%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
%%%%%%%%Francis CORTADO C.P.F Beyrouth%%%%%
%%%%%%%% et Pascal VILLE  %%%%%%%%%
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% parenthèses
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{28 mai 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~\textsc{Corrigé du baccalauréat S Liban 28 mai 2013 }~\decofourright}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}\hfill (4 points)

\textbf{Question 1}:
\begin{center}
\textbf{Réponse d}
\end{center}
Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est le vecteur $\vect{d}(1,~2,~3)$, un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est le vecteur $\vect{d'}(1,~1,~-1)$.
$\vect{d}\cdot \vect{d'}=1+2-3=0$.

Ces deux vecteurs sont orthogonaux, les droites
$\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont donc orthogonales.

Aussi par élimination : la a. est fausse car les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, b. est fausse car il n'y a pas de point d'intersection et
 c. est fausse car C n'est pas sur D.
\vspace{0,25cm}

\textbf{Question 2}:
\begin{center}
\textbf{Réponse c}
\end{center}
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est le vecteur $\vect{n}(1,1,-1)$.

Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$.

Ce qui entraîne que ce plan est orthogonal à la droite $\mathcal{D}'$.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Question 3}:
\begin{center}
\textbf{Réponse c}
\end{center}
$\text{AB} =\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56} = 2\sqrt{14},\quad \text{AC}=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56},\quad \text{BC} = \sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}$.

Ces trois distances sont égales, il en résulte que le triangle ABC est équilatéral.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Question 4}:
\begin{center}
\textbf{Réponse b}
\end{center}
Pour déterminer lequel de ces vecteurs est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}'$, il suffit de vérifier si ces vecteurs sont orthogonaux à deux vecteurs de $\mathcal{P}'$ qui sont non colinéaires.\\
Prenons $\vect{d'}(1,~1,~-1)$ et $\vect{u}=\vect{\text{AD}'}$, où A$(1,~-1,~2)$ et D$'$ est un point de $\mathcal{D}'$, par exemple celui de coordonnées $\left(1,~3,~4\right)$, soit
$\vect{\text{AD}'}(0,~4,~2)$.

On vérifie que $\vect{d'}$ et $\vect{\text{AD}'}$ ne sont pas colinéaires, et on constate que, dans le second cas :

\[\vect{d'}\cdot \vect{n}=\vect{\text{AD}'}\cdot \vect{n}=0\]

Ce qui signifie que le vecteur $\vect{n}(3,~-1,~2)$ est un vecteur normal au plan 
$\mathcal{P}'$.


\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}}\hfill(5 points)
\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item ~ 

\begin{center}

\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
\pstree
{\TR{$\overline{E}$}\taput{\small $0,7$}}
{
\TR{$C$}\taput{\small $0,95$}
\TR{$\overline{C}$}\tbput{\small $0,05$}
}
\pstree
{\TR{$E$}\tbput{\small $0,3$}}
{
\TR{$C$}\taput{\small $0,99$}
\TR{$\overline{C}$}\tbput{\small $0,01$}
}
}
\end{center}

\vspace{1cm}

\item On cherche $P\(C\cap\overline{E}\)= P_{\overline{E}}\(C\)\times P\left(\overline{E}\right) = 0,95\times 0,70 = 0,665$

\item D'après la formule des probabilités totales:

$P\(C\) = P\left(C\cap \overline{E}\right) + P(C\cap E) = 0,665 + 0,99\times 0,30 = 0,962$.

\item $P_C\(E\) = \dfrac{P\(E\cap C\)}{P\(C\)}=\dfrac{0,99\times 0,30}{0,962} \approx 0,309$ à $10^{- 3}$ près
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(0,17~;~0,006^2\right)$.

