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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%Tapuscrit : Denis Vergès  et : François Hache.
%Merci à Clotilde Rouchon pour le sujet
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé Terminale S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie mars 2019},
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle Calédonie mars 2019~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 4 heures} \end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

%Une société de location de voitures s'intéresse à l'état mécanique de son parc automobile afin d'anticiper les frais d'entretien. 
%
%On dispose des données suivantes: 
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]20\,\% des voitures sont sous garantie; 
%\item[$\bullet~~$]pour 1\,\% des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire; 
%\item[$\bullet~~$]pour 10\,\% de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les évènements suivants: 
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$G$ : \og la voiture est sous garantie\fg{} ; 
%\item[$\bullet~~$]$R$ : \og une réparation est nécessaire \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Traduire la situation par un arbre pondéré. 
\begin{center}
\pstree[treemode=R,,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$G~$}^{$0,2$}}
	{
	\TR{$R$}^{$0,01$}
	\TR{$\overline{R}$}_{$0,99$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}~$}_{$0,8$}}
	{\TR{$R$}^{$0,1$}
	\TR{$\overline{R}$}_{$0,9$}
	}
}	
\end{center}
\medskip
	
		\item %Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
		L'évènement est $G \cap R$, donc sa probabilité est :
		
		$p(G \cap R) = p(G) \times p_G(R) = 0,2 \times 0,01 = 0,002$. 
		\item %Justifier que $P(R) = 0,082$.
On a de même :  $p\left(\overline{G} \cap R\right) = p\left(\overline{G}\right) \times p_{\overline{G}}(R) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(R) = p(G \cap R) + p\left(\overline{G} \cap R\right) = 0,002 + 0,08 = 0,082$.
		\item %Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation. 

%Quelle est la probabilité qu'elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 
Il faut trouver $p_{R}(G) = \dfrac{p(G \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,002}{0,082} \approx \np{0,0024}$ soit  0,002 au millième près.
	\end{enumerate}
\item %La société de location fait appel à un garage pour l'entretien de son parc automobile. 

%L'entretien consiste en une révision à laquelle s'ajoutent d'éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes: 
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] si la voiture est encore sous garantie, l'entretien est gratuit; 
%\item[$\bullet~~$] si la voiture n'est plus sous garantie, l'entretien est facturé de la manière suivante: la révision coûte 100 € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 €. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Sachant que son parc automobile compte \np{2500}~voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de \np{250000}~euros pour l'entretien de l'ensemble des voitures ? 
%
%On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d'entretien d'une voiture.
Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le coût d'entretien d'une voiture.

On va chercher le coût moyen par voiture, soit l'espérance mathématique de $X$.

Il y a trois évènements à considérer:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $G$ qui correspond à une voiture sous garantie dont la probabilité est $0,2$ et qui  nécessite 0~\euro{} de dépense;
\item $\overline{G}\cap \overline{R}$ qui correspond à une voiture qui n'est plus sous garantie mais qui ne nécessite pas de réparation, dont la probabilité est $0,8 \times 0,9=0,72$ et qui nécessite 100~\euro{} de dépense;
\item $\overline{G}\cap R$ qui correspond à une voiture qui n'est plus sous garantie mais qui nécessite une réparation, dont la probabilité est $0,08$ et qui nécessite $100 + 400 = 500$~\euro{} de dépense.
\end{list}

\smallskip

La loi de probabilité de $X$ est:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{évènement} & G & \overline{G}\cap \overline{R} & \overline{G}\cap R\\
\hline
\text{coût }x_i & 0~$\euro$ & 100~$\euro$ & 500~$\euro$\\
\hline
\text{probabilité }p_i = P(X=x_i) & 0,2 & 0,72 & 0,08\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

$E(X)= \ds\sum x_i\times p_i = 0+100\times 0,72+500\times 0,08=72+40=112$

Chaque voiture coûte en moyenne 112~\euro{}; il y a \np{2500} voitures, ce qui fait une dépense  totale de $112\times \np{2500}= \np{280000}$~\euro.

