%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} %\usepackage{mathrsfs} %\usepackage{arcs} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Merci à l'Inspection générale %Corrigé D. Vergès et F. Hache %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal %%%% \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\D}{\textbf{D}} \newcommand{\Z}{\textbf{Z}} \newcommand{\Q}{\textbf{Q}} \newcommand{\C}{\textbf{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole - La Réunion septembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\text{\,d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\text{\,e}} % le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole - La Réunion}} \rfoot{\small{12 septembre 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole - La Réunion~\decofourright\\[5pt] 12 septembre 2017}}} %\bigskip % %La page 7 est une annexe au sujet, à rendre avec la copie. \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = \ds\int_0^n \e^{ - x^2} \d x$. %On ne cherchera pas à calculer $u_n$ en fonction de $n$. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. $u_{n+1}-u_n= \ds\int_0^{n+1} \e^{ - x^2} \d x - \ds\int_0^n \e^{ - x^2} \d x = \ds\int_0^{n} \e^{ - x^2} \d x + \ds\int_{n}^{n+1} \e^{ - x^2} \d x - \ds\int_0^n \e^{ - x^2} \d x = \ds\int_{n}^{n+1} \e^{ - x^2} \d x$ La fonction $x \longmapsto \e^{-x^2}$ est positive sur $\cd n~;~n+1\cg$ donc $\ds\int_0^n \e^{ - x^2} \d x>0$ ce qui entraîne que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n>0$. Donc la suite $(u_n)$ est croissante. \item% Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 0$, on a : $- x^2 \leqslant - 2x + 1$, puis : Un carré est toujours positif donc, pour tout réel $x$, $(x-1)^2\pg 0$. On en déduit que $x^2-2x+1\pg 0$ ce qui équivaut à $-2x+1\pg -x^2$ ou encore $-x^2\pp -2x+1$. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $-x^2\pp -2x+1$ entraîne $\e^{-x^2}\pp \e^{-2x+1}$. D'après la positivité de l'intégration, de $\e^{-x^2}\pp \e^{-2x+1}$ on déduit $\ds\int_{0}^{n} \e^{-x^2} \d x \pp \ds\int_{0}^{n} \e^{-2x+1} \d x$. La fonction $x \longmapsto \e^{-2x+1}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto -\dfrac{1}{2} \e^{-2x+1}$ donc \\ $\ds\int_{0}^{n} \e^{-2x+1} \d x = \left [ -\dfrac{1}{2} \e^{-2x+1} \right ]_{0}^{n} = -\dfrac{1}{2} \e^{-2n+1} - \left ( -\dfrac{1}{2} \e^{1} \right ) =\dfrac{\e}{2} - \dfrac{1}{2}\e^{-2n+1} < \dfrac{\e}{2}$ car $\e^{-2n+1}>0$. Or $u_n=\ds\int_{0}^{n} \e^{-2x+1} \d x$ donc, pour tout $n$, $u_n<\dfrac{\e}{2}$. %En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n < \dfrac{\e}{2}$. \item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\dfrac{\e}{2}$ donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose d'obtenir une valeur approchée de $u_2$. Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath}\right)$ ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = \text{e}^{- x^2}$, et le rectangle OABC où A(2~;~0), B(2~;~1) et C(0~;~1). On a hachuré le domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$. \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(2.1,1.1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,1) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp} \psline(2,0)(0,0) } \uput[r](0.55,0.75){$\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){C} \uput[ur](2,0){A}\uput[ur](2,1){B} \end{pspicture} \end{center} On considère l'expérience aléatoire consistant à choisir un point M au hasard à l'intérieur du rectangle OABC. On admet que la probabilité $p$ que ce point appartienne au domaine est : $p = \dfrac{\text{aire de } \mathcal{D}}{\text{aire de OABC}}$. \begin{enumerate} \item% Justifier que $u_2 = 2p$. La fonction $x \longmapsto \e^{-x^2}$ est positive sur $\cd 0~;~2\cg$, donc $\ds\int_{0}^{2} \e^{-x^2} \d x$ est l'aire du domaine $\mathcal{D}$. \\ Donc $u_2$ est l'aire de $\mathcal{D}$. On sait que $p=\dfrac{\text{aire de }\mathcal{D}}{\text{aire de OABC}\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$ donc $p=\dfrac{u_2}{\text{aire de OABC}}$ donc $u_2=p\times \text{aire de OABC}$. Le rectangle OABC a pour dimensions 1 et 2 donc son aire est égale à 2. On en déduit que $u_2=2p$. \item On considère l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|X|}\hline L1 & \textbf{Variables} : $N,\: C$ nombres entiers ; $X,\: Y,\: F$ nombres réels\\ L2 & \textbf{Entrée} : Saisir $N$\\ L3 &\textbf{Initialisation} : $C$ prend la valeur $0$\\ L4 &\textbf{Traitement} : \\ L5 & Pour $k$ variant de 1 à $N$\\ L6 &\quad $X$ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 2 \\ L7 &\quad $Y$ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 1\\ L8 &\quad Si $Y \leqslant \e^{- X^2}$ alors \\ L9 &\quad \quad \quad $C$ prend la valeur $C+ 1$\\ L10 &\quad Fin si \\ L11 & Fin pour\\ L12 & Afficher $C$\\ L13 & $F$ prend la valeur $C/N$\\ L14 &Afficher $F$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item% Que permet de tester la condition de la ligne L8 concernant la position du point $M(X~;~ Y)$ ? La condition de la ligne L8 permet de tester si le point M\,$(X~;~Y)$ est dans le domaine hachuré. \item% Interpréter la valeur $F$ affichée par cet algorithme. La valeur $F$ affichée est le rapport du nombre de points dans le domaine sur le nombre total de points; il représente la proportion des points qui sont dans le domaine hachuré. \item On conjecture que la valeur de $F$ se rapproche du nombre $p$ lorsque $N$ devient très grand. \end{enumerate} \item En faisant fonctionner cet algorithme pour $N = 10^6$, on obtient $C = \np{441138}$. On admet dans ce cas que la valeur $F$ affichée par l'algorithme est une valeur approchée de la probabilité $p$ à $10^{-3}$ près. On a donc $p=\dfrac{\np{441138}}{10^{6}} \approx \np{0,441}$; donc $u_2=2p \approx 0,88$. %En déduire une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip Une entreprise spécialisée est chargée par l'office de tourisme d'une station de ski de la conception d'un panneau publicitaire ayant la forme d'une piste de ski. Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous. \begin{center} \scalebox{0.9} { \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=2](0,0)(0,0)(2,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](.9,0.445) \uput[r](0,0.35){Votre station préférée } \uput[r](0,0.23){100 jours d'enneigement et } \uput[r](0,0.11){300 jours de soleil par an ! } \psline(2,0)(2,0.025) \end{pspicture} } \end{center} Le panneau, modélisé par le domaine $\mathcal{D}$ défini dans la partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de 2 mètres sur 1 mètre. Il est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé \Oij{} ; l'unité choisie est le mètre. \parbox{0.48\linewidth}{Pour $x$ nombre réel appartenant à l'intervalle $\cd ~;~2\cg$, on note : $\bullet~~$ M le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $\left(x~;~\text{e}^{-x^2}\right)$, $\bullet~~$ N le point de coordonnées $(x~;~0)$, $\bullet~~$ P le point de coordonnées $\left(0~;~\text{e}^{-x^2}\right)$, $\bullet~~$ $\mathcal{A}(x)$ l'aire du rectangle ONMP. }\hfill \parbox{0.48\linewidth} { \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(2.1,1.1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x dup mul neg exp} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](.9,0.445) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.9,0){N} \uput[ur](0.9,0.445){M} \uput[l](0,0.445){P} \end{pspicture} \end{center} } \smallskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\cd 0~;~2\cg$, on a: $\mathcal{A}(x) = \text{ON}\times \text{OP} = x_{\text M}\times y_{\text M} = x\e^{- x^2}$. \item% Déterminer la position du point M sur