\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions %\documentclass[a4paper ,11pt]{article} \usepackage{color} \renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{\blue Solution : }\noindent} \shadedsolutions \definecolor{SolutionColor}{rgb}{0.95,0.9,1} %\framedsolutions \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{colortbl} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{array} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\usepackage[body={13.4cm,23.5cm}]{geometry} \usepackage[left=1cm, right=1cm , top=1cm , bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma %\usepackage[np]{numprint} %** surlignage en jaune *** \newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl,pstricks-add} %\input tabvar %\usepackage[firstpage]{draftwatermark} \usepackage{lastpage} \usepackage{titlesec} \usepackage{enumitem} \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}} \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{tabularx} \usepackage{fp} \usepackage{multido} \usepackage{enumitem} \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) } \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) } \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) } \newcommand{\para}{$\slash{}\slash{}$} \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$} \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$} \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$} \newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos \setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur \newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre \vspace{0.5cm} \addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos {{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos \vspace{0.5cm} } \newcommand{\pg}{\geqslant} %plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant} %plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow} % équivalent \renewcommand{\d}{\,\text{d}} %le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}} %le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}} %le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} %displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}} %crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}} %crochet droit \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \arabic{subsection}}} \newcommand{\entetecor}[4]{% \rhead{#3} \chead{\shadowbox{Corrigé baccalauréat S #1 du #2}} \lfoot{Baccalauréat 2017}%Corrigé de #1 du #2} \rfoot{A. Detant} \setcounter{page}{1} \cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}} % \rfoot{#3} \newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm} } \newcommand{\integ}[4]{$\displaystyle \int_{#1}^{#2}~#3~\text{d}#4~$} \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\SetWatermarkText{Lycée Henri IV} %\SetWatermarkScale{0.6} %\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B} \entetecor{Métropole}{21 juin 2017}{}{} \titlespacing*{\subsubsection} {0pt}%␣retrait␣à␣gauche {0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant {0ex plus 0ex}%␣espace␣après [0pt]%␣retrait␣à␣droite \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 7 points}} \label{courbe} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip \textbf{Partie A } \bigskip On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$. \begin{solution} \textbf{Deux méthodes} \textbf{méthode 1}: $\forall x \pg 0~,~h(x)=x\text{e}^{-x}=\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^{x}}{x}}$ Or \Lim{x}{+\infty}{\dfrac{\text{e}^{x}}{x}} =~ $+\infty$ donc par quotient, \Lim{x}{+\infty}{h(x)}=~0 \vspace{0.3cm} \textbf{méthode 2}: On pose $X = -x$ alors quand $x$ tend vers $+\infty$, $X$ tend vers $-\infty$ \Lim{x}{+\infty}{h(x)} = \Lim{X}{-\infty}{-X\text{e}^{X}}=~0 d'après le cours \end{solution} \item Étudier les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations. \begin{solution} $h$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ $h=uv \Longrightarrow h'=u'v+ uv'$ avec $\begin{cases} u(x)=x\\v(x)=\text{e}^{-x} \end{cases}~\Longrightarrow~\begin{cases} u'(x)=1\\v'(x)=-\text{e}^{-x} \end{cases}$ $\forall x \pg 0~,~h'(x)=\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}=(1-x)\text{e}^{-x}$ sur $[0~;~+\infty[,~\text{e}^{-x} > 0$ donc $h'(x)$ est du signe de $(1-x)$, on en déduit les variations de $h(x)$: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$1$} \uput[u](8.5,2.4){$+\infty$} \rput(0.5,2.25){$h'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){-} \uput[u](1.5,0){$0$} \uput[u](5,1.3){$\frac{1}{\text{e}} $} \uput[u](8.5,0){$0 $} \rput(0.5,1){$h(x)$} \psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7) \psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3) \end{pspicture} \end{center} \end{solution} \item L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : \[h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)\] où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$. \begin{solution} $\forall x \pg 0~,~h(x)+h'(x)=x\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x}$ donc on a bien $\forall x \pg 0~,~h(x)=\text{e}^{-x}-h'(x)$ \end{solution} \item Déterminer une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction \\ $x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$. \begin{solution} $x \longmapsto \left(-\text{e}^{-x} \right)$ est une primitive de $x \longmapsto \left(\text{e}^{-x} \right)$ sur $[0~;~+\infty[$ \end{solution} \item Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \begin{solution} $\forall x \pg 0~,~h(x)=\text{e}^{-x}-h'(x)$ donc $H(x)=-\text{e}^{-x}-h(x)=\left(-1-x \right)\text{e}^{-x} $ est une primitive de $h$ sur $[0~;~+\infty[$ \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B } \medskip On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: \[f(x) =x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\text{\hspace{2cm}et\hspace{2cm}} g(x) =\ln(x + 1).\] On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé. \textbf{Ces deux courbes sont tracées en annexe page \pageref{fin}. Cettee annexe est à rendre avec la copie. } \bigskip \begin{enumerate} \item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x~;~g(x))$ : $M$ et $N$ sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale. \begin{solution} M et N ayant la même abscisse, la distance MN est donnée par MN~=~$f(x)-g(x)$ car $f(x) \pg g(x)$ sur $[0~;~+\infty[$ $\text{MN}=x\text{e}^{-x}=h(x)$ donc MN est maximale quand $h$ est maximale c'est à dire pour $x=1$ et sa valeur est $\dfrac{1}{\text{e}}\approx 0,368$ \end{solution} \item Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$. \begin{solution} \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.1,-0.5)(5.5,2.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(5.2,2.4) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(5.2,2.4) \psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=blue]{0}{5.2}{x*EXP(-x)+ln(x+1.0)} \psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=red]{0}{5.2}{ln(x+1.0)} \psline(3.7,-0.1)(3.7,0.1) \uput[d](3.7,0){$\lambda$} \pscustom[linecolor=black,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=60.0,hatchsep=0.1]{\psplot{1.}{3.7}{ln(1+x)}\lineto(3.7,1.639)\psplot{3.7}{1.}{x*EXP(-x)+ln(1+x)}\lineto(1.,1.061)\closepath} \psdots[dotstyle=*](1.,0.693)(1.,1.061) \begin{scriptsize} \rput[ul](.85,1.1){M} \rput[dr](1.15,0.65){N} \uput[u](4,1.68){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[d](4.2,1.65){\red $\mathcal{C}_g$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \end{solution} \end{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x =0$ et $x =\lambda$. \begin{enumerate} \item Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe. \begin{solution} Voir graphique précédent \end{solution} \newpage \item On note $A_{\lambda}$. l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que : \[A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\] \begin{solution} $f(x)$ et $g(x)$ sont positives sur $[0~;~+\infty[$ et $f(x) \pg g(x)$, alors on a: $A_\lambda =$~\integ{0}{\lambda}{\left( f(x)-g(x)\right) }{x}=~\integ{0}{\lambda}{h(x)}{x} $\hphantom{A_\lambda~ }$=~$\left[H(x) \right]_{_{0}}^{^{\lambda}}~=~H(\lambda)-H(0)$ $\hphantom{A_\lambda~ }=\left(\left(-1-\lambda \right)\text{e}^{-\lambda} \right)-(-1)=1-(1+\lambda)\text{e}^{-\lambda}$ $\hphantom{A_\lambda~ }=1-\dfrac{1+\lambda}{\text{e}^{\lambda}}$ \end{solution} \item Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat. \begin{solution} $A_\lambda = 1-\dfrac{\lambda}{\text{e}^{\lambda}}-\dfrac{1}{\text{e}^{\lambda}}=1-\lambda \text{e}^{-\lambda}-\text{e}^{-\lambda}$ On pose $T=-\lambda$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$, $T$ tend vers $-\infty$ \Lim{\lambda}{+\infty}{A_\lambda}=~\Lim{T}{-\infty}{1+T \text{e}^{T}-\text{e}^{T}}=~1 car \Lim{T}{-\infty}{\text{e}^{T}}=~\Lim{T}{-\infty}{T\text{e}^{T}}=~0 d'après le cours \end{solution} \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{tabular}{|ll|} \hline \textbf{Variables :}&\\ &$\lambda$ est un réel positif\\ &$S$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.