%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-eucl}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1.5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Centres étrangers juin 2006},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{DurŽée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large\textbf{Baccalauréat S Centres Žétrangers juin 2006}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun àˆ tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie : A} Restitution organisée de connaissances\\
En fait la démonstration n'en n'est pas une puisque tous les éléments de la démonstration sont donnés dans les prérequis.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item VRAI : $z^2 = - \dfrac{1}{2}\text{i},$ et $z^4 = \left(z^2\right)^2 = - \dfrac{1}{4} \in \R$.
\item FAUX : si $z = a + \text{i}b,~\overline{z} = a - \text{i}b$ et $\left|z + \overline{z}\right| = 0 \iff 2a = 0 \iff a = 0$. Donc tous les imaginaires  de la forme $b\text{i}$ avec $b \neq 0$ vérifient la relation sans être nuls.
\item VRAI : $z + \dfrac{1}{z} = 0 \iff \dfrac{z^2 + 1}{z} = 0 \iff z^2 + 1 = 0~(z \neq 0) \iff (z + \text{i})(z - \text{i}) = 0 \iff\\ z  = - \text{i}~\text{ou}~z = \text{i}$.
\item FAUX : Si $z = 1$ et $z' = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, alors $z + z' = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,~ $|z| = 1$ et $|z + z'| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$ et $z' \neq 0$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $p_{1},~p_{2},~p_{3}$ et $p_{4}$ dans cet ordre, forment une progression arithmétique de raison $r$, alors $p_{2} = p_{1} + r,~p_{3} = p_{1} + 2r$ et $p_{4} = p_{1} + 3r$. On a donc : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
p_{4} 	&=& p_{1} + 3r = 0,4\\
p_{1} + p_{1}+r + p_{1} + 2r + p_{1} + 3r&=&1~\text{(loi des probabilités totales)}\\
\end{array}\right.
\iff \] \\
\[ \left\{\begin{array}{l c l}
p_{1} + 3r	&=	&0,4\\
4p_{1}+ 6r	&=	&1\\
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
2p_{1} + 6r&=	&0,8\\
4p_{1}+ 6r	&=	&1\\
\end{array}\right. \Longrightarrow 2p_{1} = 0,2 \iff p_{1} = 0,1.\]
 On en déduit aussitôt que $r = 0,1$ et finalement :
\[p_{1} = 0,1,~p_{2} = 0,2
,~p_{3} = 0,3,~p_{4}= 0,4.\] 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité d'obtenir dans l'ordre 1, 2, 4 est $p_{124} = 0,1 \times 0,2 \times 0,4 = 0,008$.
		\item Les tirages donnant trois nombres distincts croissants sont : (1, 2, 3),~(1,~2,~4), (1,~3,~4) et (2, 3, 4). La probabilité d'avoir l'un de ces tirages est donc :
\[\begin{array}{l}p_{1} \times p_{2} \times p_{3} + p_{1} \times p_{2} \times p_{4} + p_{2} \times p_{3} \times p_{4} + p_{2} \times p_{3} \times p_{4} =\\ 0,006+ 0,008 +  0,012 + 0,024 = 0,05.\\ \end{array}\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a un schéma de Bernouilli avec $n = 10$ et $p_{4} = 0,4$. On sait que la probabilité  d'obtenir $i$ fois le chiffre 4 est (pour $0\leqslant i \leqslant10$) :

\[p(X = i) = \binom{10}{i}0,4^i (1 - 0,4)^{10 - i} =  \binom{10}{i}0,4^i 0,6^{10 - i}.\]

		\item On a E$(X) = \displaystyle\sum_{i=0}^{10} i \times p(X = i) = \displaystyle\sum_{i=0}^{10} i \times \binom{10}{i}0,4^i 0,6^{10 - i} = 4$.

Cela signifie que sur un grand nombre de tirages  le $4$ sortira en moyenne $4$ fois sur $10$.
		\item On a $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0)$. Or  $p(X = 0) =  0,6^{10}$.