%$\bullet~~$Pour les 20\,\% du parc sous garantie soit $0,20 \times \np{2500} = 500$~voitures, le coût est nul : $X = 0$ ;
%
%$\bullet~~$La probabilité qu'une voiture n'étant plus sous garantie ne tombe pas en panne est 
%
%$p\left(\overline{G} \cap \overline{R} \right) = p\left(\overline{G}\right) \times p_{\overline{G}}\left(\overline{R} \right) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$.
%
%En moyenne cela représente donc $0,72 \times \np{2500} = \np{1800}$~véhicules pour lesquelles on a  $X = 100$ (prix de la révision).
%
%$\bullet~~$Il reste donc $\np{2500} - 500 - 1800 = 200$~véhicules devant être réparés et pour lesquels $X = 100 + 400 = 500$.
%
%Il faut donc prévoir une dépense annuelle de :
%
%$\np{1800} \times 100 + 200 \times 500 = \np{180000} + \np{100000} = \np{280000}$~(\euro).

Conclusion : le budget de \np{250000}~\euro{} sera insuffisant.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

%La société de location propose à ses clients deux contrats de location: un contrat de courte durée (inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours). 
%
%La directrice de cette société affirme que 80\,\% des clients demandent un contrat de courte durée. 
%
%Sur les 600 derniers contrats signés l'année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En supposant que l'affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des contrats de courte durée. 
Avec $p = 0,80$ et $n = 600$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est 

\smallskip

$I_{600} = \left[p -1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}~;~p +1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}\right]
=\left[0,8 -1,96 \dfrac{\sqrt{0,8\times 0,2}}{\sqrt{600}}~;~0,8 +1,96 \dfrac{\sqrt{0,8\times 0,2}}{\sqrt{600}} \vphantom{ \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}} \right] \\[7pt]
\phantom{I_{600}}
\approx \left [0,768~;\, 0,832\strut\right ]$.
\item %Que peut-on penser de l'affirmation de la directrice? 
Pour les 600 derniers contrats la fréquence de contrats de courte durée est égale à\\
 $f=\dfrac{550}{600} \approx 0,917$.

Or $0,917 \notin I_{600}$, donc, au risque de $5$\,\%, l'affirmation de la directrice n'est pas correcte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 450$ et d'écart-type $\sigma = 100$.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$~km ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
On doit trouver $p(500\leqslant Y \leqslant 600)$ ; la calculatrice donne $\approx \np{0,2417}$, soit 0,242 au millième près. 
\item %La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15\,\% de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine. 

%En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l'unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ?
La calculatrice donne pour $p(Y \leqslant a) = 0,15$,\: $a \approx 346$~km. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 4} - 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x + 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x - 4} = + \infty$, donc par produit de limites :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty.\]

\item %Démontrer que la limite de $g$ en $- \infty$ vaut $- 2$.
On a $g(x) = x\text{e}^{x - 4} + 2\text{e}^{x - 4} - 2 = x\text{e}^{x}\times \text{e}^{-4}  + 2\text{e}^{x - 4} - 2$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$ ; donc $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-4}x\text{e}^{x} = 0$

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x - 4} = 0$, donc par somme  de limites :
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - 2$.

\item %On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa dérivée. 

%Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$.
$g'(x) = 1 \times \text{e}^{x - 4} + (x + 2) \times 1 \times \text{e}^{x - 4} = \text{e}^{x - 4}(1 + x + 2) = \text{e}^{x - 4}(x + 3)$.