\\ \textbf{Initialisation :}&\\ &Saisir $S$\\ &$\lambda$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement :}&\\ &Tant Que $1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}} 0$ sur $]0~;~+\infty[$ donc $H$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ de plus \Lim{x}{+\infty}{H(x)}=~0 $H$ est continue et strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ à valeurs dans $[-1~;~0[$ or $- 0,2 \in [-1~;~0[$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $H(x)=-0,2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0~;~+\infty[$ Par balayage on trouve $2 < \alpha < 3$ donc la valeur renvoyée par l'algorithme est $\lambda = 3$ \end{solution} \item Quel est le rôle de cet algorithme ? \begin{solution} Cet algorithme permet de trouver la plus petite valeur entière de $\lambda$ à partir de laquelle $A_\lambda$ dépasse une valeur donnée $S$ \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip L'espace est mini d'un repère \Oijk. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne : $2x - z - 3 = 0$. On note A le point de coordonnées $\left(1~;~a~;~a^2\right)$ où $a$ est un nombre réel. \begin{enumerate} \item Justifier que, quelle que soit la valeur de $a$, le point A n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$. \begin{solution} $2x_A-z_A-3=2-a^2-3=-1-a^2<0$ donc $2x_A-z_A-3 \neq 0$ ce qui signifie que A n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$ \end{solution} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ (de paramètre $t$) passant par le point A et orthogonale au plan $\mathcal{P}$. \begin{solution} $\vect{n}\begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathcal{P}$ donc directeur de $\mathcal{D}$ et A$(1~;~a~;~a^2) \in \mathcal{D}$ alors $\mathcal{D}~:~\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t \end{cases}~~(t\in \R)$ \end{solution} \item Soit M un point appartenant à la droite $\mathcal{D}$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente. Exprimer la distance AM en fonction du réel $t$. \begin{solution} On se situe dans un repère orthonormé donc $\text{AM}^2=\left(x_\text{M}-x_\text{A} \right)^2 +\left(y_\text{M}- y_\text{A} \right)^2 +\left(z_\text{M}-z_\text{A} \right)^2=\left(1 + 2t - 1 \right)^2 +\left(a - a \right)^2 +\left(a^2-t-a^2 \right)^2 = 5t^2$ $\text{AM}=t\sqrt{5}$ \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \parbox{4.5cm}{On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale à $\mathcal{P}$ et passant par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ et la distance AH est appelée distance du point A au plan $\mathcal{P}$.}\hfill \parbox{7cm}{\begin{center} \psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.,-2.)(12.,7.5) \pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(7.,-1.)(10.,3.)(3.,4.) \psline(0.,0.)(7.,-1.) \psline(7.,-1.)(10.,3.) \psline(10.,3.)(3.,4.) \psline(3.,4.)(0.,0.) \rput[tl](0.72,0.86){$\mathcal{P}$} %\psplot{-1.}{12.}{(-15.5--4.*x)/3.} %\psplot{-1.}{12.}{(--15.5-1.*x)/7.} \psline(5.,7.)(5.,1.5) \psline[linestyle=dashed](5,1.5)(5,-0.71) \psline(5,-0.71)(5,-2) \begin{scriptsize} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) %\rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,-1.) %\rput[bl](7.08,-0.8){\blue{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10.,3.) %\rput[bl](10.08,3.2){\blue{$C$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.,4.) %\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$D$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,1.5) \rput[bl](5.08,1.7){\blue{$H$}} \psdots[dotstyle=*](5.,5.) \rput[bl](5.08,5.2){$A$} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.,-0.7142857142857143) %\rput[bl](5.08,-0.6){\darkgray{$F$}} %\psdots[dotstyle=*](4.568,0.924) %\rput[bl](4.64,1.12){\xdxdff{$G$}} %\psdots[dotstyle=*](5.8624,1.3768) %\rput[bl](5.94,1.58){\xdxdff{$I$}} %\psdots[dotstyle=*](5.,2.) %\rput[bl](5.08,2.2){\xdxdff{$J$}} \psline(4.57, 0.92)(5,1.5) \psline(5.86,1.38)(5,1.5) \psline(4.78,1.71)(5,2) \psline(5.43,1.94)(5,2) \psline(4.78,1.21)(4.78,1.71) \psline(5.43,1.94)(5.43,1.44) \uput[r](5,6){$\mathcal{D}$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} } \item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées $\left(1~;~a~;~a^2\right)$ au plan $\mathcal{P}$ est minimale. Justifier la réponse. \begin{solution} H est un