\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand{\dc}{\Longrightarrow} \usepackage{vmargin} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers 10 juin 2015}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small 10 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Centres étrangers ~\decofourright\\[4pt]10 juin 2015}} \end{center} %\vspace{0,25cm} % %\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements %entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %\emph{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.\\ %Les parties A, B et C sont indépendantes.} % %\medskip % %Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce %stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type. % %\bigskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip \begin{enumerate} \item %Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas haut de gamme, il n'y a pas plus de 3\,\% de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas haut de gamme, et en trouve 19 qui sont défectueux. %\medskip % %Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\,\% de cadenas %défectueux ? % %On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%. On a $p=0,03$ et $n=500$. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est: \[I= \left[ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\, p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right] \approx \cd 0,015\,;\,0,045 \cg\] La fréquence observée est $f=\dfrac{19}{500\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}=0,038$; $f\in I$ donc ce contrôle ne remet pas en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\,\% de cadenas défectueux. \item %Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas \emph{premier prix}. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas \emph{premier prix}, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux. % %\medskip % %Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95\,\%. % %\bigskip La fréquence de cadenas défectueux dans l'échantillon de taille $n=500$ observé est $f=\dfrac{39}{500} = 0,078$. Les trois conditions $n = 500 \pg 30$, $nf = 39 \pg 5$ et $n(1-f)=461 \pg 5$ sont vérifiées. Donc un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95\,\% est donné par: \[ \left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \,;\, f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ] = \left [ 0,078-\dfrac{1}{\ds\sqrt{500}} \,;\, 0,078-\dfrac{1}{\ds\sqrt{500}} \right ] \approx \cd 0,033\,;\, 0,123\cg \] \end{enumerate} \subsubsection*{Partie B} %\medskip % %D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas %\emph{premier prix} vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 750$ et d'écart-type $\sigma = 25$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$. Le nombre de cadenas \emph{premier prix} est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=725$ et d'écart type $\sigma=25$. On cherche $P(725 \pp X \pp 775)$. Or $725 = \mu-\sigma$ et $775=\mu+\sigma$; on cherche donc $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)$ dont on connaît une valeur approchée au centième: 0,68 (d'après le cours). Pour avoir le résultat au millième, on utilise la calculatrice: $P(725 \pp X \pp 775) \approx 0,683$ \item %Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas premier prix qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. \emph{On ne réalimente pas le stock en cours de mois}. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X>n)<0,05$; or $P(X>n)<0,05 \iff P(X\pp n) \pg 0,95$ Pour $P(X\pp b) = 0,95$, on obtient à la calculatrice: $b\approx 791,12$. Donc le plus petit nombre $n$ de cadenas nécessaires en début de mois pour avoir une probabilité de rupture de stock inférieure à $0,05$ est $n=792$. %\medskip % %Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ remplissant cette condition. