%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} %%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon %%%Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{ulem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,,pstricks-add} \usepackage{colortbl} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage{graphicx} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{5 mars 2015}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (obligatoire)~\decofourright\\[4pt]Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé la fonction $f_2$ est dérivable sur $\R$. On a $f'_2(x) = \text{e}^x - 2$. Or $\text{e}^x - 2 = 0 \iff \text{e}^x = 2 \iff x = \ln 2$. Donc : Donc $\text{e}^x - 2 > 0 \iff x > \ln 2$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[-\infty~;~\ln 2[$. $\text{e}^x - 2 < 0 \iff x < \ln 2$ : la fonction $f$ est croissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$. $f_2(\ln 2) = \text{e}^{\ln 2} - 2\times \ln 2 = 2 - 2\ln 2$ est le minimum de la fonction $f_2$ sur $\R$. On a le tableau de variations suivant : \begin{center} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln 2$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$2 - 2\ln 2$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item Comme $2 - 2\ln 2 \approx 0,614 > 0$, le minimum de la fonction $f_2$ étant supérieur à zéro, on en déduit que la fonction est strictement positive sur $\R$, soit $\text{e}^x - 2 x > 0 \iff \text{e}^x > 2x$ donc la représentation graphique de la fonction $x \longmapsto \text{e}^x$ est au dessus de la droite $\Delta_2$. $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point commun. \end{enumerate} \item $f_a(x) = \text{e}^x - ax$ \begin{enumerate} \item $\bullet~~$ limite en plus l'infini : $f_a(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - a\right)$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} - a = + \infty$, donc par produit des limites $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = + \infty$. $\bullet~~$ limite en moins l'infini : On sait que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = + \infty$. \item $f_a$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables et $f'_a(x) = \text{e}^x - a$. $\text{e}^x - a = 0 \iff \text{e}^x = a \iff x = \ln a$ (car $a > 0$). On a le même tableau de variations que pour $f_2$ en remplaçant 2 par $a$. \item La fonction $f_a$ décroissante, puis croissante admet donc un minimum $f_a(\ln a) = a - a\ln a$. \item $a - a \ln a = 0 \iff a(1 - \ln a) = 0 \iff 1 - \ln a = 0$ (car $a \ne 0$) $\iff 1 = \ln a \iff \text{e}^1 = \text{e}^{\ln a} \iff \text{e} = a$. On a donc : $\bullet~~$$a - a \ln a > 0 \iff a < \text{e}$ : le minimum est positif, donc comme à la question 1, la fonction $f_a$ est strictement positive et la courbe et la droite n'ont pas de point commun. $\bullet~~$$a - a \ln a < 0 \iff a > \text{e}$ : le minimum est inférieur à zéro. \begin{center} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln a$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$} \rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$a - a\ln a$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} Donc sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln a[$, la fonction $f_a$ continue car dérivable et strictement monotone sur cet intervalle passe d'une valeur positive à une valeur négative : il existe donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire un réel $\alpha \in ]- \infty~;~\ln a[$ tel que $f_a(\alpha) = 0$, soit $\text{e}^{\alpha} = a\alpha$. De même sur $]\ln a~;~+ \infty[$, la fonction $f_a$ continue car dérivable et strictement monotone sur cet intervalle passe d'une valeur négative à une valeur positive : il existe donc un réel $\beta \in ]\ln a~;~+ \infty[$ tel que $f_a(\beta) = 0$, soit $\text{e}^{\beta} = a\beta$. Conclusion : si $a > \text{e}$ la courbe $\Gamma$ et la droite $\Delta_a$ ont deux points communs. $\bullet~~$$a - a \ln a = 0 \iff a = \text{e}$, la fonction $f_a = f_{\text{e}}$ s'annule une seule fois en $x = 1$, donc $f_{\text{e}}(1) = 0$ : $\Gamma$ et $\Delta_{\text{e}}$ ont un seul point commun (la droite est tangente à la