%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,color} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \usepackage{geometry} \geometry{hmargin=3cm, vmargin=3cm } \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole dévoilé juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small éventé le 19 juin 2009} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole 23 juin 2009 \decofourright\\sujet dévoilé}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ % Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la répons exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} % %\bigskip % %L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. % %On considère les points A$(1~;~ 2~;~-1)$, B$(1~;~ 1 ~;~0)$, C$(9~;~ -1~;~ -2)$, S(1~;~ 1~;~ 1). % On admet qu'une équation du plan (ABC) est $x + 2y + 2z - 3 = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item %Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} %\textbf{a.} $\left\{\begin{array}{l c l} %x&=&1 - t\\ %y&=& 2 - 4t\\ %z&=& -1 +3t\\ %\end{array}\right.$ ($t$ réel)& %\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l} %x&=&1\\ %y&=&-1-t\\ %z&=&3+t\\ %\end{array}\right.$ ($t$ réel)& %\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l} %x&=&1\\ %y&=&1 - 2t\\ %z&=&2t\\ %\end{array}\right.$ ($t$ réel)\\ %\end{tabularx} Si la solution est \textbf{a.}, les abscisses de A et de B donneraient la même valeur de $t = 0$. Si la solution est \textbf{b.}, l'ordonnée de A donnerait $t = -3$ et la cote serait fausse. La solution est \textbf{c.}. $t = - \dfrac{1}{2}$ donne les coordonnées de A et $t = 0$ donne les coordonnées de B. \grimace : cette question est piégeuse pour celui ou celle qui cherche l'équation de la droite (AB) et qui ne trouve aucun des trois systèmes ! \item %Les coordonnées du point S$'$ symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont : La droite (SS$'$) est perpendiculaire au plan et coupe ce plan en H projeté orthogonal de S sur ce plan. Le point H appartient à la droite SS$'$ et au plan, donc ses coordonnées vérifient : \[\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&1 + 1t\\ y&=&1 + 2t\\ z&=&1 + 2t\\ x + 2y + 2z - 3&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l} x&=&1 + 1t\\ y&=&1 + 2t\\ z&=&1 + 2t\\ 2 + 9t &=&0 \end{array}\right. \] \[\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&\frac{7}{9}\\ y&=&\frac{5}{9}\\ z&=&\frac{5}{9}\\ t &=&- \frac{2}{9} \end{array}\right.\] Le point H est le milieu de SS$'$ ; on en déduit les coordonnées de S$' \left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9} \right)$. La bonne réponse est \textbf{b.} \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} %\textbf{a.} $\left(\dfrac{10}{9}~;~\dfrac{11}{9}~;~\dfrac{10}{9}\right)$&\textbf{b.} $\left(\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}\right)$& %\textbf{c.} $\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right)$\\ %\end{tabularx} \medskip \item %Le triangle ABC est : %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} %\textbf{a.} isocèle &\textbf{b.} rectangle en A& \textbf{c.} rectangle en B \\ %\end{tabularx} On a $\vect{\text{AB}}(0~;~-1~;~1) \quad \vect{\text{AC}}(8~;~-3~;~-1) \quad \vect{\text{BC}}(8~;~-2~;~2)$ ; donc $\vect{\text{AB}} \cdot\: \vect{\text{BC}} = 0 \iff $ABC est un triangle rectangle en en B. Réponse \textbf{c.} \medskip \item %L'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9$ est : \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} %\textbf{a.} un plan passant par S&\textbf{b.} une sphère passant par S&\textbf{c.} une sphère de centre S\\ %\end{tabularx} Soit G la barycentre du système pondéré $\left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~-1),~(\text{C},~1)\right\}$. Par définition $\vect{\text{GA}} - \vect{\text{GB}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0} \iff \vect{\text{OG}} = \vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$ ; on en déduit les coordonnées de G$(9~;~0~;~-3)$. En faisant intervenir ce barycentre G dans chaque vecteur, on a : $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9 \iff \left\|\vect{M\text{G}}\right\| = 9 \iff \text{G}M = 9.