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie C} %\medskip %On admet maintenant que, dans le magasin : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] 80\,\% des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de gamme ; %\item[$\bullet~~$] 3\,\% des cadenas haut de gamme sont défectueux ; %\item[$\bullet~~$] 7\,\% des cadenas sont défectueux. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$]$p$ la probabilité qu'un cadenas premier prix soit défectueux ; %\item[$\bullet~~$]$H$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est haut de gamme \fg{} ; %\item[$\bullet~~$]$D$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est défectueux \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %\medskip \begin{enumerate} \item% Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré: \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm, treesep=1cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$H$}\taput{ \red$1-0,8=0,2$}} { \TR{$D$}\taput{0,03} \TR{$\overline{D}$}\tbput{\red $1-0,03 = 0,97$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline H$}\tbput{$0,8$}} { \TR{$D$}\taput{$p$} \TR{$\overline{D}$}\tbput{\red $1-p$} } } \end{center} \medskip \item% Exprimer en fonction de $p$ la probabilité $P(D)$. En déduire la valeur du réel $p$. D'après la formule des probabilités totales: $P(D)=P(D \cap H)+P(D\cap \overline{H})= 0,2 \times 0,03 + 0,8 \times p = 0,006 + 0,8p$ On sait que 7\,\% des cadenas sont défectueux donc $P(D)=0,07$. Donc: $0,07=0,006 + 0,8p \iff \dfrac{0,07-0,006}{0,8}=p \iff p=0,08$ %Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A - 2. ? Le résultat obtenu est cohérent avec la question A.2 car $0,08 \in \cd 0,033\,;\, 0,123\cg$. \item Le cadenas prélevé est en bon état. La probabilité que ce soit un cadenas \emph{haut de gamme} est $P_{\overline D}(H)$: $P_{\overline D}(H) = \dfrac{P(H \cap \overline D)}{P(\overline D)} = \dfrac{P(H \cap \overline D)}{1-P(D)} = \dfrac{0,2 \times 0,97}{1-0,07} = \dfrac{0,194}{0,93} \approx 0,209$ \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip % %\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ %Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\ %Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} % %\medskip %\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{1.} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ %l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions : %\[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad \text{et} \quad |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\] % %Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le %point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$. % %Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.}\hfill %\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \textbf{1.} \textbf{Affirmation 1 :} l'ensemble $S$ est le segment [AB] -- \textbf{VRAI} % %\medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} Soit $M$ le point d'affixe $z$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $|z-1| = |z-\i| \iff MC = MD$ où $C$ est le point d'affixe 1 et $D$ est le point d'affixe $\i$. L'ensemble des points $M$ tels que $|z-1| = |z-\i|$ est donc la médiatrice du segment $\cd{}CD\cg$. C'est donc la droite d'équation $y=x$, donc la droite $(AB)$. \item $|z - 3 - 2\i| \pp 2 \iff MI \pp 2$ où $I$ est le point d'affixe $3+2\i$. L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 3 - 2\i| \pp 2$ est donc le disque $\mathcal D$ de centre $I$ et de rayon 2. \item L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant à la fois $|z-1| = |z-\i|$ et $|z - 3 - 2\i| \pp 2$ est l'intersection de la droite $(AB)$ et du disque $\mathcal D$; c'est donc le segment $\cd AB\cg$. \end{list} \end{minipage} \begin{minipage}{0.34\linewidth} \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture*}(-0.8,-1)(6,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5) \psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5) \pscircle(3,2){2} \uput[dl](0,0){\small $O$} \uput[r](1.177,1.177){\small $A$} \uput[d](3.823,3.823){\small $B$} \uput[ur](1,0){\small $C$} \uput[ur](0,1){\small $D$} \uput[ur](3,2){\small $I$} \psdots(3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823)(1,0)(0,1) \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \medskip \textbf{2.