courbe) \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1,-0.4)(2,5) \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-0.4)(2,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linecolor=green]{-1}{2}{x 2 mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{-1}{2}{x 2.71828 mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=cyan]{-1}{2}{x 3 mul} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-1}{2}{2.71828 x exp } \rput{45}(1.8,3.4){\green $y = 2x$} \rput{53}(1.8,4.6){\red $y = \text{e}x$} \rput{57}(1,3.2){\cyan $y = 3x$} \rput(-0.5,0.75){\blue $\Gamma$} \uput[ul](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte, c'est-à-dire $P_L(C) = 0,02$. \item On déduit que $P_L\left(\overline{C}\right) = 1 - 0,02 = 0,98$ et $P\left(L \cap \overline{C}\right) = P(L) \times P_L\left(\overline{C}\right) = 0,95 \times 0,98 = 0,931$. \item Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie courte on a : $P\left[\overline{L}\cup \left(L \cap C\right) \right] = P\left(\overline{L}\right) + P(L \cap C) = 0,05 + 0,019 = 0,069$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On sait que $P(X \leqslant \np{1000}) = 0,02$. $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, donc : $P(X \leqslant \np{1000}) = 1 - \text{e}^{-\np{1000}\lambda} = 0,02 \iff \text{e}^{-\np{1000}\lambda} = 1 - 0,02 \iff$ $\text{e}^{-\np{1000}\lambda} = 0,98 \Rightarrow -\np{1000}\lambda = \ln 0,98 \iff \lambda = \dfrac{- \ln 0,98}{\np{1000}}$. \item $P(X \geqslant \np{10000}) = \text{e}^{-\np{10000}\lambda} = \text{e}^{10\ln 0,98} \approx 0,817$. Donc environ $81,7\,\%$ des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à \np{10000} heures. \item $P(\np{20000} \leqslant X \leqslant \np{30000}) = \text{e}^{-\np{20000}\lambda} - \text{e}^{-\np{30000}\lambda} \approx 0,122$. Soit : environ $12,2\,\%$ des puces ont une durée de vie comprise entre $20~000$ et $30~000$ heures. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On effectue \np{15000} tirages indépendants les uns des autres. La probabilité qu'une puce livrée ait une vie courte est $p = 0,003$. $Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = \np{15000}$ et $p = 0,003$.. \item E$(Y) = n \times p = \np{15000} \times 0,003 = 45$. Il y a environ 45 puces à durée de vie courte sur les \np{15000} extraites de la production. \item On a $P(40 \leqslant Y \leqslant 50) = P(Y \leqslant 50) - P(Y < 40) = P(Y \leqslant 50) - P(Y \leqslant 39)$. La calculatrice donne $P(Y \leqslant 50) \approx \np{0,7966}$ et $P(Y \leqslant 39) \approx \np{0,2080}$, donc : $P(40 \leqslant Y \leqslant 50) \approx \np{0,7966} - \np{0,2080} \approx 0,589$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats}3 \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Une représentation paramétrique de $D_1$ s'obtient en traduisant l'égalité $\vect{A_1M} = t\vect{u_1}$ avec $t \in \R$ soit : $\left\{\begin{array}{l c l} x - 0 &=& t \\ y - 2 &=& 2t\\ z - (- 1)&=&3t \end{array}\right. \quad t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& t \\ y &=&2 + 2t\\ z &=&- 1 + 3t \end{array}\right. \quad t \in \R $. \item $D_2$ a pour représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&1 + k \\ y &=&0 - 2k\\ z &=&2 + 0k \end{array}\right. \quad k \in \R $. On reconnait qu'un vecteur directeur de $D_2$ est $\vect{u_2}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$. \item $A_2 \in D_2 \iff \left\{\begin{array}{l c l} - 1 &=&1 + k \\ 4 &=&0 - 2k\\ 2 &=&2 + 0k \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} - 2 &=&k \\ - 2 &=&k\\ 2 &=&2 \end{array}\right.$ qui a une solution $k = - 2$. Le point $A_2$ appartient à $D_2$. \end{enumerate} \item Les vecteurs directeurs de $D_1$ et de $D_2$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes s'il existe des réels $t$ et $k$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l} t &=&1 + k \\ 2 + 2t &=&0 - 2k\\ - 1 + 3t &=&2 + 0k \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l c l} t &=&1 + k \\ 2 + 2 + 2k &=&0 - 2k\\ - 1 + 3 +3k &=&2 + 0k \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} t &=&1 + k \\ 4k &=&- 4\\ 3k &=&0 \end{array}\right. \iff$ $ \left\{\begin{array}{l c l} t &=&1 + k \\ k &=&- 1\\ k &=&0 \end{array}\right.