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\newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
\newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }

\newcommand{\para}{$\slash{}\slash{}$}

\newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}

\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}			%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}			%plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}	% équivalent
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} 		%le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}			%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}		%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}		%displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}		%crochet gauche
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\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
\rhead{#3}
\chead{\shadowbox{Corrigé baccalauréat S  #1 du #2}}
\lfoot{Baccalauréat 2017}%Corrigé de #1 du #2}
\rfoot{A. Detant}
\setcounter{page}{1}
\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}}
           % \rfoot{#3}
\newgeometry{left=3cm,right=3cm,top=2cm,bottom=2.5cm}             
                  }

\newcommand{\integ}[4]{$\displaystyle \int_{#1}^{#2}~#3~d#4~$}                  
\newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}
                  
\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
%\SetWatermarkScale{0.6}
%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Polynésie}{14 juin 2017}{}{}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Polynésie 14 juin 2017~\decofourright}}}
\end{center}
\titlespacing*{\subsubsection}
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{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. 

Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. 

En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d'assistance téléphonique : le client doit d'abord signaler s'il est client Internet ou s'il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur. 
\end{minipage}

\smallskip

\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.} 

\bigskip

\textbf{Partie A - Durée d'attente}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse à la durée d'attente d'un client Internet lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. Une étude permet de modéliser cette durée d'attente en minutes par la variable aléatoire $D_1$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée d'attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d'assistance ? 
\begin{solution}
$D_1$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_1=0,6$ donc 
		
$E\left(D_1 \right) =\dfrac{1}{\lambda_1}=\dfrac{1}{0,6}=\dfrac{5}{3}$
		
Donc la durée moyenne d'attente espérée par un client internet est de 1 minute et 40 secondes
\end{solution}
		
		\item Calculer la probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à $5$~minutes. 
		
\begin{solution}
On cherche $p\left(D_1<5 \right)$
		
$p\left(D_1<5 \right)=$ \integ{0}{5}{0,6\text{e}^{-0,6t}}{t}=~$\left[-\text{e}^{-0,6t} \right]_{_0}^{^5}=1-\text{e}^{-3}\approx 0,95$
\end{solution} 		
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse à la durée d'attente d'un client mobile lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d'attente en minutes par la variable aléatoire $D_2$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$,\: $\lambda$ étant un réel strictement positif. 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $P\left(D_2 \leqslant 4\right) = 0,798$, déterminer la valeur de $\lambda$. 
		
\begin{solution}
On a $p\left(D_2\leqslant 4 \right) = 0,798$
		
or  $p\left(D_2\leqslant 4 \right) =$\integ{0}{4}{\lambda \text{e}^{-\lambda t}}{t}=~$\left[-\text{e}^{-\lambda t} \right]_{_0}^{^4}=1-\text{e}^{-4 \lambda}$
		
On a alors $1 - \text{e}^{-4 \lambda}=0,798 \equi \text{e}^{-4 \lambda} = 0,202 \equi -4 \lambda = \ln(0,202) \equi$

$ \lambda = -\dfrac{\ln(0,202)}{4}\approx 0,4$
		\end{solution}		
		\item En prenant $\lambda = 0,4$, peut-on considérer que moins de 10\:\% des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur ? 		
\begin{solution}
		
		$p\left(D_2> 5 \right) = 1-p\left(D_2\leqslant 5 \right)=1-$\integ{0}{5}{0,4 \text{e}^{-0,4 t}}{t}=~$1-\left[-\text{e}^{-0,4 t} \right]_{_0}^{^5}=1-\left(1-\text{e}^{-2} \right)=\text{e}^{-2}\approx 0,135$
		
Donc on peut considérer qu'au moins 10\% des clients mobile attendent plus de 5 minutes  
\end{solution}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B - Obtention d'un opérateur}

\medskip 

\begin{minipage}{\linewidth}
Si la durée d'attente avant l'obtention d'un opérateur dépasse 5 minutes, l'appel prend automatiquement fin. Sinon, l'appelant obtient un opérateur. 

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d'assistance. 

On admet que la probabilité que l'appel émane d'un client Internet est $0,7$. 

De plus, d'après la partie A, on prend les données suivantes : 

Si l'appel provient d'un client Internet alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à $0,95$.

