%\tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD} \documentclass[12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{variations} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pstricks-add} \usepackage{pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers 10 juin 2015}, allbordercolors = white} \everymath{\displaystyle} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small 10 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers ~\decofourright\\[4pt]10 juin 2015}}} \end{center} %\vspace{0,25cm} % %\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements %entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.\\ Les parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip %Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce %stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type. % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas haut de gamme, il n'y a pas plus de 3\,\% de %cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier %la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas haut de gamme, et en trouve 19 qui sont défectueux. %\medskip % %Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\,\% de cadenas %défectueux ? % %On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%. La probabilité qu'un cadenas soit défectueux est $p=0,03$. La taille de l'échantillon est $n = 500$. On a $n = 500\geqslant 30$, $np = 15\geqslant 5$ et $n(1 - p) = 485\geqslant 5$. Les conditions sont alors vérifiées pour appliquer la formule donnant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% : $I_{500} = \left[p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ $=\left[0,03-1,96\dfrac{\sqrt{0,03\times 0,97}}{\sqrt{500}}~;~0,03-1,96\dfrac{\sqrt{0,03\times 0,97}}{\sqrt{500}}\right]$, soit environ $\boxed{\textcolor{red}{[0,015~;~0,045]}}$. La fréquence observée de cadenas défectueux est $f=\dfrac{19}{500}=\dfrac{38}{\np{1000}}=\boxed{\textcolor{red}{0,038\in I_{500}}}$. Ce contrôle ne remet donc pas en cause, au risque de 95\:\%, l'affirmation du fournisseur. \item %Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas \emph{premier prix}. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas \emph{premier prix}, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux. %\medskip % %Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95\,\%. La fréquence de cadenas défectueux est $f=\dfrac{39}{500}=\dfrac{78}{\np{1000}}=\boxed{\textcolor{red}{0,078}}$. La taille de l'échantillon est $n = 500$. On a $n=500\geqslant 30$, $nf = 39$ et $n(1 - f) = 461 \geqslant 5$. Les conditions sont réunies pour appliquer la formule donnant l'intervalle de confiance au seuil de 95\:\%. $I_{500}'=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0,078-\dfrac{1}{\sqrt{500}}~;~0,078+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,033~;~0,123]}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre $X$ de cadenas \emph{premier prix} vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 750$ et d'écart-type $\sigma = 25$. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$. $P(725 \leqslant X \leqslant 775)=P(\mu-\sigma\leqslant X \leqslant \mu + \sigma)\approx \boxed{\textcolor{red}{68,3\:\%}}$, soit 0,683 (d'après le cours). On peut aussi effectuer le calcul à la calculatrice. \item% Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas premier prix qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. \emph{On ne réalimente pas le stock en cours de mois}. %\medskip % %Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ remplissant cette condition. On cherche donc le plus petit entier $n$tel que $P(X\geqslant n) < 0,05$. Cela équivaut à $1-P(X0,95$. À la calculatrice, on cherche le nombre réel $\alpha$ vérifiant $P(X\leqslant \alpha)=0,05$ : $n$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\alpha$ ; on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{n = 792}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip %On admet maintenant que, dans le magasin : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] 80\,\% des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de gamme ; %\item[$\bullet~~$] 3\,\% des cadenas haut de gamme sont défectueux ; %\item[$\bullet~~$] 7\,\% des cadenas sont défectueux. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note : % %\setlength\parindent{1cm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$]$p$ la probabilité qu'un cadenas premier prix soit défectueux ; %\item[$\bullet~~$]$H$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est haut de gamme \fg{} ; %\item[$\bullet~~$]$D$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est défectueux \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0cm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=7mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$H$}\taput{ $0,2$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $0,03$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $0,97$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{H}$}\tbput{ $0,8$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $p$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $1-p$} } } \end{center} \item %Exprimer en fonction de $p$ la probabilité $P(D)$. En déduire la valeur du réel $p$. D'après la formule des probabilités totales, on a : $P(D)=P_H(D)\times P(H)+P_{\overline{H}}(D)\times P\left(\overline{H}\right) = 0,2\times 0,03+0,8p=\boxed{\textcolor{red}{0,006 + 0,8p}}$. Or, $P(D) = 0,07$. On en déduit que $0,006+0,8p = 0,07$ donc $p=\dfrac{0,07 - 0,006}{0,8}$ $=\dfrac{0,064}{0,8} = \dfrac{64}{800} = \dfrac{8}{100} = \boxed{\textcolor{red}{0,08}}$. %Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A - 2. ? $0,08\in[0,033~;~0,123]$, donc ce résultat est cohérent avec le résultat de la question A-2. \item %Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas \emph{haut de gamme}. $P_{\overline{D}}(H)=\dfrac{P\left(H\cap \overline{D}\right)}{P\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{0,2\times 0,97}{1-0,07} = \dfrac{0,194}{0,93}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,209}}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ %Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\ %Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} % %\medskip \bigskip \parbox{8cm}{\textbf{1.} \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 1 :}} %Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ %l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions : %Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.} Notons C et D les points d'affixes respectives 1 et $\mathrm{i}$. Alors :%\[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad \text{et} \quad |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\] $|z - 1| = |z - \text{i}|\iff \left|z_M-z_C\right|=\left|z_M-z_D\right|\\ \iff MC=MD$. L'ensemble des points M d'affixe z vérifiant $|z - 1| = |z - \text{i}|$ est donc la médiatrice de [CD], c'est-à-dire la droite d'équation $y=x$. Notons $\Omega$ le point de coordonnées $(3~;~2)$ qui a donc pour fixe $3+2\mathrm{i}$. $|z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\iff \left|z_M-z_{\Omega}\right|\leqslant 2\iff M\Omega\leqslant 2$. %Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le %point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$. S est donc bien le segment [AB]}\hfill \parbox{8cm}{ \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-1)(6,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5) \psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5) \pscircle(3,2){2} \uput[ul](0,0){O} \uput[r](1.177,1.177){\scriptsize A}\uput[d](3.823,3.823){\scriptsize B} \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823)(1,0)(0,1) \uput[ul](0,1){\scriptsize D} \uput[dr](1,0){\scriptsize C} \uput[ur](3,2){\scriptsize $\Omega$} \end{pspicture*}} \medskip L'ensemble $S$ est le segment [AB]. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} \newpage \textbf{2.} \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 2 :}}% le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\np{1515}}$ est un réel. Soit $a=\sqrt{3}+\mathrm{i}$. $\vert a\vert=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$. Alors $a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{6}}$. On en déduit que $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\np{1515}}=\left(2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{6}}\right)^{\np{1515}}=2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\np{1515}\pi}{6}}=2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\np{505}\pi}{2}}$. Or $\dfrac{505\pi}{2}=\dfrac{4\times 126+1}{2}\pi = 126\times 2\pi+\dfrac{\pi}{2}$. On en déduit que $a^{\np{1515}} = 2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(126\times 2\pi+\frac{\pi}2\right)} = 2^{\np{1515}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}2} = 2^{\np{1515}}\text{i} \notin\mathbb{R}$. \textbf{\textcolor{red}{FAUX}} \medskip %\emph{Pour les questions 3 et 4, on considère les points} E (2 ; 1 ; - 3), F (1 ; -1 ; 2) \emph{et} G (-1 ; 3 ; 1) \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.} % \bigskip \textbf{3.