On sait que  quel soit $x \in \R$, \:$\text{e}^{x - 4} > 0$ ; le signe de $g'(x)$ est donc celui de $x + 3$ qui s'annule pour $x = - 3$ est positif pour $x > - 3$ et négatif pour $x < - 3$, d'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)
\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$-3$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.5,2){$-2$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](4,0){$\approx - 2,001$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On a $g(- 3) = (- 3 + 2)\text{e}^{-3 - 4} - 2 = -\text{e}^{-7} - 2 \approx - 2,001$. 
\item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
D'après le tableau de variations : sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$, $f(-3) < 0$ et  
 \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.

La fonction $g$ étant continue sur cet intervalle car dérivable sur ce même intervalle  ; il existe donc un réel unique $\alpha$, \:$\alpha \in ]- 3~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$. 
\item %En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
Conclusion : 

$\bullet~~$ $g(\alpha) = 0$ ;

$\bullet~~$sur $]- \infty~;~\alpha[$, \: $g(x) < 0$ ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[$, \: $g(x) > 0$ 
\item %À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.
La calculatrice donne $g(3,069) \approx \np{-0,002006}$ et $g(3,070) \approx \np{0,00038}$, donc $\alpha \approx 3,070$ à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x^2 - x^2\text{e}^{x-4}.\]

\smallskip 

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$.
$f(x) = 0 \iff x^2 - x^2\text{e}^{x-4} = 0 \iff x^2\left(1 - \text{e}^{x-4} \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}
x^2 = 0\\
1 - \text{e}^{x-4} = 0 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}
x = 0\\
1 = \text{e}^{x-4}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}
x = 0\\
0 = x-4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}
x = 0\\
4 = x
\end{array}\right.$ 

L'équation a deux solutions : $0$ et $4$.
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

%On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$,\: $f'(x) = - xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A. 
%
%Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
De la question 5 de la partie A on déduit que :

$\bullet~~$ $f'(\alpha)= 0$ ;

$\bullet~~$ $f'(x) < 0$ sur $]- \infty~;~0[$ ; 

$\bullet~~$ $f'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ;

$\bullet~~$ $f'(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.

La fonction est donc croissante sur $[0~;~\alpha[$ et décroissante sur $]- \infty~;~0[$ et sur $]\alpha~;~+ \infty[$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \text{e}^{x - 4} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.

$f(0) = 0$ ;

$f(\alpha) = \alpha^2 - \alpha^2\text{e}^{\alpha - 4}$ ; 

$f(x) = x^2 \left(1 - \text{e}^{x- 4} \right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x- 4} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \text{e}^{x- 4} = - \infty$ ; d'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2 = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

Conclusion : la fonction est décroissante $]- \infty~;~0[$ de plus l'infini à zéro  croissante sur $[0~;~\alpha[$ de zéro à $f(\alpha)$ puis décroissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$ de $f(\alpha)$ à moins l'infini.
\item %Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
D'après la question précédente sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction est croissante puis décroissante : $f(\alpha)$ est donc le maximum de la fonction sur cet intervalle.

On a vu à la question \textbf{A. 3.} que $\alpha$ est le réel tel que $g(\alpha) = 0 \iff (\alpha + 2)\text{e}^{\alpha - 4} - 2 = 0 \iff (\alpha + 2)\text{e}^{\alpha - 4}  = 2 \iff \text{e}^{\alpha - 4} = \dfrac{2}{\alpha + 2}$.

Donc $f(\alpha) = \alpha^2\left(1 - \text{e}^{x- 4} \right) =  \alpha^2\left(1 - \dfrac{2}{\alpha + 2}\right) = \alpha^2\left(\dfrac{\alpha + 2  - 2}{\alpha + 2} \right) = \alpha^2 \times \dfrac{\alpha}{\alpha + 2}$ .

