%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{frcursive} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole, La Réunion}} \rfoot{\small 16 septembre 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion~\decofourright\\[5pt]16 septembre 2010}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par %\[ f(x) = x (1 - \ln x).\] % %La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). \medskip \textbf{Partie 1 : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item %Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. Comme $x$ est supérieur à zéro, le signe de $f(x)$ est celui de $1 - \ln x$. Or $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \ln \text{e} > \ln x \iff \text{e} > x$ par croissance de la fonction ln. On a donc : \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] $f(x) > 0 \iff 0 < x < \text{e}$ ; \item[ ] $f(x) = 0 \iff x = \text{e}$ ; \item[ ] $f(x) < 0 \iff x > \text{e}$. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item %Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. $\bullet~$ Au voisinage de zéro : $f(x) = x - x\ln x$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. $\bullet~$ Au voisinage de plus l'infini : On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \ln x = - \infty$. Par produit des limites on obtient : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \emph{Remarque} : la lecture de l'annexe correspond bien à ces résultats. \item %Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. $f$ produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et : $f'(x) = 1 - \ln x + x \times \left(- \dfrac{1}{x} \right) = 1 - \ln x - 1 = - \ln x$. Or $- \ln x > 0 \iff \ln x < 0 \iff \ln x < \ln 1 \iff x < 1$ par croissance de la fonction ln. De m\^eme $- \ln x > 0 \iff x > 1$. Conclusion : la fonction est croissante sur $]0~;~1]$ et décroissante sur $[1~;~+ \infty[$. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) %\psgrid \psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.1,2.5){0} \uput[u](4,2.5){1} \uput[u](6.4,2.5){$+ \infty$} \psline[doubleline=true](1.1,0)(1.1,2.5)%\psline(1.125,0)(1.125,2.5) \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$-$} \rput(0.5,1){$f(x)$}\rput(4,2.25){$0$} \psline{->}(1.4,0.4)(3.4,1.8) \psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4) \uput[u](1.25,0){$0$}\rput(4,1.8){1}\uput[u](6.4,0){$- \infty$} \uput[u](5.5,2.5){e}\rput(5.5,1){$0$}\psline[linestyle=dashed](5.5,1.1)(5.5,2.5) \end{pspicture} \end{center} \item %Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. \begin{enumerate} \item %Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. On a $M(x~;~y) \in \left(T_{a}\right) \iff y - f(a) = f'(a)(x - a) \iff y - a + a\ln a = - \ln a(x - a) \iff$ $ y = -x\ln a + a$. Le point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, d'o\`u $y = a$, ordonnée du point A$'$. Conclusion : A$'(0~;~a)$. \item %Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure. Il suffit de tracer le quart de cercle centré en O de rayon $a$ qui coupe l'axe des ordonnées au point A$'(0~;~a)$ Du point $(a~;~0)$ donné sur la figure on trace la verticale qui coupe $\mathcal{C}$ au point A$(a~;~f(a))$. La tangente est la droite (AA$'$). Voir à la fin la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II: Un calcul d'aire} \medskip %Soit $a$ un nombre réel strictement positif. %On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, en unité d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$. \begin{enumerate} \item %Justifier que $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, en distinguant le cas $a < \text{e}$ et le cas $a > \text{e}$. $\bullet~$ On a vu à la question 1. que sur $]0~;~\text{e}]$ la fonction $f$ est positive. La mesure de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$ est donc égale à l'intégrale $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. $\bullet~$ On a vu que sur $[\text{e}~;~+ \infty[,~f(x) < 0$. Dans ce cas la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$ est donc égale à $- \displaystyle\int_{\text{e}}^{a} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \mathcal{A}(a)$ en permutant les bornes d'intégration. \item %à€ l'aide d'une intégration par parties, calculer $\mathcal{A}(a)$ en fonction de $a$. On a donc $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} x(1 - \ln x)\:\text{d}x$. Posons $\left\{\begin{array}{l c l} u'(x)&=&x\\ v(x)&=&1 - \ln x \end{array}\right.$ d'où $\left\{\begin{array}{l c l} u(x)&=&\dfrac{x^2}{2}\\ v'(x)&=&- \dfrac{1}{x} \end{array}\right.