point de $\mathcal{D}$ donc AH = $t\sqrt{5}$ avec $t$ le paramètre associé à H dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ H est un point de $\mathcal{P}$ donc ses coordonnées vérifient $2x_{\text{H}}-z_{\text{H}}-3=0$ et donc le paramètre $t$ associé à H vérifie : $2\left( 1+2t\right) -\left(a^2-t \right) -3=0 \equi t=\dfrac{a^2+1}{5}$ la distance AH est minimale lorsque $t$ est minimum c'est à dire quand $a^2=0$ donc $a=0$ Finalement A(1~;~0~;~0) est le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1~;~a~;~a^2)$ pour lequel la distance AH est minimale \end{solution} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \begin{minipage}{\linewidth} Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d'incendie. \medskip Le but de l'exercice est d'étudier les impacts de foudre détectés par un capteur. L'écran radar, sur lequel les points d'impact de foudre sont observés, a l'allure suivante : \end{minipage} \begin{center} \psset{xunit=0.03cm,yunit=0.03cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-130.,-130.)(130.,130.) \pscircle(0.,0.){0.6} \pscircle(0.,0.){1.2} \pscircle(0.,0.){1.8} \pscircle(0.,0.){2.4} \pscircle(0.,0.){3.} \rput[tl](11.763406374095203,-2.1183288593829452){20} \rput[tl](30.32335436602127,-2.94321543680188){40} \rput[tl](50.94551880149468,-3.7681020142208146){60} \rput[tl](71.15523994825863,-5.8303184577681515){80} \rput[tl](88.89030136276575,-6.655205035187086){100} \rput[tl](108.68757922082023,-4.59298859163975){Est} \rput[tl](-8.446314772668737,112.54090540184897){Nord} \uput[l](-95,0){Ouest} \rput[tl](-1.0223355758983101,-106.05403761416872){Sud} %\psplot{-110.}{110.}{(-0.--1.*x)/1.} %\psplot{-110.}{110.}{(-0.-1.*x)/1.} \rput[tl](-73.19991110005525,-52.848853370647426){5} \rput[tl](-57.114622840385984,-38.000894977106604){4} \rput[tl](-42.26666444684513,-23.977823160984713){3} \rput[tl](-27.83114934201374,-12.429411077119628){2} \rput[tl](-12.57074765976342,1.1812174502927935){1} \rput[tl](99.61382686921192,38.30111343414485){A} \rput[tl](47.64597249181893,98.93027687443656){B} \rput[tl](-39.792004714588316,103.4671530502407){C} \rput[tl](-104.95804433068429,47.787309074462605){D} \rput[tl](-98.3589517113328,-41.71288457549181){E} \rput[tl](-38.96711813716938,-95.33051210772257){F} \rput[tl](58.78194128697457,-85.84431646740481){G} \rput[tl](99.20138358050245,-41.300441286782345){H} \psline(0.,-110.)(0.,110.) \psplot{-100.}{100.}{(-0.-0.*x)/1.} \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) \uput[dl](10,0){\blue{$O$}} %\rput[bl](-10.096087927506609,9.017639935772673){$c$} %\rput[bl](-20.407170145243313,25.927814772860835){$d$} %\rput[bl](-30.30580907427055,42.83798960994899){$e$} %\rput[bl](-40.204448003297784,60.16060773574662){$f$} %\rput[bl](-50.10308693232502,77.07078257283479){$g$} %\rput[bl](-115.269126548421,-120.90199600770954){$h$} %\rput[bl](-123.93043561131982,124.914204063133){$i$} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-70.71067811865476,-70.71067811865476) %\rput[bl](-69.07547821296056,-68.10925505289772){\darkgray{$A$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](70.71067811865476,70.71067811865476) %\rput[bl](72.39256981438703,73.35879297444957){\darkgray{$B$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-70.71067811865476,70.71067811865476) %\rput[bl](-69.07547821296056,73.35879297444957){\darkgray{$C$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](70.71067811865476,-70.71067811865476) %\rput[bl](72.39256981438703,-68.10925505289772){\darkgray{$D$}} %\rput[bl](3.1020973111963714,124.914204063133){$j$} %\rput[bl](-173.01118696774654,3.6558771825495975){$k$} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,100.) %\rput[bl](1.4523241563584988,102.64226647282176){\darkgray{$E$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,-100.) %\rput[bl](1.4523241563584988,-97.3927285512699){\darkgray{$F$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-100.,0.) %\rput[bl](-98.3589517113328,2.4185473164211952){\darkgray{$G$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](100.,0.) %\rput[bl](101.67604331275926,2.4185473164211952){\darkgray{$H$}} \psline(-70.71,-70.71)(70.71,70.71) \psline(70.71,-70.71)(-70.71,70.71) \psdot[dotstyle=x](22.9,45.31) \uput[r](22.9,45.31){P} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \begin{minipage}{\linewidth} Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l'écran, cinq cercles concentrique correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l'ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H. \medskip L'écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. \medskip On assimile l'écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé \Ouv{} de la manière suivante : \begin{itemize}[label=$\bullet$] \item l'origine O marque la position du capteur ; \item l'axe des abscisses est orienté d'Ouest en Est ; \item l'axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ; \item l'unité choisie est le kilomètre. \end{itemize} Dans la suite, un point de l'écran radar est associé à un point d'affixe $z$. \end{minipage} \begin{center} \textbf{PARTIE A} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item On note $z_P$ l'affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle $r$ le module de $z_P$ et $\theta$ son argument dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour $r$ et pour $\theta$ (aucune justification n'est demandée) : $\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline \textbf{Proposition A }&\textbf{Proposition B }&\textbf{Proposition C }&\textbf{Proposition D }\\ \hline 40 < r < 60 &20 < r < 40 &40 < r < 60 &0< r < 60 \\ \text{et}&\text{et}&\text{et}&\text{et}\\ 0<\theta<\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}&-\dfrac{\pi}{2}<\theta<-\dfrac{\pi}{4}\\ \hline \end{array}$ \begin{solution} P est dans la zone 3 donc $r \in [40~;~60]$ P est dans la portion B donc $\theta \in \left[\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2} \right]$ La proposition C est correcte \end{solution} \item Un impact de foudre est matérialisé sur l'écran en un point d'affixe $z$. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient : \begin{enumerate} \item $z =70\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi3} $ ; \begin{solution} $r=\left|z \right|=70$ donc l'impact est dans la zone 4 et $arg(z)=-\dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}~;~-\dfrac{\pi}{3} \right]$ finalement l'impact se situe dans le secteur G4 \end{solution} \item $z = -45\sqrt{3}+45\mathrm{i}$. \begin{solution} $z=45(-\sqrt{3}+\text{i}) \Longrightarrow \left|z \right|=45\left|-\sqrt{3}+\text{i} \right|=90$ donc $z=90\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i} \right)=90\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ $r=90$ donc l'impact est dans la zone 5 et $arg(z)=\dfrac{5\pi}{6} \in \left[\dfrac{3\pi}{4}~;~\pi \right]$ finalement l'impact se situe dans le secteur D5 \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} \begin{minipage}{\linewidth} On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d'affixe $50\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$. En raison d'imprécisions de mesures, le point d'impact affiché ne donne qu'une indication approximative du point d'impact réel de la foudre. Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d'impact P d'affixe $50\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$3, l'affixe Z du point d'impact réel de la foudre admet : \begin{itemize}[label=$\bullet$] \item un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart type $\sigma = 5$ ; \item un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d'espérance $\dfrac{\pi}{3}$ et d'écart type $\dfrac{\pi}{12}$. \end{itemize} \bigskip On suppose que les variables aléatoires $M$ et $T$ sont indépendantes, c'est-à-dire que, quels que soient les intervalles $I$ et $J$, les évènements $(M \in 1)$ et $(T\in J)$ sont indépendants. Dans la suite les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près. \end{minipage} \newpage \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(M < 0)$ et interpréter le résultat obtenu. \begin{solution} $M \hookrightarrow \mathcal{N}(50~;~5^2)$ $P(M<0)\approx 0$ donc cela signifie que que l'évènement \og $M<0$ \fg{} est impossible \textbf{remarque}: ce n'est pas une surprise: $M$ est un module ! \end{solution} \item Calculer la probabilité $P(M\in ]40~;~60[)$. \begin{solution} $P(40 < M < 60)=P(\mu-2\sigma < M < \mu + 2\sigma) \approx 0,954$ d'après le cours \end{solution} \item On admet que $P\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\right)=0,819$. En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation. \begin{solution} On cherche $P(A \cap B)$ avec $A= \og M \in ]40~;~60[ \fg{}$ et $B=\og T \in \left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[\fg{}$ les variables $M$ et $T$ sont indépendantes donc $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ $P(A\cap