 Si l'appel provient d'un client mobile alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à $0,87$.
\end{minipage}
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur. 
\begin{solution}
On nomme les évènements suivants: 

\begin{itemize}
\item $I$: \og Le client qui appelle est un client internet \fg
\item $M$: \og Le client qui appelle est un client mobile \fg
\item $A$: \og Le client obtient un opérateur \fg
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

avec ces notations, l'énoncé nous donne $p(I)=0,7$~,~$p_I(A)=0,95$~et~$p_M(A)=0,87$

On en déduit $p(M)=p\left(\overline{I} \right) =1-p(I)=0,3$


On peut bâtir l'arbre suivant :

\begin{center}
\psset{nodesep=2.5mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\TR{$I$}\taput{\small $0,7$}}
{
\TR{$A$}\taput{\small $0,95$}
\TR{$\overline{A}$}\tbput{\small $0,05$}
}
\pstree
{\TR{$M$}\tbput{\small $0,3$}}
{
\TR{$A$}\taput{\small $0,87$}
\TR{$\overline{A}$}\tbput{\small $0,13$}
}
}

\end{center}

On cherche $p(A)$

$M$ et $I$ forment une partition de l'univers donc d'après le probabilités totales on a 

$p(A) = p(A \cap I)+p(A \cap M) = p(I)\times p_I(A) + p(M)\times p_M(A) = 0,665 + 0,261 = 0,926$.

Donc la probabilité que le client obtienne un opérateur est d'environ $0,926$.
\end{solution}
\item Un client se plaint que son appel a pris fin après $5$~minutes d'attente sans avoir obtenu d'opérateur. 

Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile ? 
\begin{solution}
On veut comparer $p_{\overline{A}}(I)$ et $p_{\overline{A}}(M)$

$p_{\overline{A}}(I)=\dfrac{p\left( I \cap \overline{A}\right) }{p\left(\overline{A} \right) }=\dfrac{0,7\times 0,05}{1-p(A)}=\dfrac{0,035}{0,074}\approx 0,473$

et 
$p_{\overline{A}}(M)=p_{\overline{A}}\left( \overline{I}\right) =1-p_{\overline{A}}(I)\approx 0,527$

Il est donc plus probable que le client soit un client mobile
\end{solution}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C - Enquête de satisfaction}

\medskip 

\begin{minipage}{\linewidth}
La société annonce un taux de satisfaction de 85\,\% pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur. 

Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge \np{1303}~personnes. Parmi celles-ci, \np{1150} se disent satisfaites. 

Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société ?
\end{minipage} 
\begin{solution}
L'échantillon est de taille $n=\np{1303}$, la proportion supposée de client satisfait dans la population est $p = 0,85$

On a $n\geqslant 30~,~np\geqslant 5~\text{et}~n(1-p)\geqslant 5$, on peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%

$I = \left[p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$

$p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,831$ et $p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\approx 0,869$ 

or la fréquence observée de personnes satisfaites sur l'échantillon est $f = \dfrac{\np{1150}}{\np{1303}}\approx 0,883$

$f\notin I$ on peut donc remettre en cause l'affirmation de la société au risque de 5\% de se tromper.
\end{solution}

\vspace{0,5cm}
 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip 

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(9,1.2)
%\psgrid
\pscircle(1,0){1}\psarc(4,0){1}{50}{360}\psellipse(7,0.6)(1,0.2)
\psline(1,0)(2,0)
\psline(5,0)(4,0)(4.63,0.78)
\psline(6,0.6)(7,-1)(8,0.6)
\uput[u](1.5,0){$R$}\uput[d](4.5,0){$R$}
\psarc(4,0){0.2}{0}{50}\rput(4.4,0.2){$\alpha$}
\psline[linestyle=dotted](7,0.6)(7,-1)
\psline[linestyle=dotted](7,0.6)(8,0.6)
\uput[l](7,-0.2){$h$}\uput[dr](7.5,-0.3){$R$}
\uput[u](7.5,0.5){$\ell$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{minipage}{\linewidth}
Dans un disque en carton de rayon $R$ , on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure $\alpha$ radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l'angle $\alpha$ pour obtenir un cône de volume maximal. 