$. Toutes ces fonctions étant continues et dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, on peut donc intégrer par parties : $\mathcal{A}(a) = \left[\dfrac{x^2}{2}(1 - \ln x)\right]_{a}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} \dfrac{1}{x}\times \dfrac{x^2}{2}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}(1 - \ln x)\right]_{a}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} \dfrac{x}{2}\:\text{d}x =$ $\left[\dfrac{x^2}{2}(1 - \ln x) + \dfrac{x^2}{4}\right]_{a}^{\text{e}} = \left[\dfrac{x^2}{2}\left(\frac{3}{2} - \ln x \right) + \dfrac{x^2}{4}\right]_{a}^{\text{e}} = \dfrac{\text{e}^2}{2}\left(\frac{3}{2} - 1 \right) - \dfrac{a^2}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \ln a \right) = \dfrac{\text{e}^2}{4} - \dfrac{a^2}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \ln a \right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$. %\medskip %Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$. %On donne en annexe 2 (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. En partant du point $(\left(u_{0} = 5~;~0\right)$ et en allant alternativement verticalement vers la courbe $\mathcal{C}$ et horizontalement vers la droite $\Delta$, on obtient les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses, $u_{1}$\:~$u_{2}$,\:$u_{3}$ etc. Voir la figure \item %Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Sur la vue des premiers termes il semble que la suite soit décroissante vers l'abscisse du point commun à $\mathcal{C}$ et à $\Delta$ soit vers 1. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$ $\bullet~$ \emph{Initialisation} : on a $u_{0} - 1 = 5 - 1 = 4 > 0$ : vraie au rang $0$. $\bullet~$ \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $u_{n} - 1 > 0.$ Or $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$ donc $u_{n+1} - 1 = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2} - 1 = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n} - 2}{u_{n} + 2} = \dfrac{3u_{n} - 3}{u_{n} + 2} = \dfrac{3\left(u_{n} - 1 \right)}{u_{n} + 2}$. On sait que $u_{n} - 1 > 0$, donc $u_{n} > 1$ et $u_{n} + 2 > 3 > 0.$ Tous les termes de $u_{n + 1} - 1$ sont supérieurs à zéro, donc finalement $u_{n+1} - 1 > 0$. L'inégalité est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$ ; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout $n \in \N,\:u_{n} - 1 > 0.$ \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} $\bullet~$ Décroissance de la suite : soit $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n}^2 - 2u_{n}}{u_{n} + 2} = \dfrac{-u_{n}^2 + 2u_{n} - 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{u_{n}^2 - 2u_{n} + 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{\left(u_{n} - 1 \right)^2}{u_{n} + 2}$. Les deux termes du quotients sont positifs, donc finalement $u_{n+1} - u_{n} < 0$ ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Or $u_{n} - 1 > 0 \iff u_{n} > 1$ La suite étant minorée par 1 et décroissante converge vers une limite $\ell \geqslant 1$ et par continuité de la fonction $f$, on a $\ell = \dfrac{4\ell - 1}{\ell + 2}$ équation dont la seule solution est $\ell = 1$. La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $1$. %Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b. \end{enumerate} \item %Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. %Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. On a $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{1}{u_{n+1} - 1} - \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. Or on a vu ci-dessus (démonstration par récurrence) que $u_{n+1} - 1 = \dfrac{3\left(u_{n} - 1 \right)}{u_{n} + 2}$, donc $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_{n} + 2}{3\left(u_{n} - 1 \right)} - \dfrac{1}{u_{n} - 1} = \dfrac{u_{n} + 2 - 3}{3\left(u_{n} - 1 \right)} = \dfrac{u_{n} - 1}{3\left(u_{n} - 1 \right)} = \dfrac{1}{3}$, car on a vu que $u_{n} - 1 > 0$. Ceci montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$, de premier terme $v_{0} = \dfrac{1}{u_{0} - 1} = \dfrac{1}{5 - 1} = \dfrac{1}{4}$. \item %Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. On sait que $v_{n} = v_{0} + n \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\times n = \dfrac{1}{4} + \dfrac{n}{3} = \dfrac{3 + 4n}{12}$. Or $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1} \iff u_{n} - 1 = \dfrac{1}{v_{n}} \iff u_{n} = \dfrac{1}{v_{n}} + 1 = \dfrac{12}{3 + 4n} + 1 = \dfrac{12 + 3 + 4n}{3 + 4n} = \dfrac{15 + 4n}{3 + 4n}$, quel que soit $n \in \N$. On retrouve ici que les termes de $\left(u_{n}\right)$ sont des rationnels et comme le suggérait les constructions du 1. a. que $u_{1} = \dfrac{19}{7},~u_{2} = \dfrac{23}{11} = 2,~u_{3} = \dfrac{9}{5} = 1,8$. \item %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Pour $n > 0$ on peut écrire $u_{n} = \dfrac{4 + \frac{15}{n}}{4 + \frac{3}{n}}$. On voit facilement que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 1.