Finalement $f(\alpha) = \dfrac{\alpha^3}{\alpha + 2} \approx 5,71$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Aire d'un domaine}

\medskip 

%Dans un repère orthonormé \Oij, on note $\mathcal{D}$ le domaine compris entre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-5,-1.3)(5,17)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.3)(5,17)
\uput[l](2,4){\red $\mathcal{P}$}
\uput[r](2.2,4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](3.07,0){$\alpha$}\uput[l](-0.4,5.7){$f(\alpha)$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{->}(3.07,0)(3.07,5.71)(0,5.71)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{0}{4}{x dup mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue ]{4}{0}{x dup mul 1 2.71828 x 4 sub exp sub mul}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{-5}{5}{x dup mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue ]{-5}{5}{x dup mul 1 2.71828 x 4 sub exp sub mul}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{P}$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par :

$d(x) = x^2 - f(x) = x^2 - \left(x^2 - x^2\text{e}^{x - 4} \right) = x^2\text{e}^{x - 4}$.

Cette fonction produit de deux fonctions positives est positive et ne s'annule que pour $x = 0$.

Géométriquement ceci montre que la parabole $\mathcal{P}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$, le seul point commun étant l'origine.
 
\item On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par: 
$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{x - 4}.$
%
%Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unité d'aire. On donnera la valeur exacte.
%On peut vérifier que sur $\R$, 
%
%$F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} - (2x - 2)\text{e}^{x - 4} - \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{x - 4} = x^2 - \text{e}^{x - 4}\left(2x - 2 + x^2 - 2x + 2 \right) = x^2 - \text{e}^{x - 4}\left(x^2 \right) \\
\phantom{F'(x)}
%= f(x)$.

%$F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

On a vu à la question précédente que sur l'intervalle [0~;~4] la courbe $\mathcal{P}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$, donc l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{P}$, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$, est en unité d'aire égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^4 \left[x^2 - f(x)\right]\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - F(x)\right]_0^4
= \left [\dfrac{4^3}{3} - \left (\dfrac{4^3}{3} - \left(4^2 - 2\times 4 + 2\right)\text{e}^{4 - 4}\right )\right ] - \left[0- \left(0-2\text{e}^{0 - 4}\right)\vphantom{\dfrac{'^3}{3}}\right ]  \\
\phantom{\mathcal{A}}
= 10 - 2\text{e}^{-4}$~(u. a.)
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

%Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. 
%
%\emph{Il est attribué $1$ point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} 

Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct \Ouv.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'équation d'inconnue le nombre complexe $z$:
$z\left(z^2 - 8z + 32\right) = 0$. 

\textbf{Affirmation 1} : Les points dont les affixes sont les solutions de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle d'aire égale à $16$ unités d'aire. 

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
On résout dans $\C$ l'équation $z\left(z^2 - 8z + 32\right) = 0$. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $z=0$ ou
\item $z^2 - 8z + 32 = 0$; $\Delta = (-8)^2 - 4\times  1 \times 32 = -64 = -8^2$

Cette équation a donc deux solutions \\
$z_1 = \dfrac{-b + \i \sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{8+8\i}{2}=4+4\i$  et $z_2=4-4\i$.
\end{list}

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.

Le triangle OAB est isocèle en O et a pour aire $\mathcal{A} = \dfrac{\text{OH}\times \text{AB}}{2}$ \\
où H est le milieu de $\left [\text{AB}\strut\right ]$. 

Le point H a pour affixe $\dfrac{z_1+z_2}{2}=4$ donc $\text{OH}=4$.

$\text{AB} = \left | (4+4\i) - (4-4\i)\strut \right | = \left | 8\i\strut \right |=8$; donc $\mathcal{A} = \dfrac{4\times 8}{2}=16$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.5cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=black,gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{u}$,d][$\vec{v}$,180]
\psline(0,0)(4,4)(4,-4)(0,0)
\uput[ur](4,4){A} \uput[dr](4,-4){B} \uput[ur](4,0){H} 
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Affirmation 1 vraie}

\medskip

\item Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points dont les affixes $z$ vérifient 
$\left |z - 3\strut\right | = \left |z + 3\strut\right |$. 

\textbf{Affirmation 2} : L'ensemble $\mathcal{E}$ est le cercle de centre O et de rayon 3. 