\bigskip

On appelle $\ell$ le rayon de la base circulaire de ce cône et $h$ sa hauteur.

On rappelle que : 

\begin{itemize}
\item  le volume d'un cône de révolution de base un disque d'aire $\mathcal{A}$ et de hauteur $h$ est $\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h$.
\item la longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ et d'angle $\theta$, exprimé en radians, est $r\theta$. 
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item On choisit $R = 20$ cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est $V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\left(400-h^2\right)h$.
\begin{solution}
		
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(2,0.8)
%\psgrid
\psline(0.5,-1)(1.5,0.6)
\psline(0.5,0.6)(0.5,-1)
\psline(0.5,0.6)(1.5,0.6)
\uput[l](0.5,-0.2){$h$}\uput[dr](1,-0.3){$R$}
\uput[u](1,0.6){$\ell$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.8\linewidth}
		
D'après le théorème de Pythagore on a $\ell^2+h^2=R^2$ d'où 

$\ell^2=R^2-h^2=400-h^2$
		
La base du cône est de rayon $\ell$ donc son volume est $V=\dfrac{1}{3}\pi \ell^2 h$
		
On a donc bien $V(h)=\dfrac{1}{3}\pi \left(400-h^2 \right)  h=\dfrac{\pi}{3}\left( 400h-h^3\right)$
\end{minipage}
\end{solution}

\newpage
\item Justifier qu'il existe une valeur de $h$ qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur. 

\begin{solution}
De manière évidente on a $0 < h < R$ donc ici $h \in ]0~;~20[$

$V(h) = \dfrac{\pi}{3}\left( 400h-h^3\right)$ est un polynôme dérivable sur $\R$ donc sur $]0~;~20[$

$\forall h \in ]0~;~20[ ~,~V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\left( 400-3h^2\right) =\dfrac{\pi}{3} \left(20-h\sqrt{3} \right) \left(20+h\sqrt{3} \right) $
		
$v'(h)$ est du signe de $\left(20-h\sqrt{3} \right)$ sur $]0~;~20[$ car $\dfrac{\pi}{3} \left(20+h\sqrt{3} \right)>0$
		
Les variations de $V$ sont donc données par le tableau suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.5)
\psframe(9,3.5)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,2.4){$h$} \uput[u](1.4,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$} \uput[u](8.5,2.4){$20$} 
\rput(0.5,2.25){$V'(h)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){-}
\uput[u](1.5,0){$0 $}
\uput[u](5,1.5){$M $}
\uput[u](8.5,0){$0 $}
\rput(0.5,1){$V(h)$}
\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7)
\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
\end{pspicture}
\end{center} 
		
$V(h)$ admet donc un maximum en $h=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$ 
		
ce maximum est $M = V\left(\dfrac{20\sqrt{3}}{3} \right)$
		
$\hphantom{ce maximum est M}=\dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{400\times 20\sqrt{3}}{3}-\dfrac{20^3\times \sqrt{3}^3}{3^3} \right)$
		
$\hphantom{ce maximum est M}=\dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{\np{8000}\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\np{8000} \sqrt{3}}{9} \right)$
		
$\hphantom{ce maximum est M}=\dfrac{\np{16000}\pi\sqrt{3}}{27}\approx \np{3224,5}$  
		\end{solution}
		\item Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de $\alpha$ au degré près. 
\begin{solution}
Le volume est maximal si $h=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$ donc $h^2=\dfrac{400}{3}$ 
		
on en déduit $\ell^2=R^2-h^2=400-\dfrac{400}{3}=\dfrac{800}{3}$
		
$\ell = \sqrt{\dfrac{800}{3}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{20\sqrt{6}}{3}$
		
Or $\ell$ représente le rayon de la base du cône. Le périmètre de cette base est donc $2\pi\ell=\dfrac{40\pi\sqrt{6}}{3}$
		
ce périmètre correspond à la longueur d'arc de cercle restant après le découpage du disque initial. 
		