la courbe $\mathcal{C}_f$ pour laquelle l'aire du rectangle ONMP est maximale. On cherche la valeur de $x$ sur $\cd 0~;~2\cg$ pour laquelle $\mathcal{A}(x)$ est maximale. $\mathcal{A}$ est dérivable sur $\cd 0~;~2\cg$ et $\mathcal{A}'(x)=1\times \e^{-x^2} + x \times (-2x)\e^{-x^2} = \left ( 1-2x^2 \right )\e^{-x^2}$. $\left ( 1-2x^2 \right ) = 0 \iff x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ ou } x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; on étudie le signe de $\mathcal{A}'(x)$ sur $\cd 0~;~2\cg$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{3cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline x & 0 & \esp & \frac{\sqrt{2}}{2} & \esp & 2 \\ \hline 1-2x^2 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \e^{-x^2} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline \mathcal{A}'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} On en déduit que l'aire maximale est obtenue pour le point M de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \item Le rectangle ONMP d'aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc.% Déterminer, en m$^2$ et à $10^{-2}$ près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc. L'aire totale sous la courbe est égale à $u_2$ qui vaut environ $0,88$. Le rectangle d'aire maximale a pour aire $\mathcal{A}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right ) =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \e^{-\frac{1}{2}}\approx 0,43$. Il faudra donc peindre en bleu une surface d'environ $0,88-0,43=0,45$~m$^2$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe $z' = - z^2 + 2z$. %Le point $M’$ est appelé image du point $M$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : %\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] On résout dans l'ensemble $\C$, $- z^2 + 2z - 2 = 0 \iff z^2 - -2z + 2 = 0 \iff $ $(z - 1)^2 - 1 + 2 = 0 \iff (z - 1)^2 + 1 = 0 \iff (z - 1)^2 = \text{i}^2 \iff \left\{\begin{array}{l c l} z - 1&=&\text{i}\\ \text{ou}&&\\ z - 1&=&- \text{i} \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} z &=&1 + \text{i}\\ \text{ou}&&\\ z &=&1 - \text{i} \end{array}\right.$ L'ensemble des solutions complexes est donc $\left\{1 + \i~;~1 - \i \rule{0pt}{10pt}\right\}$. %En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. Les points dont les images ont pour affixe $2$, vérifient : $z' = 2 \iff - z^2 + 2z = 2 \iff - z^2 + 2z - 2 = 0$ : ce sont donc les points dont les affixes sont les solutions de l'équation ci-dessus. Les points d'affixe $1 + \text{i}$ et $1 - \text{i}$ ont pour image le point d'affixe réelle 2. \item %Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. %On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. %Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$. On a donc $M(z)$,\, $M'\left(z' = - z^2 + 2z\right)$ et $N\left(z^2\right)$. Or $\dfrac{z_N + z_{M'}}{2} = \dfrac{- z^2 + 2z + z^2}{2} = \dfrac{2z}{2} = z$, ce qui montre que $M$ est le milieu du segment $\cd NM’\cg$. \item %Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$. \begin{enumerate} \item %Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$. Puisque $\text{O}M = 1$ et que l'un de ses arguments est $\theta$, on sait que $z = \e^{\text{i} \theta}$. Donc $|z| = 1$. Donc $\left|z_N \right| = \left|z^2\right| = |z|^2 = 1^2 = 1$. D'autre part on a arg$\left(z_N\right) = \arg\left(z^2 \right) = 2\text{arg}(z) = 2\theta$. \item %Sur la figure donnée en annexe page 7, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. %Construire sur cette figure les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).