\medskip

Soient M, A et B les points d'affixes respectives $z$, $3$ et $-3$.

$\left |z - 3\strut\right | =  \text{MA}$ et $\left |z + 3\strut\right |= \text{MB}$; donc
$\left |z - 3\strut\right | = \left |z + 3\strut\right | \iff \text{MA} = \text{MB}$.

L'ensemble $\mathcal{E}$ est donc une droite, la médiatrice de $\left [ \text{AB}\strut\right ]$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2 fausse}

\item On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout $n$ par : 
$z_n = \left(1 - \i\sqrt{3}\right)^n$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\text M_n$ le point d'affixe $z_n$. 

\textbf{Affirmation 3} : Pour tout entier naturel $n$, les points M$_n$, O et M$_{n+3}$ sont alignés. 

\medskip

On sait que 
$\left ( \vect{\text{OM}_{n+3}},\vect{\text{OM}_{n}}\right ) 
=\arg\left ( \dfrac{z_{\text M_{n+3}}- z_{\text O}}{z_{\text M_{n}}-z_{\text O}}\right )$

donc 
$\left ( \vect{\text{OM}_{n+3}},\vect{\text{OM}_{n}}\right ) 
= \arg\left (\dfrac{\left (1+\i\sqrt{3}\right )^{n+3}}{\left (1+\i\sqrt{3}\right) ^{n}}\right ) 
=\arg\left ( \left (1+\i\sqrt{3}\right )^{3}\right ) = \arg(- 8) 
= \pi\quad[2\pi]$.

On en déduit que les trois points M$_n$, O et M$_{n+3}$ sont alignés.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 vraie}

\medskip 

\item On considère l'équation d'inconnue le nombre réel $x$:
$ \sin(x) \left(2\cos^2 (x) - 1\right) = 0$.

\textbf{Affirmation 4} : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$  qui sont :  $- \dfrac{\pi}{4}\; ;\; 0\:;\: \dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$. 

\medskip

$\dfrac{3\pi}{4} \in \left ]- \pi~;~\pi\strut\right ]$;
or $\cos\left (\dfrac{3\pi}{4} \right ) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc $2\cos^2\left (\dfrac{3\pi}{4}\right ) - 1=0$.

On en déduit que $\dfrac{3\pi}{4}$ est une solution de l'équation mais ce n'est pas une des quatre solutions proposées.

\medskip

\textbf{Affirmation 4 fausse}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n$,
$ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 8}.$

\medskip 

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 

Les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
	&A	&B\\ \hline
1	&$n$&$u_n$\\ \hline
2 	&  0	&   1\\ \hline   
3	&1 	&\np{0,11111111}\\ \hline   
4	&2 	&\np{0,01369863}\\ \hline   
5 	&3 	& \np{0,0017094}\\ \hline   
6 	&4 	&\np{0,00021363}\\ \hline   
7 	&5 	&\np{2,6703}E$-$05\\ \hline   
8 	&6 	&\np{3,3379}E$-$06\\ \hline   
9 	&7 	&\np{4,1723}E$-$07\\ \hline  
10	&8	&\np{5,2154}E$-$08\\ \hline   
11	&9	&\np{6,5193}E$-$09\\ \hline   
12	&10	&\np{8,1491}E$-$10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
\begin{enumerate}
\item La formule à entrer dans la cellule \texttt{B3} et à copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ est
\fbox{\texttt{= B2 / (B2 + 8)}}
\item %Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
La suite $(u_n)$ semble décroissante.
\item %Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
La suite $(u_n)$ semble converger vers $0$.
\item On écrit un algorithme calculant $u_{30}$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables & $i$ entier et $u$ réel\\
 Initialisation & $u$ prend la valeur 1\\
 Traitement & Pour $i$ variant de 1 à 30\\
   & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $\dfrac{u}{u+8}$\hspace*{1cm}\\
   & Fin pour\\
Sortie & Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude générale}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 0$. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$, $u_n=u_0=1>0$; donc la propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, c'est-à-dire que $u_n>0$.

