\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{cancel} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : F. PUCCI %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} %\usepackage{tikz,tkz-tab} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\Z}{\textbf{Z}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\C}{\textbf{C}} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S -- }, pdftitle = {Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \relpenalty=10000 % Pour ne pas couper les formules. \binoppenalty=10000 \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \renewcommand{\d}{\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\text{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\pg}{\geqslant}% supérieur ou égal à \newcommand{\pp}{\leqslant}% inférieur ou égal à \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\mathstrut\,#1\,}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna}} \rfoot{\small{28 novembre 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du baccalauréat S~\decofourright\\[4pt] \large Nouvelle-Calédonie \& Wallis et Futuna -- 28 novembre 2017} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus. \medskip \textbf{Partie A : En utilisant le bus} On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire $T_B$ qui suit la loi uniforme sur $\cd 12~;~15\cg$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la probabilité que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $\dfrac23$. On sait que si une variable aléatoire $T$ suit une loi uniforme sur un intervalle $\cd a~;~b \cg$, alors pour $\alpha$ et $\beta$ tels que $a\pp \alpha \pp \beta \pp b$, on a $P(\alpha \pp T \pp \beta) = \dfrac{\beta-\alpha}{b-a}$. Comme $T_B$ suit une loi uniforme sur $\cd 12~;~15\cg$, $P(12 \pp T_B \pp 14) = \dfrac{14-12}{15-12} = \dfrac{2}{3}$. \item La durée moyenne du trajet est donnée par l'espérance mathématique de la variable aléatoire. On sait que si une variable aléatoire $T$ suit une loi uniforme sur un intervalle $\cd a~;~b \cg$, alors $E(T)=\dfrac{a+b}{2}$; donc la durée moyenne du trajet est $E(T_B) = \dfrac{12+15}{2} = 13,5$ minutes. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : En utilisant son vélo} \medskip On suppose à présent que Sofia choisit d'utiliser son vélo. La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire $T_V$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 14$ et d'écart-type $\sigma=1,5$. \medskip \begin{enumerate} \item% Quelle est la probabilité que Sofia mette moins de $14$ minutes pour se rendre au cinéma ? Si une variable aléatoire $T$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, alors $P(T < \mu) = 0,5$. Comme $T_V$ suit la loi normale de paramètres $\mu = 14$ et $\sigma = 1,5$, alors $P(T_V < 14) = 0,5$. \item La probabilité que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma est $P(12 \pp T_V \pp 13) \approx 0,409$ (trouvé à la calculatrice). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : En jouant aux dés} \medskip Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dé équilibré à $6$ faces. Si elle obtient $1$ ou $2$, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note : \begin{itemize} \item $B$ l'évènement \og Sofia prend le bus \fg{} ; \item $V$ l'évènement \og Sofia prend son vélo \fg{} ; \item $C$ l'évènement \og Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma \fg. \end{itemize} %\medskip \begin{enumerate} \item% Démontrer que la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $0,49$. Sofia prend le bus quand elle obtient $1$ ou $2$ en lançant le dé, donc avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$. On résume les données dans un arbre pondéré: \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3cm,treesep=0.8cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\naput{$1/3$}} { \TR{$C$}\naput{$2/3$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{$1/3$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$V$}\nbput{$2/3$}} { \TR{$C$}\naput{$0,409$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{$0,591$} } } \bigskip \end{center} D'après la formule des probabilités totales: $P(C) = P(B\cap C) + P(V \cap C) \approx \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,409 \approx 0,49$. \item Sachant que Sofia a mis entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma, la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'elle ait emprunté le bus est $P_C(B) = \dfrac{P(B\cap C)}{P(C)} \approx \dfrac{\frac{2}{9}}{0,49} \approx 0,45$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\big(\ln (x)\big)^2}x.