On a donc $2\pi R-R\alpha=\dfrac{40\pi\sqrt{6}}{3}$ soit $\alpha=2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}=2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3} \right) $ radians soit $\alpha \approx 66$° 
		
Donc il faut découper un secteur angulaire d'angle environ égal à 66° pour obtenir le cône de volume maximal	
\end{solution}		
\end{enumerate}

\newpage
\item L'angle $\alpha$ dépend-il du rayon $R$ du disque en carton ? 

\begin{solution}
On reprend les calcul précédents avec $R$

on en déduit $\ell^2=R^2-h^2$~,~$V(h)=\dfrac{\pi}{3}\pi \ell^2 h=\dfrac{\pi}{3}\pi\left( R^2-h^2 \right)h=\dfrac{\pi}{3}\left( R^2h-h^3 \right)  $

donc $V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\pi\left(  R^2-3h^2\right) =\dfrac{\pi}{3} \left(R-h\sqrt{3} \right) \left(R+h\sqrt{3} \right)$

Les variations de $V$ sont donc données par le tableau suivant:
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.5)
\psframe(9,3.5)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,2.4){$h$} \uput[u](1.4,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$} \uput[u](8.5,2.4){$20$} 
\rput(0.5,2.25){$V'(h)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){-}
\uput[u](1.5,0){$0 $}
\uput[u](5,1.5){$M $}
\uput[u](8.5,0){$0 $}
\rput(0.5,1){$V(h)$}
\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7)
\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
\end{pspicture}
\end{center} 
		
$V(h)$ admet donc un maximum en $h=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$ 
		
		%Le volume est maximal si $h=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$ donc $h^2=\dfrac{R^2}{3}$ et 		ce maximum est $M=V\left(\dfrac{R\sqrt{3}}{3} \right)=\dfrac{2\pi R^3\sqrt{3}}{27}$ 
				
on en déduit $\ell^2=R^2-h^2=R^2-\dfrac{R^2}{3}=\dfrac{2R^2}{3}$
				
$\ell = \sqrt{\dfrac{2R^2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}R$
				
Or $\ell$ représente le rayon de la base du cône. Le périmètre de cette base est donc 

$2\pi\ell=\dfrac{2\pi R\sqrt{6}}{3}$
				
ce périmètre correspond à la longueur d'arc de cercle restant après le découpage du disque initial. 
				
On a donc $2\pi R-R\alpha=\dfrac{2\pi R\sqrt{6}}{3}$ soit $\alpha=2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}=2\pi\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3} \right) $ radians soit $\alpha \approx 66$° 
				
Donc la valeur de $\alpha$ ne dépend pas de $R$ pour obtenir le volume maximal.
\end{solution}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH$_4$ de la façon suivante : 

\begin{itemize} [label=$\bullet$]

\item Les noyaux d'atomes d'hydrogène occupent les positions des quatre sommets d'un tétraèdre régulier.

\item Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d'hydrogène. 

\end{itemize}

\bigskip

L'objectif est de déterminer une mesure de l'angle entre deux liaisons carbone--hydrogène. 

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. 

\newpage

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d'hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d'hydrogène sur deux autres sommets du cube. 

Représenter la molécule dans le cube donné en annexe. 

\begin{solution}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
[AC] est la diagonale d'une face carrée du cube tout comme [AH]~,~[AF]~,~[CF]~,~[CH]~et~[HF]. 

On en déduit que ACFH est un tétraèdre régulier car ses arêtes ont toutes même mesure donc ses faces sont des triangles équilatéraux

Pour représenter la molécule de CH$_4$ il suffit donc de placer les atomes d'hydrogène sur les sommets A, C, F et H 