B)=P(40 < M < 60) \times P\left(T \in \left]\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[ \right)=0,954\times 0,819 \approx 0,781$ \end{solution} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \begin{minipage}{\linewidth} On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité : \begin{itemize}[label=$\bullet$] \item soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est \og{}de type S\fg{} ; \item soit malade (atteint par le virus) ; \item soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). \end{itemize} Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. \bigskip Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : \begin{itemize}[label=$\bullet$] \item Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85\:\% restent de type S, 5\:\% deviennent malades et 10\:\% deviennent immunisés ; \item Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65\:\% restent malades, et 35\:\% sont guéris et deviennent immunisés. \item Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$. \end{itemize} \bigskip On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : $S_n$ : \og{}l'individu est de type S en semaine $n$\fg{} ; \\ $M_n$ : \og{} l'individu est malade en semaine $n$\fg{} ; \\ $I_n$ : \og{}l'individu est immunisé en semaine $n$\fg{}. \bigskip En semaine 0, tous les individus sont considérés \og{}de type S\fg{}, on a donc les probabilités suivantes : \[P\left(S_0\right) = 1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et }P\left(I_0\right) = 0. \] \end{minipage} \newpage \begin{center} \textbf{Partie A } \end{center} \bigskip On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2. \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous : \begin{solution} \hspace{1cm}\begin{minipage}{0.4\linewidth} L'énoncé donne: $P_{S_{n}}\left(S_{n+1} \right)=0,85$ $P_{S_{n}}\left(M_{n+1} \right)=0,05$ $P_{S_{n}}\left(I_{n+1} \right)=0,1$ $P_{S_{n}}\left(S_{n+1} \right)=0,85$ $P_{M_{n}}\left(M_{n+1} \right)=0,65$ $P_{M_{n}}\left(I_{n+1} \right)=0,35$ $P_{I_{n}}\left(I_{n+1} \right)=1$ \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{center} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm,nodesep=3pt} \pstree[treemode=R]{\TR{$S_0$}} { \pstree {\TR{$S_1$}\taput{\small $0,85$}} { \TR{$S_2$}\taput{\small $0,85$} \TR{$M_2$}\taput{\small $0,05$} \TR{$I_2$}\tbput{\small $0,1$} } \pstree {\TR{$M_1$}\taput{\small $0,05$}} { \TR{$M_2$}\taput{\small $0,65$} \TR{$I_2$}\tbput{\small $0,35$} } \pstree {\TR{$I_1$}\tbput{\small $0,1$}} { \TR{$I_2$}\taput{\small $1$} } } \end{center} \end{minipage} \end{solution} \item Montrer que $P\left(I_2\right)= 0,2025$. \begin{solution} $S_1~,~M_1~\text{et}~I_1$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a $P\left( I_2\right)=P\left(I_2\cap S_1 \right) + P\left(I_2\cap S_M \right)+P\left(I_2\cap I_1 \right)$ $\hphantom{P\left( I_2\right)}=P_{S_1}\left(I_2 \right)\times P\left( S_1\right)+P_{M_1}\left(I_2 \right)\times P\left( M_1\right)+P_{I_1}\left(I_2 \right)\times P\left( I_1\right) $ $\hphantom{P\left( I_2\right)}=0,1\times 0,85+0,35\times 0,05+1\times 0,1 $ $\hphantom{P\left( I_2\right)}= \np{0,2025}$. \end{solution} \item Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ? \begin{solution} On cherche $P_{I_2}\left( M_1\right)$ $P_{I_2}\left( M_1\right)=\dfrac{P\left(M_1 \cap I_2\right) }{P\left( I_2\right)}=\dfrac{P_{M_1}\left(I_2 \right)\times P\left( M_1\right)}{\np{0,2025}}=\dfrac{\np{0,0175}}{\np{0,2025}}=\dfrac{7}{81}\approx \np{0,0864}$ \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{PARTIE B} \end{center} \begin{minipage}{\linewidth} On étudie à long terme l'évolution de la maladie. Pour tout entier naturel $n$, on : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$. \end{minipage} \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n+v_n+w_n=1$. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_0=0,65v_n+0,05u_n$. \begin{solution} $S_n~,~M_n~\text{et}~I_n$ forment une partition de l'univers puisque qu'un individu est soit de type S soit malade soit immunisé à l'exclusion de toute autre possibilité donc $P\left( S_n\right) +P\left( M_n\right) +P\left( I_n\right)=1$ on a donc bien $\forall n \in \N~,~u_n+v_n+w_n=1$ \end{solution} \newpage \item À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline &A &B &C&D\\ \hline 1 &$n$&$u_n$&$v_n$&$w_n$\\ \hline 2 &0 &1&0&0\\ \hline 3 &1 &\np{0,8500}&\np{0,0500}&\np{0,1000}\\ \hline 4 &2 &\np{0,7225}&\np{0,0750}&\np{0,2025}\\ \hline 5 &3 &\np{0,6141}&\np{0,0849}&\np{0,3010}\\ \hline 6 &4 &\np{0,5220}&\np{0,0859}&\np{0,3921}\\ \hline 7 &5 &\np{0,4437}&\np{0,0819}&\np{0,4744}\\ \hline 8 &6 &\np{0,3771}&\np{0,0754}&\np{0,5474}\\ \hline \dots &\dots&\dots&\dots\\ \hline 20 &18 &\np{0,0536}&\np{0,0133}&\np{0,9330}\\ \hline 21 &19 &\np{0,0456}&\np{0,0113}&\np{0,9431}\\ \hline 22 &20 &\np{0,0388}&\np{0,0096}&\np{0,9516}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \emph{Pour répondre aux questions a. et b. suivantes, on utilisera la feuille de cacu reproduite ci-dessus.