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. %Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x& =& - t + 1\\ %y& =&2t \\ %z& =& -t + 2 %\end{array}\right. %\text{oà¹}~ t~ \text{désigne un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. C(1~;~3~;~2)$ \in (\mathcal{P}) \iff 3 \times 1 + 3 - 2 - 1 = 0 \iff 3 = 0$, faux. Le point C n'appartient pas au plan $(\mathcal{P})$. \item %Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$. Soit $M$ un point de $(\mathcal{D})$. $M \in (\mathcal{P}) \iff 3 (-t + 1) + 2t - (- t + 2) - 1 = 0 \iff -3t + 3 + 2t + t - 2 - 1 = 0$, vrai quel que soit $t$. Tout point de $(\mathcal{D})$ est un point de $(\mathcal{P})$, donc la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$. \end{enumerate} \item %Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. \begin{enumerate} \item %Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. Un vecteur normal au plan $(\mathcal{Q})$ est un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ sont $(- 1~;~2~;~- 1)$. Une équation du plan $(\mathcal{Q})$ est donc : $M(x~;~y~;~z) \in (\mathcal{Q}) \iff - x + 2y - z + d = 0$. Or C(1~;~3~;~2)$ \in (\mathcal{Q}) \iff - 1 + 2 \times 3 - 2 + d = 0 \iff 3 + d = 0 \iff d = - 3$. Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\mathcal{Q}) \iff -x + 2y - z - 3 = 0$. \item %Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. Soit $M(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$ un point de $(\mathcal{D})$. $M \in (\mathcal{Q}) \iff - (- t + 1) + 2 \times 2t - (- t + 2) - 3 = 0 \iff t - 1 + 4t + t - 2 - 3 = 0 \iff 6t - 6 = 0 \iff t = 1$. Donc le point commun I à $(\mathcal{Q})$ et à la droite $(\mathcal{D})$ a pour coordonnées $\left(- 1 + 1~;~2 \times 1~;~- 1 + 2\right) = \left(0~;~2~;~1\right)$. \item %Montrer que CI $= \sqrt{3}$. On a $\vect{\text{CI}}\left(- 1~;~- 1~;~- 1\right)$. Donc CI$^2 = \vect{\text{CI}} \cdot \vect{\text{CI}} = 1 + 1 + 1 = 3$. Conclusion CI $ = \sqrt{3}$. \end{enumerate} \item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. On calcule les coordonnées de $\vect{\text{C}M_{t}}(- t + 1 - 1~;~2t - 3~;~- t + 2 -2)$ soit $(- t~;~2t - 3~;~t)$. On a $\text{C}M_{t}^2 = \vect{\text{C}M_{t}} \cdot \vect{\text{C}M_{t}} = (- t)^2 + (2t - 3)^2 + t^2 = t^2 + 4t^2 + 9 - 12t + t^2 = 6t^2 - 12t + 9$. \item %Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. $\text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9 = 6\left(t^2 - 2t + \dfrac{9}{6}\right) = 6\left[(t^2 - 2t + 1) - 1 + \dfrac{3}{2} \right] = 6\left[(t - 1)^2 + \dfrac{1}{2} \right]$. Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour $t = 1$ et la valeur minimale de trinôme est égale à $\text{C}M_{t}^2 = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3 \Rightarrow \text{C}M_{t} = \sqrt{3}$. CI est bien la valeur minimale. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip %Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item %On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2. On a I(0~;~1) et A$\left(\sqrt{3}~;~2\right)$ ; donc IA$^2 = \left(\sqrt{3}\right)^2 + (2 - 1)^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \text{IA} = 2$. Le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2 %Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. Pour construire le point A, il suffit de tracer l'horizontale contenant le point (0~;~2) qui coupe le cercle $\Gamma$ de centre I, de rayon 2. A est le point d'abscisse positive. \item %On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. %Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$. Par définition un point $M$ d'affixe $z$ a pour image $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' - z_{\text{I}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\left(z - z_{\text{I}}\right)$ soit $z - \text{i} = \text{i}(z - \text{i}) \iff z = \text{i}z + 1 + \text{i}$. Donc $z_{\text{B}} = \text{i}\left(\sqrt{3} + 2\text{i} \right) + 1 + \text{i} = \text{i}\sqrt{3} - 2 + 1 + \text{i} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$. %Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. La rotation est une isométrie, donc IA = IB = 2, d'après la question 1. a. Le point B appartient donc au cercle $\Gamma$. \item %Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. Par définition du milieu $x_{\text{I}} = \dfrac{x_{\text{A}} + x_{\text{C}}}{2}$ soit $0 = \dfrac{\sqrt{3} + x_{\text{C}}}{2} \iff x_{\text{C}} = - \sqrt{3}$. De m\^eme $y_{\text{I}} = \dfrac{y_{\text{A}} + y_{\text{C}}}{2}$ soit $1 = \dfrac{2 + y_{\text{C}}}{2} \iff y_{\text{C}} = 0.