$u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n+8}$

Or $u_n>0$ donc $u_n+8>0$ donc $\dfrac{u_n}{u_n+8} >0$; on a donc démontré que $u_{n+1}>0$.

\item On a vérifié que la propriété était vraie pour $n=0$. On a démontré que la propriété était héréditaire pour tout $n\geqslant 0$. Donc, d'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

On a donc démontré que $u_n>0$ pour tout $n$.

\item% Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$:
$u_{n+1}-u_n= \dfrac{u_n}{u_n+8} - u_n = u_n\left ( \dfrac{1}{u_n+8} - 1\right )
= u_n\left ( \dfrac{1-u_n-8}{u_n+8}\right )
= \dfrac{u_n \left (-u_n-7\right )}{u_n+8}$

Pour tout $n$, on a $u_n>0$ donc $u_n+8>0$ et $-u_n-7<0$. 

On en déduit que $ \dfrac{u_n \left (-u_n-7\right )}{u_n+8}<0$ et donc que $u_{n+1}-u_n<0$.

La suite $(u_n)$ est donc décroissante. 

\item La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 0.

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Recherche d'une expression du terme général}

\medskip 

On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$,
$v_n = 1 + \dfrac{7}{u_n}.$ 

On en déduit que $v_n-1=\dfrac{7}{u_n}$ donc que $u_n=\dfrac{7}{v_n-1}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item%  Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme. 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = 1+\dfrac{7}{u_{n+1}} = 1+\dfrac{7}{\dfrac{u_n}{u_n+8}}
= 1+\dfrac{7\left (u_n+8\right )}{u_n} = 1+ \dfrac{7u_n}{u_n} + \dfrac{56}{u_n}
= 1+7 + \dfrac{56}{\dfrac{7}{v_n-1}} = 8+8\left (v_n-1\right )\\
\phantom{v_{n+1}}
 = 8+8v_n-8 = 8 v_n$
 \item $v_0=1+\dfrac{7}{u_0} = 1+\dfrac{7}{1}=8$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=8$ et de premier terme $v_0=8$.
\item %Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_n = \dfrac{7}{8^{n+1} - 1}.$
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 8\times 8^n = 8^{n+1}$.

Or $u_n=\dfrac{7}{v_n-1}$, donc, pour tout $n$, on a $u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$
$8>1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 8^{n+1}= +\infty$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{7}{8^{n+1}-1}=0$ ce qui veut dire que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$.

\item On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$,\: $u_n < 10^{- 18}$. 

%Justifier l'existence d'un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur. 

On sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$; donc, d'après la définition de la limite d'une suite, on peut dire qu'à partir d'un certain rang $n_0$, tous les termes de la suite seront dans l'intervalle $\left ]-10^{-18}~;\, 10^{-18}\right [$. Comme $u_n>0$ pour tout $n$, on peut dire qu'il existe un rang $n_0$ tel que, pour $n >n_0$, on ait $u_n<10^{-18}$.

On résout l'inéquation $u_n<10^{-18}$.

$u_n<10^{-18}
\iff \dfrac{7}{8^{n+1}-1} < 10^{-18}
\iff 7 < 10^{-18}\left (8^{8n+1}-1\right )
\iff 7\times 10^{18} +1< 8^{n+1}\\[5pt]
\phantom{u_n<10^{-18}}
\iff \ln\left (7\times 10^{18} +1\right ) < \ln\left (8^{n+1}\right )
\iff \ln\left (7\times 10^{18} +1\right ) < \left (n+1\right )\ln\left (8\right )\\[5pt]
\phantom{u_n<10^{-18}}
\iff \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} < n+1
\iff n> \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} -1$

Or $n> \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} -1 \approx 19,87$ donc c'est à partir de $n_0=20$ que $u_n<10^{-18}$.

\end{enumerate}
\end{document}