$ On note $\mathcal C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item% Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat. On cherche la limite de la fonction $f$ en 0: $\left. \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to 0 \atop x > 0} \ln(x)=-\infty \implies \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \big(\ln(x)\big)^2=+\infty \\ \ds\lim_{x\to 0 \atop x > 0} \dfrac{1}{x}=+\infty \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \dfrac{\big(\ln (x)\big)^2}{x}=+\infty \text{ et donc } \ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=+\infty$ On en déduit que la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal C$. \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, $f(x)=4\left(\dfrac{\ln\big(\sqrt x\big)}{\sqrt x}\right)^2$. On sait que pour tout $a>0$, $\ln\left ( \sqrt{a}\right ) = \dfrac{1}{2}\,\ln(a)$. On en déduit que, pour $x > 0$, $\left (\ln\left (\sqrt{x}\right ) \right )^2 = \left ( \dfrac{1}{2}\,\ln(x)\right )^2 = \dfrac{1}{4}\big( \ln(x)\big)^2$. On a donc pour tout $x$ de $\cg 0~;~+\infty \cd$: $4\left(\dfrac{\ln\big(\sqrt x\big)}{\sqrt x}\right)^2 = 4\dfrac{\big( \ln\left (\sqrt{x}\right ) \big)^2}{\left ( \sqrt{x}\right )^2} = 4\times \dfrac{1}{4}\big( \ln(x)\big)^2 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\big( \ln(x) \big)^2}{x} = f(x)$. \item% En déduire que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+ \infty$. En utilisant cette écriture de $f(x)$, on cherche la limite de $f(x)$ en $+\infty$: $\left. \begin{array}{r} \ds\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\\ \text{On pose } X=\sqrt{x}\\ \ds\lim_{X \to +\infty} \dfrac{\ln(X)}{X} = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left (\sqrt{x}\right )}{\sqrt{x}} = 0 \text{ donc } \ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$. On en déduit que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+ \infty$. \end{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\cg 0~;~+\infty\cd$, $f'(x)=\dfrac{\ln(x)\big(2-\ln(x)\big)}{x^2}.$ Pour tout $x$ de $\cg 0~;~+\infty\cd$, $f'(x)= \dfrac{2 \dfrac{1}{x} \ln(x) \times x - \big( \ln(x) \big)^2 \times 1}{x^2} = \dfrac{\ln(x) \big( 2-\ln(x) \big)}{x^2}$. \item On étudie le signe de $f'(x)$ au moyen d'un tableau. $\ln(x)>0 \iff x>1$ et $2-\ln(x)>0 \iff 2>\ln(x) \iff \e^{2} > x \iff x<\e^{2}$ \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{2cm}} $\begin{array}{|c | l*{6}{c} |} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & \e^{2} & \esp & +\infty \\ \hline \ln(x) & \,\vline\;\vline & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\ \hline 2-\ln(x) & \,\vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline x^2 & 0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\ \hline f'(x)=\dfrac{\ln(x) \left (2-\ln(x)\right )}{x^2} & \,\vline\;\vline & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \rule[-11pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item $f(1) = \dfrac{\big( \ln(1)\big)^2}{1} = 0$ et $f\left (\e^2\right ) = \dfrac{\big(\ln\left (\e^{2}\right ) \big)^2}{\e^{2}}=\dfrac{4}{\e^{2}}\approx 0,54 < 1$ \end{enumerate} On obtient alors le tableau de variations ci-dessous, que l'on complète: %\begin{center} %\scalebox{.8}{\begin{tikzpicture} %\tkzTabInit[espcl=3]{$x$ /1, $f$ /2}% %{$0$ ,$1$ , $\e^2$, $+\infty$}% %\tkzTabVar{D+/$+\infty$, -/ $0$, +/$\dfrac4{\e^2}$, -/$0$} %\end{tikzpicture}} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l*5{c} c|} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & \e^{2} & \esp & +\infty \\ \hline & \vline\;\vline~\Rnode{max1}{+\infty} & & & & \Rnode{max2}{\dfrac{4\rule{0pt}{10pt}}{\e^{2}} {\red <1}} & & \\ f (x) &\vline\;\vline & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ &\vline\;\vline & & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min1} \ncline{->}{min1}{max2} \ncline{->}{max2}{min2} \rput*(-7,0.95){\Rnode{zero}{\red 1}} \rput(-7,2.65){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item% Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. D'après le tableau de variations précédent, on peut dire que l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ et que cette solution $\alpha$ appartient à l'intervalle $\cg 0~;~1\cd$. $\left\lbrace \begin{array}{l} f(0,4) \approx 2,1 > 1\\ f(0,5) \approx 0,96 < 1 \end{array} \right. \implies \alpha \in \cg 0,4~;~0,5 \cd$ \hfill $\left\lbrace \begin{array}{l} f(0,49) \approx 1,04 > 1\\ f(0,50) \approx 0,96 < 1 \end{array} \right. \implies \alpha \in \cg 0,49~;~0,50 \cd$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) = 2\e^x-\e^{2x}$ et $\mathcal C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour tout $x$ appartenant à $\cd 0~;~\ln(2)\cg$, $f(x)$ est positif. %Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. \medskip \textbf{Proposition A :} \medskip L'aire du domaine délimité par les droites d'équations $x=0$ et $x = \ln (2)$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal C$ est égale à $1$ unité d'aire. \begin{quote} Comme la fonction $f$ est positive sur $\cd 0~;~\ln(2)\cg$, l'aire du domaine est égale à $\mathcal{A} = \ds\int_{0}^{\ln(2)} f(x) \d x$. La fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=2\e^{x} - \dfrac{\e^{2x}}{2}$. Donc $\mathcal{A} = F(\ln(2))-F(0) = \left [2\times 2 - \dfrac{4}{2}\right ] - \left [ 2 - \dfrac{1}{2} \right ] = \dfrac{1}{2}$. \textbf{Proposition A fausse} \end{quote} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $n$ un entier strictement positif. Soit la fonction $f_n$ définie sur l'ensemble des nombres réels par $f_n(x) = 2n\e^x-\e^{2x}$ et $\mathcal C_n$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que $f_n$ est dérivable et que $\mathcal C_n$ admet une tangente horizontale en un unique point $S_n$. %Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. \medskip \textbf{Proposition B :} \medskip Pour tout entier strictement positif $n$, l'ordonnée du point $S_n$ est $n^2$. \begin{quote} $\mathcal{C}_n$ admet une tangente horizontale au point $S_n$ d'abscisse $\alpha$ où $f_n(\alpha) = 0$. $f'_n(x)= 2n\e^{x} -2\e^{2x} = 2\e^{x}\left ( n-\e^{x}\right )$; $f'_n(x)=0 \iff n-\e^{x}=0 \iff \ln(n)=x$. Donc le point $S_n$ a pour abscisse $\ln(n)$; son ordonnée est\\ $f(\ln(n))=2n\e^{\ln(n)} -\e^{2\ln(n)} = 2n^2 - n^2=n^2$. \textbf{Proposition B vraie} \end{quote} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 4 \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\textbf{Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.} \medskip On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $z_n = \dfrac{1 + \i}{(1-\i)^n}.$ %On se place dans le plan complexe d'origine O. \def\m2pi{~\texttt{[} 2\pi \texttt{]}} %%% pour modulo 2 \pi \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$. \begin{enumerate} \item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel. $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}= \dfrac{\dfrac{1+\i}{(1-\i)^{n+4}}}{\dfrac{1+\i}{(1-\i)^{n}}} = \dfrac{1+\i}{(1-\i)^{n+4}} \times \dfrac{(1-\i)^{n}}{1+\i} = \dfrac{1}{(1-\i)^{4}}$ $(1-\i)^{4} = \left ( (1-\i)^{2}\right )^{2} = \left ( 1-2\i + \i^{2}\right )^{2} = \left (-2\i\right )^{2} = 4\i^{2} = -4$. Donc $\dfrac{z_{n+4}}{z_n} = -\dfrac{1}{4} \in \R$. \item %Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés. $\dfrac{z_{n+4}}{z_n} = -\dfrac{1}{4} \iff z_{n+4} = -\dfrac{1}{4}\,z_n$ qui entraîne $\vect{\text OA_{n+4}} = -\dfrac{1}{4}\vect{\text OA_{n}}$ et on en déduit que les vecteurs $\vect{\text OA_{n+4}}$ et $\vect{\text OA_{n}}$ sont colinéaires, ce qui signifie que les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés. \end{enumerate} \item On sait que pour deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ non nuls, $\arg\left ( \dfrac{z_1}{z_2}\right ) = \arg(z_1)-\arg(z_2) \m2pi$. $\arg (1+\i) = \dfrac{\pi}{4} \m2pi$ et $\arg (1-\i) = -\dfrac{\pi}{4} \m2pi$ donc $\arg (1-\i)^{n} = -\dfrac{n\pi}{4} \m2pi $ On a alors: $\arg\left ( \dfrac{1+\i}{(1-\i)^{n}}\right ) = \arg(1+\i) - \arg\left ( (1-\i)^{n}\right ) \m2pi = \left (\dfrac{\pi}{4} \right ) - \left ( -\dfrac{n\pi}{4}\right ) \m2pi = \dfrac{(n+1)\pi}{4} \m2pi$ Le nombre $z_n$ est réel si et seulement si son argument est égal à $k\pi$ avec $k\in\Z$:\\ $\dfrac{(n+1)\pi}{4} = k\pi \iff n+1=4k \iff n=4k-1$ avec $k\in \Z$. Le nombre $z_n$ est réel si et seulement si $n=4k-1$ avec $k\in\Z$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 5 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.