} \begin{enumerate} \item Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ? \begin{solution} en C3 on a entré \og =0,65*C2+0,05B2\fg car $v_{n+1}=0,65v_n+0,05u_n$ \end{solution} \item On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent à partir d'une certain rang $N$, appelé le \og{}pic épidémique\fg{} : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle. \begin{solution} D'après le tableur, le \og pic épidémique \fg{} est atteint lors de la 4\up{e} semaine \end{solution} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,85u_n$. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \begin{solution} $u_{n+1}=P(S_{n+1})$ or la seule façon d'être de type S à la semaine $(n+1)$ est de l'avoir été à la semaine $n$ donc $P(S_{n+1})=P_{S_n}(S_{n+1})\times P(S_n)$ or $P_{S_n}(S_{n+1})=0,85$ d'après l'énoncé et $P(S_n)=u_n$ Finalement on a bien $\forall n \in \N~,~u_{n+1}=0,85u_n$ On en déduit que $\left(u_n \right)$ est géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=P\left(S_0 \right)=1$ on a donc $\forall n \in \N~,~u_{n}=0,85^n$ \end{solution} \newpage \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, \[u_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right).\] \begin{solution} \textbf{initialisation}: pour $n=0$ $v_0=P(M_0)=0$ et $\dfrac{1}{4}\left(0,85^0-0,65^0 \right)=0$ \vspace{0.3cm} \textbf{hérédité}: Soit $n$ un entier naturel tel que $v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n \right)$ alors $v_{n+1}=0,65v_n+0,05u_n$ $\hphantom{v_{n+1}}=0,65\times \left( \dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n \right)\right) +0,05\times 0,85^n$ $\hphantom{v_{n+1}}=\left(0,65\times \dfrac{1}{4}+0,05 \right)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1} $ $\hphantom{v_{n+1}}=\left(0,65\times \dfrac{1}{4}+0,2\times \dfrac{1}{4} \right)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1} $ $\hphantom{v_{n+1}}= \dfrac{1}{4} \times 0,85^{n+1}-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1} $ $\hphantom{v_{n+1}}= \dfrac{1}{4} \times \left( 0,85^{n+1}- 0,65^{n+1}\right) $ La propriété est donc héréditaire à partir du rang $n=0$ or elle est vérifiée à ce rang 0 donc par le principe de récurrence on vient de montrer que $\forall n \in \N~,~v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n \right)$ \end{solution} \end{enumerate} \item Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ? \begin{solution} $\left|0,85 \right|<1$ donc \Lim{n}{+\infty}{0,85^n}=~0 et de même, \Lim{n}{+\infty}{0,65^n}=~0 On en déduit, par opération sur les limites que \Lim{n}{+\infty}{u_n}=~\Lim{n}{+\infty}{v_n}=~0 de plus on sait que $\forall n \in \N~,~u_n+v_n+w_n=1$ on a alors \Lim{n}{+\infty}{w_n}=~1 Cela signifie qu'à terme, l'épidémie sera éradiquée \end{solution} \end{enumerate} \newpage \subsection*{EXERCICE IV} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{minipage}{\linewidth} On appelle \og{}triangle rectangle presque isocèle\fg{}, en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs $x$ et $x + 1$, et dont l 'hypoténuse a pour longueur $y$, où x et y sont des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier. \end{minipage} \parbox{7cm}{\begin{pspicture}(-1,-1)(5,4) \psline(0,0)(4,0) \psline(0,3)(0,0) \psline(0,3)(4,0) \uput[d](2,0){$x+1$} \uput[l](0,1.5){$x$} \uput[u](2,1.5){$y$} \end{pspicture}}\hfill \parbox{8cm}{Si le triangle de côtés $x$, $x + 1$ et $y$, où $y$ est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPJ, on dira que le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI. } \bigskip \begin{center} \textbf{Partie A } \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI si, et seulement si, on a : \[y^2 = 2x^2 + 2x + 1\] \begin{solution} D'après le théorème de Pythagore, le triangle est rectangle si et seulement si $y^2=x^2+(x+1)^2$ soit $y^2=2x^2+2x+1$ \end{solution} \item Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3~;~5). \begin{solution} Pour $x=1$ on aurait $y=\sqrt{5} \notin \N$ pour $x=2$ on aurait $y=\sqrt{13} \notin \N$ pour $x=3$ on aurait $y=5$ donc le couple (3~;~5) est le plus petit couple d'entiers non nuls $(x~;~y)$ tel que le triangle soit un TPRI \end{solution} \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair. \begin{solution} Raisonnons par contraposition : Si $n$ est pair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$ et donc $n^2=4k^2$ est pair On en déduit que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair \end{solution} \item Montrer que dans un couple d'entiers $(x~;~y)$ définissant un TRPI, le nombre $y$ est nécessairement impair. \begin{solution} pour tout entier naturel $x$, $2(x^2+x)$ est pair. on en déduit que si $(x~;~y)$ définit un TPRI alors $y^2$ est nécessairement impair et avec la question qui précède on peut conclure que $y$ est impair \end{solution} \item Montrer que si le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \begin{solution} Si $(x~;~y)$ définit un TPRI alors $y^2=2x^2+2x+1$ $y^2=2x^2+2x+1 \equi y\times y-(2x+2)\times x=1$ on a donc $ay+bx=1$ avec $a=y \in \N~,~b=2x+2 \in \N$ alors on peut conclure d'après le théorème de Bezout que $x$ et $y$ sont premiers entre eux \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} \bigskip On note $A$ la matrice carrée : $A =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$, et $B$ la matrice colonne : $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels $x'$ et $y'$ par la relation : \[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B.\] Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \begin{solution} $A\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+B=\begin{pmatrix} 3x+2y+1\\4x+3y+2 \end{pmatrix}$ ~on a donc $\begin{cases} x'=3x+2y+1\\y'=4x+3y+2 \end{cases}$ \end{solution} \begin{enumerate} \item Montrer que : $y'^2 - 2x'(x' + 1) = y^2 - 2x(x + 1)$. \begin{solution} $y'^2-2x'(x'+1)=(4x+3y+2)^2-2(3x+2y+1)(3x+2y+2)$ $\hphantom{y'2-2x'(x'+1)}=16x^2+9y^2+4+24xy+12y+16x-2(9x^2+4y^2+2+12xy+9x+6y)$ $\hphantom{y'2-2x'(x'+1)}=-2x^2+y^2-2x$ $\hphantom{y'2-2x'(x'+1)}=y^2-2x(x+1)$ \end{solution} \item En déduire que si le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors le couple $\left(x'~;~y'\right)$ définit également un TRPI. \begin{solution} Si $(x~;~y)$ définit un TPRI alors $y^2=2x^2+2x+1$ soit $y^2-2x^2-2x=1$ donc si $(x~;~y)$ définit un TPRI alors $y^2-2x(x+1)=1$ donc $y'2-2x'(x'+1)=1$ or $y'2-2x'(x'+1)=1 \equi y'2=2x'2+2x'+1 $ Finalement si $(x~;~y)$ définit un TPRI alors $(x'~;~y')$ définit un TPRI \end{solution} On considère les suites $\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left(y_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ d'entiers naturels, définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 5$ et pour tout entier naturel n : $\begin{pmatrix}x_{n+1}&y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}+B$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_ny_n\right)$ définit un TRPI. \begin{solution} \textbf{Initialisation}: pour $n=0$ on sait que $\left(3~;~5\right) $ définit un TPRI d'après la question 2 de la partie A \vspace{0.3cm} \textbf{Hérédité}: soit $n$ un entier naturel tel que $\left(x_n~;~y_n\right) $ définisse un TPRI alors on sait que $\left(x_{n+1}~;~y_{n+1}\right) $ défini par $\begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x_{n}\\y_{n} \end{pmatrix}+B$ définit aussi un TPRI d'après la question 2.b. de la partie B On en déduit que la propriété est héréditaire à partir du rang $n=0$ or elle est vérifiée à ce rang \vspace{0.3cm} Par le principe de récurrence on vient donc de montrer que pour tout entier naturel $n$, $\left(x_n~;~y_n\right) $ définit un TPRI \end{solution} \item Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017. \begin{solution} D'après la question 1. de la partie B on a $\begin{cases} x_{n+1}=3x_n+2y_{n}+1\\y_{n+1}=4x_{n}+3y_{n}+2 \end{cases}$ On programme les deux suites définies par $\begin{cases} x_0=3\\x_{n+1}=3x_n+2y_{n}+1 \end{cases}$ et $\begin{cases} y_0=5\\y_{n+1}=4x_{n}+3y_{n}+2 \end{cases}$ on trouve alors $\left(x_3~;~y_3\right) =(696~;~985)$ et $\left( x_4~;~y_4\right) =(\np{4059} ~;~\np{5741})$ Donc un triangle dont les côtés mesurent \np{4059},~\np{4060}~et~\np{5741} est un TPRI dont les côtés ont des longueurs supérieurs à 2017. vérification: $\np{4059}^2 +\np{4060}^2=\np{32959081}$ et $\np{5741}^2=\np{32959081}$ \end{solution} \end{enumerate} \end{document}