$ L'ensemble des points est donc une sphère de centre G et de rayon 9. Il reste à vérifier que S est l'un des points cherchés. $\vect{\text{SA}}(1~;~1~;~-2),~\vect{\text{SB}}(0~;~0~;~1),~\vect{\text{SC}}(8~;~-2~;~-3)$, d'où $\vect{\text{SA}} - \vect{\text{SB}} + \vect{\text{SC}}(8~;~-1~;~-4)$. Comme $\left|\vect{\text{SA}} - \vect{\text{SB}} + \vect{\text{SC}} \right|^2 = 64 + 16 + 1 = 81 = 9^2$. La norme de ce vecteur est bien égale à 9. La bonne réponse est \textbf{b.} \grimace : Question bien longue ! \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} %Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. % %On désigne par A, B et J les points d'affixes respectives $- \text{i},~ 1- \text{i}$ et i. % %On désigne par $\Delta$ la médiatrice du segment [AB] et par $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon 1. % %À tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de $1 - \text{i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que %\[z' = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}}.\] % %Le point $M'$ est appelé image du point $M$. \begin{enumerate} \item %Calculer les affixes des points A$'$ et O$'$. On a $a' = \dfrac{\text{i}(- \text{i}+ \text{i})}{\text{i} - 1 + \text{i}} = 0$. Donc A$'$ = O. L'affixe de l'image de O est $\dfrac{\text{i}^2}{- 1 +\text{i}} = \dfrac{1}{1 - \text{i}} = \dfrac{1 + \text{i}}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$. \item ~%Sur la feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice (unité graphique 4~cm). \begin{center} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(2,1.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx = 10,Dy = 10](0,0)(-2,-1)(2,1.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,-1){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](1,-1){B} \pscircle(0,0){1} \psline(0.5,-1)(0.5,1.25)\uput[r](0.5,1.25){$\Delta$} \psdots(0.5,0.866)(0.5,-0.866)(1,-1)(0,-1) \psline(-2,-1)(2,-1) \uput[ur](0.5,0.866){E} \uput[dr](0.5,-0.866){F} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \item %Montrer que l'équation $z = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} = 0$ admet deux solutions que l'on précisera. $z = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} = 0 \iff z(z - 1 + \text{i}) = \text{i}(z + \text{i}) \iff z^2 - z + \text{i}z = \text{i}z - 1 \iff z^2 - z + 1$. Comme $\Delta = 1 - 4 = -3 = \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2$, cette équation a deux solutions complexes : $z_{1} = z_{\text{E}} = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_{2} = z_{\text{F}} = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. %On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions. %Justifier que les points E et F appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ et les placer sur la figure. On a $\left|z_{\text{E}}\right|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 \iff \left|z_{\text{E}}\right| = 1 = \left|z_{\text{F}}\right|$. Ces deux points appartiennent donc au cercle $\mathcal{C}.$ Comme ils ont pour partie réelle $\dfrac{1}{2}$, ces deux points sont les deux points communs à $\Delta$ et à $\mathcal{C}$. \item .Soit %$M$ un point distinct du point B et $M'$ son image. \begin{enumerate} \item %Exprimer la distance O$M'$ en fonction des distances A$M$ et B$M$. $z' = \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} \Rightarrow \left|z'\right| = \left| \dfrac{\text{i}(z + \text{i})}{z - 1 + \text{i}} \right| = \dfrac{|\text{i}(z + \text{i})|}{|z - 1 + \text{i}|} = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M} = \text{O}M'$ \item %Montrer que si le point $M$ décrit la droite $\Delta$, alors le point $M'$ décrit un cercle que l'on précisera. Application du résultat précédent : $M \in \Delta \iff M\text{A} = M\text{B}$ et donc $\left|z'\right| = 1 \iff M' \in \mathcal{C}.$ \end{enumerate} \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Montrer que si le point $M$ décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point $M'$ appartient à une droite que l'on précisera. Une équation de la droite (AB) est : $M(x~;~y) \in (\text{AB}) \iff y = - 1.$ Donc un point $M$ de la droite (AB) a une affixe $z = x - \text{i}$. D'o\`u $z' = \dfrac{\text{i}(x - \text{i} + \text{i})}{x - \text{i} - 1 + \text{i}} = \dfrac{x\text{i}}{x - 1}$. Donc $z'$ est un imaginaire pur. Les points $M'$ appartiennent donc à l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} %\textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = 1 + x \text{e}^{-x}.