On cherche à calculer la probabilité
$P\(0,16\leqslant X \leqslant 0,18\)$ qui est égale à $\np{0,9044}$
d'après la table.
	\begin{enumerate}
		\item D'après le cours, comme $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}\left(m_2~;~\sigma_{2}^2\right)$, alors $Z=\dfrac{Y-m_2}{\sigma_2}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\(0\,, 1\)$.		
		\item \[0,16\leqslant Y \leqslant 0,18\Longleftrightarrow 
\dfrac{0,16 - 0,17}{\sigma_2} \leqslant \dfrac{Y - 0,17}{\sigma_2}\leqslant
\dfrac{0,18 - 0,17}{\sigma_2} \] 

\smallskip

soit \hfill
$-\dfrac{0,01}{\sigma_2}\leqslant Z \leqslant \dfrac{0,01}{\sigma_2}$ \hfill\,

\smallskip

Donc lorsque $Y$ appartient à l'intervalle $\left[0,16~;~0,18\right]$, alors $Z$ appartient à l'intervalle 

$\left[-\dfrac{0,01}{\sigma_2}~;~\dfrac{0,01}{\sigma_2}\right]$.

		\item On sait que cette probabilité doit être égale à $0,990$, le tableau donné permet d'obtenir \[\beta = \np{2,5758}\] 

d'où
\hfill $\dfrac{0,01}{\sigma_2}= \np{2,5758} \Leftrightarrow \sigma_2= \np{0,00385}$ \hfill\,

En conclusion, à $10^{-3}$ près, $\sigma \approx 0,004$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}}\hfill (6 points)

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}= 0}$, il vient, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f_1(x)=1}$\\
Puisque $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow -\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty}$, il vient, $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty}f_1(x)=0}$\\
Graphiquement cela signifie que les droites d'équation $y = 0$ et $y = 1$ sont deux asymptotes horizontales à $\mathcal{C}_1$ au voisinage respectivement de moins et plus l'infini.
\item $f_1(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\times 1}{\mathrm{e}^{x}(1+\mathrm{e}^{-x})}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$
\item $f'_1= - \dfrac{-\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}=
\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}$.\\
Cette expression étant toujours strictement positive sur $\R$, il en résulte que la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\R$.
\item ~

\[I = \int_0^1f_1(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d}x= \left[ \ln(1+\mathrm{e}^{x})\right]_0^1=\ln(1+\mathrm{e})-\ln 2=\ln\left(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2}\right)\]

$I$ s'interprète graphiquement comme la mesure en unité d'aires du domaine limité par $\mathcal{C}_1$, l'axe des $x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. C'est l'aire du rectangle de côté 1 et de longueur $\ln\left(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2}\right)$ qui vaut à peu près 0,62 unité d'aire (ce qui se vérifie visuellement sur l'annexe).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$P\left(x~;~f_{1}(x)\right)$ et  $M\left(x~;~f_{- 1}(x)\right)$. $K$ est le milieu de $[MP]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f_1(x) + f_{-1}(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}+
\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}=1$
\item $y_K = \dfrac{y_M + y_P}{2} = \dfrac{f_1(x) + f_{-1}(x)}{2}= \dfrac{1}{2}$

Le point K est donc un point de la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.
\item Il résulte de la question précédente que les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = \dfrac12$.
\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine considéré. Par symétrie entre les deux courbes, on obtient

\[\mathcal{A} = 2\int_0^1f_1(x)-\dfrac12\,\mathrm{d}x=2\int_0^1f_1(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^1\,\mathrm{d}x = 2\ln\left(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2}\right)-1 \approx 0,24.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Vrai} : Quel que soit $k \in \R,\:\text{e}^{- kx} > 0 \Rightarrow 1 + \text{e}^{- kx} > 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{ 1 + \text{e}^{- kx}} < 1$.

%Car la limite en $+\infty$ de $\mathrm{e}^{-kx}$ est soit $0$ soit $+\infty$, selon que $k$ soit positif ou négatif. Il en résulte que la limite en $+\infty$ de $f_k(x)$ sera soit $1$ soit $0$. Un même raisonnement en $-\infty$, montre que la limite de $f_k(x)$ en $-\infty$ est soit 0 soit 1.