} \textbf{Affirmation 2 :} le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\i\right)^{\np{1515}}$ est un réel -- \textbf{FAUX} Pour qu'un nombre non nul soit réel, il faut et il suffit qu'il ait pour argument 0 ou $\pi$, à $2\pi$ près. On écrit le nombre $z=\sqrt{3} +\i$ sous forme exponentielle: $|z|=\ds\sqrt{3+1}=2$, donc $z=2\left ( \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\i\right )$. On cherche un réel $\theta$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} \cos \theta & \dfrac{\ds\sqrt 3}{2}\\[7pt] \sin \theta & \dfrac{1}{2} \end{array} \right. $ Donc $\sqrt{3} +\i$ a pour argument $\dfrac{\pi}{6}$; on en déduit que $\left (\sqrt{3} +\i\right )^{\np{1515}}$ a pour argument $\np{1515}\times \dfrac{\pi}{6}$. Or $\dfrac{\np{1515}\pi}{6}=126\times 2\pi + \dfrac{3\pi}{6}$ donc $\left (\ds\sqrt{3}+\i\right )^{\np{1515}}$ a pour argument $\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$. Donc $\left (\ds\sqrt{3}+\i\right )^{\np{1515}}$ est un imaginaire pur non nul, donc ce n'est pas un réel. \medskip % %\emph{Pour les questions 3 et 4, on considère les points} E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) \emph{et} G (-1 ; 3 ; 1) \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.} \textbf{3.} \textbf{Affirmation 3 :} une représentation paramétrique de la droite $(EF)$ est donnée par: $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 2t\\ y & -3 + 4t\\ z & 7-10t \end{array}\right., t\: \in \R$. -- \textbf{VRAI} Soit $d$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 2t\\ y & -3 + 4t\\ z & 7-10t \end{array}\right., t\: \in \R$. On regarde si le point $E$ appartient à cette droite, autrement dit s'il existe une valeur de $t$ pour laquelle $\left\{\begin{array}{l !{=} r} 2 & 2t\\ 1 & -3 + 4t\\ -3 & 7-10t \end{array}\right.$ La valeur $t=1$ convient. \smallskip On regarde si le point $F$ appartient à cette droite, autrement dit s'il existe une valeur de $t$ pour laquelle $\left\{\begin{array}{l !{=} r} 1 & 2t\\ -1 & -3 + 4t\\ 2 & 7-10t \end{array}\right.$ La valeur $t=\dfrac{1}{2}$ convient. \smallskip Donc la droite $(EF)$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & 2t\\ y & -3 + 4t\\ z & 7-10t \end{array}\right., t\: \in \R$. \medskip \textbf{4.} \textbf{Affirmation 4 :} une mesure en degré de l'angle $\widehat{FEG}$, arrondie au degré, est 50\degres -- \textbf{VRAI} Pour déterminer une mesure de l'angle $\widehat{FEG}$, on va utiliser le produit scalaire des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{EG}$. $\vect{EF}$ a pour coordonnées $(-1\,;\, -2\,;\, 5)$ et $\vect{EG}$ a pour coordonnées $(-3\,;\, 2\,;\, 4)$; donc $\vect{EF}.\vect{EG} = -1\times (-3) + (-2)\times 2 + 5\times 4 = 19$ On sait aussi que $\vect{EF}.\vect{EG} = EF \times EG\times \cos \widehat{FEG}$. On calcule $EF^2 = 1+4+25=30$ donc $EF = \ds\sqrt{30}$ et $EG^2=9+4+16=29$ donc $EG=\ds\sqrt{29}$.\\[5pt] On a donc $\cos \widehat{FEG} = \dfrac{\vect{EF}.\vect{EG}}{EF\times EG} = \dfrac{19}{\ds\sqrt{30}\times \sqrt{29}\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\approx 0,644$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\widehat{FEG} \approx 49,9$\,° dont 50\,° est une valeur arrondie au degré près. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. Soit $(u_n)$ la suite définie par: $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} u_0 & a\\ u_{n+1} & \e^{2u_n} - \e^{u_n} \text{ pour tout } n \in \N \end{array} \right .$ \smallskip On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \e^{u_n}\left(\e^{u_n} - 1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $g(x) = \e^{2x} - \e^{x} - x$ \begin{enumerate} \item% Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)= 2\e^{2x} -\e^{x} -1$. Or $\left(\e^{x} - 1\right)\left(2\e^{x} + 1\right) = 2\e^{2x} -2\e^{x} +\e^{x} -1 = 2\e^{2x} -\e^{x}-1$ Donc $g'(x)= \left(\e^{x} - 1\right)\left(2\e^{x} + 1\right)$. \item %Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum. Les variations de la fonction $g$ dépendent du signe de $g'$ sur $\R$. Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $2\e^x+1>0$; donc $g'(x)$ est du signe de $\e^x-1$: $\e^x-1 >0 \iff \e^x >1 \iff x>0$ $g(0)=\e^0 - \e^0 -0=0$ La fonction $g$ est strictement décroissante sur $\cg -\infty\,;\,0\cg$, strictement croissante sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$ et admet un minimum égal à 0 pour $x=0$. \item %En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. $u_{n+1}-u_{n}= \e^{2u_n} - \e^{u_n}-u_n = g(u_n)$. Or la fonction $g$ a pour minimum 0 sur $\R$ donc $g(u_n)\pg 0$ pour tout $n$ et donc $u_{n+1}-u_{n} \pg 0$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est donc croissante. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$. \begin{enumerate} \item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$. Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n \pp 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \emph{Initialisation} : $u_0=a$ ; or $a\pp 0$ donc $u_0 \pp 0$. La propriété est vraie au rang 0. \item \emph{Hérédité} : on suppose la propriété vraie au rang $p \in \N$ quelconque (où $p \pg 0$), c'est-à-dire $u_p \pp 0$; c'est l'hypothèse de récurrence. On sait que $u_{p+1}=\e^{u_{p}}(\e^{u_p}-1)$ D'après l'hypothèse de récurrence, $u_p \pp 0$ donc $\e^{u_p}\pp 1$ donc $\e^{u_p}-1\pp 0$. Comme $\e^{u_p}>0$ on déduit que $u_{p+1}\pp 0$ et la propriété est vraie au rang $p+1$. \item La propriété $u_n\pp 0$ est vraie en $0$ ; elle est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n \in \N$. \end{list} \item% Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 0, donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item% Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$. La suite est croissante donc, pour tout $n$, $u_n\pg u_0$. Si $a = 0$, $u_0 = 0$; comme, pour tout $n$, $u_n \pg u_0$ donc $u_n\pg 0$. Or on a vu que, pour tout $n$, $u_n\pp 0$. Donc pour tout $n$, $u_n=0$. On peut déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est constante et égale à 0 donc sa limite est 0. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a > 0$. La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout $n$, $u_n \pg a$; comme $a>0$, on peut en déduire que, pour tout $n$, $u_n>0$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \pg g(a)$. On a vu que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n = g(u_n)$. Or $0 < a\pp u_n$ pour tout $n$; on sait que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\, +\infty\cd$ donc $g(0) < g(a)\pp g(u_n)$ et donc $g(u_n) \pg g(a)$ pour tout $n$. On a donc démontré que $u_{n+1}-u_{n}\pg g(a)$. \item Soit $\mathcal P_n$ la propriété : $u_n \geqslant a + n \times g(a)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $n=0$, $u_0=a$ et $a+n\times g(a)=a+0=a$ donc la propriété est vraie au rang 0. \item On suppose la propriété vraie au rang $p$ (où $p\pg 0$), c'est-à-dire $u_p \pg a+p\times g(a)$; c'est l'hypothèse de récurrence. On sait que $u_{p+1}-u_p \pg g(a)$; or $u_p \pg a+p\times g(a)$ (HR). Donc $u_{p+1} \pg a=p\times g(a) +g(a)$ ce qui équivaut à $u_{p+1} \pg a+(p+1)\times g(a)$. La propriété est donc vraie au rang $p+1$. \item La propriété $u_n \geqslant a + n \times g(a)$ est vraie en $0$; elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n$. \end{list} \item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $a>0$ donc $g(a)>0$ car 0 est le minimum de la fonction $g$, atteint en 0. Donc $\ds\lim_{n \to +\infty} (n\times g(a))=+\infty$ et donc $\ds\lim_{n \to +\infty} (a+ n\times g(a)) = +\infty$ Comme $u_n \pg a+ n\times g(a)$ et $\ds\lim_{n \to +\infty} (a+ n\times g(a)) = +\infty$, on peut déduire que $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $a = 0,02$. L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ désigne un réel positif. %Cet algorithme est incomplet. \begin{enumerate} \item% Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant. On complète