\] %Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij{} et la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ sont tracées ci-dessous. %\medskip %\psset{unit=2.83cm} %\begin{pspicture}(-1,-1.5)(5,3) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1.5)(5,3) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](1.5,1){$\Delta$} \uput[u](2,1.3){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O} %\psline(0,1)(5,1) %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{5}{x 2.71828 x exp div 1 add} %\end{pspicture} \bigskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item %Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique. \begin{enumerate} \item %La droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = x\text{e}^{-x} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. La droite $(\Delta)$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. \item %La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$. La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \\infty[$, elle est donc dérivable et : $f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x)$ qui est du signe de $1 - x$, puisque $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x \in \R$. La dérivée est positive, donc la fonction croissante sur [0~ ;~1] et la dérivée est négative, donc la fonction décroissante sur $[1~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item %Soit $t$ un nombre réel positif. On considère l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item %Interpréter graphiquement cette intégrale. On a $f(0) = 1$ et la limite en plus l'infini est égale à 1 : donc $f(x) \geqslant 1 > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$. L'intégrale est donc égale à l'aire (en unités d'aire) de la surface limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les verticales d'équations respectives $x = 0$ et $x = t.$ \item %Montrer que $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = t - t\text{e}^{-1} - \text{e}^{-t} +1$. $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^t 1\:\text{d}t + \displaystyle\int_{0}^t x\text{e}^{-x}\:\text{d}x = t + \displaystyle\int_{0}^t x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. Cette dernière intégrale se calcule en intégrant par parties : \[\left\{\begin{array}{l c l} u(x)&=&x\\ v'(x)&=&\text{e}^{-x} \end{array} \right. ~\text{et}~\left\{\begin{array}{l c l} u'(x)&=&1\\ v(x)&=&-\text{e}^{-x} \end{array} \right.\] Toutes ces fonctions sont continues donc intégrables et $\displaystyle\int_{0}^t x\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[-x\text{e}^{-x} \right]_{0}^t + \displaystyle\int_{0}^t \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[-x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x}\right]_{0}^t = \left[-\text{e}^{-x}(1 + x) \right]_{0}^t = (-1 - t)\text{e}^{-t} + 1$. Conclusion : \[ \displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = t - t\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} +1.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %On note I le point de coordonnées (1~;~ 0) et J le point de coordonnées (0~;~ 1). %Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~1], $M_{t}$ désigne le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $t$ et $N_{t}$ le point de coordonnées $(t~;~ 0)$. %On appelle $\mathcal{D}_{t}$, le domaine du plan délimité par la droite $\left(\text{I}M_{t}\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit $\mathcal{A}(t)$ la mesure de son aire exprimée en unité d'aire. %\medskip %\begin{center} %\psset{unit=5cm} %\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2,1.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-0.5)(2,1.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}\uput[u](0.3,1.2222){$M_{t}$}\uput[d](0.3,0){$N_{t}$} %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add} %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ %\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{0.3}{x 2.71828 x exp div 1 add} %\psline(0.3,1.2222)(1,0)(0,0)} %\psline[linestyle=dashed](0.3,1.2222)(0.3,0) %\psline(1,1.36788)(1,0) %\end{pspicture} %\end{center} %\bigskip \begin{enumerate} \item %Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(0)$ et donner sa valeur exacte. $\mathcal{A}(0)$ est égale à l'aire (en unités d'aire) du triangle OIJ. $\mathcal{A}(0) = \dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2}.