%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès % Merci à Yves IV pour le sujet \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie - 12 juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small Polynésie} \rfoot{\small 12 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie~\decofourright\\[4pt]12 juin 2015}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et % %AE = 2. % %I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\: \vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}}$. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(10,4) %%\psgrid %\psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE %\psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF %\psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE %\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC %\psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH %\uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} %\uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} %\uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} %\uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K} %\psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip % %On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}},~ \vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG). $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}} \iff \vect{\text{AB}} = 6\vect{\text{AI}}\iff \text{B}(6~;~0~;~0)$ ; $\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}} \iff \vect{\text{AD}} = 4\vect{\text{AJ}} \iff \text{D}(0~;~4~;~0)$ ; $\vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}} \iff \vect{\text{AE}} = 2\vect{\text{AK}} \iff\text{E}(0~;~0~;~2)$. Comme $\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{CG}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} = 6\vect{\text{AI}} + 4\vect{\text{AJ}} + 2\vect{\text{AK}}$, donc G(6~;~4~;~2). On en déduit que $\vect{\text{IJ}}(- 1~;~1~;~0)$ et $\vect{\text{JG}}(6~;~3~;~2)$. Or $\vect{n} \cdot \vect{\text{IJ}} = - 2 + 2 + 0 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{JG}} = 12 + 6 - 18 = 0$. Le vecteur $\vect{n}$ est donc normal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan (IJG) est normal à ce plan. \item %Déterminer une équation du plan (IJG). On sait qu'alors une équation du plan (IJG) est : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z + d = 0$. En particulier : $\text{I}(1~;~0~;~0) \in (\text{IJG}) \iff 2 + 0 - 0 + d = 0 \iff d = - 2$. Une équation du plan (IJG) est : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z - 2 = 0$. \item %Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF). On a $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{BF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AE}}$, donc F(6~;~0~;~2). Or $M(x~;~y~;~z) \in (\text{BF}) \iff $ il existe $t \in \R$ tel que $\vect{\text{B}M} = t\vect{\text{BF}} \iff$ $\left\{\begin{array}{l c l} x - 6&=&t(6 - 6)\\ y - 0&=&t(0 - 0)\\ z - 0&=&t(2 - 0) \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&6\\ y &=&0\\ z &=&2t \end{array}\right.$ Donc si $M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \cap (\text{BF})$ ses coordonnées vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&6\\ y &=&0\\ z &=&2t\\ 2x + 2y - 9z - 2 &=& 0 \end{array}\right. \Rightarrow 2 \times 6 + 0 - 9 \times 2t - 2 = 0 \iff 10 - 18t = 0 \iff 10 = 18t \iff t = \dfrac{5}{9}$. En remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{9}$ dans l'équation de la droite (BF), on obtient : L$\left(6~;~0~;~ \dfrac{10}{9}\right)$. \item %Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification. La section avec (ABCD) est la droite (IJ). La section avec (ABFE) est la droite (IL). La section avec (BCGF) est la droite (LG). Il reste à trouver l'intersection P du plan (IJG) avec la droite (HD) : comme les plans (ABFE) et (DCGH) sont parallèles, les droites (IL) et (GP) sont parallèles. On trace donc la parallèle à (IL) contenant G qui coupe (HD) en P. La section est donc le pentagone JILGP (voir à la fin). \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$ %du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par: % %\[z' = z^2 + 4z + 3.