L'atome de carbone est à égale distance des atomes d'hydrogène donc il se situe au centre de la sphère circonscrite au cube, il suffit donc de placer l'atome de carbone au centre du cube c'est à dire au milieu de [AG] 
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(7.,7.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(4.,0.)(6.,1.5)
\psline[linestyle=dashed](6.,1.5)(2.,1.5)
\psline[linestyle=dashed](2.,1.5)(0.,0.)
\psline(0.,4.)(4.,4.)
\psline(4.,4.)(6.,5.5)
\psline(6.,5.5)(2.,5.5)
\psline(2.,5.5)(0.,4.)
\psline(0.,0.)(0.,4.)
\psline(4.,0.)(4.,4.)
\psline(6.,1.5)(6.,5.5)
\psline[linestyle=dashed](2.,1.5)(2.,5.5)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.4,0.3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.)
\rput[bl](4.08,0.2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,1.5)
\rput[bl](6.2,1.8){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,1.5)
\rput[bl](1.58,1.7){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.)
\rput[bl](0,4.2){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,4.)
\rput[bl](4.08,4.4){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,5.5)
\rput[bl](6.08,5.7){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,5.5)
\rput[bl](2.2,5.8){\blue{$H$}}
\psline[linewidth=3pt](3,2.25)(0,0)
\psline[linewidth=3pt](3,2.25)(6,1.5)
\psline[linewidth=3pt](3,2.25)(4,4)
\psline[linewidth=3pt](3,2.25)(2,5.5)
\pscircle[linecolor=red,%
fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(0,0){0.3}
\pscircle[linecolor=red,%
fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(6,1.5){0.3}
\pscircle[linecolor=red,%
fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(4,4){0.3}
\pscircle[linecolor=red,%
fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(2,5.5){0.3}
\pscircle[linecolor=red,%
fillstyle=solid,fillcolor=black]%
(3,2.25){0.3}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

Dans la suite de l'exercice, on pourra travailler dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}[resume] 
\item Démontrer que l'atome de carbone est au centre $\Omega$ du cube.

\begin{solution}
L'atome de carbone est à égale distance des atomes d'hydrogène donc il se situe au centre $\Omega$ de la sphère circonscrite au cube c'est à dire au centre du cube
\end{solution}


\item Déterminer l'arrondi au dixième de degré de la mesure de l'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène, c'est-à-dire   l'angle $\widehat{A\Omega C}$. 

\begin{solution}
dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$ on a 

A(0~;~0~;~0)~,~C(1~;~1~;~0)~,~G(1~;~1~;~1) donc $\Omega\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right) $ puisque $\Omega$ est le milieu de [AG]

on a alors $\vect{\Omega \text{A}}\begin{pmatrix}
-0,5\\-0,5\\-0,5
\end{pmatrix}~~~,~~~\vect{\Omega \text{C}}\begin{pmatrix}
0,5\\0,5\\-0,5
\end{pmatrix}$~~d'où $\Omega$A=$\Omega$C=$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\vect{\Omega \text{A}} \cdot \vect{\Omega \text{C}}=-0,25-0,25+0,25=-\dfrac{1}{4}$ 

or $\vect{\Omega \text{A}} \cdot \vect{\Omega \text{C}}=\Omega \text{A} \times \Omega\text{C} \times \cos\left(\widehat{A\Omega C} \right)=\dfrac{3}{4}\times \cos\left(\widehat{A\Omega C}\right) $

On en déduit que $\cos\left(\widehat{A\Omega C}\right)=-\dfrac{1}{3} $ et donc $\widehat{A\Omega C}\approx 109,5$°   

\end{solution}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

 \begin{minipage}{\linewidth}
 On s'intéresse à la chute d'une goutte d'eau qui se détache d'un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d'établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s$^{-1}$, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute $t$ est donnée par la fonction $v$ définie ainsi :
 
 \smallskip

Pour tout réel positif ou nul $t$, $v(t) = 9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right)$ ; la constante $m$ est la masse de la goutte en milligramme et la constante $k$ est un coefficient strictement positif lié au frottement de l'air.
 \end{minipage} 

\bigskip

\emph{On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.}

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A - Cas général }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d'eau.

\begin{solution}
$v$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $\forall t > 0~,~v'(t)=9,81\dfrac{m}{k}\times \dfrac{k}{m}\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}=9,81\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}>0$

On en déduit que la vitesse de la goutte est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$
\end{solution}

\item La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ?

\begin{solution}
Sa vitesse étant strictement croissante, la goutte ne ralentit pas.
\end{solution}

\item Montrer que $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}$.  Cette limite s'appelle vitesse limite de la goutte. 

\begin{solution}
On pose $T=-\dfrac{k}{m}t$ alors quand $t$ tend vers $+\infty$, $T$ tend vers $-\infty$

on a alors \Lim{t}{+\infty}{\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}}~=~\Lim{T}{-\infty}{\mathrm{e}^T}=~0

et donc par opération sur les limites on a \Lim{t}{+\infty}{v(t)}=~$9,81\dfrac{m}{k}$
\end{solution}