$ Ce système n'a pas de solution donc il n'existe pas de point commun aux deux droites, elles ne sont donc pas coplanaires. \item Les droites $D_1$ et $\Delta_1$ contiennent le point $A_1$. Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires il suffit de montrer que deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux : $\vect{u_1} \cdot \vect{v} = - 6 - 6 + 12 = 0$. Conclusion : les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires. \item Les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont aussi perpendiculaires \begin{enumerate} \item $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$ s'il est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce plan soit $\vect{u_1}$ et $\vect{v}$ ; or $\vect{n} \cdot \vect{u_1} = - 6 - 6 + 12 = 0$ $\vect{n} \cdot \vect{v} = 17 \times (- 6) - 22 \times (- 3) + 4 \times 9 = - 102 + 66 + 36 = 0$ Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $P_1$. Il est par conséquent normal à ce plan. \item Si $P_1$ et $P_2$ sont parallèles $\vect{n}$ vecteur normal au plan $P_1$ est aussi un vecteur normal au plan $P_2$ ; il est donc orthogonal à tout vecteur non nul du plan $P_2$ comme $u_2$ et $\vect{v}$. On a bien $\vect{n} \cdot \vect{v} = 0$, mais $\vect{n} \cdot \vect{u_2} = 17 + 44 + 0 = 61 \ne 0$. Donc $\vect{n}$ n'est pas normal au plan $P_2$ et les deux plans $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles. \end{enumerate} \item $\Delta$ est parallèle à $\Delta_1$ et $\Delta_2$ lesquelles sont respectivement perpendiculaire à $D_1$ et $D_2$. Par conséquent la droite $\Delta$ est orthogonale aux droites $D_1$ et $D_2$. Or cette droite appartient au plan $P_1$ et au plan $P_2$. Elle est donc perpendiculaire aux droites $D_1$ et $D_2$. Il existe donc une droite de l'espace perpendiculaire à la droite $D_1$ et à $D_2$ : c'est la droite $\Delta$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item $u_1 = \sqrt{3}- 0 = \sqrt{3}$ $\quad v_1 = 1 + \sqrt{3} \times 0 = 1$ ; $u_2 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2$ $\quad v_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $S$ &$T$ &$K$\\ \hline 1 &0 &0\\ \hline $\sqrt{3}$ &$\sqrt{3}$ &1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline $3-\sqrt{3}$&$6-\sqrt{3}$ &$2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Les valeurs trouvées pour $N = 2$ ne correspondent pas à celles de $u_2$ et $v_2$. L'algorithme n'affiche donc pas les valeurs de $u_N$ et $v_N$. Une version modifiée de l' algorithme est par exemple : \begin{center} \begin{tabularx}{0.675\linewidth}{|l|X|}\hline Entrée : &$N$ est un nombre entier\\ Variables : &$K$ est un nombre entier\\ &$S$ est un nombre réel\\ &$T$ est un nombre réel\\ &$U$ est un nombre réel\\ Initialisation :&Affecter 1 à $S$\\ &Affecter 0 à $T$\\ &Affecter 0 à $K$\\ Traitement : &Tant que $K < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter $S$ à $U$\\ &\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}U-T$ à $S$\\ &\hspace{1cm}Affecter $U+\sqrt{3}T$ à $T$\\ &\hspace{1cm}Affecter $K+1$ à $K$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $S$\\ &Afficher $T$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $z_{n+1} = u_{n+1} + \text{i} v_{n+1} = \sqrt{3}u_n- v_n + \text{i}\left(u_n+\sqrt{3}v_n\right) = \left(\sqrt{3} + \text{i}\right)u_n + \left(- 1 +\text{i} \sqrt{3}\right)v_n$. Or $az_n =\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)\left(u_n + \text{i} v_n\right) = \left(\sqrt{3} + \text{i}\right)u_n + \left(\text{i} \sqrt{3} - 1 \right)v_n = z_{n+1}$. \item $a$ pour module $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2$. D'où $a = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\text{i}}{2}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \item Le \textbf{a.} montre que la suite $\left(z_n\right)$ est une suite géométrique de raison $a$ et de premier terme $z_0 = u_0 = 1$. Par conséquent $z_n = a^n$ pour tout entier naturel $n$. Puis $z_n = 2^n\text{e}^{n\text{i} \frac{\pi}{6}}$. Enfin en prenant la partie réelle et la partie imaginaire : $u_n = 2^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)$ et $v_n = 2^n\sin\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}