\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{diagbox} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} %Tapuscrit : Denis Vergès et : François Hache. %Merci à Clotilde Rouchon pour le sujet \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé Terminale S}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie mars 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle Calédonie mars 2019~\decofourright}} \bigskip \textbf{Durée : 4 heures} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Une société de location de voitures s'intéresse à l'état mécanique de son parc automobile afin d'anticiper les frais d'entretien. % %On dispose des données suivantes: % %\setlength\parindent{9mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$]20\,\% des voitures sont sous garantie; %\item[$\bullet~~$]pour 1\,\% des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire; %\item[$\bullet~~$]pour 10\,\% de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les évènements suivants: % %\setlength\parindent{9mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$]$G$ : \og la voiture est sous garantie\fg{} ; %\item[$\bullet~~$]$R$ : \og une réparation est nécessaire \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ~%Traduire la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$G~$}^{$0,2$}} { \TR{$R$}^{$0,01$} \TR{$\overline{R}$}_{$0,99$} } \pstree{\TR{$\overline{G}~$}_{$0,8$}} {\TR{$R$}^{$0,1$} \TR{$\overline{R}$}_{$0,9$} } } \end{center} \medskip \item %Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation. L'évènement est $G \cap R$, donc sa probabilité est : $p(G \cap R) = p(G) \times p_G(R) = 0,2 \times 0,01 = 0,002$. \item %Justifier que $P(R) = 0,082$. On a de même : $p\left(\overline{G} \cap R\right) = p\left(\overline{G}\right) \times p_{\overline{G}}(R) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$. D'après la loi des probabilités totales : $p(R) = p(G \cap R) + p\left(\overline{G} \cap R\right) = 0,002 + 0,08 = 0,082$. \item %Il s'avère que la voiture choisie nécessite une réparation. %Quelle est la probabilité qu'elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$. Il faut trouver $p_{R}(G) = \dfrac{p(G \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,002}{0,082} \approx \np{0,0244}$ soit $0,024$ au millième près. \end{enumerate} \item %La société de location fait appel à un garage pour l'entretien de son parc automobile. %L'entretien consiste en une révision à laquelle s'ajoutent d'éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes: % %\setlength\parindent{9mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] si la voiture est encore sous garantie, l'entretien est gratuit; %\item[$\bullet~~$] si la voiture n'est plus sous garantie, l'entretien est facturé de la manière suivante: la révision coûte 100 € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter 400 €. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Sachant que son parc automobile compte \np{2500}~voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de \np{250000}~euros pour l'entretien de l'ensemble des voitures ? % %On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d'entretien d'une voiture. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le coût d'entretien d'une voiture. On va chercher le coût moyen par voiture, soit l'espérance mathématique de $X$. Il y a trois évènements à considérer: \begin{list}{\textbullet}{} \item $G$ qui correspond à une voiture sous garantie dont la probabilité est $0,2$ et qui nécessite 0~\euro{} de dépense; \item $\overline{G}\cap \overline{R}$ qui correspond à une voiture qui n'est plus sous garantie mais qui ne nécessite pas de réparation, dont la probabilité est $0,8 \times 0,9=0,72$ et qui nécessite 100~\euro{} de dépense; \item $\overline{G}\cap R$ qui correspond à une voiture qui n'est plus sous garantie mais qui nécessite une réparation, dont la probabilité est $0,08$ et qui nécessite $100 + 400 = 500$~\euro{} de dépense. \end{list} \smallskip La loi de probabilité de $X$ est: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{évènement} & G & \overline{G}\cap \overline{R} & \overline{G}\cap R\\ \hline \text{coût }x_i & 0~$\euro$ & 100~$\euro$ & 500~$\euro$\\ \hline \text{probabilité }p_i = P(X=x_i) & 0,2 & 0,72 & 0,08\\ \hline \end{array}$ \end{center} $E(X)= \ds\sum x_i\times p_i = 0+100\times 0,72+500\times 0,08=72+40=112$ Chaque voiture coûte en moyenne 112~\euro{}; il y a \np{2500} voitures, ce qui fait une dépense totale de $112\times \np{2500}= \np{280000}$~\euro. %$\bullet~~$Pour les 20\,\% du parc sous garantie soit $0,20 \times \np{2500} = 500$~voitures, le coût est nul : $X = 0$ ; % %$\bullet~~$La probabilité qu'une voiture n'étant plus sous garantie ne tombe pas en panne est % %$p\left(\overline{G} \cap \overline{R} \right) = p\left(\overline{G}\right) \times p_{\overline{G}}\left(\overline{R} \right) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$. % %En moyenne cela représente donc $0,72 \times \np{2500} = \np{1800}$~véhicules pour lesquelles on a $X = 100$ (prix de la révision). % %$\bullet~~$Il reste donc $\np{2500} - 500 - 1800 = 200$~véhicules devant être réparés et pour lesquels $X = 100 + 400 = 500$. % %Il faut donc prévoir une dépense annuelle de : % %$\np{1800} \times 100 + 200 \times 500 = \np{180000} + \np{100000} = \np{280000}$~(\euro). Conclusion : le budget de \np{250000}~\euro{} sera insuffisant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %La société de location propose à ses clients deux contrats de location: un contrat de courte durée (inférieure à 2 jours) et un contrat de longue durée (de 3 à 7 jours). % %La directrice de cette société affirme que 80\,\% des clients demandent un contrat de courte durée. % %Sur les 600 derniers contrats signés l'année précédente, 550 étaient des contrats de courte durée. % %\medskip \begin{enumerate} \item %En supposant que l'affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des contrats de courte durée. Avec $p = 0,80$ et $n = 600$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est \smallskip {\small $I_{600} = \left[p -1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}~;~p +1,96 \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}\right] =\left[0,8 -1,96 \dfrac{\sqrt{0,8\times 0,2}}{\sqrt{600}}~;~0,8 +1,96 \dfrac{\sqrt{0,8\times 0,2}}{\sqrt{600}} \vphantom{ \dfrac{\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}} \right] \\[7pt] \phantom{I_{600}} \approx \left [0,768~;\, 0,832\strut\right ]$.} \item %Que peut-on penser de l'affirmation de la directrice? Pour les 600 derniers contrats la fréquence de contrats de courte durée est égale à\\ $f=\dfrac{550}{600} \approx 0,917$. Or $0,917 \notin I_{600}$, donc, au risque de $5$\,\%, l'affirmation de la directrice n'est pas correcte. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip %On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 450$ et d'écart-type $\sigma = 100$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$~km ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$. On doit trouver $p(500\leqslant Y \leqslant 600)$ ; la calculatrice donne $\approx \np{0,2417}$, soit 0,242 au millième près. \item %La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux 15\,\% de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine. %En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l'unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ? La calculatrice donne pour $p(Y \leqslant a) = 0,15$,\: $a \approx 346$~km. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 4} - 2.\] \smallskip \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x + 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x - 4} = + \infty$, donc par produit de limites : \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty.\] \item %Démontrer que la limite de $g$ en $- \infty$ vaut $- 2$. On a $g(x) = x\text{e}^{x - 4} + 2\text{e}^{x - 4} - 2 = x\text{e}^{x}\times \text{e}^{-4} + 2\text{e}^{x - 4} - 2$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$ ; donc $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-4}x\text{e}^{x} = 0$ $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x - 4} = 0$, donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - 2$. \item %On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa dérivée. %Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$. $g'(x) = 1 \times \text{e}^{x - 4} + (x + 2) \times 1 \times \text{e}^{x - 4} = \text{e}^{x - 4}(1 + x + 2) = \text{e}^{x - 4}(x + 3)$. On sait que quel soit $x \in \R$, \:$\text{e}^{x - 4} > 0$ ; le signe de $g'(x)$ est donc celui de $x + 3$ qui s'annule pour $x = - 3$ est positif pour $x > - 3$ et négatif pour $x < - 3$, d'où le tableau de variations : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$-3$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) \uput[d](1.5,2){$-2$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){$\approx - 2,001$} \end{pspicture} \end{center} On a $g(- 3) = (- 3 + 2)\text{e}^{-3 - 4} - 2 = -\text{e}^{-7} - 2 \approx - 2,001$. \item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. D'après le tableau de variations : sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$, $f(-3) < 0$ et \:$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$. La fonction $g$ étant continue sur cet intervalle car dérivable sur ce même intervalle ; il existe donc un réel unique $\alpha$, \:$\alpha \in ]- 3~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$. \item %En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$. Conclusion : $\bullet~~$ $g(\alpha) = 0$ ; $\bullet~~$sur $]- \infty~;~\alpha[$, \: $g(x) < 0$ ; $\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[$, \: $g(x) > 0$ \item %À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$. La calculatrice donne $g(3,069) \approx \np{-0,002006}$ et $g(3,070) \approx \np{0,00038}$, donc $\alpha \approx 3,070$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x^2 - x^2\text{e}^{x-4}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item %Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$. $f(x) = 0 \iff x^2 - x^2\text{e}^{x-4} = 0 \iff x^2\left(1 - \text{e}^{x-4} \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l} x^2 = 0\:\text{ou}\\ 1 - \text{e}^{x-4} = 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x = 0\:\text{ou}\\ 1 = \text{e}^{x-4} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x = 0\:\text{ou}\\ 0 = x-4 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x = 0\:\text{ou}\\ 4 = x \end{array}\right.$ L'équation a deux solutions : $0$ et $4$. \item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. %On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$,\: $f'(x) = - xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A. % %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. De la question 5 de la partie A on déduit que : $\bullet~~$ $f'(\alpha)= 0$ ; $\bullet~~$ $f'(x) < 0$ sur $]- \infty~;~0[$ ; $\bullet~~$ $f'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ; $\bullet~~$ $f'(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$. La fonction est donc croissante sur $[0~;~\alpha[$ et décroissante sur $]- \infty~;~0[$ et sur $]\alpha~;~+ \infty[$. On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \text{e}^{x - 4} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$. $f(0) = 0$ ; $f(\alpha) = \alpha^2 - \alpha^2\text{e}^{\alpha - 4}$ ; $f(x) = x^2 \left(1 - \text{e}^{x- 4} \right)$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x- 4} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \text{e}^{x- 4} = - \infty$ ; d'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2 = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. Conclusion : la fonction est décroissante sur $]- \infty~;~0[$ de plus l'infini à zéro croissante sur $[0~;~\alpha[$ de zéro à $f(\alpha)$ puis décroissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$ de $f(\alpha)$ à moins l'infini. \item %Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$. D'après la question précédente sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction est croissante puis décroissante : $f(\alpha)$ est donc le maximum de la fonction sur cet intervalle. On a vu à la question \textbf{A. 3.