` $N$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ ; on le construit avec le compas de telle sorte que $\wideparen{M\text{A}} = \wideparen{MN}$, A étant le point d'affixe 1. Il suffit ensuite de construire le symétrique de $N$ par rapport à $M$. \item %Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ? On a vu que $MN = M\text{A} = MM'$. En particulier $M\text{A} = MM'$ montre que le triangle A$MM'$ est isocèle en $M$. Voir figure page 9. %\textbf{La page 7 contenant l'annexe est à rendre avec la copie} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Tous les résultats demandés seront arrondis au millième} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Une étude effectuée sur une population d'hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1,84$ et d'écart type $\sigma = 0,4$. \begin{enumerate} \item Selon cette modélisation, la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre $1,04$~g/L et $2,64$~g/L est $P( 1,04 \pp T \pp 2,64) \approx 0,954$. On obtient ce résultat à la calculatrice ou en appliquant un résultat du cours puisque:\\ $P( 1,04 \pp T \pp 2,64) = P(1,84 - 2\times 0,4 \pp T \pp 1,84 + 2\times 0,4) = P(\mu-2\sigma \pp T \pp \mu+2\sigma)$. \item Selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à $1,2$~g/L est $P( 1,2 \pp T) \approx 0,945$ (résultat obtenu à la calculatrice). \end{enumerate} \item %Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d'être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire. %Dans cet essai, 60\,\% des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre). %On étudie la baisse du taux de cholestérol après l'expérimentation. %On constate une baisse de ce taux chez 80\,\% des patients ayant pris le médicament. %On ne constate aucune baisse pour 90\,\% des personnes ayant pris le placebo. %On choisit au hasard un patient ayant participé à l'expérimentation et on note : %\setlength\parindent{20mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og le patient a pris le médicament\fg{} ; %\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og le taux de cholestérol a baissé chez le patient \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On traduit les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré: \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$0,6$}} { \TR{$B$}\naput{$0,8$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\red $1-0,8=0,2$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{\red $1-0,6=0,4$}} { \TR{$B$}\naput{\red $1-0,9=0,1$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,9$} } } \bigskip \end{center} \item d'après la formule des probabilités totales, la probabilité de l'évènement $B$ est: $P(B) = P(M\cap B) + P\left(\overline{M}\cap B\right) = 0,6\times 0,8 + 0,4\times 0,1 = 0,48+0,01=0,52$. \item La probabilité qu'un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé est : $P_B(M) = \dfrac{P(M\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,48}{0,52} \approx 0,923$. \end{enumerate} \item Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que 30\,\% des patients qui l'utilisent présentent des effets secondaires. Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire $100$~patients traités avec ce médicament. \begin{enumerate} \item $n = 100\pg 30$; $p = 30\,\% = 0,3$ donc $np = 100\times 0,3 = 30\pg 5$ et $n(1 - p) = 100 \times 0,7 = 70 \pg 5$. Les conditions sont vérifiées donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires: \smallskip $I=\left [p - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ] = \left [ 0,3 - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{100}}~;~0,3 + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{100}}\right ]\\[5pt] \phantom{I} \approx \cd 0,210~;~0,390\cg$. \smallskip \item L'étude réalisée auprès des $100$~patients a dénombré $37$ ~personnes présentant des effets secondaires. $f=\dfrac{37}{100\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} = 0,37 \in I$ donc, au risque de 5\,\%, on peut dire que l'échantillon étudié ne contredit pas l'annonce du laboratoire. %Que peut-on en conclure ? \item Pour estimer la proportion d'utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\%. Cette étude aboutit à une fréquence observée de $f=37\,\%$ de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence 30\,\%. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% d'une fréquence $f$ dans un échantillon de taille $n$ est $\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$. Il s'agit donc de trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $0,3 \notin \left [ 0,37-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~0,37+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$ donc telle que $0,3 < 0,37-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$; on résout cette inéquation: $0,3 < 0,37-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \iff \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0,07 \iff \sqrt{n} > \dfrac{1}{0,07} \iff n > \left (\dfrac{1}{0,07}\right )^2$ $\left (\dfrac{1}{0,07}\right )^2 \approx 204,1$ donc il faut un échantillon d'au moins 205 personnes pour cette étude. %Quel est l'effectif minimal de l'échantillon de cette étude ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre. On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6,6) \pspolygon(4,0)(6,0.5)(6,5)(4,4.5)%BCGF \psline(6,5)(2.4,5.3)(0.4,4.8)(4,4.5)%GHEF \psline(0.4,4.8)(0.4,0.3)(4,0)%EAB \psline[linestyle=dashed](2.4,5.3)(2.4,0.8)(0.4,0.3)%HDA \psline[linestyle=dashed](2.4,0.8)(6,0.5)%DC \psdots(1.4,5.05)(4,2.25)%IJ \uput[dl](0.4,0.3){A} \uput[d](4,0){B} \uput[r](6,0.5){C} \uput[ur](2.4,0.8){D} \uput[l](0.4,4.8){E} \uput[u](4,4.5){F} \uput[ur](6,5){G} \uput[u](2.4,5.3){H} \uput[ul](1.4,5.05){I} \uput[r](4,2.25){J} \end{pspicture} } \bigskip Les coordonnées des sommets du cube sont A\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, B\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, D\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, E\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, C\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, F\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, G\,$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, H\,$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item I, milieu de [EH], a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et J, milieu de [FB], a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix}$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}1\\- 2\\\phantom{-}2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGI). Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}\phantom{-}1\\- 2\\\phantom{-}2\end{pmatrix}$. Le vecteur $\vect{\text{BG}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et le vecteur $\vect{\text{BI}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -1 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vect{n}\cdot{}\vect{\text{BG}} = 1\times 0 + (-2)\times 1 + 2\times 1 = 0$ donc $\vect{n}\perp{}\vect{\text{BG}}$ $\vect{n}\cdot{}\vect{\text{BI}} = 1\times (-1) + (-2)\times \dfrac{1}{2} + 2\times 1 = 0$ donc $\vect{n}\perp{}\vect{\text{BI}}$ Les vecteurs $\vect{\text{BG}}$ et $\vect{\text{BI}}$ ne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan (BGI). Donc le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (BGI) donc le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (BGI). \item% En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). Le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (BGI) donc le plan (BGI) a une équation de la forme $x-2y+2z+d=0$ où $d$ est un réel à déterminer. Le point B appartient au plan (BGI) donc $x_{\text{B}}-2y_{\text{B}}+2z_{\text{B}}+d=0$ ce qui équivaut à $1-0+0+d=0$ et donc $d=-1$. Le plan (BGI) a pour équation $x-2y+2z-1=0$. \item Le point K, milieu du segment [HJ], a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \dfrac{0+1}{2} \\[7pt] \dfrac{1+0}{2} \\[7pt] \dfrac{1+\frac{1}{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\[7pt] \dfrac{1}{2} \\[7pt] \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}$ On regarde si les coordonnées de K vérifient l'équation du plan (ABC): $x_{\text{K}}-2y_{\text{K}}+2z_{\text{K}}-1 = \dfrac{1}{2} -2\times \dfrac{1}{2} +2\times \dfrac{3}{4} -1 = 0$ donc K appartient au plan (BGI). \end{enumerate} \item Le but de cette question est de calculer l'aire du triangle BGI. \begin{enumerate} \item% En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à $\dfrac{1}{6}$. \ \\[-29pt] \begin{minipage}{0.7\linewidth} Le triangle FIG est isocèle de sommet principal I. Sa hauteur issue de I vaut 1 et sa base FG vaut 1.\\ \\ Donc son aire est égale à $\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.25\linewidth} \begin{flushright} \psset{unit=0.4cm} \def\xmin {-1} \def\xmax {5} \def\ymin {-1} \def\ymax {5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psline[linestyle=dashed](0,2)(4,2) \psframe(0,0)(4,4) \psline(4,4)(0,2)(4,0) {\small \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](4,0){F} \uput[ur](4,4){G} \uput[ul](0,4){H} \uput[l](0,2){I} } \end{pspicture*} \end{flushright} \end{minipage} Le volume $\mathcal{V}$ du tétraèdre FBIG est donc $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \left (\text{aire de FIG}\right ) \times \text{BF} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}$. %\emph{On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule \\$V = \dfrac{1}{3} B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.} \item Soit $\Delta$ la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI). Le plan a $\vect{n}$ pour vecteur normal donc le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$. La droite $\Delta$ passe par le point F de coordonnées $(1~;~0~;~1)$ donc a pour représentation paramétrique: $\left\lbrace \begin{array}{l !{=} r l} x & 1+t & \\ y & -2t & t\in \R.\\ z & 1+2t\\ \end{array} \right.$ \item La droite $\Delta$ coupe le plan (BGI) en F$'$ dont les coordonnées sont solutions du système $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l } x & 1+t \\ y & -2t \\ z & 1+2t\\ x-2y+2z-1 & 0 \end{array} \right.$ On cherche $t$ qui vérifie $(1+t)-2(-2t)+2(1+2t)-1=0$ c'est-à-dire \\ $1+t +4t +2 +4t-1=0 \iff 9t=-2 \iff t=-\dfrac{2}{9}$. \smallskip On en déduit $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} r!{=} l !{=} l} x & 1+t & 1-\dfrac{2}{9} & \dfrac{7}{9}\\[7pt] y & -2t & -2 \times \left (-\dfrac{2}{9} \right ) & \dfrac{4}{9}\\[7pt] z & 1+2t & 1 + 2\times \left (-\dfrac{2}{9}\right ) & \dfrac{5}{9}\\ \end{array} \right.$. Le point F$'$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \dfrac{7}{9}\\[7pt] \dfrac{4}{9}\\[7pt] \dfrac{5}{9}\\ \end{pmatrix}$. \item% Calculer la longueur FF$'$. En déduire l'aire du triangle BGI. $\text{FF}'^2 = \left ( \dfrac{7}{9}-1\right )^2+\left (\dfrac{4}{9}-0\right )^2=\left (\dfrac{5}{9}-1\right )^2 = \dfrac{4}{81} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{16}{81} = \dfrac{36}{81} = \dfrac{4}{9}$ donc $\text{FF}'=\dfrac{2}{3}$. On calcule d'une deuxième façon le volume du tétraèdre FBIG: $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \left (\text{aire de BGI}\right ) \times \text{FF}'$ ce qui équivaut à $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \times \left (\text{aire de BGI}\right ) \times \dfrac{2}{3}$ ce qui entraîne que l'aire de BGI est égale à $\dfrac{3}{4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \subsubsection*{Partie A} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points A$(1~;~5~;~- 2)$, B$(7~;~- 1~;~3)$ et C$(- 2~;~7~;~-2)$ et on note $P$ le plan (ABC). On cherche une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ sous la forme : $ax + by + cz = 73$, où $a,\: b$ et $c$ sont des nombres réels. On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX = 73Y$, où $M$ est la matrice Soit la matrice $M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}$. Si le plan (ABC) a pour équation $ax+by+cz=73$, alors les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation du plan, c'est-à-dire: $\left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} ax_{\text A} + by_{\text A} + cz_{\text A} & 73\\ ax_{\text B} + by_{\text B} + cz_{\text B} & 73\\ ax_{\text C} + by_{\text C} + cz_{\text C} & 73 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{r !{=} l} a + 5b -2c & 73\\ 7a -b +3c & 73\\ -2a+7b-2c & 73 \end{array} \right. $ $MX= \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 5b -2c \\ 7a -b +3c \\ -2a+7b-2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 73\\73\\73 \end{pmatrix} = 73 \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} =73Y$. \item Soit la matrice : $N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}$. À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits $M \times N$ et $N \times M$, et on a obtenu les copies d'écran suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} Pour $M \times N$ : &Pour $N \times M$: \\ \begin{tabular}{|r| r r r|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\texttt{Ans}}& \multicolumn{1}{c}{1}&\multicolumn{1}{c}{2}& \multicolumn{1}{c|}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{tabular}&\begin{tabular}{|r |r r r|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\texttt{Ans}}& \multicolumn{1}{c}{1}&\multicolumn{1}{c}{2}& \multicolumn{1}{c|}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabularx} \end{center} %À l'aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$. Si on appelle $I$ la matrice unité d'ordre 3, la calculatrice montre que $MN=NM=73I$ donc que $M\left (\dfrac{1}{73} N\right ) = \left ( \dfrac{1}{73}N\right )M = I$. \\ Cela prouve que la matrice $M$ est inversible et que son inverse est $M^{-1}= \dfrac{1}{73}N$. \item %Montrer alors que : $X = NY$. $MX=73Y \iff M^{-1}MX=M^{-1}\times 73Y \iff X=\dfrac{1}{73}N\times 73 Y \iff X=NY$ $X=NY \iff \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19+4-13 \\ -8+6+17 \\ -47 +17 +36 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \\ 6 \end{pmatrix}$ %En déduire que le plan $P$ admet pour équation cartésienne : Le plan $\mathcal{P}$ a donc pour équation $10x + 15y + 6z = 73$. \end{enumerate} \subsubsection*{Partie B} L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan $P$ ayant pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit M$\,(x~;~y~;~z)$ un point appartenant au plan $\mathcal P$ et au plan d'équation $z = 3$. On suppose que les coordonnées $x$, $y$ et $z$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item% Montrer que les entiers $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $(E)$ : $2x + 3y = 11$. Si $z=3$ et $10x + 15y + 6z = 73$, alors $10x+15y+6\times 3=73$, donc $10c+15y=55 \iff 2x+3y=11$. Donc $(x~;~y)$ est solution de l'équation $2x+3y=11$. \item% Justifier que le couple $(7~;~- 1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l'équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\Z$. $2\times 7+3\times (-1)=14-3=11$ donc le couple $(7~;~-1)$ est solution de $(E)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Si le couple $(x~;~y)$ est solution de $(E)$, alors $2x+3y=11$. De plus, on sait que $2\times 7+3\times (-1)=14-3=11$. En retranchant membre à membre ces deux égalités, on obtient: $2(x-7) + 3(y+1) = 0$ ou encore $2(x-7)=-3(y+1)$. On peut donc dire que le nombre 3 divise le produit $2(x-7)$; comme 2 et 3 sont premiers entre eux, on peut dire, d'après le théorème de Gauss, que 3 divise $x-7$. On peut donc écrire $x-7=3k$ avec $k\in \Z$ ou encore $x=7+3k$. De $2(x-7)=-3(y+1)$ et $x-7=3k$, on tire $2\times 3k = -3(y+1)$ ce qui entraîne $2k=-y-1$ ou encore $y=-1-2k$. \item Réciproquement, si $x=7+3k$ et $y=-1-2k$ avec $k\in\Z$, alors $2x+3y=2(7+3k) +3(-1-2k) = 14+6k -3-6k=11$, donc le couple $(x~;~y)$ est solution de $(E)$. \end{list} L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc l'ensemble des couples $(7+3k~;~-1-2k)$ où $k\in \Z$. \item D'après les questions précédentes, les points appartenant au plan $\mathcal P$ et au plan d'équation $z = 3$ et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble $\N$ des entiers naturels sont à chercher parmi les couples $(7+3k~;~-1-2k)$ où $k\in\Z$. On cherche donc $k$ de $\Z$ tel que $7+3k\in \N$ et $-1-2k\in \N$. Il faut donc que $7+3k\pg0$ et que $-1-2k \pg 0$, c'est-à-dire $k\pg -\dfrac{7}{3}$ et $k\pp -\dfrac{1}{2}$. Les deux seules valeurs possibles sont donc \begin{list}{\textbullet}{} \item $k=-2$ ce qui donne $x=7+3(-2)=1$ et $y=-1-2(-2)=3$ donc le couple $(1~;~3)$; \item $k=-1$ ce qui donne $x=7+3(-1)=4$ et $y=-1-2(-1)=1$ donc le couple $(4~;~1)$. \end{list} \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points M$\,(x~;~y~;~z)$ du plan $\mathcal P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Soient $x$, $y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x + 15y + 6z = 73$. \begin{enumerate} \item% Montrer que $y$ est impair. $10x + 15y + 6z = 73$ donc $15y=73 -10x-6z$ $73$ est un nombre impair, $10x$ et $6z$ sont deux nombres pairs, donc $73 -10x-6z$ est un nombre impair. On en déduit que $15y$ est un nombre impair; il faut pour cela que $y$ soit impair sinon $15y$ serait pair. \item% Montrer que: $x \equiv 1 \quad[3]$. On admet que : $z \equiv 3 \quad[5]$. \newcommand{\mlo}[1]{~\texttt{[} #1 \texttt{]}} $10x + 15y + 6z = 73$ donc $10x=73 -15y-6z$ $\left. \begin{array}{@{} r} 10 =3\times 3+1 \equiv 1 \mlo{3} \implies 10x \equiv x \mlo{3}\\ \left. \begin{array}{@{} l !{\implies} l} 73=3\times 24+1 & 73 \equiv 1 \mlo{3}\\ 15 =5\times 3\equiv 0 \mlo{3} & 15y \equiv 0 \mlo{3}\\ 6 = 2\times 3 \equiv 0 \mlo{3} & 6z \equiv 0 \mlo{0} \end{array} \right\rbrace \implies 73 -15y-6z \equiv 1 \mlo{3} \end{array} \right\rbrace \implies x \equiv 1 \mlo{3} $ \item On pose alors : $x = 1 + 3p$, $y= 1 + 2q$ et $z = 3 + 5r$, où $p$, $q$ et $r$ sont des entiers naturels. $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal P \iff 10x + 15y + 6y = 73 \iff 10(1+3p) + 15(1+2q) + 6(3+5r)=73\\ \phantom{M(x~;~y~;~z) \in \mathcal P} \iff 10+30p +15 + 30q + 18+30r = 73 \iff 30p + 30q + 30r = 30\\ \phantom{M(x~;~y~;~z) \in \mathcal P} \iff p+q+r=1$. \item% En déduire qu'il existe exactement trois points du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points. On cherche les triplets $(1+3p~;~1+2q~;~3+5r)$ où $p$, $q$ et $r$ sont des entiers naturels tels que $p+q+r=1$. Il existe trois solutions: \begin{list}{\textbullet}{} \item $p=1$, $q=0$ et $r=0$, donc $(x~;~y~;~z)=(4~;~1~;~3)$; \item $p=0$, $q=1$ et $r=0$, donc $(x~;~y~;~z)=(1~;~3~;~3)$; \item $p=0$, $q=0$ et $r=1$, donc $(x~;~y~;~z)=(1~;~1~;~8)$. \end{list} Ce sont les coordonnées des trois points de $\mathcal{P}$ à coordonnées dans $\N$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\centering ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{3cm} \textbf{\large Exercice 2 } \vspace{2cm} \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \pscircle(0,0){1} \uput[dr](1,0){A}\uput[ul](-0.8,0.6){$\mathcal{C}$} \psdots(1;25)\uput[ur](1;25){$M$} \psline(0;0)(1;25)\psline(0;0)(1;50) \pscircle[linecolor=blue,linewidth=0.4pt](1;25){0.43} \psline[linecolor=blue,linewidth=0.4pt](1;50)(1;25)(1.15,0.053) \uput[u](1;50){\blue $N$}\uput[dr](1.15,0.053){\blue $M'$} \psarc(0,0){4mm}{0}{25}\rput(0.2,0.05){$\theta$} \psarc(0,0){12mm}{0}{50}\rput(0.3,0.2){$2\theta$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}