Donc $p(X \geqslant 1) = 1 - 0,6^{10} \approx \nombre{0,9939} \approx 0,994,$ soit à peu près 994 chances sur \nombre{1000} d'obtenir au moins une fois le 4 en 10 tirages.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité d'obtenir $n - 1$ fois un autre chiffre que le $4$ et ensuite  le $4$ au $n$\up{e}  tirage est :
		
\[U_{n} = 0,6^{n-1}\times 0,4.\]

Cette suite est une suite géométrique de premier terme $U_{1} = 0,4$ et de raison $0,6$. Comme $-1 < 0,6 < 1$, cette suite converge vers $0$.
		\item $S_{n} = 0,4 \times 0,6^0 + 0,4 \times0,6^1 + \cdots + 0,4 \times0,6^{n-1} = 0,4 \times\dfrac{1 - 0,6^n}{1 - 0,6} = 1 - 0,6^n.$
 
On a de même $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,6^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_{n} = 1$.
		\item On a $S_{n} > 0,999 \iff 1 - 0,6^n > 0,999 \iff 0,6^n < 0,001 \iff$
  
$n\ln 0,6 < \ln 0,001\quad  \text{(par croissance de la fonction ln)}\quad \iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,6}$ car

$\ln 0,6 < 0$. Comme $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,6} \approx 13,5$, il faut donc faire 14 tirages.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A.} Quelques exemples

\medskip

\begin{enumerate}
\item $ 4 \equiv 1 \mod 3$, donc $4^n \equiv 1^n \mod 3$ et finalement  $4^n \equiv1 \mod 3$.
\item $4$ est premier avec $29$ ($29$ est premier). Donc d'après le petit théorème de Fermat $4^{29 - 1}  - 1 \equiv  0 \mod 29$ ou encore $4^{28} - 1$ est divisible par $29$.
\item $4 = 0 \times 17 + 4$ ;

$4^2 = 0 \times 17 + 16$ ;

$4^3 = 3 \times 17 + 13$ ;

$4^4 = 15 \times 17 + 1$.

La dernière égalité montre que $4^4 \equiv 1 \mod 17$, d'où $\left(4^4\right)^k \equiv 1^k \mod 17$ soit $4^{4k} \equiv 1 \mod 17$ ou encore $4^{4k}  - 1 \equiv  0 \mod 17$.

Conclusion : $4^{4k}  - 1$ est divisible par $17$.
\item On a $4^2 = 16 = 3 \times 5 + 1$ ou $4^2 \equiv 1 \mod 5$ d'où il résulte que $4^{2k}  \equiv 1 \mod 5$  ou encore $4^{2k} - 1 \equiv 0 \mod 5$.

Conclusion : $4^n - 1$ est divisible par $5$ si $n$ est pair.

Par contre  : de $4 \equiv 4 \mod 5$ et $4^{2k} \equiv 1 \mod 5$ il résulte par produit que

$4^{2k+1} \equiv 4 \mod 5 $.

Conclusion : $4^n - 1$ est divisible par $5$ si  et seulement si $n$ est pair.
\item Diviseurs premiers de $4^{28} - 1$ : la question 2 a déjà donné le nombre 29 ; la question 3 a donné le diviseur premier 17 ;  la question 4 a donné le diviseur 5.

D'autre part, $4 \equiv 1 \mod 3$ entraîne  $4^n \equiv 1 \mod 3$ ou encore $4^n - 1$ est divisible par 3 qui est premier. Il y a également $5,~ 43$ \ldots  
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier

\medskip

\begin{enumerate}
\item $4 = 2^2$ ; si $p$ est premier différent de 2, il est premier avec 4, donc d'après le petit théorème de Fermat $4^{p - 1} - 1 \equiv 0 \mod p$ ou $4^{p - 1} \equiv 1 \mod p$. Le premier premier différent de $2$ est $3$, donc $n = p - 1 \geqslant 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a donc : $4^n \equiv 1 \mod p,~4^b \equiv 1 \mod p$ et il existe un unique couple de naturels $(q~;~r)$ tel que  $n = bq + r$ avec $r< b$. On a donc $4^n = 4^{bq + r} = 4^{bq} \times 4^r = \left(4^b \right)^q \times 4^r$.
		
On  déduit de la seconde congruence que $\left(4^b \right)^q \equiv 1^q \mod p \equiv 1 \mod p$.

Donc $\left(4^b \right)^q \times 4^r \equiv 4^r \mod p$ et donc que $4^n \equiv 4^r \mod p$.

Finalement comme $4^n \equiv 1 \mod p,~4^r \equiv 1 \mod p$.
		\item On vient de démontrer dans la question précédente que si  $4^n \equiv 1 \mod p$, alors $n$ est multiple de $b$, $b$ étant le plus naturel positif tel que $4^b \equiv 1 \mod p$.
		