l'algorithme: \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline \textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline &$u$ prend la valeur $0,02$\\ \textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\ &Saisir la valeur de $M$\\ \hline \textbf{Traitement}&Tant que {\red $u \pp M$}\\ & \hspace{1cm} {\red $u$ prend la valeur $\e^{2u}-\e^{u}$}\\ & \hspace{1cm} {\red $n$ prend la valeur $n+1$} \\ &Fin tant que\\ \hline \textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On suppose $M=60$. % À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$. On trouve à la calculatrice $u_{35}\approx 2,13$ et $u_{36}\approx 62,35$; donc la valeur affichée par l'algorithme pour $M=60$ est 36. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %\emph{Les parties A et B sont indépendantes} % %\medskip % %Le fabricant de cadenas de la marque \og K \fg désire imprimer un logo pour son entreprise. % %Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité %de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes: % %$\bullet~~$Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item une des lignes est le segment [AD] ; %\item une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC) ; %\item la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %$\bullet~~$Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans h %le carré doit être comprise entre $0,3$ et $0,4$, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées $r$, $s$, $t$ sur les figures ci-après. % %\medskip Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \psline(0,0)(0.6666,1)%AE \psline(1,0)(0.438,0.666)%BG \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](1,0){$B$} \uput[ur](1,1){$C$} \uput[ul](0,1){$D$} \uput[u](0.666,1){$E$} \uput[r](0.438,0.666){$G$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.444,0.6667)(0.444,0) \uput[d](0.444,0){\red $H$} \rput(0.3,0.8){$r$}\rput(0.5,0.36){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition A} \end{pspicture}\hfill \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](1,0){$B$} \uput[ur](1,1){$C$} \uput[ul](0,1){$D$} \uput[u](0.859,1){$E$} \uput[r](0.5,0.693){$G$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.859,1)(0.859,0) \uput[d](0.859,0){\red $K$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0}{0.859}{x 2 mul 1 add ln} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0.5}{1}{1 x sub x div 0.693 mul} \rput(0.25,0.7){$r$}\rput(0.3,0.25){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition B} \end{pspicture} \end{center} Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AB},~\vect{AD}\right)$. %\bigskip \subsubsection*{Partie A : étude de la proposition A} %\medskip Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : $r = s = t = \dfrac{1}{3}$. %Déterminer les coordonnées des points E et G. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le point $E$ est situé sur la droite $(CD)$ donc son ordonnée vaut 1. Le nombre $r$ est l'aire du triangle $ADE$ qui est égale à $\dfrac{AD\times DE}{2}$. De plus, cette aire doit valoir $\dfrac{1}{3}$ et on sait que $AD=1$. Donc $\dfrac{AD\times DE}{2} = \dfrac{1}{3}$ entraîne $DE=\dfrac{2}{3}$. Les coordonnées de $E$ sont donc $\left ( \dfrac{2}{3}\,;\, 1\right )$. \item Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $G$ dans le triangle $ABG$; donc $GH$ est l'ordonnée du point $G$. L'aire $s$ du triangle $ABG$ est: $\dfrac{AB \times GH}{2}$. Or $AB=1$ et $s=\dfrac{1}{3}$, donc: $\dfrac{1 \times GH}{2}= \dfrac{1}{3}$ donc $GH=\dfrac{2}{3}$. L'ordonnée $y_G$ de $G$ est $\dfrac{2}{3}$. \smallskip Le point $G$ est situé sur la droite $(AE)$. Les points $A$ et $E$ ont pour coordonnées respectives $(0\,;\,0)$ et $\left ( \dfrac{2}{3}\,;\, 1 \right )$. Donc la droite $(AE)$ a pour équation $y=\dfrac{3}{2}x$. $G\in (AE)$ d'équation $y=\dfrac{3}{2}x$ donc $y_G=\dfrac{3}{2}x_G$. Comme $y_G=\dfrac{2}{3}$, on déduit que $x_G=\dfrac{4}{9}$. Le point $G$ a pour coordonnées $\left ( \dfrac{4}{9} \,;\, \dfrac{2}{3}\right )$. \end{list} %\bigskip \subsubsection*{Partie B : étude de la proposition B} %\medskip % %Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes: % %$\bullet~~$la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : $f(x) = \ln (2x + 1)$ ; % %$\bullet~~$la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction $g$ définie pour tout réel $x > 0$ par : $g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)$, où $k$ est un réel positif qui sera déterminé. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Déterminer l'abscisse du point E. D'après le texte, l'ordonnée $y_E$ du point $E$ est égale à 1 et ce point appartient à $\mathcal C_f$ donc $f(x_E)=y_E \iff \ln (2x_E+1) = 1 \iff 2x_E+1 = \e \iff x_E=\dfrac{\e-1}{2}$ \item% Déterminer la valeur du réel $k$, sachant que l'abscisse du point G est égale à $0,5$. L'abscisse du point $G$ vaut 0,5 et le point $G$ appartient à $\mathcal C_f$; donc: $f(x_G)=y_G \iff f(0,5) = y_G \iff \ln 2 = y_G$ Le point $G$ appartient aussi à $\mathcal C_g$ donc: $g(x_G)=y_G \iff k\left ( \dfrac{1 - x_G}{x_G}\right) = y_G \iff k\left ( \dfrac{1 - 0,5}{0,5} \right ) = \ln 2 \iff k=\ln 2$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que la fonction $f$ admet pour primitive la fonction $F$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : Soit $F$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par $F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x$. $F$ est dérivable sur $\R_+^*$ et: $F'(x)=1\times \ln(2x+1) +(x+0,5)\times \dfrac{2}{2x+1}-1 = \ln(2x+1) +1-1=\ln(2x+1)=f(x)$ Donc $f$ a pour primitive $F$ sur $\R_+^*$. \item% Démontrer que $r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $E$ sur $(AB)$. Comme le point $E$ a pour abscisse $\dfrac{\e-1}{2}$, et que la fonction $f$ est positive, l'aire sous la courbe entre 0 et $\dfrac{\e -1}{2}$ est donnée par: $\ds\int_0^{\frac{\e - 1}{2}} f(x)= \d x = \left [ F(x)\right ]_0^{\frac{\e - 1}{2}} = F\left (\frac{\e - 1}{2} \right ) - F(0) = \dfrac{\e}{2}\ln \e -\dfrac{\e -1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}$ L'aire du rectangle $ADEK$ est $AD\times DE = 1 \times \dfrac{\e - 1}{2} = \dfrac{\e - 1}{2}$. Donc $r= \dfrac{\e - 1}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\e}{2} - 1$ \end{enumerate} \item% Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$. $g(x)=\ln 2 \times \dfrac{1-x}{x} = \ln 2 \times \left ( \dfrac{1}{x} - 1\right )$ Donc une primitive de $g$ sur $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ est donnée par: $G(x)=\ln 2 \times (\ln x - x)$. \item On admet que les résultats précédents permettent d'établir que $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}$. %La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant? $r = \dfrac{\e}{2}-1 \approx 0,36 \in \cg 0,3\,;\, 0,4 \cd$. $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2} \approx 0,33 \in \cg 0,3\,;\, 0,4 \cd$ $t=1-r-s \approx 0,31 \in \cg 0,3\,;\, 0,4 \cd$ Donc la proposition B vérifie les conditions imposées par le fabriquant. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x,~y,~z)$ tels que$x ^2 + y^2 = z^2$. Ces triplets seront nommés \og triplets pythagoriciens \fg{} et notés en abrégé \og TP \fg. % Ainsi (3,~4,~5) est un TP car $3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. % %\bigskip \subsubsection*{Partie A : généralités} %\medskip \begin{enumerate} \item Soit $(x,~y,~z)$ un TP; alors $x^2+y^2=z^2$. Soit $p$ un entier naturel non nul. Alors $p^2 \times x^2+ p^2 \times y^2= p^2 \times z^2$ ce qui équivaut à $(px)^2+(py)^2=(pz)^2$. Donc $(px,~py,~pz)$ est aussi un TP. \item % Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs. Soit $(x,~y,~z)$ un TP. On va utiliser deux résultats connus du cours: un nombre et son carré ont la même parité, et la somme de deux nombres impairs est un nombre pair. $\left. \begin{array}{l} x \text{ impair} \ssi x^2 \text{ impair}\\ y \text{ impair} \ssi y^2 \text{ impair} \end{array} \right\rbrace \dc x^2+y^2 \text{ pair} \iff z^2 \text{ pair} \iff z \text{ pair}$ Donc $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs. \item Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance $\alpha$ de 2 par un entier impair $k$: $n = 2^{\alpha} \times k$ %$n = 2^{\alpha} \times k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. %L'écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ est nommée \emph{décomposition} de $n$. % %Voici par exemple les \emph{décompositions} des entiers 9 et 120 : $9 = 2^{0} \times 9,$ %$ 120 = 2^3 \times 15$. \begin{enumerate} \item% Donner la décomposition de l'entier $192$. La décomposition en facteurs premiers de 192 est $2^6 \times 3$; c'est aussi la \emph{décomposition} de 192 au sens donné dans cet exercice. \item Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les \emph{décompositions} sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z=2^{\beta} \times m$. %Écrire la \emph{décomposition} des entiers naturels $2 x^2$ et $z^2$. $x = 2^{\alpha} \times k \dc x^2 = 2^{2\alpha} \times k^2 \dc 2x^2 = 2^{2\alpha+1} \times k^2$ $z=2^{\beta} \times m \dc z^2 = 2^{2\beta} \times m^2$ \item% En examinant l'exposant de 2 dans la \emph{décomposition} de $2x^2$ et dans celle de $z^2$ , montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$. Pour que les deux nombres $2x^2$ et $z^2$ soient égaux, il faut et il suffit que leurs \emph{décompositions} soient les mêmes (puisque cette \emph{décomposition} est unique); l'un a pour \emph{décomposition} $2^{\alpha+1}\times k^2$ et l'autre $2^{\beta}\times m^2$. Ces deux décompositions ne peuvent être les mêmes car $2\alpha+1$ est impair et $2\beta$ est pair. Donc il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} On admet que la question \textbf{A - 3.} permet d'établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels $x,~y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x,~y,~z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l'ordre suivant: $x < y < z$. %\bigskip \subsubsection*{Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015} %\medskip \begin{enumerate} \item% Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier \np{2015} puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x,~y,~\np{2015})$. $\np{2015} = 5 \times 13 \times 31$; on en déduit que $\np{2015} = 5 \times 403$. On sait que $(3,~4,~5)$ est un TP donc, d'après la question \textbf{1.} $(3\times 403,~4\times 403,~5\times 403)$ est aussi un TP. Donc $(\np{1209},~\np{1612},~\np{2015})$ est un TP. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$ ,\: $(2n + 1)^2 + \left(2n^2 + 2n\right)^2 = \left(2n^2 + 2n + 1\right)^2$. Si $2n+1=\np{2015}$, alors $n=\np{1007}$. Pour $n=\np{1007}$, on a: $(2n^2 + 2n)^2 = \np{2030112}$ et $(2n^2 + 2n + 1)^2+1= \np{2030113}$. Donc $(\np{2015},~\np{2030112},~\np{2030113})$ est un TP. %Déterminer un TP de la forme $(\np{2015},~y,~z)$. \item \begin{enumerate} \item% En remarquant que $403^2 =169 \times 961$, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que : $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x < 403$. On cherche deux entiers $x$ et $z$ tels que: $z^2-x^2=403^2 \iff (z-x)(z+x)=403^2$; or $403^2= 169\times 961$. Donc $z^2-x^2=403^2 \iff (z-x)(z+x) = 169 \times 961$. Les nombres $x$ et $z$ tels que $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} z-x & 169\\ z+x & 961 \end{array} \right.$ répondent à la question. $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} z-x & 169\\ z+x & 961 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} 2x & 961-169\\ 2z & 169+961 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} 2x & 792\\ 2z & \np{1130} \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} x & 396\\ z & 565 \end{array} \right.$ Donc $565^2 - 396^2 = 403^2$. \item% En déduire un TP de la forme $(x,~ \np{2015},~z)$. D'après la question \textbf{B 3.a)}: $396^2 + 403^2 = 565^2$; on en déduit que $(396,~403,~565)$ est un TP. En multipliant par 5 on obtient le TP cherché: $(5\times 396,~5\times 403,~5\times 565) = (\np{1980},~\np{2015},~2825)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}