$ %Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. \bigskip \textbf{Partie A :} \medskip On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'un tableur. On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$. %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray!50}\centering\arraybackslash}X|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline %\rowcolor{lightgray!50} &A &B\\ \hline %1 &$n$&$u_n$\\ \hline %2 &0 &3\\ \hline %3 &1 &6\\ \hline %4 &2 &\\ \hline %5 &3 &\\ \hline %6 &4 &\\ \hline %7 &5 &\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %\smallskip \begin{enumerate} \item La formule à saisir dans la cellule B4, puis à recopier vers le bas, permettant d'obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne B est \fbox{\texttt{= 5*B3/4 - B2/4}} \item On complète le tableau donné dans le texte avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $u_n$: \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray!50}\centering\arraybackslash}X|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor{lightgray!50} &A &B\\ \hline 1 &$n$&$u_n$\\ \hline 2 &0 &3\\ \hline 3 &1 &6\\ \hline 4 &2 &\textcolor{red}{6,75}\\ \hline 5 &3 & \textcolor{red}{6,938} \\ \hline 6 &4 & \textcolor{red}{6,984}\\ \hline 7 &5 &\textcolor{red}{6,996} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers le nombre $7$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la suite} \medskip On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n$ par : $v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n$ et $w_n = u_n - 7$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante. $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} = \dfrac{5}{4}\,u_{n+1} -\dfrac{1}{4}\,u_n -\dfrac{1}{4}\,u_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}\,u_n=v_n$ donc la suite $(v_n)$ est constante. \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$. La suite $(v_n)$ est constante, donc pour tout $n$, $v_n=v_0 = u_1 -\dfrac{1}{4}\,u_0 = 6 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{21}{4}$. Donc, pour tout $n$, $u_{n+1} - \dfrac{1}{4}\,u_n=\dfrac{21}{4}$ donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}\,u_n + \dfrac{21}{4}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %En utilisant le résultat de la question \textbf{1.~ b.}, montrer par récurrence que, pour toutentier naturel $n$,\: Soit la propriété $u_n < u_{n+1} < 15$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} $u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0 < u_{1} < 15$; la propriété est vraie pour $n=0$. \item \textbf{Hérédité} On suppose que pour $n\pg 0$, $u_n < u_{n+1} < 15$; c'est l'hypothèse de récurrence. $u_n < u_{n+1} < 15 \implies \dfrac{1}{4}\,u_n < \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} < \dfrac{15}{4} \implies \dfrac{1}{4}\,u_n +\dfrac{21}{4} < \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} + \dfrac{21}{4}< \dfrac{15}{4} + \dfrac{21}{4} $ ce qui équivaut à $u_{n+1} < u_{n+2} < \dfrac{36}{4}$. On en déduit que $u_{n+1} < u_{n+2} < 15$ donc que la propriété est vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} On a vérifié que la propriété était vraie pour $n=0$; on a démontré qu'elle était héréditaire pour $n\pg 0$. D'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\pg 0$. \end{list} On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < u_{n+1} < 15$. \item% En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \begin{list}{\textbullet}{} \item On a démontré que pour tout $n$, $u_{n} < u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante. \item On a démontré que pour tout $n$, $u_{n} < 15$ donc la suite $(u_n)$ est majorée. \end{list} La suite $(u_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Pour tout $n$, $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $w_{n+1} = u_{n+1} - 7 = \dfrac{1}{4}\,u_n + \dfrac{21}{4} - 7 = \dfrac{1}{4}\big(w_n+7\big) -\dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4}\,w_n+\dfrac{7}{4}-\dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4}\,w_n$ \item $w_0=u_0-7 = 3-7=-4$ \end{list} Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0=-4$ et de raison $q=\dfrac{1}{4}$. \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$. On en déduit que, pour tout $n$, $w_n=w_0\times q^n = -4 \times \left ( \dfrac{1}{4}\right )^n = -4\times \dfrac{1}{4}\times \left (\dfrac{1}{4}\right )^{n-1} = -\left (\dfrac{1}{4}\right )^{n-1}$. Or $u_n=w_n+7$ donc, pour tout $n$, $u_n=7-\left ( \dfrac{1}{4} \right ) ^{n-1}$. \item% Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $-1 < \dfrac{1}{4} < 1$ donc, d'après les propriétés des limites des suites géométriques, $\ds\lim_{n \to +\infty} \left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-1} = 0$. On en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n=7$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 5 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans un territoire donné, on s'intéresse à l'évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies). Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par : \[\left\{\begin{array}{r !{=} r} b_0 &\np{1000}\\ c_0 &\np{1500}\\ b_{n+1} & \phantom{-}0,3 b_n + 0,5c_n\\ c_{n+l} &- 0,5b_n +1,3c_n \end{array}\right.\] où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le $1\up{er}$ juin de l'année $2000 + n$ (où $n$ désigne un entier naturel). \medskip \begin{enumerate} \item On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 \\ -0,5 & 1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne~$\begin{pmatrix} b_n \\ c_n \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item% Vérifier que $U_1 = \begin{pmatrix} \np{1050} \\ \np{1450} \end{pmatrix}$ et calculer $U_2$. $\left\{\begin{array}{r !{=} l} b_{n+1} & \phantom{-}0,3 b_n + 0,5c_n\\ c_{n+l} &- 0,5b_n +1,3c_n \end{array}\right.$ donc $\left\{\begin{array}{r !{=} l !{=} l !{=} l} b_{1} & \phantom{-}0,3 b_0 + 0,5c_0 & \phantom{-}0,3 \times \np{1000} + 0,5 \times \np{1500} & \np{1050}\\ c_{1} &- 0,5b_0 +1,3c_0 & - 0,5\times \np{1000} +1,3 \times \np{1500} & \np{1450} \end{array}\right.$ Donc $U_1= \begin{pmatrix} \np{1050} \\ \np{1450} \end{pmatrix}$. $\left\{\begin{array}{r !{=} l !{=} l !{=} l} b_{2} & \phantom{-}0,3 b_1 + 0,5c_1 & \phantom{-}0,3 \times \np{1050} + 0,5 \times \np{1450} & \np{1040}\\ c_{2} &- 0,5b_1 +1,3c_1 & - 0,5\times \np{1050} +1,3 \times \np{1450} & \np{1360} \end{array}\right.$ donc $U_2= \begin{pmatrix} \np{1040} \\ \np{1360} \end{pmatrix}$. \item% Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = AU_n$. On sait que $\left\{\begin{array}{r !{=} l} b_{n+1} & \phantom{-}0,3 b_n + 0,5c_n\\ c_{n+l} &- 0,5b_n +1,3c_n \end{array}\right.$ ce qui s'écrit sous forme matricielle:\\ $\begin{pmatrix} b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 \\ -0,5 & 1,3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{n} \\ c_{n} \end{pmatrix}$ c'est-à-dire $U_{n+1} = AU_n$. \end{enumerate} \item On donne les matrices $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $T = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel. \begin{enumerate} \item% Déterminer la valeur de $a$ en justifiant. On doit déterminer le réel $a$ pour que $PQ=QP=I$. $PQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 1 + 0 \times a & 1 \times 0 + 0 \times 1\\ 1\times 1 + 1\times a & 1 \times 0 + 1 \times 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1+a & 1 \end{pmatrix} $ $PQ =I \iff 1+a= 0 \iff a=-1$; donc $Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ On vérifie: $QP= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 1 + 0 \times 1 & 1\times 0 + 0 \times 1 \\ -1\times 1 + 1\times 1 & -1\times 0 + 1\times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Donc la matrice $Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ est l'inverse de la matrice $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. \item On admet que $A = PTQ$. %Démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a \[A^n=PT^nQ.\] Soit la propriété $A^n = PT^nQ$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} On a admis que $A=PTQ$ ce qui s'écrit $A^1=PT^1Q$; la propriété est donc vraie pour $n=1$. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n\pg 1$n c'est-à-dire $A^n = PT^nQ$; c'est l'hypothèse de récurrence. $A^{n+1} = A\times A^n = \big(PTQ\big) \big(PT^nQ\big) = P\big(T(QP)T^n\big)Q$ Les matrices $P$ et $Q$ sont inverses l'une de l'autre donc $QP=I$. $TPQ = TI = T$ et $T\times T^{n} = T^{n+1}$. On peut donc écrire $A^{n+1} = PT^{n+1}Q$ ce qui démontre que la propriété est vraie au rang $n+1$. \textbf{Conclusion} On a vérifié la propriété pour $n=1$. On a démontré que la propriété était héréditaire pour tout $n\pg 1$. D'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\pg 1$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout $n$ non nul, $A^{n} = PT^{n}Q$. \item% Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, $T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}$. Soit la propriété $T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}$ où $T= \begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=1$, $\begin{pmatrix} 0,8^1 & 0,5\times 1 \times 0,8^{1 - 1 } \\ 0 & 0,8^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix} = T $ Donc la propriété est vérifiée pour $n=1$. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie pour $n \pg 1$ c'est-à-dire $T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}$; c'est l'hypothèse de récurrence. $T^{n+1} = T^{n}\times T = \begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix}\\ \phantom{T^{n+1}} = \begin{pmatrix} 0,8^n \times 0,8 + 0,5n\times 0,8^{n-1} \times 0 & 0,8^n \times 0,5 + 0,5n \times 0,8^{n-1}\times 0,8\\ 0 \times 0,8 + 0,8^n \times 0 & 0 \times 0,5 + 0,8^n \times 0,8 \end{pmatrix}\\[5pt] \phantom{T^{n+1}} = \begin{pmatrix} 0,8^{n+1} & 0,8^n \times 0,5 + 0,5n \times 0,8^{n}\\[5pt] 0 & 0,8^{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8^{n+1} & 0,5\left (n+1\right ) \times 0,8^{n}\\ 0 & 0,8^{n+1} \end{pmatrix} $ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} On a vérifié que la propriété était vraie au rang $n=1$. On a démontré qu'elle était héréditaire pour tout $n\pg 1$. D'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\pg 1$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout $n\pg 1$, $T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item Lucie exécute l'algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N = 40$. %Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols ? \begin{center} \begin{tabular}{|rl|} \hline Initialisation: & $N$ prend la valeur $0$ \\ & $B$ prend la valeur \np{1000} \\ & $C$ prend la valeur \np{1500} \\ Traitement : & Tant que $B > 2$ ou $C > 2$ \\ & \qquad $N$ prend la valeur $N + 1$\\ & \qquad $R$ prend la valeur $B$\\ & \qquad $B$ prend la valeur $\phantom{-}0,3R + 0,5C$\\ & \qquad $C$ prend la valeur $- 0,5R + 1,3C$\\ & Fin Tant Que \\ Sortie : & Afficher $N$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} Pour $N=40$ donc au bout de 40 ans, on a à la fois $B \pp 2$ et $C \pp 2$, donc le nombre de buses et de campagnols devient dangereusement réduit. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $U_n = \begin{pmatrix} \np{1000} \times 0,8^n +\dfrac{625}2n \times 0,8^n \\[.4cm] \np{1500} \times 0,8^n + \dfrac{625}2n \times 0,8^n \end{pmatrix}$ et $n \leqslant 10 \times 1,1^n$. \begin{enumerate} \item% En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$. D'après la matrice $U_n$, on a $b_n= \np{1000} \times 0,8^n +\dfrac{625}{2} n \times 0,8^n$ et $c_n= \np{1500} \times 0,8^n + \dfrac{625}{2} n \times 0,8^n$, pour tout $n$. De plus, $b_n$ et $c_n$ correspondent respectivement aux nombres de buses et de campagnols donc ce sont des nombres positifs: $0 \pp b_n$ et $0\pp c_n$. On sait que $n \leqslant 10 \times 1,1^n$, donc $\np{1000} \times 0,8^n +\dfrac{625}{2}n \times 0,8^n \pp \np{1000} \times 0,8^n +\dfrac{625}{2}\times 10 \times 1,1^{n} \times 0,8^n$ donc on peut dire que $b_n \pp \np{1000} \times 0,8^n +\np{3125} \times 0,88^{n}$. D'après les propriétés des limites des suites géométriques, comme $-1<0,8<1$, on sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} \big(0,8\big)^n=0$, et comme $-1<0,88<1$, on sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} \big(0,88\big)^n=0$. On en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} \left ( \np{1000} \times 0,8^n +\np{3125} \times 0,88^{n} \right )= 0$. \smallskip On sait que $0 \pp b_n \pp \np{1000} \times 0,8^n +\np{3125} \times 0,88^{n}$; d'après le théorème des gendarmes, on peut déduire que $\ds\lim_{n \to +\infty} b_n=0$. \smallskip Par un raisonnement similaire, on démontre que $\ds\lim_{n \to +\infty} c_n=0$. \item Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieure à au moins $50$ individus, ce qui veut dire que $c_n >50$. Avec le modèle étudié, le nombre de campagnols tend vers 0 donc deviendra plus petit que 50 à partir d'un certain rang. À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l'exercice ne paraît donc pas cohérent. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}