Inversement si $n = kb$, de $4^b \equiv 1 \mod p$, on déduit que $\left(4^b\right)^k \equiv 1^k \mod p$ soit $4^n \equiv 1 \mod p$. L'équivalence est donc démontrée.
		\item D'après la question B. 1 $4^{p - 1} \equiv 1 \mod p$ et soit $b$ le plus petit entier tel que $4^b \equiv 1 \mod p$. D'après la question 2. b. il en résulte que $p - 1$ est multiple de $b$ ou encore $b$ (non  nul) divise $p - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun àˆ tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A} Étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que $\text{e}^x \neq 0$, quel que soit le réel 
$x~ ;~ f(x)= \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x}\times \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}} = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+1}$.
\item On a$\displaystyle\lim_{x\to - \infty}\text{e}^{x} =  0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to - \infty} f(x) = 0$. Interprétation graphique : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de moins l'infini à $\mathcal{C}$.

De même $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc 
$\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x) = 1$. Interprétation graphique : la droite d'équation $y = 1$  est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini à $\mathcal{C}$.

\item $f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s'annulant pas sur $\R$.

$\forall\,x \in \R,\; f'(x) = - \dfrac{ (-\text{e}^{-x})}{\left(1+\text{e}^{-x}\right)^2}=\dfrac{\text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x}\right)^2}$. Comme $\text{e}^x > 0$ pour tout réel $x,$

$f'(x) > 0$ sur $\R$. Donc la fonction $f$ est croissante sur $\R$ (de 0 à 1).
\item Il en résulte le tableau de variations suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psline(0,3)(8,3) \psline(0,2)(8,2)  \psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,3){$x$}  \uput[u](2.32,3){$- \infty$}  \uput[u](5,3){$0$}  \uput[u](7.5,3){$+ \infty$}  
\uput[u](1,2.2){$f'(x)$}  \uput[u](3.5,2.2){$+$}  \uput[u](5,2.2){$1/4$}  \uput[u](6.5,2.2){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.1,0){$0$} \rput(5,1){$1/2$} \uput[d](7.7,2){$1$}
\psline{->}(2.4,0.4)(4.7,0.9)   \psline{->}(5.4,1.1)(7.6,1.55)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item~ 
\begin{center}
\psset{unit=3cm}\begin{pspicture}(-2,-0.2)(2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=white]{->}(0,0)(-2,-0.2)(2.3,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,1.2)
\uput[u](-1,0.25){\blue $\mathcal{C}$} \uput[ul](0,0.5){A}
\psline(-2,1)(2,1) \uput[dl](0,0){O}
\pscustom[linewidth=2pt]{%
\psplot{0}{1.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\psline(1.5,1)(0,1)(0,0.5)%
\fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]}
\psframe[fillcolor=white,fillstyle=solid](0.35,0.7)(0.65,0.9)
\rput(0.5,0.8){$\mathcal{A}_{n}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel que soit le réel $x$, en utilisant A. 1. 

\[f(x) + f(-x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{1}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{\text{e}^x + 1}{\text{e}^x + 1} = 1.\]

Le milieu du segment$[MM']$ est donc le point A de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$, et ce point est un centre de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \in \N$ ; on sait d'après la partie A que $f(x) > 0$. Donc, l'aire de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe  $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = n$ est l'intégrale$\displaystyle\int_{0}^n f(x)\,\text{d}x$.
		
Donc par différence avec l'aire du rectangle de côtés $1$ et $n$,

$\mathcal{A}_{n} = \displaystyle\int_{0}^n (1 - f(x) )\,\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^n \left(1 - \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}\right) = \displaystyle\int_{0}^n \dfrac{1 + \text{e}^{-x} - 1}{\text{e}^{-x} + 1}\,\text{d}x    = \displaystyle\int_{0}^n \dfrac{\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x} + 1}\,\text{d}x = - \left[\ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)\right]_{0}^n =  - \ln \left(1 + \text{e}^{- n}\right) + \ln 2$.
		\item On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{- n} = 0$ donc par continuité de la fonction $\ln$,
		
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln \left(1 + \text{e}^{- n}\right) = 0$.