$ Conclusion $z_{\text{C}} = - \sqrt{3}$. Remarque : on aurait pu dire que C est l'image de B par la rotation $r$ \item %Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. Par définition de la rotation (BI) est perpendiculaire à (IA). D'autre part [AC] est un diamètre de $\Gamma$. Dans le triangle ABC, inscrit dans le cercle $\Gamma$ dont un de ses cà´tés est un diamètre est donc rectangle en B et (BI) étant à la fois hauteur et médiane, le triangle ABC est isocèle en B. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B. \end{enumerate} \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{BI}}$. %Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ? %Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. Il semble que (BF) et (CE) sont perpendiculaires. \textbf{Démonstration :} De $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{FA}} = \vect{\text{IB}}$, on déduit que $\vect{\text{FA}} = \vect{\text{AE}}$, c'est-à -dire que A est le milieu de [EF]. D'autre part BI = IA = 2 = EA = AF : donc le triangle EIF est inscrit dans le cercle de diamètre [EF] : il est donc rectangle en I. De plus (BI) $\perp$ (AC) et $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ entra\^{\i}ne que (AE) et (IB) sont parallèles, donc (AC) est perpendiculaire à (AE). Dans le triangle EIF la droite (IA) est à la fois hauteur et médiane : ce triangle est donc rectangle isocèle en I. Par la rotation $r$ : -- B a pour image C -- F a pour image E Par définition de $r$ rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, la droite (BF) a pour image la droite perpendiculaire (CE). \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-4,-1.5)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.75](0,1)(1.732,2)(-1,2.732)(2.732,0.268)(0.732,3.732)(-1.732,0) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](0,1){I} \uput[ur](1.732,2){A}\uput[ul](-1,2.732){B} \uput[l](0,2){2} \uput[ur](0.732,3.732){E}\uput[ur](2.732,0.268){F} \uput[ul](-1.732,0){C} \psline[linestyle=dashed](0,2)(4,2) \pscircle(0,1){2} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psline(1.732,2)(0,1)(-1,2.732) \psline(1.732,2)(-1,2.732)(-1.732,0)(0,1) \psline[linecolor=blue](-1,2.732)(2.732,0.268) \psline[linecolor=blue](-1.732,0)(0.732,3.732) \pspolygon(2.732,0.268)(0,1)(0.732,3.732) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip %Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les deux rectangles OABC et DEFG o๠les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives %\[z_{\text{A}} = -2,~ z_{\text{B}} = -2 + \text{i},~z_{\text{C}}= \text{i},~z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},~z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\] %Voir la figure donnée en annexe 3. %\medskip \begin{enumerate} \item %On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E. \begin{enumerate} \item %Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. On sait que l'écriture complexe d'une similitude directe est $z' = az + b$. $s(\text{O}) = \text{D} \iff 1 = 0 + b \iff b = 1$ ; $s(\text{A}) = \text{E} \iff 1 + 3\text{i} = a\times (- 2) + 1 \iff a = - \dfrac{3}{2}\text{i}$. L'écriture complexe de $s$ est donc : $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. \item %Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$. Recherche de point invariant : $M = s(M) \iff z = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1 \iff z\left(1 + \dfrac{3}{2}\text{i} \right) = 1 \iff z = \dfrac{2}{2 + 3\text{i}} = \dfrac{2(2 - 3\text{i})}{4 + 9} = \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}).$ $\left\{\begin{array}{l c l} z'&=&- \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1\\ \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i})&=&- \dfrac{3}{2}\text{i}\left[\dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) \right] + 1 \end{array}\right.