intervalle il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. Il est évident que $\alpha = 0$.
		 
De même sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right], \:g$ décroit de $\ln 2 - \dfrac{1}{2}> 0$ à $- \infty$ ; $g$ étant continue sur cet intervalle, il existe un réel unique $\beta$ de cet intervalle tel que

$g(\beta) = 0$.

On vérifie que $g(1) \approx 0,098 > 0$ et que $g(2) \approx - 0,39 < 0$.

Conclusion : $1 < \beta < 2$.
		\item On en déduit le signe de $g$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[,~g(x) < 0$
\item sur $]0~;~\beta[,~g(x) > 0$
\item sur $]\beta~;~+ \infty[,~g(x) < 0$
\item $g(0) = g(\beta) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\item $0 < x < \beta \Rightarrow f(0) < f(x) < f(\beta)$ par croissance de la fonction $f$.

$f(0) = 0$ et $f(\beta) = g(\beta) + \beta = 0 + \beta = \beta$.

Conclusion : $0 < x < \beta \Rightarrow 0 < f(x) < \beta.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Étude d'une suite récurrente}

\begin{enumerate}
\item \emph{Initialisation} : on a $u_{0} = 1 \in ]0~;~\beta[$ (car $\beta > 1$). La propriété est vraie au rang $0$ ;

\emph{Hérédité} :  soit un naturel  $n$ et  supposons que $0 < u_{n}< \beta$. 

Par croissance de la fonction $f$, on a $f(0) < f\left(u_{n}\right) < f(\beta)$ ou encore 

$0 < u_{n+1} < \beta$. L'hérédité est établie. 

L'encadrement est vrai au rang $0$, et s'il est vrai au rang $n$ il l'est aussi au rang $n + 1$ : on a donc montré par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n}$ appartient à l'intervalle $]0~;~\beta[$.
\item \emph{Initialisation} : on a $u_{1} = f(u_{0}) = \ln 3 > 1$ : la propriété est vraie au rang $1$.

\emph{Hérédité} :  soit un naturel  $n$ tel que $n \geqslant 1$ et supposons que $u_{n+1} > u_{n}$ alors par croissance de la fonction $f, \:f\left(u_{n+1} \right) > f\left(u_{n}\right) $ soit $u_{n+2} > u_{n+1}$ : l'hérédité est établie.

La relation est vraie au rang $1$ et si elle est vraie au rang au moins égal à $1$,  elle l'est aussi au rang suivant ; on a donc démontré par le principe de récurrence que la suite est croissante à partir du rang $1$.
\item La suite est majorée par $\beta$ et croissante : elle converge donc vers un nombre inférieur ou égal à $\beta$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Limite de la  suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a vu que $f'(x) = \dfrac{2}{1 + 2x}$.

$x \geqslant 1 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow 1 + 2x > 3 \Rightarrow\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{1 + 2x} \Rightarrow \dfrac{2}{3}> \dfrac{2}{1 + 2x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item (Hors-programme en 2009)
		
Puisque $f'(t) \leqslant \dfrac{2}{3}$, on sait que $\displaystyle\int_{u_{n}}^\beta f'(t)\:\text{d}t \leqslant \dfrac{2}{3}\left(\beta - u_{n }\right)$ et ce quel que soit $n \in \N$.
		\item Or $\displaystyle\int_{u_{n}}^\beta f'(t)\:\text{dt}  = \left[f(t)  \right]_{u_{n}}^{\beta} = f\left(u_{n}\right) - f(\beta) = u_{n+1} - \beta$.
		
Donc d'après la question précédente : $u_{n+1} - \beta \leqslant \dfrac{2}{3}\left(\beta - u_{n }\right)$.

\medskip

Par récurrence :

$\bullet~~$\emph{Initialisation} : pour $n = 0$, on a bien $0 \leqslant \beta - 1 \leqslant 1$. L'encadrement est vrai au rang $0$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} : hypothèse de récurrence : supposons que pour $n \in \N$, on ait $0 \leqslant \beta - u_n 
\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ ; on en déduit par produit par $\dfrac{2}{3}$ :

$0 \leqslant \dfrac{2}{3}\left(\beta - u_n\right) 
\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$. Or on a vu que $\beta - u_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\left( \beta - u_{n}\right)$ ; on en déduit donc que $0 \leqslant \beta - u_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$.

L'encadrement est vrai au rang $0$; et s'il est vrai au rang $n$, il est vrai au rang $n + 1$. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n$ :

\[0 \leqslant \beta - u_n  \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n.\]
		\item On sait car $0 < \dfrac{2}{3} < 1$ que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} = 0$, donc d'après le théorème des \og gendarmes \fg{} : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \beta - u_{n} = 0$.
		
Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \beta.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}