Ainsi $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \mathcal{A}_{n} = \ln 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si pour tout $x$ réel  $\dfrac{\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} = \dfrac{a\text{e}^{x}}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{b\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}$, alors $\dfrac{\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} - \dfrac{a\text{e}^{x}}{\text{e}^x = 1} + \dfrac{b\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} \iff \dfrac{\text{e}^{2x} - b\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} = \dfrac{a\text{e}^{x}}{\text{e}^x + 1} \iff \dfrac{\text{e}^x\left(\text{e}^x - b\right)}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2} =  \dfrac{a\text{e}^{x}}{\text{e}^x + 1}\Longrightarrow $

$a = 1~\text{et}~b = - 1$.
\item On a pour tout $\lambda$ positif, $\mathcal{V}(\lambda) = \displaystyle\int_{-\lambda}^0 \pi \dfrac{\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\,\text{d}x
 = \pi \displaystyle\int_{-\lambda}^0  \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^x + 1}\,\text{d}x - \pi  \displaystyle\int_{-\lambda}^0 \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\,\text{d}x = \pi\left[\ln \left(1 + \text{e}^x\right) + \dfrac{1}{\text{e}^x + 1}\right]_{- \lambda}^0 = \pi \left(\ln 2 + \dfrac{1}{2} - \ln\left(1 + \text{e}^{-\lambda}\right) - \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-\lambda}}\right)$.
\item  On a toujours $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{-n} = 0$ et par continuité de la fonction $\ln$,

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln \left(1 + \text{e}^{-n}\right) = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \mathcal{V}(\lambda) = \pi\left(\ln 2 - \dfrac{1}{2}\right)$.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les faces du cube d'arête 1 sont des carrés de côté 1, dont les diagonales ont pour longueur  $\sqrt{2}$. En particulier BD = DE = ED = $\sqrt{2}$. Le triangle BDE est équilatéral.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  I est le centre de gravité du triangle BDE ou l'isobarycentre des points B, D et E. Les coordonnées de I sont de la forme  $\dfrac{1}{3}(a_{\text{B}} + a_{\text{D}} + a_{\text{D}})$. Avec le repère choisi on a  B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0) et E(0  ; 0 ; 1).
		
On obtient donc I$\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$. 
\item On a dans le repère choisi  G(1 ; 1 ; 1), donc le vecteur $\dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$ et  le vecteur $\vect{\text{AI}}$ ont les mêmes coordonnées.

Autre démonstration : on sait que $\vect{\text{IB}} + \vect{\text{ID}} + \vect{\text{IE}} = \vect{0} \iff\\
 3\vect{\text{IA}} + \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} = \vect{0} \iff 3\vect{\text{IA}} + \vect{\text{AG}}  = \vect{0} \iff \vect{\text{IA}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$.
 
La relation vectorielle $\vect{\text{IA}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$ signifie que les points A, I et G sont alignés, et encore plus précisément que le point I appartient à la droite (AG), ce point ayant l'abscisse $\dfrac{1}{3}$ si le repère choisi sur cette droite est le repère (A, G).
	\end{enumerate}
\item On sait déjà que I centre de gravité du triangle BDE est dans le plan (BDE).

D'autre part $\vect{\text{IA}}\left(\begin{array}{l}
1/3\\1/3\\1/3\\
\end{array}\right)$ et $\vect{\text{BD}}\left(\begin{array}{l}
-1\\1\\0\\
\end{array}\right)$. Le produit scalaire 
$\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{BD}} = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3 }= 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux.\\
De même  $\vect{\text{BE}}\left(\begin{array}{l}
-1\\0\\1\\
\end{array}\right)$. Le produit scalaire 
$\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{BE}} = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3 }= 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux.

Conclusion le vecteur $\vect{\text{IA}}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) est normal à ce plan.

Conclusion :  I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Quel que soit le réel $k,~M_{k}$ est le point de la droite (AG), d'abscisse $k$ pour le repère (A,\: G).

 La droite (A$M_{k}$) est donc orthogonale au plan (BDE),  donc aussi au plan $\mathcal{P}_{k}$.
 
 Conclusion : le point $N_{k}$ est le projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}_{k}$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item D'après la partie A, on sait que si $k = \dfrac{1}{3},~M_{\frac{1}{3}}$ = I, donc $\mathcal{P}_{\frac{1}{3}} = $ (BDE) et $N_{\frac{1}{
3}}$ = B
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées du vecteur $\vect{\text{A}M_{k}}$ sont les coordonnées du point $M_{k}$, soit  $(k~;~k~;~k)$.
\item On sait qu'une équation du plan $\mathcal{P}_{k}$ est de la forme $kx + ky + kz + d = 0$ ; comme il contient $M_{k}$, on a $k^2 + k^2 + k^2  + d = 0 \iff d = -3k^2$. L'équation du plan  $\mathcal{P}_{k}$ est donc $kx + ky + kz - 3k^2 = 0$ soit pour $k \neq 0$ (cas particulier où $M$ est en A) $x + y + z - 3k = 0$.
		\item La droite (BC) est définie par les équations des deux plans $x= 1$ et $z = 0$, donc en remplaçant dans l'équation précédente $1 + y + 0 - 3k = 0 \iff y = 3k - 1$.
		