} que $\alpha$ est le réel tel que $g(\alpha) = 0 \iff (\alpha + 2)\text{e}^{\alpha - 4} - 2 = 0 \iff (\alpha + 2)\text{e}^{\alpha - 4} = 2 \iff \text{e}^{\alpha - 4} = \dfrac{2}{\alpha + 2}$. Donc $f(\alpha) = \alpha^2\left(1 - \text{e}^{x- 4} \right) = \alpha^2\left(1 - \dfrac{2}{\alpha + 2}\right) = \alpha^2\left(\dfrac{\alpha + 2 - 2}{\alpha + 2} \right) = \alpha^2 \times \dfrac{\alpha}{\alpha + 2}$ . Finalement $f(\alpha) = \dfrac{\alpha^3}{\alpha + 2} \approx 5,71$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Aire d'un domaine} \medskip %Dans un repère orthonormé \Oij, on note $\mathcal{D}$ le domaine compris entre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-5,-1.3)(5,17) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-1.3)(5,17) \uput[l](2,4){\red $\mathcal{P}$} \uput[r](2.2,4){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](3.07,0){$\alpha$}\uput[l](-0.4,5.7){$f(\alpha)$} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{->}(3.07,0)(3.07,5.71)(0,5.71) \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{0}{4}{x dup mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue ]{4}{0}{x dup mul 1 2.71828 x 4 sub exp sub mul}} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{-5}{5}{x dup mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue ]{-5}{5}{x dup mul 1 2.71828 x 4 sub exp sub mul} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{P}$. Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par : $d(x) = x^2 - f(x) = x^2 - \left(x^2 - x^2\text{e}^{x - 4} \right) = x^2\text{e}^{x - 4}$. Cette fonction produit de deux fonctions positives est positive et ne s'annule que pour $x = 0$. Géométriquement ceci montre que la parabole $\mathcal{P}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$, le seul point commun étant l'origine. \item On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{x - 4}.$ % %Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unité d'aire. On donnera la valeur exacte. %On peut vérifier que sur $\R$, % %$F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} - (2x - 2)\text{e}^{x - 4} - \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{x - 4} = x^2 - \text{e}^{x - 4}\left(2x - 2 + x^2 - 2x + 2 \right) = x^2 - \text{e}^{x - 4}\left(x^2 \right) \\ \phantom{F'(x)} %= f(x)$. %$F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. On a vu à la question précédente que sur l'intervalle [0~;~4] la courbe $\mathcal{P}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$, donc l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{P}$, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$, est en unité d'aire égale à l'intégrale : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^4 \left[x^2 - f(x)\right]\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - F(x)\right]_0^4 = \left [\dfrac{4^3}{3} - \left (\dfrac{4^3}{3} - \left(4^2 - 2\times 4 + 2\right)\text{e}^{4 - 4}\right )\right ] - \left[0- \left(0-2\text{e}^{0 - 4}\right)\vphantom{\dfrac{'^3}{3}}\right ] \\ \phantom{\mathcal{A}} = 10 - 2\text{e}^{-4}$~(u. a.) \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. % %\emph{Il est attribué $1$ point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item Soit (E) l'équation d'inconnue le nombre complexe $z$: $z\left(z^2 - 8z + 32\right) = 0$. \textbf{Affirmation 1} : Les points dont les affixes sont les solutions de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle d'aire égale à $16$ unités d'aire. \medskip \begin{minipage}{0.7\linewidth} On résout dans $\C$ l'équation $z\left(z^2 - 8z + 32\right) = 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $z=0$ ou \item $z^2 - 8z + 32 = 0$; $\Delta = (-8)^2 - 4\times 1 \times 32 = -64 = -8^2$ Cette équation a donc deux solutions \\ $z_1 = \dfrac{-b + \i \sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{8+8\i}{2}=4+4\i$ et $z_2=4-4\i$. \end{list} Soient A et B les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. Le triangle OAB est isocèle en O et a pour aire $\mathcal{A} = \dfrac{\text{OH}\times \text{AB}}{2}$ \\ où H est le milieu de $\left [\text{AB}\strut\right ]$. Le point H a pour affixe $\dfrac{z_1+z_2}{2}=4$ donc $\text{OH}=4$. $\text{AB} = \left | (4+4\i) - (4-4\i)\strut \right | = \left | 8\i\strut \right |=8$; donc $\mathcal{A} = \dfrac{4\times 8}{2}=16$. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.25\linewidth} \begin{flushright} \psset{unit=0.5cm} \def\xmin {-1} \def\xmax {5} \def\ymin {-5} \def\ymax {5} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=black,gridcolor=lightgray] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{u}$,d][$\vec{v}$,180] \psline(0,0)(4,4)(4,-4)(0,0) \uput[ur](4,4){A} \uput[dr](4,-4){B} \uput[ur](4,0){H} \end{pspicture} \end{flushright} \end{minipage} \medskip \textbf{Affirmation 1 vraie} \medskip \item Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points dont les affixes $z$ vérifient $\left |z - 3\strut\right | = \left |z + 3\strut\right |$. \textbf{Affirmation 2} : L'ensemble $\mathcal{E}$ est le cercle de centre O et de rayon 3. \medskip Soient M, A et B les points d'affixes respectives $z$, $3$ et $-3$. $\left |z - 3\strut\right | = \text{MA}$ et $\left |z + 3\strut\right |= \text{MB}$; donc $\left |z - 3\strut\right | = \left |z + 3\strut\right | \iff \text{MA} = \text{MB}$. L'ensemble $\mathcal{E}$ est donc une droite, la médiatrice de $\left [ \text{AB}\strut\right ]$. \medskip \textbf{Affirmation 2 fausse} \item On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout $n$ par : $z_n = \left(1 - \i\sqrt{3}\right)^n$. Pour tout entier naturel $n$, on note $\text M_n$ le point d'affixe $z_n$. \textbf{Affirmation 3} : Pour tout entier naturel $n$, les points M$_n$, O et M$_{n+3}$ sont alignés. \medskip On sait que $\left (\vect{\text{OM}_{n}},~\vect{\text{OM}_{n+3}}\right) =\arg\left ( \dfrac{z_{\text M_{n+3}} - z_{\text O}}{z_{\text M_{n}}-z_{\text O}}\right )$ donc $\left (\vect{\text{OM}_{n}},~\vect{\text{OM}_{n+3}}\right) = \arg\left (\dfrac{\left (1-\i\sqrt{3}\right )^{n+3}}{\left (1-\i\sqrt{3}\right) ^{n}}\right ) =\arg\left ( \left (1-\i\sqrt{3}\right )^{3}\right ) = \arg(- 8) = \pi\quad[2\pi]$. On en déduit que les trois points M$_n$, O et M$_{n+3}$ sont alignés. \medskip \textbf{Affirmation 3 vraie} \medskip \item On considère l'équation d'inconnue le nombre réel $x$: $ \sin(x) \left(2\cos^2 (x) - 1\right) = 0$. \textbf{Affirmation 4} : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$ qui sont : $- \dfrac{\pi}{4}\; ;\; 0\:;\: \dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$. \medskip $\dfrac{3\pi}{4} \in \left ]- \pi~;~\pi\strut\right ]$; or $\cos\left (\dfrac{3\pi}{4} \right ) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc $2\cos^2\left (\dfrac{3\pi}{4}\right ) - 1=0$. On en déduit que $\dfrac{3\pi}{4}$ est une solution de l'équation mais ce n'est pas une des quatre solutions proposées. \medskip \textbf{Affirmation 4 fausse} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n$, $ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 8}.$ \medskip \textbf{Partie A : Conjectures} \medskip Les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran : \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline &A &B\\ \hline 1 &$n$&$u_n$\\ \hline 2 & 0 & 1\\ \hline 3 &1 &\np{0,11111111}\\ \hline 4 &2 &\np{0,01369863}\\ \hline 5 &3 & \np{0,0017094}\\ \hline 6 &4 &\np{0,00021363}\\ \hline 7 &5 &\np{2,6703}E$-$05\\ \hline 8 &6 &\np{3,3379}E$-$06\\ \hline 9 &7 &\np{4,1723}E$-$07\\ \hline 10 &8 &\np{5,2154}E$-$08\\ \hline 11 &9 &\np{6,5193}E$-$09\\ \hline 12 &10 &\np{8,1491}E$-$10\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item La formule à entrer dans la cellule \texttt{B3} et à copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ est \fbox{\texttt{= B2 / (B2 + 8)}} \item %Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$ ? La suite $(u_n)$ semble décroissante. \item %Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? La suite $(u_n)$ semble converger vers $0$. \item On écrit un algorithme calculant $u_{30}$: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{|ll|} \hline Variables & $i$ entier et $u$ réel\\ Initialisation & $u$ prend la valeur 1\\ Traitement & Pour $i$ variant de 1 à 30\\ & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $\dfrac{u}{u+8}$\hspace*{1cm}\\ & Fin pour\\ Sortie & Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude générale} \medskip \begin{enumerate} \item On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $n=0$, $u_n=u_0=1>0$; donc la propriété est vraie au rang 0. \item On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, c'est-à-dire que $u_n>0$. $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n+8}$ Or $u_n>0$ donc $u_n+8>0$ donc $\dfrac{u_n}{u_n+8} >0$; on a donc démontré que $u_{n+1}>0$. \item On a vérifié que la propriété était vraie pour $n=0$. On a démontré que la propriété était héréditaire pour tout $n\geqslant 0$. Donc, d'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$. \end{list} On a donc démontré que $u_n>0$ pour tout $n$. \item% Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$. Pour tout $n$: $u_{n+1}-u_n= \dfrac{u_n}{u_n+8} - u_n = u_n\left ( \dfrac{1}{u_n+8} - 1\right ) = u_n\left ( \dfrac{1-u_n-8}{u_n+8}\right ) = \dfrac{u_n \left (-u_n-7\right )}{u_n+8}$ Pour tout $n$, on a $u_n>0$ donc $u_n+8>0$ et $-u_n-7<0$. On en déduit que $ \dfrac{u_n \left (-u_n-7\right )}{u_n+8}<0$ et donc que $u_{n+1}-u_n<0$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante. \item La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 0. Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Recherche d'une expression du terme général} \medskip On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 1 + \dfrac{7}{u_n}.$ On en déduit que $v_n-1=\dfrac{7}{u_n}$ donc que $u_n=\dfrac{7}{v_n-1}$. \smallskip \begin{enumerate} \item% Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme. \begin{list}{\textbullet}{} \item $v_{n+1} = 1+\dfrac{7}{u_{n+1}} = 1+\dfrac{7}{\dfrac{u_n}{u_n+8}} = 1+\dfrac{7\left (u_n+8\right )}{u_n} = 1+ \dfrac{7u_n}{u_n} + \dfrac{56}{u_n} = 1+7 + \dfrac{56}{\dfrac{7}{v_n-1}} = 8+8\left (v_n-1\right )\\ \phantom{v_{n+1}} = 8+8v_n-8 = 8 v_n$ \item $v_0=1+\dfrac{7}{u_0} = 1+\dfrac{7}{1}=8$ \end{list} Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=8$ et de premier terme $v_0=8$. \item %Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_n = \dfrac{7}{8^{n+1} - 1}.$ On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 8\times 8^n = 8^{n+1}$. Or $u_n=\dfrac{7}{v_n-1}$, donc, pour tout $n$, on a $u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$. \item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ $8>1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 8^{n+1}= +\infty$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{7}{8^{n+1}-1}=0$ ce qui veut dire que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$. \item On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$,\: $u_n < 10^{- 18}$. %Justifier l'existence d'un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur. On sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$; donc, d'après la définition de la limite d'une suite, on peut dire qu'à partir d'un certain rang $n_0$, tous les termes de la suite seront dans l'intervalle $\left ]-10^{-18}~;\, 10^{-18}\right [$. Comme $u_n>0$ pour tout $n$, on peut dire qu'il existe un rang $n_0$ tel que, pour $n >n_0$, on ait $u_n<10^{-18}$. On résout l'inéquation $u_n<10^{-18}$. $u_n<10^{-18} \iff \dfrac{7}{8^{n+1}-1} < 10^{-18} \iff 7 < 10^{-18}\left (8^{8n+1}-1\right ) \iff 7\times 10^{18} +1< 8^{n+1}\\[5pt] \phantom{u_n<10^{-18}} \iff \ln\left (7\times 10^{18} +1\right ) < \ln\left (8^{n+1}\right ) \iff \ln\left (7\times 10^{18} +1\right ) < \left (n+1\right )\ln\left (8\right )\\[5pt] \phantom{u_n<10^{-18}} \iff \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} < n+1 \iff n> \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} -1$ Or $n> \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} -1 \approx 19,87$ donc c'est à partir de $n_0=20$ que $u_n<10^{-18}$. \end{enumerate} \end{document}