$ \item %Interpréter graphiquement $\mathcal{A}(1)$ et donner sa valeur exacte. $\mathcal{A}(1)$ est égale à l'intégrale de la fonction $f$ entre 0 et 1. Donc $\mathcal{A}(1) = 1 - 1\text{e}^{-1} - \text{e}^{-1} +1 = 2 - 2\text{e}^{-1} = 2\left(1 - \text{e}^{-1}\right)$. \item %Calculer l'aire du triangle $M_{t}N_{t}$I. $M_{t}N_{t}$I est un triangle rectangle de base [$N_{t}$I] telle que $N_{t}\text{I} = 1 - t$ et de hauteur $[N_{t}M_{t}]$ telle que $N_{t}M_{t} = f(t) = 1 + t\text{e}^{-t}.$ $\mathcal{A}\left(M_{t}N_{t}\text{I}\right) = \dfrac{(1 - t) (1 + t\text{e}^{-t})}{2}$. \item %En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~ 1], %\[\mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{t}{2} - \left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1\right)\text{e}^{-t}.\] On a $\mathcal{A}(t) = \displaystyle\int_{0}^t f(t)\:\text{d}t + \mathcal{A}\left(M_{t}N_{t}\text{I}\right) = t - t\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} +1 + \dfrac{(1 - t) (1 + t\text{e}^{-t})}{2} = t - t\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t} +1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{t}{2}\text{e}^{-t} - \dfrac{t}{2} - \dfrac{t^2}{2}\text{e}^{-t}$ \[\mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{t}{2} - \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1 \right).\] \item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %Existe-t-il un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0~;~1] tel que Étudions la fonction $t \longmapsto \mathcal{A}(t) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{t}{2} - \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1 \right)$ Cette fonction est une somme de produits de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ : elle est donc dérivable et sur cet intervalle : $\mathcal{A}'(t) = \dfrac{1}{2} + \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t}{2} + 1 - t - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}+ \text{e}^{-t}\left(\dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t}{2} + \dfrac{1}{2}\right)$. Cette dérivée est du signe de $1 + \text{e}^{-t}\left(t^2 - t + 1\right)$. Or le trinôme $t^2 - t + 1$ n'a pas de racines réelles ($\Delta = 1 - 4 < 0$) ; il est donc positif. Quel que soit $0 \leqslant t \leqslant 1,~\text{e}^{-t} > 0$, donc $\text{e}^{-t}\left(t^2 - t + 1\right) > 0$ et enfin $1 + \text{e}^{-t}\left(t^2 - t + 1\right) \geqslant 1 > 0.$ Sur $[0~;~1]$, la dérivée est positive et la fonction $\mathcal{A}(t)$ est croissante de $\mathcal{A}(0) = \dfrac{1}{2}$ à $\mathcal{A}(1) = 2\left(1 - \text{e}^{-1}\right) \approx \nombre{1,26424}$. Donc $\dfrac{1}{2}\mathcal{A}(1) = 1 - \text{e}^{-1} \approx \nombre{0,632121} >\mathcal{A}(0)$. La fonction $\mathcal{A}(t)$ étant continue sur [0~;~1], il existe bien un réel unique $\alpha$ tel que $\mathcal{A}(\alpha) = \dfrac{1}{2} \times \mathcal{A}(1)$. La calculatrice permet de trouver $\alpha \approx \nombre{0,13993}$. %Justifier la réponse. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \begin{enumerate} \item %Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} = 3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$ %\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. $u_{2} = \dfrac{3}{2}\times 3 - \dfrac{1}{2} \times 0 = \dfrac{9}{2}$ ; $u_{3} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2} \times 3 = \dfrac{27}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{4}$ ; $u_{4} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{21}{4} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{63}{8} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{8}$. \item %Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. Démonstration par récurrence : \emph{Initialisation} : $u_{1} = 3 = \dfrac{1}{2} \times u_{0} + 3 = \dfrac{1}{2} \times 0 + 3$ est bien vraie ; la relation est vraie au rang $0$. \emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N $ on ait $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3.