$ entra\^{\i}ne par différence : $z' - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) = - \dfrac{3}{2}\text{i}\left[z - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) \right] \iff z' - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{2}}\left[z - \dfrac{2}{13}(2 - 3\text{i}) \right]$. Conclusion : l'angle de la similitude est égal à $- \dfrac{\pi}{2}$ et le rapport est égal à $\dfrac{3}{2}$. \item %Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ? On sait déjà que O a pour image D et A a pour image E. Comme OG = 3 et OC = 1, il est aisé de voit que l'image de C est G. Enfin OABC étant un rectangle son image par $s$ est aussi un rectangle : c'est donc le rectangle DEFG. \end{enumerate} \item %On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{i}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$. En utilisant l'écriture complexe de $s'$ : $s(1) = -\dfrac{2}{3}\text{i}\times 1 + \dfrac{5}{3}\text{i} = \text{i}$ ; $s(1 + 3\text{i}) = -\dfrac{2}{3}\text{i}(1 - 3\text{i}) + \dfrac{5}{3}\text{i} = - 2 + \text{i}$ ; $s\left(\dfrac{5}{2} + 3\text{i}\right) = -\dfrac{2}{3}\text{i}\left(\dfrac{5}{2} - 3\text{i} \right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = - 2$ ; $s\left(\dfrac{5}{2}\right) = -\dfrac{2}{3}\text{i}\left(\dfrac{5}{2} \right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = 0$. Donc l'image du rectangle DEFG est le rectangle CBAO. \item %On considère la similitude $g = s' \circ s$. %Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$. On a $g(\text{O}) = s'[s(\text{O})] = s'(\text{D}) = \text{C}$ ; $g(\text{A}) = s'[s(\text{A})] = s'(\text{E}) = \text{B}$ ; $g(\text{B}) = s'[s(\text{B})] = s'(\text{F}) = \text{A}$ ; $g(\text{C}) = s'[s(\text{C})] = s'(\text{G}) = \text{O}$ ; L'image du rectangle OABC par la similitude $g$ est donc le rectangle CBAO. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ? Cherchons l'écriture complexe de $g$ : $g(z) = s'\circ s(z) = s'[s(z)] = s'[- \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1] = \dfrac{2}{3}\text{i}\left(\overline{- \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1}\right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = \dfrac{2}{3}\text{i}\left(\dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z} + 1 \right) + \dfrac{5}{3}\text{i} = \overline{z} - \dfrac{2}{3}\text{i} + \dfrac{5}{3}\text{i} = \overline{z} + \text{i}$. Un point $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ est invariant par $g$ si, et seulement si : $z = \overline{z} + \text{i} \iff x + \text{i}y = x - \text{i}y + \text{i} \iff 2y = 1 \iff y = \dfrac{1}{2}$, $x$ étant quelconque. L'ensemble des points invariants par $g$ est la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. Or $g$ composée de deux similitudes est une similitude ayant une droite de points invariants : c'est la symétrie axiale autour de la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. On a d'ailleurs vu au dessus que A et B d'une part O et C d'autre part s'échangent dans la similitude $g$ : l'axe de la symétrie est donc l'un des axes de symétrie du rectangle OABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-1,-2.6)(5.25,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul} \uput[d](1.7,0){$a$}\uput[l](0,0.7979){$f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \psarc(0,0){1.7}{0}{90}\uput[l](0,1.7){B} \psline[linecolor=red,arrowsize=3pt 5]{<->}(0,1.7)(3.4,-.1042) \psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979) \rput(0.5,1.3){\color{red}$\left(T_{a}\right)$} \uput[u](4.5,-2.25){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 (Exercice 2)} (à rendre avec la copie) \vspace{2cm} \psset{unit=1.6cm} \begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x 2 add div} \uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$} \psset{linewidth=0.5pt,linecolor=red} \psline(5,0)(5,2.714)(2.714,2.714)(2.714,2.09)(2.09,2.09)(2.09,1.8)(1.8,1.8)(1.8,1.632) \psset{linestyle=dashed} \uput[d](5,-0.3){$u_{0}$} \psline(2.714,2)(2.714,0)\uput[d](2.714,-0.3){$u_{1}$} \psline(2.09,1.75)(2.09,0)\uput[d](2.09,-0.3){$u_{2}$} \psline(1.8,1.6)(1.8,0)\uput[d](1.8,-0.3){$u_{3}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 3 (Exercice 4)\\ Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{2cm} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(3.5,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.5)(3.5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(-2,1) \psframe(1,0)(2.5,3) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](-2,0){A} \uput[ul](-2,1){B} \uput[ur](0,1){C} \uput[d](1,0){D} \uput[ul](1,3){E} \uput[ur](2.5,3){F} \uput[d](2.5,0){G} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psline[linestyle=dashed](-2,0.5)(3.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \end{document}