\] % %\medskip \begin{enumerate} \item %Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé. %Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. $M(z)$ est invariant si $M' = M \iff z' = z \iff z^2 + 4z + 3 = z \iff z^2 + 3z + 3 = 0$. $\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = 9 - 12 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$. Cette équation a deux solutions : $z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{ - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. On a $\left|z_1\right|^2 = \left(- \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3 \Rightarrow \left|z_1\right| = \sqrt{3}$. Le même calcul donne $\left|z_2\right| = \sqrt{3}$. On a donc $z_1 = \dfrac{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. On trouve de la même façon que $z_2 = \sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. \item %Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe %$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$. On a $z_{\text{A}} = z_2$, donc $\left|z_{\text{A}} \right| = \text{OA} = \left|z_2 \right| = \sqrt{3}$. De même $z_{\text{B}} = z_1$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = \left|z_1 \right| = \sqrt{3}$. Enfin $\text{AB} = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2} - \left(\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2} \right) \right| = \left|\text{i}\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$. %Montrer que OAB est un triangle équilatéral. On a donc $\text{OA} = \text{OB} = \text{AB} = \sqrt{3}$ : le triangle OAB est un triangle équilatéral. \item %Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels. Soit $M(x~;~y)$ et $M'(x'~;~y')$ son point associé. $M'$ est sur l'axe des réels si $y' = 0$. Or on sait que l'affixe du point $M$ est : $z^2 + 4z + 3 = (x + \text{i}y)^2 + 4(x + \text{i}y) + 3 = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy + 4x + 4\text{i}y + 3 = x^2 - y^2 + 3 + \text{i}(2xy + 4y)$. On a donc $y' = 0 \iff 2xy + 4y = 0 \iff 2y(x + 2) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} y&=&0\\ \text{ou}&&\\ x + 2&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} y&=&0\\ \text{ou}&&\\ x &=&- 2 \end{array}\right.$ Conclusion : l'ensemble $\mathcal{E}$ est constitué des points d'ordonnée nulle donc de l'axe des abscisses et des points de la droite verticale dont une équation est $x = - 2$ (droites en bleu). \item ~%Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-3,-1.8)(2,1.8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-1.8)(2,1.8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \pscircle(0,0){1.73205} \psline[linestyle=dashed](0.866;90)(1.73205;150) \psline[linestyle=dashed](0.866;-90)(1.73205;-150) \uput[ur](0,0){O} \uput[ul](1.73205;150){A}\uput[dl](1.73205;-150){B} \pspolygon(1.73205;150)(1.73205;-150)(0;0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-3,0)(2,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,-1.73205)(-2,1.73205) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une %variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale %d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. % %Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre %1,53~mètre et 1,77~mètre ? On sait que $P\left(\mu_1 - 2 \sigma_1 \leqslant X_1 \leqslant \mu_1 + 2 \sigma_1\right) \approx 0,95$, soit $P\left(1,53 \leqslant X_1 \leqslant 1,77\right) \approx 0,95$. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure %plus de 1,70~mètre. On sait que $P\left(X_2 \geqslant 170\right) = 0,5 + P\left(170 \leqslant X_2 \leqslant 175\right) \approx 0,5 + 0,18 \approx 0,68$. \item %De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population %des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard %une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la %probabilité que cette personne soit une femme ? Soit $F$ l'évènement \og la personne choisie est une femme \fg{} et $S$ l'évènement \og la personne choisie mesure plus de $1,70$~m \fg{}. On a $P(F) = 0,52$ et donc $P\left(\overline{F}\right) = 0,48$. La probabilité cherchée est $P_S(F)$. De même qu'à la question \textbf{2. a.} la probabilité qu'une femme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre est $P\left(X_1 \geqslant 170\right) = 0,5 - P\left(165 \leqslant X_2 \leqslant 170\right) \approx 0,2$. Soit $P_F(S) \approx 0,2$. D'après la formule des probabilités totales : $P(S) = P(S \cap F) + P\left(S \cap \overline{F} \right) = P(F) \times P_F(S) + P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(S) \approx 0,52 \times0,2 + 0,48 \times 0,68 \approx \np{0,4304}$. Donc $P_S(F) = \dfrac{P(S \cap F)}{P(S)} = \dfrac{P_F(S) \times P(F)}{P(S)} \approx \dfrac{0,2 \times 0,52}{\np{0,4304}} \approx \dfrac{\np{0,104}}{\np{0,4304}} \approx 0,24$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le %schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. % %Voici ce schéma : % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(8.5,5.5) %\psline(1,3.679)(1,0)(8,0) %\psline(1,3.679)(1.5,4.879) %\psline(8,0)(8.5,1.2) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} %\def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}} %\rput(0.5,1.2){\courbe} %\pscustom[fillstyle=hlines]{ %\courbe %\psline(8,0)(1,0) %} %\end{pspicture} %\end{center} %\medskip \textbf{Partie A Modélisation} \medskip %Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par % %\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\] % %La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) %\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(8.5,5.5) %\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5) %\psline(0,3.679)(0,0)(8,0) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} %\end{pspicture} % %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item %On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale. %Déterminer la valeur de l'entier $b$. On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point. Il faut donc que $f'(1) = 0$. Or $f$ est dérivable sur [1~;~8] et sur cet intervalle : $f'(x) = a\text{e}^{- x} + (ax + b) \times (- 1)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}(a - ax - b)$. Donc $f'(1) = 0 \iff \text{e}^{- 1}(a - a - b) = 0 \iff - b \text{e}^{- 1} = 0 \iff b = 0$, car $\text{e}^{- 1} \ne 0$. \item %On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. %Déterminer la valeur de l'entier $a$. Le haut de la courbe est obtenu pour $x = 1$. Or : $3,5 < f(1) < 4 \iff 3,5 < a\text{e}^{- 1} < 4 \iff 3,5\text{e} < a < 4\text{e}$. Or $3,5\text{e} \approx 9,5$ et $4\text{e} \approx 10,9$ : le seul entier compris entre ces deux valeurs est $a = 10$. On a donc sur [1~;~8], \:$f(x) = 10x\text{e}^{- x}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs} \medskip %On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel %$x \in [1~;~8]$ par % %\[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\] % %Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée %sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de %300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint. \medskip \begin{enumerate} \item %Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par %\[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\] % %Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$. En dérivant $g$ comme un produit, on a pour tout réel de [1~;~8] : $g'(x) = 10\times (- 1)\text{e}^{-x} + 10(- x - 1)\times (- 1)\text{e}^{-x} = - 10\text{e}^{-x}(1 - x - 1) = 10x\text{e}^{-x} = f(x)$. $g$ est donc une primitive de $f$ sur [1~;~8]. \item %Quel est le montant du devis de l'artiste ? Comme $x > 0$ et $\text{e}^{- x} > 0$, on a $f(x) > 0$ sur [1~;~8]. Donc l'aire de la surface hachurée est égale en unités d'aire $\left(\text{soit}\: 1 \times 1 = 1~\text{m}^2\right)$ à l'intégrale : $\displaystyle\int_1^8 f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_1^8 = g(8) - g(1) = 10(- 8 - 1)\text{e}^{-8} - 10(- 1 - 1)\text{e}^{-1} = 20\text{e}^{-1} - 90\text{e}^{-8}$. D'après les conditions du peintre son devis sera donc d'un montant de : $D = 300 + 50\left(20\text{e}^{-1} - 90\text{e}^{-8} \right) \approx 666,37$~\euro. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie C Une contrainte à vérifier} \medskip %Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. % %On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. % %La figure suivante illustre la situation. % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) %%\psgrid %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(8.5,5.5) %\psline(0,3.679)(0,0)(8,0) %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div} %\psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub} %%\psplot[plotpoints=5]{0.5}{2}{5.412 1.353 x mul sub} %%\psplot[plotpoints=3]{4}{5}{5.412 1.353 x mul sub} %\psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7) %\psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1) %\psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$} %\psline(2,0)(2,2.7) %\psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679) %\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9) %\uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$} %\end{pspicture} %\end{center} % %Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$. La fonction $f'$ est dérivable sur [1~;~8] et sur cet intervalle [1~;~8] : $f''(x) = 10 \times (- 1)\text{e}^{-x} + 10(1- x) \times (- 1)10\text{e}^{-x} = 10\text{e}^{-x}(- 1 - 1 + x = 10(x - 2)\text{e}^{-x}$. Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x - 2$. $\bullet~~$Si $1 \leqslant x < 2$, \: $x - 2 < 0$ : la fonction $f'$ est donc décroissante sur [1~;~2[ ; $\bullet~~$Si $2 < x \leqslant 8$, \: $x - 2 > 0$ : la fonction $f'$ est donc croissante sur ]2~;~8[ ; $\bullet~~$Si $x = 2$,\: $f'(2) = - 10\text{e}^{-2} \approx - 1,35$ est donc le minimum de la fonction $f'$ sur [1~;~8]. %Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8]. \item %Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$. Une équation de la tangente $\left(T_M\right)$ au point $M(x~;~y)$ est : $P(X~;~Y) \in \left(T_M\right) \iff Y - f(x) = f'(x) (X - x)$. Le point L est le point de cette droite d'ordonnée nulle donc son abscisse$X$ vérifie : $- f(x) = f'(x) (X - x) \iff X - x = \dfrac{- f(x)}{f'(x)} \iff X = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$. Dans le triangle $MLP$, on $\tan \alpha = \dfrac{PM}{PL} = \dfrac{f(x)}{\left|x - \dfrac{f(x)}{f'(x)} - x \right|} = \dfrac{f(x)}{\left|- \dfrac{f(x)}{f'(x)}\right|} =$ $|- f'(x)| = |f'(x)|$. \item %Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ? On a vu dans l'étude de la fonction $f'$ que celle-ci décroit de $f'(1) = 10(1 - 1)\text{e}^{-1} = 0$ à $- 1,35$ puis croissante de $f'(2)$ à $f'(8) = 10(1 - 8)\text{e}^{-8} = - 70\text{e}^{-8} \approx - 0,023$. Le maximum de la fonction $|f'(x)|$ est donc $1,35 \approx \tan 53,47$~\degres Cette valeur est bien inférieure à la valeur 55~\degres. Le toboggan est conforme. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par % %\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\] % %On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul. % %On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par : % %\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\] % %Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$. % %\bigskip \textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour %une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline Variables : &$n$, $k$ entiers\\ &$S$, \:$v$ réels\\ Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\ &$v$ prend la valeur $\ln (2)$\\ &$S$ prend la valeur $v$\\ Traitement : & Pour $k$ variant de 2 à $n$ faire\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $v$ prend la valeur $\ln \left(2 - \text{e}^{v}\right)$\\ $S$ prend la valeur $S + v$ \end{tabular}\\ &Fin Pour\\ Sortie : & Afficher $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item %À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au %dixième sont données dans le tableau ci-dessous : %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %$n$ &10 &100 &\np{1000} & \np{10000} & \np{100000} & \np{1000000}\\ \hline %$S_n$ &2,4&4,6 &6,9 &9,2 &11,5 &13,8\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la %suite $\left(S_n\right)$. D'après les valeurs affichées il semble que la suite $\left(S_n\right)$ soit croissante. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire} \medskip %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$. On a $u_1 = \text{e}^{v_1} = \text{e}^{\ln (2)} = 2$. Pour tout entier naturel $n$, \:$ u_{n+1} = \text{e}^{v_{n+1}} = \text{e}^{\ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right)} = \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right) =$ $ 2 - \dfrac{1}{\text{e}^{v_n}} = 2 - \dfrac{1}{u_n} = u_{n+1}$. \item %Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. D'après le résultat précédent : $u_2 = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ ; $u_3 = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ ; $u_4 = 2 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}$. \item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. Démonstration par récurrence : \emph{Initialisation :} la relation est vraie pour $n = 4$ ; \emph{Hérédité :} Soit un naturel $n > 4$ tel que $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. On a $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n} = 2 - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{2n + 2 - n}{n+1} = \dfrac{n+2}{n+1}$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$. La relation est vraie au rang $4$ et si elle est vraie à un rang au moins égal à $5$, elle est vraie au rang suivant ; d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n > 4$ , $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \text{e}^{v_n} \Rightarrow v_n = \ln u_n$. De la question précédente on peut écrire : $v_n = \ln \dfrac{n+1}{n} = \ln (n + 1) - \ln n$. \item %Vérifier que $S_3 = \ln (4)$. $S_3 = v_1 + v_2 + v_3 = \ln 2 - \ln 1 + \ln 3 - \ln 2 + \ln 4 - \ln 3 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4$. \item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$. $S_n = v_1 + v_2 + \cdots + v_n = \ln 2 - \ln 1 + \ln 3 - \ln 2 + \ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n + 1) + \ln (n + 1) - \ln n = \ln (n + 1)$. On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$. La suite $\left(S_n\right)$ est divergente. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$ % %\medskip \begin{enumerate} \item %On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2. %Vérifier que $A^2 = A + 2I$. $A^2 = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 -18&-24+30\\12-15&-18+25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 2&6\\- 3&7\end{pmatrix}$. $A + 2I = \begin{pmatrix}-4 + 2&6\\- 3& 5 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 2&6\\- 3&7\end{pmatrix} = A^2$. \item %En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme %$\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. En partant de l'égalité $A^2 = A + 2I$, on obtient en multipliant chaque membre par $A$ : $A^3 = A(A + 2I) = A^2 + 2A = A + 2I + 2A = 3A + 2I$ et on recommence : $A^4 = A\times A^3 = A(3A + 2I) = 3A^2 + 2A = 3(A + 2I) + 2A = 5A + 6I$. \item %On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, %\[\left\{\begin{array}{l c l} %r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\ %s_{n+1}&=&2r_n %\end{array}\right.\] % %Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$. Démonstration par récurrence : \emph{Initialisation :} Pour $n = 0$, \: $A^0 = I = 0A + 1I = r_0A + s_0I$. la relation est vraie au rang $0$. \emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $p$ non nul, tel que $A^p = r_pA + s_pI$. En multipliant chaque membre par $A$, on obtient : $A \times A^p = A\left(r_pA + s_pI \right) \iff A^{p+1} = r_pA^2 + s_pA = r_p(A + 2I) + s_pA = $ $\left(r_p + s_p \right)A + 2r_pI = r_{p+1}A + s_{p+1}I$ : la relation est donc vraie au rang $p + 1$. On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $ A^n = r_nA + s_nI$. \item %Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par %$k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$. On a pour tout entier naturel $n$ : $k_{n+1} = r_{n + 1} - s_{n + 1} = r_n + s_n - 2r_n = s_n - r_n = -\left(r_n - s_n\right) = - k_n$. L'égalité $k_{n+1} = - k_n$ montre que la suite $\left(k_n\right)$ est géométrique de raison $- 1$. %En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$. On sait qu'alors $k_n = k_0(- 1)^n = - (- 1)^n = (- 1)^{n+1}$. \item %On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par %$t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. On a donc $t_1 = r_1 + \dfrac{(- 1)^1}{3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$. On sait qu'alors $t_n = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1}$ %En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$. \item %Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression %explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$. On a donc $r_n = t_n - \dfrac{(- 1)^n}{3} = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} - \dfrac{(- 1)^n}{3}$. Or $s_n = r_n - k_n$, donc $s_n = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} - \dfrac{(- 1)^n}{3} - (- 1)^{n+1} = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} - \dfrac{(- 1)^n}{3} + (- 1)^{n} =$ $s_n = \dfrac{2}{3}\times 2^{n - 1} + \dfrac{2}{3}\times (- 1)^n$. \item %En déduire alors, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression des coefficients %de la matrice $A^n$. Finalement de $A^n = r_nA + s_nI = \begin{pmatrix}- 4r_n&6r_n\\- 3r_n&5r_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}s_n&0\\0&s_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 4 r_n + s_n&6r_n\\- 3r_n&5r_n + s_n\end{pmatrix}$, on en déduit les quatre coefficients de $A^n$. $\bullet~~$$- 4r_n + s_n = - \dfrac{8}{3}2^{n-1} + \dfrac{4}{3} \times (- 1)^n + \dfrac{2}{3}2^{n-1} + \dfrac{2}{3} \times (- 1)^n = - 2^n + 2\times (- 1)^n$ ; $\bullet~~$$6r_n = 2^{n+1} - 2 \times (- 1)^n$ ; $\bullet~~$$- 3r_n = - 2^{n} + (- 1)^n$ ; $\bullet~~$$5r_n + s_n = \dfrac{10}{3}2^{n-1} - \dfrac{5}{3}\times (- 1)^n + \dfrac{2}{3}2^{n-1} + \dfrac{2}{3} \times (- 1)^n = 2^{n+1} - (- 1)^n$. Conclusion : $A^n = \begin{pmatrix}- 2^n + 2\times (- 1)^n&2^{n+1} - 2 \times (- 1)^n\\- 2^{n} + (- 1)^n&2^{n+1} - (- 1)^n \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Annexe} \vspace{0.75cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} \vspace{1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(10,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0.275)(1.583,0)(7,1.111)(8.6,3.3)(2.1,2)%JILGP \psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE \psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF \psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE \psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC \psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} \uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} \uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K}\uput[r](7,1.111){L}\uput[l](2.1,2){P} \psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) \uput[u](7,2.2){F} \end{pspicture} \end{center} \end{document}