\item \textbf{Faux}: On a vu que la fonction $f_{-1}$ est strictement décroissante sur $\R$.
\item \textbf{Vrai}: Car si $k\geqslant 10$ alors $- \dfrac{1}{2}k \leqslant - 5$ puis $\text{e}^{- \frac{1}{2}k} \leqslant \text{e}^{-5}$ par croissance de la fonction exponentielle et enfin $1 + \text{e}^{- \frac{1}{2}k} \leqslant 1 + \text{e}^{-5}$.

Finalement :

\[0,99 < \np{0,9933} \leqslant \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- 5}} \leqslant \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- \frac{1}{2}k}} = f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)\]

% $$f_k\left(\dfrac12\right)\geqslant\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-5}}\geqslant 0,993$$
 \end{enumerate}
 
 \newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4}: Enseignement obligatoire uniquement\hfill (5 points)}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'algorithme \no 1 calcule tous les termes de $v_{0}$ à $v_{n}$ mais n'affiche que le dernier $v_{n}$.

L'algorithme \no 2 calcule $n$ fois de suite $v_{1}$ à partir de $v_{0}$ : il ne calcule pas les termes de $0$ à $v_{n}$.

L'algorithme \no 3 calcule tous les termes de 0  à $v_{n}$ et les affiche tous.

\item D'après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à $n = 9$), il semblerait que la suite  soit croissante et converge vers un nombre
proche de 3.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons par récurrence la propriété $P_{n}$ : pour tout entier naturel $n$,\: $0 < v_{n} < 3$.

\emph{Initialisation} : $n = 0$, on a bien $0 < v_{0} < 3$ vraie, puisque $v_{0} = 1$ ; ainsi $P_{0}$ est vraie.

\emph{Hérédité} : Soit $n$ naturel tel que   $P_{n}$ est  vraie et montrons alors que $P_{n+1}$ est vraie.

On suppose  donc que $0 < v_{n} < 3$.

Les opposés étant rangés dans l’ordre inverse :

$- 3 < - v_n < 0$.

L’addition respecte l’ordre, donc 

$6 - 3 < 6 - v_n < 6$ ou $3 < - v_n < 6$.

Les inverses de ces nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse :

$\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_{n}} < \dfrac{1}{3}$.

Enfin la multiplication par un réel positif respecte l’ordre :

$9 \times \dfrac{1}{6} < 9 \times \dfrac{1}{6 - v_{n}} < 9 \times \dfrac{1}{3}$, soit $\dfrac{3}{2} < \dfrac{9}{6 - v_n} < 3$ et enfin 

$0 < \dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$. L'hérédité est établie puisque $P_{n+1}$ est vraie.

Conclusion :
par le principe de récurrence, $P_0$ est vraie et  si pour $n \in \N$,  $P_n$  vraie  alors $P_{n+1}$ est aussi  vraie, donc on a démontré que pour tout naturel $n$, \:$P_{n}$ : 

$0 < v_{n} < 3$ est vraie.
		\item $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{9}{6 - v_{n}} - v_{n} = \dfrac{9 - v_{n}\left(6 - v_{n} \right)}{6 - v_{n}} = \dfrac{9 - 6v_n +v_n^2}{6 - v_{n}}\dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}}$.

Or, d'après la question précédente, $0 < v_{n} < 3$ pour tout $n$ entier naturel ; on en déduit 

$\bullet~~$$v_n - 3 > 0$, donc $\left( \right)^2 > 0$ et 

$\bullet~~$$v_n < 3 < 6$, donc $6 - v_n > 0$, 
donc $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}} > 0$, ainsi la suite $\left(v_{n}\right)$ est (strictement) croissante.
\item Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $w_{n+1} - w_{n} = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{1}{\frac{9}{6 - v_{n}} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{6 - v_{n}}{3v_{n} - 9} - \dfrac{1}{v_{n} - 3} = \dfrac{6 - v_{n} - 3}{3v_{n} - 9} = \dfrac{- v_{n} + 3}{3v_{n} - 9} = - \dfrac{v_{n} - 3}{3\left(v_{n} - 3 \right)} = -  \dfrac{1}{3}$.

