\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions %\documentclass[a4paper ,11pt]{article} \usepackage{color} \renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{\blue Solution : }\noindent} \shadedsolutions \definecolor{SolutionColor}{rgb}{0.95,0.9,1} %\framedsolutions \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{colortbl} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{array} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} %\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl,pstricks-add} \usepackage{lastpage} \usepackage{titlesec} \usepackage{enumitem} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{tabularx} \usepackage{fp} \usepackage{multido} %\newcommand{\entetecor}[4]{% %\rhead{#3} %\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S #1 du #2}} %\lfoot{Baccalauréat 2018} %\rfoot{A. Detant} %\setcounter{page}{1} %\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}} % \rfoot{#3} %\newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm} % } %** surlignage en jaune, rouge, vert *** \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}} \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}} % % % % % % % % % % % % % % % COMMANDES MATHÉMATIQUES % % % % % % % % % % % % % % % %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document) %** écrire un repère (hors environnement math) \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math) \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math) \newcommand{\pp}{\leqslant} \newcommand{\pg}{\geqslant} %*** Ensembles de nombres *** \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)***** \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}} %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)***** \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) } \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) } \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) } %**** écrire un angle géométrique ***** \newcommand{\anglg}[1]{\widehat{#1\,\,}} %**** écrire un angle orienté de vecteurs ***** \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $} %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) ******* \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %*** écrire i (dans un environnement mathématique)**** \newcommand{\im}{\text{i}} %*** écrire e (dans un environnement mathématique)**** \newcommand{\ex}{\text{e}} %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)**** \renewcommand{\exp}[1]{\text{e}^{#1}} %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique) \newcommand{\x}{\times} %**** écrire un module (en dehors de l'environnement math)***** \renewcommand{\mod}[1]{$\left| #1\right| ~$} %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)***** \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$} %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)***** \newcommand{\integ}[4]{\displaystyle \int_{#1}^{#2}~ #3~\text{d}#4} %**** écrire une somme (dans un environnement math)***** \newcommand{\somme}[4]{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#1=#3} \left(#4\right) ~} %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)***** \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$} \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$} \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$} %\usepackage{fancyhdr} \begin{document} %\SetWatermarkText{Lycée Henri IV} %\SetWatermarkScale{0.6} %\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B} %\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{} \titlespacing*{\subsubsection} {0pt}%␣retrait␣à␣gauche {0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant {0ex plus 0ex}%␣espace␣après [0pt]%␣retrait␣à␣droite \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S -- A. Detant} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{29 mai 2018}} %\pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban 29 mai 2018~\decofourright}} \end{center} \label{exercice 1} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item~ \begin{solution} L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $\dfrac{1}{\lambda}$ ici, le temps d'attente moyen est donc de $\dfrac{1}{0,02}=50 $ secondes il faut ajouter le temps moyen d'échange de 96 secondes Finalement le temps moyen d'un appel est de 146 secondes soit 2 minutes et 26 secondes \end{solution} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} On cherche $P(X \pg 120)$ $P(X \pg 120)=1-P(X < 120)=1-\integ{0}{120}{0,02 \exp{-0,02t}}{t}$ $\hphantom{P(X \pg 120)}=1-\left[-\exp{-0,02t} \right]_{_{0}}^{^{120}}= \exp{-2,4}\approx 0,091 $ \end{solution} \item ~ \begin{solution} On cherche $P(Y \pp 90)$ $P(Y \pp 90)\approx 0,409 $ \end{solution} \end{enumerate} \item~ \begin{solution} On cherche à comparer $P(X\pp 30)$ et $P_{_{X\pg 60}}(X\pp 60+30)$ $X$ suit une loi exponentielle qui est une loi de durée de vie sans vieillissement donc on sait que pour tous les réels $t~$ et $~h~$ strictement positifs, on a : $p_{_{X \pg t}}\left( X \pg t+h\right) = p(X \pg h)$ donc $\left( 1-p_{_{X \pg t}}\left( X \pp t+h\right)\right) =\left( 1- p(X \pp h)\right) $ d'où $p_{_{X \pg t}}\left( X \pp t+h\right) =p(X \pp h)$ avec $t=60$ et $h=30$ on a alors $P_{X\pg 60}(X\pp 60+30)=P(X\pp 30)$ Autrement dit, le fait de raccrocher n'a rien changé à son attente totale. \end{solution} \end{enumerate} \newpage \label{exercice 2} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} $1+\im=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\im\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\sqrt{2} \exp{\im \frac{\pi}{4}} $\quad et \quad $1-\im=\overline{(1+\im)}=\sqrt{2} \exp{-\im \frac{\pi}{4}} $ \end{solution} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} Posons $Z=(1+\im)^n$ alors $\overline{Z}=\overline{(1+\im)^n}=\left(\overline{1+\im} \right)^n=\left(1-\im \right)^n $ donc $\forall n \in \N~,~S_n=Z+\overline{Z}=2Re(Z)$ $\forall n \in \N~,~Z=\left(\sqrt{2} \exp{\im \frac{\pi}{4}} \right) ^n=\left( \sqrt{2}\right) ^n\left(\exp{\im \frac{n\pi}{4}}\right) = \sqrt{2^n} \left(\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) +\im \sin\left(\dfrac{n\pi}{4} \right) \right) $ donc $\forall n \in \N~,~S_n=2\sqrt{2^n} \cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)$ % Il faut alors faire des cas suivant les valeurs de $n$ % % \textbf{pour tout entier naturel $k$}: % % \checkmark si $n=8k~(k \in \N)$ alors $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(2k\pi\right)=1$ % % \checkmark si $n=8k+1$ ou $n=8k+7$ alors $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ % % % pour \surj{$n=8k~\text{ou}~n=8k+1~\text{ou}~n=8k+7$ alors} $S_n$ est un réel strictement positif donc \surj{$S_n=2\sqrt{2^n}\left(\cos(0)+\im \sin(0) \right) $} % % \vspace{0.3cm} % % \checkmark si $n=8k+2~\text{ou}~n=8k+6$ alors $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ % % pour \surj{$n=8k+2~\text{ou}~n=8k+6$ alors $S_{n}$ n'admet pas de forme trigonométrique} % % \vspace{0.3cm} % % \checkmark si $n=8k+3$ ou $n=8k+5$ alors $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ % % \checkmark si si $n=8k+4$ alors $\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi\right)=-1$ % % pour \surj{$n=8k+3~\text{ou}~n=8k+4~\text{ou}~n=8k+5$ alors} $S_n$ est un réel strictement négatif donc \surj{$S_n=2\sqrt{2^n}\left(\cos(\pi)+\im \sin(\pi) \right) $} % Il faut donc étudier le signe de $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right)$ : \medskip \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(8k \frac{\pi}{4}\right) = \cos 2k\pi = 1$. On a donc $S_{8k} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k} \cos \left(8k \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k} = 2^{4k+1} $= \fbox{\blue $2^{4k+1}(\cos 0 + \text{i}\sin 0)$}. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 1,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k + 1) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. On a donc $S_{8k+1} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+1} \cos \left((8k + 1) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k}\times \sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2^{4k + 1}$ = \fbox{\blue $2^{4k+1}(\cos 0 + \text{i}\sin 0)$}. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 2,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+2) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. $S_{8k + 2} = 0$ : il n'a pas d'écriture trigonométrique. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 3,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+3) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{3\pi}{4} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$. $S_{8k+3} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+3} \cos \left((8k+3) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k+1} \times \sqrt{2} \times \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2^{4k+2}$. $S_{8k+3}$ = \fbox{\blue $2^{4k+2}(\cos \pi + \text{i}\sin \pi)$}. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 4,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+4) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \pi\right) = \cos (\pi) = \cos \pi = - 1$. $S_{8k+4} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+4} \cos \left((8k+4) \frac{\pi}{4}\right) = 2^{4k+3} \times - 1$. $S_{8k+4}$ = \fbox{\blue $2^{4k+3}(\cos \pi + \text{i}\sin \pi)$}. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 5,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+5) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{5\pi}{4}\right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$. $S_{8k+5} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+5} \cos \left((8k+5) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k+2}\times \sqrt{2} \times \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - 2^{4k+3}$. $S_{8k+5} = \fbox{\blue $2^{4k+3}(\cos \pi + \text{i}\sin \pi)$}$. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 6,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+6) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{6\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{6\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{3\pi}{2}\right) = 0$. $S_{8k+6} = 0$ : il n'a pas d'écriture trigonométrique. \item[$\bullet~~$]Si $n = 8k + 7,\: k \in \N$, $\cos \left(n \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left((8k+7) \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(2k\pi + \frac{7\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $S_{8k+7} = 2\left(\sqrt{2} \right)^{8k+7} \cos \left((8k+7) \frac{\pi}{4}\right) = 2 \times 2^{4k+3}\times \sqrt{2} \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2^{4k+4}$. $S_{8k+7}$ = \fbox{\blue $2^{4k+4}(\cos 0 + \text{i}\sin 0)$}. \end{itemize} \end{solution} \item ~ \begin{solution} \textbf{Affirmation A}: Vraie car $\forall n \in \N~,~S_n=2\text{Re}(Z) \in \R$ \textbf{Affirmation B}: Vraie car pour tout entier naturel $k$, $n=4k+2 \imp \cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)=\cos\left(k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \label{exercice 3} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} pour $t=0$ on a $S_1(0)(140~;~105~;~-170)$ \end{solution} \item ~ \begin{solution} On sait que les sous-marins se déplacent à vitesse constante. Le premier sous-marin a parcouru la distance $AB$ avec $A=S_1(0)~\text{et}~B=S_1(1)$ en une minute. $A(140~;~105~;~-170)~\text{et}~B(80~;~15~;~-200)$ donc $AB=\sqrt{60^2+90^2+30^2}=\sqrt{12600}=30\sqrt{14}$ la vitesse du premier sous-marin est donc de $30\sqrt{14}$ mètres par minutes soit $1,8\sqrt{14}\approx 6,73$ km.h$^{-1}$ \end{solution} \end{enumerate} \item ~ \begin{solution} On considère les points $A$ et $B$ définis précédemment Soit $C$ le point de l'espace à la verticale de $B$ et ayant la même profondeur que $A$ \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.3,-0.2)(3.3,1.2) \pspolygon(0,1)(3,1)(3.,0.) \begin{scriptsize} %\psdots[dotstyle=*](0,2)(3,2)(3.,0.) \rput[bl](-0.3,1.){$A$} \rput[bl](3.1,-0.1){$B$} \rput[bl](3.1,1){$C$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} alors $(ABC)$ est le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. %On a $ \anglg{BAC}=\alpha =90-\anglg{ABC}$, %or $\vect{BC}$ est colinéaire à $\vect{k}$ car $(ABC)$ est vertical % %On a alors $\vect{BA}\cdot \vect{k}=BA \x \left| \left|\vect{k} \right| \right| \x \cos(\anglg{ABC})$ %. On en déduit $\cos(\anglg{ABC})=\dfrac{\vect{BA}\cdot \vect{k}}{BA}$ % % or $\vect{BA}\begin{pmatrix} % 60\\90\\30 % \end{pmatrix}$ donc $BA=30\sqrt{14}$ et $\vect{BA}\cdot \vect{k}=30$ % %D'où $\cos(\anglg{ABC})=\dfrac{30}{30\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{14}$ donc $\anglg{ABC}\approx 74,5$\degres % % Finalement $\alpha \approx 15,5$\degres. %Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. %On donnera l'arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près. Appelons B le point atteint par le sous-marin au bout d'une minute : B$(80~;~15~;~-200)$. D'après la définition de la vitesse, celle-ci $30\sqrt{14}$ est égale à la distance AB. %Alors : $\vect{AB}\begin{pmatrix}-60\\-90\\- 30\end{pmatrix}$. C a la même abscisse et la même ordonnée que B, mais la cote de A : C$(80~;~15~;~-170)$. %On calcule alors le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ de deux façons différentes : %\begin{enumerate} %\item[$\bullet$] $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-60\\-90\\0\end{pmatrix}$ . % %Alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=60^2+90^2=\numprint{11700}$. % %\item[$\bullet$] $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB\times AC\times \cos\alpha=\sqrt{60^2+90^2+30^2}\times \sqrt{60^2+90^2}\cos\alpha=\\ %\sqrt{\numprint{12600}}\times \sqrt{\numprint{11700}}\times \cos\alpha$ %\end{enumerate} %On en déduit : $\cos\alpha=\dfrac{\numprint{11700}}{\sqrt{\numprint{12600}}\times \sqrt{\numprint{11700}}}=\dfrac{\sqrt{\numprint{11700}}}{\sqrt{\numprint{12600}}}=\sqrt{\dfrac{117}{126}}=\sqrt{\dfrac{13}{14}}$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 15,5\text{\degre}}}$ On a donc dans le triangle rectangle ABC : $\sin \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{30}{30\sqrt{14}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$. La calculatrice donne au dixième près : $\alpha \approx 15,5$degres. \end{solution} \item~ \begin{solution} Soit $z_2(t)$ la profondeur du second sous-marin en fonction du temps et $v_2$ sa vitesse verticale constante (en mètres par minute) alors, par définition on a $z_2(t)=z_2(0)+v_2t$. Or $z_2(0)=-68$ car $S_2(0)$ est de coordonnées $(68~;~135~;~- 68)$. $v_2=\dfrac{-248-(-68)}{3}=-60$ car après 3 minutes, le sous-marin est à une profondeur de $- 248$ m. On en déduit $z_2(t)=-68 - 60t$. Avec les mêmes notations on a, pour le premier sous-marin, $z_1(t)=170-30t$ \vspace{0.3cm} $z_1(t)=z_2(t) \equi -170-30t=-68-60t \equi t=\dfrac{102}{30}=3,4$ Donc les deux sous-marins sont à la même profondeur après 3 min 24 s. \end{solution} \end{enumerate} \label{exercice 4} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} $f_n$ est un quotient de deux fonctions dérivables sur $[1~;~5]$ dont le dénominateur ne s'annule pas donc $f_n$ est dérivable sur $[1~;~5]$ $f_n=\dfrac{u}{v}\imp f'_n=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases} u(x)=\ln(x)\\v(x)=x^n \end{cases}\imp \begin{cases} u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v'(x)=nx^{n-1} \end{cases}$ donc $\forall x \in [1~;~5]~,~f'_n(x)=\dfrac{x^{n-1}-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}}=\dfrac{x^{n-1}\left(1-n \ln(x)\right) }{x^{2n}}=\dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}$ \end{solution} \item ~ \begin{solution} $f'_n(x)=0 \equi \ln(x)=\dfrac{1}{n}\equi x=\exp{\frac{1}{n}}$ et $f_n\left(\exp{\frac{1}{n}} \right)=\dfrac{\ln\left(\exp{\frac{1}{n}} \right)}{\exp{1}}=\dfrac{1}{e}\ln\left(\exp{\frac{1}{n}} \right) $ $A_n$ est donc de coordonnées $\left(\exp{\frac{1}{n}}~;~\dfrac{1}{e}\ln\left(\exp{\frac{1}{n}} \right) \right)$. Donc tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation \[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\] \end{solution} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} $1 \pp x \pp 5 \imp 0 \pp \ln(x) \pp \ln(5)$ car $x \longmapsto \ln(x)$ est croissante sur $[1~;~5]$ en divisant membre à membre par $x^n>0$, on obtient bien pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] : \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\] \end{solution} \item~ \begin{solution} Pour tout entier $n > 1~,~\integ{1}{5}{\dfrac{1}{x^n}}{x}=\integ{1}{5}{x^{-n}}{x}$ $\hphantom{\text{pour tout entier $n > 1~,~$} \integ{1}{5}{\dfrac{1}{x^n}}{x}}=\dfrac{1}{-n+1}\left[ x^{-n+1}\right]_{_1}^{^{5}}$ $\hphantom{\text{pour tout entier $n > 1~,~$} \integ{1}{5}{\dfrac{1}{x^n}}{x}}=\dfrac{1}{-n+1}\left(5^{-n+1}-1 \right) $ $\hphantom{\text{pour tout entier $n > 1~,~$} \integ{1}{5}{\dfrac{1}{x^n}}{x}}=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}} \right) $ \end{solution} \item~ \begin{solution} $f_n(x)\pg0$ sur $[1~;~5]$ donc l'aire cherchée est donnée par $\integ{1}{5}{f_n(x)}{x}$ on sait que pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] : \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\] or l'intégrale conserve l'ordre donc $0 \leqslant \integ{1}{5}{f_n(x)}{x} \leqslant \integ{1}{5}{\dfrac{\ln (5)}{x^n}}{x}$ $\integ{1}{5}{\dfrac{\ln (5)}{x^n}}{x}=\ln(5)\integ{1}{5}{\dfrac{1}{x^n}}{x}=\dfrac{\ln(5)}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}} \right)$ \vspace{0.3cm} \Lim{n}{+\infty}{5^{n-1}}=$~+\infty$ car 5>1 et \Lim{n}{+\infty}{\dfrac{\ln(5)}{n-1}}=0 donc par opération sur les limites on a \Lim{n}{+\infty}{\integ{1}{5}{\dfrac{\ln (5)}{x^n}}{x}}=0 D'après le théorème des gendarmes on en déduit que \Lim{n}{+\infty}{\integ{1}{5}{f_n(x)}{x}}=0 la limite de l'aire est donc de 0 quand $n$ tend vers $+\infty$ \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \label{exercice 5-obli} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} l'énoncé donne $p_{_{G_n}}\left( G_{n+1}\right) =\dfrac{1}{4}$ et $p_{_{\overline{G_n}}}\left( \overline{G_{n+1}}\right) =\dfrac{1}{2}$ donc $p_{_{\overline{G_n}}}\left( G_{n+1}\right) =\dfrac{1}{2}$ $p_2=p\left(G_2 \right)=p\left(G_2\cap G_1 \right) + p\left(G_2\cap \overline{G_1} \right)$ d'après les probabilités totales $\hphantom{p_2}=p_{_{G_1}}\left( G_{2}\right)\x p\left(G_1 \right)+p_{_{\overline{G_1}}}\left( G_{2}\right)\x p\left(\overline{G_1} \right)$ $\hphantom{p_2}=\dfrac{1}{4}p_1+\dfrac{1}{2}\left(1-p_1 \right) $ $\hphantom{p_2}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{16} $ \end{solution} \item ~ \begin{solution} $G_n$ et $\overline{G_n}$ forment une partition de l'univers donc $p_{_{n+1}}=p\left(G_{n+1} \right)=p\left(G_{n+1}\cap G_n \right) + P\left(G_{n+1}\cap \overline{G_n} \right)$ d'après les probabilités totales $\hphantom{p_{_{n+1}}}=P_{_{G_n}}\left( G_{n+1}\right)\x P\left(G_n \right)+P_{_{\overline{G_n}}}\left( G_{n+1}\right)\x P\left(\overline{G_n} \right)$ $\hphantom{p_{_{n+1}}}=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n \right) $ $\hphantom{p_{_{n+1}}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2} $ \end{solution} \item~ \begin{solution} Il semblerait que $\left(p_n \right)$ converge vers 0,4 \end{solution} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} $\forall n \in \N^*~,~u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}$ $\hphantom{\forall n \in \N^*~,~u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10}$ $\hphantom{\forall n \in \N^*~,~u_{n+1}}=-\dfrac{1}{4}\left( p_n-\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{1}{4}u_n $ \vspace{0.3cm} On en déduit que $\left(u_n \right)$ est géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}$ \end{solution} \item ~ \begin{solution} $\forall n \in \N^*~,~u_n=u_1\x q^{n-1}=-\dfrac{3}{20}\x \left(-\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1}$. Or $u_n = p_n-\dfrac{2}{5}$ donc on a bien $\forall n \in \N^*~,~p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\x \left(-\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1}$. \end{solution} \item ~ \begin{solution} $-1<\left|-\dfrac{1}{4} \right| <1$ donc \Lim{n}{+\infty}{\left(-\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1}}=0 et par opération sur les limites, \Lim{n}{+\infty}{p_n}=$~\dfrac{2}{5}$. On en déduit qu'après un grand nombre de parties, la probabilité de gagner se stabilise aux alentours de $\dfrac{2}{5}$ \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \label{exercice 5-spé} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c X|}\hline 1&$A \gets 0$\\ 2& $B \gets 1$\\ 3& Pour $i$ allant de 1 à $n$ :\\ 4& \multicolumn{1}{|l|}{\hspace{0.4cm} $C \gets A + B$}\\ 5& \multicolumn{1}{|l|}{\hspace{0.4cm} $A \gets$ \surj{$B$}}\\ 6& \multicolumn{1}{|l|}{\hspace{0.4cm} $B \gets$ \surj{$C$}}\\ 7& Fin Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{solution} \item ~ \begin{solution} $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ donc $A^2= \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$, $A^3= \begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$, $A^4= \begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$ et $A^5= \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$ \end{solution} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} $A^p= \begin{pmatrix}a_{p+1}&a_p\\a_p&a_{p-1}\end{pmatrix}$ et $A^q= \begin{pmatrix}a_{q+1}&a_q\\a_q&a_{q-1}\end{pmatrix}$ $A^p\x A^q=A^{p+q}=\begin{pmatrix}a_{p+q+1}&a_{p+q}\\a_{p+q}&a_{p+q-1}\end{pmatrix}$ On en déduit, en calculant le terme de $A^{p+q}$ situé sur la seconde ligne et première colonne que pour tous entiers naturels non nuls $p$ et $q$, $a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q$ \end{solution} \item~ \begin{solution} si $r$ divise $a_p$ et $a_q$ alors il existes deux entiers $k$ et $k'$ tels que $a_p=rk$ et $a_q=rk'$. On a alors $a_{p+q} = rk \times a_{q+1} + a_{p-1} \times rk'=r\left(k \times a_{q+1} + a_{p-1} \times k' \right)$. Or $\left(k \times a_{q+1} + a_{p-1} \times k' \right) \in \Z$. Donc on en déduit que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$ \end{solution} \item ~ \begin{solution} \textbf{\emph{Initialisation}}: pour $n=1$ $a_p$ divise évidemment $a_{1\x p}$ \vspace{0.3cm} \textbf{\emph{Hérédité}}: Soit $n$ un entier naturel non nul tel que $a_p$ divise $a_{np}$ donc il existe un entier $k$ tel que $a_{np}=k\x a_p$ alors $a_{(n+1)p}=a_{np+p} = a_{np} \times a_{p+1} + a_{np-1} \times a_p$ $\hphantom{a_{(n+1)p}=a_{np+p} }=a_p\times \left( k \times a_{p+1} + a_{np-1}\right) $ d'après l'hypothèse de récurrence. Or $\left( k \times a_{p+1} + a_{np-1}\right) \in \Z$ On en déduit que $a_p$ divise $a_{(n+1)p}$ La propriété est donc héréditaire à partir du rang $n = 1$ or elle est vérifiée à ce rang 1 donc par le principe de récurrence on vient de montrer que pour tous entiers naturels non nuls $n$ et $p$, $a_p$ divise $a_{np}$. \end{solution} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{solution} Si $n\pg5$ n'est pas premier alors il existe deux entiers naturels $m\pg3$ et $p\pg2$ tels que $n=mp$ alors $a_n=a_{mp}$ est divisible par $a_m$ d'après la question précédente. Or pour tout entier $m\pg 3$, $a_m>1$ donc $a_n$ n'est pas premier car divisible par $a_m$ qui est un entier supérieur strictement à 1 Finalement si $n \pg 5$ n'est pas premier alors $a_n$ n'est pas premier. \end{solution} \item ~ \begin{solution} $\np{4181}$ n'est pas un nombre premier mais 19 est premier donc si $a_n$ n'est pas premier, $n$ peut l'être. On peut conclure que la réciproque de la propriété précédente est fausse. \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}