$ Or $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3 \iff u_{n+1} - 3 = \dfrac{1}{2}u_{n} \iff u_{n} = 2\left(u_{n+1} - 3 \right) \quad (*)$ On a par définition : $u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}u_{n} + 3 \right) - \dfrac{1}{2}u_{n} = \dfrac{1}{4}u_{n} + \dfrac{9}{2}$ ; En utilisant la relation (*), on obtient : $u_{n+2} = \dfrac{1}{4}\times 2\left(u_{n+1} - 3 \right) + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}u_{n+1}$. La relation est vraie au rang $n + 1$. La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$. On a donc démontré par récurrence que pour tout nombre entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. \item %Sur l'annexe à rendre avec la copie, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$ et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. %À partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. Cf. figure ci dessous %Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ? La suite semble être croissante, convergente vers l'ordonnée du point commun aux deux droites c'est-à-dire 6. \end{enumerate} \item %Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}u_{n} - 3 = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} - 6\right) = \dfrac{1}{2}v_{n}$. Cette égalité signifie que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 6 = -6$. \item %Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. On sait que pour $v_{n} = v_{0}\times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = - \dfrac{6}{2^n}$. \item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$. De $u_{n} = v_{n} + 6$ on en déduit par limite en plus l'infini que \[\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 6.\] \end{enumerate} \item %Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$. %On suppose que $w_{0}$ est strictement supérieur à 6. %Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier. Considérons la suite $\left(w_{n} - u_{n} \right)_{n \in \N}$. On a $w_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3 - \dfrac{1}{2}u_{n} - 3 = \dfrac{1}{2}\left(w_{n} - u_{n} \right)$. Donc la suite $\left(w_{n} - u_{n} \right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. Il en résulte que $w_{n} - u_{n} = \left(w_{0} - u_{0} \right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = w_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n. \quad (1)$ On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(w_{n} - u_{n} \right) = 0$. On a vu que $v_{n} = u_{n} - 6 = - \dfrac{6}{2^n} \iff u_{n} = 6 - \dfrac{6}{2^n} = 6\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$. Enfin en reprenant l'égalité (1) : $w_{n} = u_{n} + w_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 6\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right) + w_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 6 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(w_{0} - 6 \right)$. Comme par hypothèse $w_{0}> 6,~w_{0} - 6 > 0$, donc la suite $\dfrac{w_{0} - 6}{2^n}$ est décroissante et donc la suite $\left(w_{n} \right)$ est décroissante. Les deux suites $\left(u_{n} \right)$ et $\left(w_{n} \right)$ sont : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item l'une croissante, \item l'autre décroissante \item et leur différence tend vers zéro au voisinage de plus l'infini \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les deux suites $\left(u_{n} \right)$ et $\left(w_{n} \right)$ sont adjacentes (et ont donc même limite). \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE Exercice 4 (à rendre avec la copie)} \vspace{0,5cm} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{1cm} \psset{unit=0.666cm,ticksize=0.2cm} \begin{pspicture}(-6,-6)(12,12) \psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(12,12) \psline(-6,-6)(12,12) \psplot[linecolor=blue]{-6}{12}{x 0.5 mul 3 add} \rput{26.56}(10,7){\blue $y = \dfrac{1}{2}x + 3$} \rput{45}(7,8){$y = x$}\uput[ul](0,0){O} \uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$} \multido{\n=-6+1}{19}{\psline(\n,0)(\n,0.25)} \multido{\n=-6+1}{19}{\psline(0,\n)(0.25,\n)} \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](3,3)(3,4.5)(4.5,4.5)(4.5,0)\uput[d](4.5,0){\color{blue}$u_{2}$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=green](4.5,4.5)(4.5,5.25)(5.25,5.25)(5.25,0)\uput[d](5.25,0){\color{green}$u_{3}$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](5.25,5.25)(5.25,5.625)(5.625,5.625)(5.625,0)\uput[d](5.625,-0.5){\color{red}$u_{4}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}