\item Un scientifique affirme qu'au bout d'une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$, la vitesse de la goutte  dépasse 99\:\% de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ? 

\begin{solution}
$v\left(\dfrac{5m}{k} \right)=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-5}\right)$ or $\left(1-\mathrm{e}^{-5}\right) \approx 0,993 >0,99$

on a donc $v\left(\dfrac{5m}{k} \right)$ qui est supérieure à 99\,\% de la vitesse limite or la vitesse étant croissante, on en déduit que le scientifique a raison.
\end{solution}

\end{enumerate}

\newpage


\textbf{Partie B }

\medskip

Dans cette partie, on prend $m = 6$ et $k = 3,9$. 

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m.s$^{-l}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Depuis combien de temps la goutte s'est-elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde. 

\begin{solution}
$\dfrac{m}{k}=\dfrac{6}{3,9}=\dfrac{20}{13}$

$v(t)=9,81\times \dfrac{20}{13}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{13}{20}t}\right)$

On cherche $t$ tel que $v(t)=15$

$v(t)=15 \equi9,81\dfrac{20}{13}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{13}{20}t}\right)=15 $

$\hphantom{v(t)=15} \equi 1-\mathrm{e}^{-\frac{13}{20}t}=\dfrac{195}{196,2} $

$\hphantom{v(t)=15} \equi \mathrm{e}^{-\frac{13}{20}t}=\dfrac{1,2}{196,2}=\dfrac{2}{327}$

$\hphantom{v(t)=15} \equi \mathrm{e}^{\frac{13}{20}t}=163,5$

$\hphantom{v(t)=15} \equi \dfrac{13}{20}t=\ln \left( 163,5\right) $

$\hphantom{v(t)=15} \equi t=\dfrac{20\ln \left( 163,5\right)}{13}\approx 7,84$

La goutte s'est donc détachée depuis environ 7,8 secondes quand sa vitesse atteint 15 m.s$^{-l}.$
\end{solution}

\item En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s$^{-1}$. 

\begin{solution}
On cherche la valeur moyenne de $v(t)$ sur l'intervalle $[0;~7,8]$

cette valeur moyenne est donnée par $\mu= \dfrac{1}{7,8}$\integ{0}{7,8}{v(t)}{t}


$\mu= \dfrac{1}{7,8} \times 9,81\times \dfrac{20}{13}$\integ{0}{7,8}{1-e^{-\frac{13}{20}t}}{t} 

$\hphantom{\mu}= \dfrac{327}{169}\left[t+\dfrac{20}{13}e^{-\frac{13}{20}t} \right]_{_0}^{^{7,8}}$
 
$\hphantom{\mu}= \dfrac{327}{169}\left(7,8+\dfrac{20}{13}e^{-5,07}-\dfrac{20}{13} \right)\approx 12,1$

La vitesse moyenne de la goutte est donc d'environ 12,1 m.s$^{-1}$ sur l'intervalle $[0~;~7,8]$
\end{solution}

\end{enumerate}



\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}. 

\smallskip

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant : 


\begin{itemize}
\item À chaque lettre de l'alphabet, on associe un entier $n$ comme indiqué ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
A &B 	&C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\\hline
0	&1	&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline\hline
N	&O	&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\hline
13&14	&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit deux entiers $a$ et $b$ compris entre $0$ et $25$.
\item Tout nombre entier $n$ compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de $an+ b$ par 26. 
\end{itemize}

\smallskip

Le tableau suivant donne les fréquences $f$ en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Lettre&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\\hline
Fréquence&9,42&1,02&2,64&3,38&15,87&0,94&1,04&0,77&8,41&0,89&0,00&5,33&3,23\\\hline\hline
Lettre&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\hline
Fréquence&7,14&5,13&2,86&1,06&6,46&7,90&7,26&6,24&2,15&0,00&0,30&0,24&0,32\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L'analyse fréquentielle du texte codé a montré qu'il contient 15,9\:\% de O et 9,4\:\% de E. 