} \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 3 :}} %une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par: %\[\left\{\begin{array}{l c r} %x&=&2t\\ %y&=&-3 + 4t\\ %z&=&7-10t %\end{array}\right., t\: \in \R.\] $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2t\\ y&=&-3 + 4t\\ z&=&7-10t \end{array}\right., t\: \in \R.$ est la représentation paramétrique d'une droite. Pour $t=1$, on obtient les coordonnées de E et pour $t=\dfrac{1}{2}$, on obtient les coordonnées de F. E et F appartiennent à cette droite, donc cette droite est bien la droite (EF). \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} \bigskip \textbf{4.} \textbf{\textcolor{red}{Affirmation 4 :}} %une mesure en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{FEG}}$, arrondie au degré, est 50\degres. On a E$(2~;~1~;~- 3)$, F$(1~;~-1~;~2)$ et G$(-1~;~3~;~1)$. Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{EF}}$ et $\overrightarrow{\text{EG}}$ ont pour coordonnées : $\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{EG}}\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}$. Alors : $\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{\text{EG}}=-1\times (-3)+(-2)\times 2+5\times 2=3-4+20=19$. $\text{EF}=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{30}$ ; $\text{EG}=\sqrt{(-3)^2+2^2+4^2}=\sqrt{29}$. On a alors : $\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{\text{EG}}=\text{EF}\times \text{EG}\times \cos\left(\widehat{\text{FEG}}\right)$ donc $\cos\left(\widehat{\text{FEG}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{\text{EF}}.\overrightarrow{\text{EG}}}{\text{EF}\times \text{EG}}=\dfrac{19}{\sqrt{30}\times \sqrt{29}}=\dfrac{19}{\sqrt{870}}$. À la calculatrice, on trouve $\widehat{\text{FEG}}\approx 49,89$ \degre$\approx 50$ \degre. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 7 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. % %Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par: On considère a suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \N,\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\] %On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)$. % %\medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : \[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$. $g$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $g'(x)=2\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}-1=\left(2\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2-\mathrm{e}^{x}-1\right)=2X^2-X-1$ en posant $X=\mathrm{e}^{x}$. $2X^2-X-1$ a pour racines 1 et $-\dfrac{1}{2}$ donc $2X^2-X-1=2\left(X-1\right)\left(X+\dfrac{1}{2}\right)=(X-1)\left(2X+1\right)$. On en déduit : $g'(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(2\mathrm{e}^{x}+1\right)$ \item %Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum. Pour tout $x$ réel, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $2\mathrm{e}^{x}+1>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)$. $\mathrm{e}^{x-1}=0$ pour $x=0$ et $\mathrm{e}^{x}-1>0\iff \mathrm{e}^{x}>1\iff x>0$. On en déduit le tableau de variation de $g$ : \begin{center} \begin{variations} x&\mI&&0&&\pI\\ \filet g'(x)&&-&\z&+&\\ \filet \m{g(x)}&&\d&0&\c&\\ \filet \end{variations} \end{center} $g$ a donc pour minimum 0, atteint pour $x=0$. \item %En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=\left(\mathrm{e}^{2u_n}-\mathrm{e}^{u_n}\right)-u_n=g\left(u_n\right)\geqslant 0$ puisque le minimum de $g$ est 0. On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$. \begin{enumerate} \item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$. \begin{itemize} \item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation :}} $u_0=a\leqslant 0$ donc la propriété est vraie au rang 0. \bigskip \item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}}: on suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n\leqslant 0$. On a : $u_{n+1}=\mathrm{e}^{2u_n}-\mathrm{e}^{u_n}=\mathrm{e}^{u_n}\left(\mathrm{e}^{u_n}-1\right)$. D'après l'hypothèse de récurrence, $u_n\leqslant 0$ donc $\mathrm{e}^{u_n}\leqslant 1$ d'où \\ $\mathrm{e}^{u_n}-1\leqslant 0$. Comme $\mathrm{e}^{u_n}>0$, on en déduit que $u_{n+1}\leqslant 0$. La propriété est donc \textbf{héréditaire}. \end{itemize} D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. \item %Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. La suite $\left(u_n\right)$ est alors croissante et majorée par 0, donc convergente vers un réel $\ell\leqslant 0$. \item %Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On suppose que $a = 0$. Le premier terme de la suite vaut 0. La suite est croissante et majorée par 0, donc tous les termes de la suite valent 0 et la suite \textbf{\textcolor{red}{converge vers 0}}. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a > 0$. La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$,\:$u_n\geqslant a$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=g\left(u_n\right)$. Comme $u_n\geqslant a>0$, tous les termes de la suite sont positifs. D'après les variations de $g$ sur $[0~;~=\infty[$, on a $g\left(u_n\right)\geqslant g(a)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}—u_n\geqslant g(a)}}$. \item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant a + n \times g(a)$. \begin{itemize} \item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation }}: Pour $n=0$, $a + n \times g(a)=a+0\times g(a)=a$ ; or $u_n\geqslant a$, donc la propriété est vraie au rang $n=0$. La propriété est initialisée. \item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que, pour un entier $n$ quelconque, $u_n \geqslant a + n \times g(a)$. Alors : $u_{n+1}-u_n=g\left(u_n\right)\iff u_{n+1}=u_n+g\left(u_n\right)$ $\geqslant \left(a+n\times g(a))\right)+g\left(u_n\right)$ (d'après l'hypothèse de récurrence). Or $u_n\geqslant a>0$ donc $g\left(u_n\right)\geqslant g(a)$ puisque la fonction $g$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. Par conséquent $\geqslant \left(a+n\times g(a))\right)+g\left(u_n\right)\geqslant a+n\times g(a)+g(a)$ $=a+(n+1)g(a)$. La propriété est donc \textbf{héréditaire}. \end{itemize} D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$, donc, pour tout $n \in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}\geqslant a+n\times g(a)}}$. \item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $a>0$ donc $g(a)> g(0)=0$. On en déduit que $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(a+n\times g(a)\right)=+\infty$, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$ d'après le théorème des gendarmes. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $a = 0,02$. D'après la question précédente, la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$. %L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ %désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet. %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline %\textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline %&$u$ prend la valeur $0,02$\\ %\textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\ %&Saisir la valeur de $M$\\ \hline %\textbf{Traitement}&Tant que \ldots\\ %&\ldots\\ %&\ldots\\ %&Fin tant que\\ \hline %\textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant. La partie à compléter de l'algorithme est : Tant que $u\leqslant M$\\ $u$ prend la valeur $\mathrm{e}^{u}\left(\mathrm{e}^{u}-1\right)$\\ $n$ prend la valeur $n+1$\\ Fin Tant que \item %À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$. Pour $M = 60$, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=36}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %\emph{Les parties A et B sont indépendantes} % %\medskip % %Le fabricant de cadenas de la marque \og K \fg désire imprimer un logo pour son entreprise. % %Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité %de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes: % %$\bullet~~$Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item une des lignes est le segment [AD] ; %\item une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC) ; %\item la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %$\bullet~~$Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans h %le carré doit être comprise entre $0,3$ et $0,4$, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées $r$, $s$, $t$ sur les figures ci-après. % %\medskip % Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \psline(0,0)(0.6666,1)%AE \psline(1,0)(0.438,0.666)%BG \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](1,0){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[ul](0,1){D} \uput[u](0.666,1){E} \uput[r](0.438,0.666){G} \rput(0.3,0.8){$r$}\rput(0.5,0.36){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition A} \end{pspicture}\hfill \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](1,0){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[ul](0,1){D} \uput[u](0.859,1){E} \uput[r](0.5,0.693){G} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0}{0.859}{x 2 mul 1 add ln} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0.5}{1}{1 x sub x div 0.693 mul} \rput(0.25,0.7){$r$}\rput(0.5,0.25){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition B} \end{pspicture} \end{center} Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right)$. \bigskip \textcolor{red}{\textbf{Partie A : étude de la proposition A}} \medskip Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : $r = s = t = \dfrac{1}{3}$. %Déterminer les coordonnées des points E et G. L'aire du triangle ADE est $\mathscr{A}(ADE)=\dfrac{\text{AD}\times \text{DE}}{2}=\dfrac{1\times \text{DE}}{2}$. Comme cette aire vaut $\dfrac{1}{3}$, on obtient $\text{DE}+\dfrac{2}{3}$. Le point E a pour coordonnées : $\boxed{\textcolor{red}{\text{E}\left(\dfrac{2}{3}~;~1\right)}}$. \bigskip Appelons H le pied de la hauteur issue de G dans le triangle AGB. L'aire du triangle AGB vaut : $\mathscr{A}(AGB)=\dfrac{AB\times GH}{2}=\dfrac{GH}{2}$. Comme cette aire vaut $\dfrac{1}{3}$, on obtient $GH=\dfrac{2}{3}$. >l'ordonne de G vaut $y_G=\dfrac{2}{3}$. L'équation de la droite (AE) est $y=\dfrac{3}{2}x$ puisque la droite passe par l'origine et que, pour $x=x_{E}=\dfrac{2}{3}$, on trouve $y=y_{\text{E}}=1$. L'abscisse de G $x_{\text{G}}$ vérifie donc $\dfrac{3}{2}x_{\text{G}}=\dfrac{2}{3}$ donc $x_{\text{G}}=\dfrac{4}{9}$ Le point G a donc pour coordonnées : $\boxed{\textcolor{red}{\text{G}\left(\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{2}{3}\right)}}$ \newpage \textcolor{red}{\textbf{Partie B : étude de la proposition B}} \medskip %Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes: % %$\bullet~~$la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : $f(x) = \ln (2x + 1)$ ; % %$\bullet~~$la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction $g$ définie pour tout réel $x > 0$ par : $g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)$, où $k$ est un réel positif qui sera déterminé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer l'abscisse du point E. $f\left(x_{\text{E}}\right)=1\iff \ln\left(2x_{\text{E}}+1\right)=1\iff 2x_{\text{E}}+1=\mathrm{e}\iff x_{\text{E}}=\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}$. \item %Déterminer la valeur du réel $k$, sachant que l'abscisse du point G est égale à $0,5$. G appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$ donc $y_{\text{G}}=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(2\times \dfrac{1}{2}+1\right)=\ln 2$. On doit alors avoir $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln 2$, c'est-à-dire $k\times \dfrac{1-\frac12}{\frac12}=\ln 2\iff$ $k = \ln 2$ donc $f(x)=\ln 2\left(\dfrac{1-x}{x}\right)$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ admet pour primitive la fonction $F$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : % \[F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x.\] Soit $F:x\mapsto F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x$ pour $x\geqslant 0$. $F'(x)=1\times \ln(2x+1)+(x+0,5)\times \dfrac{2}{2x+1}-1=\ln(2x+1)+\dfrac{2x+1}{2x+1}-1$ $=\ln(2x +1 ) + 1 - 1 = \boxed{\textcolor{red}{\ln(2x+1)=f(x)}}$. $F$ est bien une primitive de $f$. \item %Démontrer que $r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$. $r$ est l'aire du domaine compris entre les courbes représentatives de la fonction $x\mapsto 1$, de $f$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}$. Ainsi : $r=\int_0^{\frac{\mathrm{e}-1}2}(1-f(x))\text{ d}x=\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}-\int_0^{\frac{\mathrm{e}-1}2}f(x)\text{ d}x=\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}-\left[F\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}\right)-F(0)\right]$. $F\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}\right)=\dfrac{\mathrm{e}}{2}\times \ln \mathrm{e}-\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}=\dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}}{2}-1}}$ $F(0)=0$ On en déduit : $r=\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}-\dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}}{2}-1}}$ \end{enumerate} \item %Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$. $g(x)=\ln 2\left(\dfrac{1-x}{x}\right)=\ln 2\left(\dfrac{1}{x}-1\right)$ donc une primitive $G$ de $g$ est définie par $\boxed{\textcolor{red}{G(x)=\ln 2(\ln x-x)}}$. \item On admet que les résultats précédents permettent d'établir que $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}$. %La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant? $\boxed{\textcolor{red}{r\approx 0,359}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{s\approx 0,327}}$. On en déduit $t=1-(r+s)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,314}}$. La proposition B vérifie donc les conditions impoées par le fabriquant. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} %\medskip %Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x,~y,~z)$ tels que %\[x ^2 + y^2 = z^2.\] % % Ces triplets seront nommés \og triplets pythagoriciens \fg{} en référence aux triangles %rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé \og TP \fg. % % Ainsi (3,~4,~5) est un TP car $3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. % %\bigskip \bigskip \textcolor{red}{\textbf{Partie A : généralités}} \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, et $p$ un entier naturel non nul, alors le triplet $(px,~py,~pz)$ est lui aussi un TP. Soit $(x~;~y~;~z)$ un TP et soit $p$ un entier naturel non nul. On a donc $x^2+y¨2=z^2$. Alors $(px)^2+(py)^2=p^2x^2+p^2y^2=p^2\left(x^2+y^2\right)\\ =p^2z^2=(pz)^2$ donc $(px~;~py~;~pz)$ est aussi un TP. \item % Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs. On suppose que $(x~;~y~;~z)$ est un TP donc $x^2+y^2 = z^2$. Supposons les trois entiers impairs. Alors $x\equiv 1~[2]$, $y\equiv 1~[2]$ et $z\equiv 1~[2]$. On a $x^2\equiv 1~[2]$, $y^2\equiv 1~[2]$\: et $z^2\equiv 1~[2]$, d'où $x^2+y^2\equiv 0~[2]$ donc on n'aurait pas $x^2+y^2 = z^2$. Les trois entiers ne peuvent pas être tous impairs. \item Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair : $n = 2^{\alpha} \times k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. %L'écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ est nommée \emph{décomposition} de $n$. % %Voici par exemple les \emph{décompositions} des entiers 9 et 120 : $9 = 2^{0} \times 9,\quad 120 = 2^3 \times 15$. \begin{enumerate} \item %Donner la décomposition de l'entier $192$. $\boxed{\textcolor{red}{192=2^6\times 3}}$. \item Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z=2^{\beta} \times m$. %Écrire la \emph{décomposition} des entiers naturels $2 x^2$ et $z ^2$. $2x^2=2\times \left(2^{\alpha} \times k\right)^2=2\times 2^{2\alpha}\times k^2=\boxed{\textcolor{red}{2^{2\alpha+1}\times k^2}}$ \bigskip $z^2=\left(2^{\beta} \times m\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{2^{2\beta}\times m^2}}$ \item %En examinant l'exposant de 2 dans la \emph{décomposition} de $2x^2$ et dans celle de $z^2$ , montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$. Si $2x^2=z^2$, alors $2^{2\alpha+1}\times k^2=2^{2\beta}\times m^2$ donc $2\alpha+1=2\beta$ (unicité de la décomposition). C'est impossible puisque $2\alpha+1$ est impair et $2\beta$ est pair. \end{enumerate} %On admet que la question \textbf{A - 3.} permet d'établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels $x,~y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x,~y,~z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l'ordre suivant: % %\[x < y < z.\] \end{enumerate} \bigskip \textcolor{red}{\textbf{Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015}} \medskip \begin{enumerate} \item %Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier \np{2015} puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x,~y,~\np{2015})$. $2015=\boxed{\textcolor{red}{5\times 13\times 31}}$; On connaît le TP (3~;~4~;~5) donc $(13\times 31\times 3~;~13\times 31\times 4~;~13\times 31\times 5)$ est aussi un TP, donc $(\np{1209}~;~\np{1612}~;~\np{2015})$ est aussi un TP. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $(2n + 1)^2 + \left(2n^2 + 2n\right) ^2 = \left(2n^2 + 2n + 1\right)^2$. %Déterminer un TP de la forme $(\np{2015},~ y,~ z )$. $\np{2015}=\boxed{\textcolor{red}{2\times \np{1007}+1}}$. Ainsi, d'après la remarque faite ci-dessus, le triplet $\left(\np{2015}~;~2\times \np{1007}^2+2\times \np{1007}~;~2\times 107^2+2\times 107+1\right)=$ $(\np{2015}~;~\np{2030112}~;~\np{2030113})$ est un TP. \item \begin{enumerate} \item %En remarquant que $403^2 =169 \times 961$, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que : $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x < 403$. On cherche $x$ et $z$ entiers tels que $z^2-x^2=403^2$, c'est-à-dire $(z - x)(z + x) = 169 \times 961$. Résolvons le système $\left\{\begin{array}{l}z- x = 169\\z+x = 961\end{array}\right.$ En additionnant et en soustrayant, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{z = 565}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x = 396}}$. \item %En déduire un TP de la forme $(x,~ \np{2015},~z)$. Le triplet (396~;~403~;~565) est un TP donc $(5\times 396~;~5\times 403~;~5\times 565)$ est également un TP. Par conséquent $\textcolor{red}{(\np{1980}~;~\np{2015}~;~\np{2825})}$ est un TP. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}