Donc  $N_{k}(1~;~3k - 1~;~0)$.
	\end{enumerate}
		\item $M_{k}$ et $N_{k}$  appartiennent au plan $\mathcal{P}_{k}$ qui est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{A}M_{k}}$ ou $\vect{\text{AG}}$. Donc pour tout $k$ réel la droite $\left(M_{k}N_{k}\right)$ est orthogonale à la droite (AG) ;
		
Les coordonnées de $\vect{M_{k}N_{k}}$ sont $(1 - k~;~2k - 1~;~- k)$, celles de $\vect{\text{BC}}$ sont (0~;~1~;~0).

$\vect{M_{k}N_{k}} \cdot \vect{\text{BC}} = 2k - 1 = 0 \iff k = \dfrac{1}{2}$.
		\item On a $M_{k}N_{k}^2 = (1 - k)^2 + (2k - 1)^2 + (- k)^2 = 6k^2 - 6k + 2$. La distance est minimale si son carré l'est.
		
On a à trouver le minimum d'un trinôme :

$6k^2 - 6k + 2 = 6\left(k^2 - k + \dfrac{1}{3}\right) = 6 \left[\left(k - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} +  \dfrac{1}{3}\right]$. Cette expression est minimale quand le carré est nul soit encore pour $k = \dfrac{1}{2}$.

Non demandé : cette distance est égale à $\sqrt{6\left(-\dfrac{1}{4} +  \dfrac{1}{3}\right)} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item \hfill

\vspace{1cm}

\begin{center}\textbf{Section du cube par le plan} \boldmath 
$\mathcal{P}_{\frac{1}{2}} $\unboldmath
\end{center}
\psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(2,3)
\psframe(0,0)(2,2) %BCGF
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%FEHG
\psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%HDC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%BA
\psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%AE
\psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DA
\uput[dr](0.75,0.75){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](2,0){C}
\uput[dr](2.75,0.75){D} \uput[dr](0.75,2.75){E} \uput[ul](0,2){F}
\uput[ul](2,2){G} \uput[ur](2.75,2.75){H}
\pspolygon[hatchsep=150pt,hatchwidth=0.1pt,fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray](1,0)(2.375,0.375)(2.75,1.75)(1.75,2.75)(0.375,2.375)(0,1)%
\psline[linecolor=red](0.75,0.75)(2,2)
\qdisk(1.167,1.167){2pt}\uput[ul](1.167,1.167){I}
\qdisk(1.375,1.375){2pt}\uput[ul](1.375,1.375){$M_{\frac{1}{2}}$}
\qdisk(1,0){2pt}\uput[d](1,0){$N_{\frac{1}{2}}$}
\psline[linecolor=lightgray,linestyle=dashed](1,0)(1.375,1.375)
\psset{linewidth=2pt} 
\psline[linecolor=blue](0,1)(1,0)
\psline[linecolor=blue](2.375,0.375)(2.75,1.75)  
\psline[linecolor=blue](1.75,2.75)(0.375,2.375)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](1,0)(2.375,0.375)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.75,1.75)(1.75,2.75) 
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.375,2.375)(0,1)
\pspolygon[linecolor=green,linestyle=dashed](0,0)(2.75,0.75)(0.75,2.75)%BDE
\end{pspicture}
\end{enumerate}

%	\begin{align*}
%		&\frac{2}{b_{n + 2}}  &=  \frac{1}{b_{n + 1}} + \frac{1}{b_n}\\
%		\Leftrightarrow& b_{n + 2} & =  \frac{2}{\frac{1}{b_{n + 1}} +\frac{1}{b_n}}\\
%		\text{ je remplace } b_n :&  b_{n + 2}&= \frac{2}{\frac{1}{b_{n + 1}} + \frac{5 b_{n + 1} - 2}{b_{n + 1}}}\\
%		\intertext{je multiplie par $b_{n + 1}$}  
%  b_{n + 2} &= \frac{2 b_{n + 1}}{1 + 5 b_{n + 1} - 2} = \frac{2 b_{n + 1}}{5b_{n + 1} - 1} \text{cqfd}.
%	\end{align*}
  
%\[\mathscr{A}_{M N P} = \frac{1}{2} \left| a d - b c \right| \]
\end{document}