Ainsi la suite $\left(w_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r = - \dfrac{1}{3}$.
\item $w_{n} = w_{0} + nr = \dfrac{1}{1 - 3}- \dfrac{1}{3}n = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}n$.

Comme $w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}$, on a $v_{n} = \dfrac{1}{w_{n}} + 3 = \dfrac{1}{- \frac{1}{2} - \frac{1}{3}n} + 3 = \dfrac{6}{- 3 - 2n} + 3$.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{- 3 - 2n} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4}: Enseignement de spécialité uniquement \hfill (5 points)}
\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_2=5u_1-6u_0=40-18=22$\\
      $u_3=5u_2-6u_1=110-48=62$
\vspace{0.5cm}
      
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \og $b$ prend la valeur $5a - 6c$\fg
		\item La suite semble être croissante.
	\end{enumerate}
	
\vspace{0.5cm}

\item
$ A=\left(\begin{array}{cc}
5 & -6 \\ 
1 & 0
\end{array}\right) $\\

Prouvons par récurrence que $C_n = A^nC_0$.

\emph{Initialisation} : c'est vrai pour $n = 0$, car $A^0$ est la matrice identité.

\emph{Hérédité} : soit  $n \in \N$, tel que  \: $C_n = A^nC_0$, alors $C_{n+1} = AC_n = A(A^nC_0) =$

$ A\times A^n C_0 = A^{n+1}C_0$.

En conclusion, $C_0 = A^0C_0$ et si pour  $n \in \N$,\: $C_n = A^nC_0$ alors  $C_{n+1}  A^{n+1}C_0$ ; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n$, \: $C_n =A^nC_0$.
\item 
$QP=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\ 
1 & -2
\end{array}\right) $
$\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\ 
1 & 1
\end{array}\right)
=$
$\left(\begin{array}{cc}
-2+3 & -3+3 \\ 
2-2 & 3-2
\end{array}\right)$  
$= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
0 & 1
\end{array} \right)$
\vspace{0.5cm}

\item \emph{Initialisation}  : c'est trivialement vrai pour $n = 1$.

\emph{Hérédité}  : soit $ \in \N$, \: $n \geqslant 0$ tel que \: $A^n = PD^nQ$, alors :

$A^{n+1} = A^n\times A=PD^nQ(PDQ)=PD^n(QP)DQ=PD^nDQ=PD^{n+1}Q$.

La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rang $n$ au moins égal à 1, elle est vraie au rang suivant. On a donc  démontré par le principe de récurrence  que  pour tout entier naturel $n$, non nul  $A^n = PD^nQ$.
\item 
Puisque $C_n=A^nC_0$, on obtiendra $u_n$ comme la somme:

\[u_n=8(-2^n+3^n)+3(3\times 2^n-2\times 3^n) = - 8\times 2^n+8\times 3^n+9\times 2^n - 6\times 3^n = 2^n+2\times 3^n.\]

Les deux suites de terme général $2^n$ et $3^n$ ayant pour limite $+ \infty$, il en résulte que la suite $(u_n)$ n'a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu'elle diverge vers $+\infty$).
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE de l'EXERCICE 3, à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
Représentations graphiques $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{-1}$ des fonctions $f_{1}$ et $f_{-1}$

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.1)(3.5,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue, algebraic=true]%{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
{-3.5}{3.5}{1/(1+2.71828^(-x))}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red, algebraic=true]%{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
{-3.5}{3.5}{1/(1+2.71828^x)}
\rput(-1.5,0.95){\red $\mathcal{C}_{-1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}