On souhaite déterminer les nombres $a$ et $b$ qui ont permis le codage. 
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ?

\begin{solution}
Dans le tableau des fréquences, la fréquence la plus proche de 15,9\% est 15,87\% associée à la lettre E

De même la fréquence la plus proche de 9,4\,\% est 9,42\,\% associée à la lettre A

Finalement E a été codé par 0 et A a été codé par E.
\end{solution}

\item Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont solutions du système 

\[\begin{cases}4a + b\equiv 14~[26] \\b \equiv 4~[26]. \end{cases}\]

\begin{solution}
l'entier associé à E est 4, celui associé à A est $0$ et celui associé à O est $14$

on a donc $4a+b \equi 14 [26]$ car E (associé à $n=4$) est codé par O associé à 14

de même  $0a+b \equi 4 [26]$ car A (associé à $n=0$) est codé par E associé à 4.

Finalement on a bien $\begin{cases}4a + b\equiv 14~[26] \\b \equiv 4~[26]. \end{cases}$
\end{solution}

\item Déterminer tous les couples d'entiers $(a~,~b)$ ayant pu permettre le codage de ce texte. 

\begin{solution}
Le système précédent nous donne $b = 4$ car $0 \leqslant b \leqslant 25$

on a donc $4a + b\equiv 14~[26] \equi 4a \equiv 10 [26]$ alors il existe un entier naturel $k$ tel que $4a=26k+10$

$4a = 26k+10 \equi 2a = 13k+5$. $k$ est nécessairement impair

pour $k=1$ on obtient $a=9$ et pour $k=3$ on obtient $a=22$

pour toute autre valeur de $k$ on trouve que $a$ n'est pas compris entre 0 et 25

Finalement les couples d'entiers $(a~,~b)$ qui ont permis le codage sont d'entiers $(9~,~4)$ et d'entiers $(22~,~4)$ 
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $a = 22$ et $b = 4$.	
	\begin{enumerate}
		\item Coder les lettres K et X.
		
\begin{solution}
K est associé à $n=10$ et $10a+b=224\equiv 16 [26]$

X est associé à $n=23$ et $23a+b=510\equiv 16 [26]$

donc K et X ont été codé par la même lettre Q
\end{solution}

\newpage
\item Ce codage est-il envisageable ?

\begin{solution}
Deux lettres différentes étant codées par la même lettre, le codage est inenvisageable.
\end{solution}		
	\end{enumerate}
\item On choisit $a = 9$ et $b = 4$. 		
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a :

\[m \equiv 9 n + 4~[26]\iff n\equiv 3 m + 14~[26] \]

\begin{solution}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
$m \equiv 9 n + 4~[26] \Longrightarrow 3m \equiv 27n+12~ [26]$

$\hphantom{m \equiv 9 n + 4~[26]} \Longrightarrow 3m \equiv n+12+26n ~[26]$

$\hphantom{m \equiv 9 n + 4~[26]} \Longrightarrow 3m \equiv n+12 ~[26]$

$\hphantom{m \equiv 9 n + 4~[26]} \Longrightarrow n\equiv 3m-12~[26]$

$\hphantom{m \equiv 9 n + 4~[26]} \Longrightarrow n\equiv 3m+14~[26]$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}

$n\equiv 3m+14~[26] \Longrightarrow 9n \equiv 27m+126 ~[26]$

$\hphantom{n\equiv 3m+14~[26]} \Longrightarrow 9n \equiv m+22+26(m+4)~ [26]$

$\hphantom{n\equiv 3m+14~[26]} \Longrightarrow 9n \equiv m+22~ [26]$

$\hphantom{n\equiv 3m+14~[26]} \Longrightarrow m\equiv 9n-22~[26]$

$\hphantom{n\equiv 3m+14~[26]} \Longrightarrow m\equiv 9n+4~[26]$
\end{minipage}

\vspace{0.4cm}
On a donc bien   $m \equiv 9 n + 4~[26]\iff n\equiv 3 m + 14~[26]$
\end{solution}
		\item Décoder le mot AQ. 		
\begin{solution}
		
A est associé à $m=0$ il code la lettre associée à l'entier $n$ tel que et $n\equiv 3m+14~[26]$ on a donc $n = 14$ associé à O
		
Q est associé à $m=16$ il code la lettre associée à l'entier $n$ tel que et $n\equiv 3m+14~[26]$ on a donc $n = 10$ associé à K
		
le mot AQ est le codage de OK
		\end{solution}		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}