%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumerate} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Vice-rectorat %Corrigé : François Hache %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle} %displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}} %crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}} %crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant} %plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant} %plus petit ou égal %%%% \usepackage{pst-all} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\Z}{\textbf{Z}} \newcommand{\C}{\textbf{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S - Corrigé}, pdftitle = {Polynésie - 5 septembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes %\setlength{\parskip}{5pt}%%% pour augmenter l'espace entre les paragraphes %\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}%%% pour modifier l'interlignage \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S - corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{5 septembre 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie~\decofourright\\[7pt] 5 septembre 2017}}} \end{center} %\vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40~m et dont l'âge est compris entre 10 et 70~ans. Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège. %\medskip % %\emph{On arrondira, si nécessaire, les probabilités à } $10^{-4}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $165$ et d'écart-type $20$. La probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est $P(140 \pp T) \approx \np{0,8944}$. \item L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart-type 17. La probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit est $P(10\pp X \pp 70) \approx \np{0,8710}$. \item Les études menées permettent d'établir que 89\,\% des visiteurs ont la taille exigée, 87\,\% ont l'âge requis mais 8\,\% n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires.% Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction? On désigne par T les personnes ayant la taille requise et par X celles qui ont l'âge requis. On regroupe ces informations dans un tableau que l'on complète: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{*3{>{\centering\arraybackslash}X|}{>{\centering\arraybackslash}X}} & T & $\overline{\text T}$ & Total\\ \hline X & \textcolor{red}{\textbf{84\,\%}} & \textcolor{red}{3\,\%} & 87\,\% \\ \hline $\overline{\text X}$ & \textcolor{red}{5\,\%} & 8\,\% & \textcolor{red}{13\,\%}\\ \hline Total & 89\,\% & \textcolor{red}{11\,\%} & {100\,\%}\\ \end{tabularx} } \end{center} On voit ainsi que ceux qui ont à la fois la taille et l'âge requis sont 84\,\%. \end{enumerate} \item Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25\,\% des personnes ont attendu moins de 30~min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95\,\% sont satisfaites de l'attraction. En revanche, 22\,\% des personnes ayant attendu plus de $30$~min ne sont pas satisfaites de l'attraction. On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit. On note $A$ l'évènement \og le visiteur a attendu plus de 30 min \fg{} et $S$ l'évènement \og le visiteur est satisfait de l'attraction \fg. On regroupe ces informations dans un arbre pondéré: \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{\red $1-0,25=0,75$}} { \TR{$S$}\naput{\red $1-0,22=0,78$} \TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,22$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,25$}} { \TR{$S$}\naput{$0,95$} \TR{$\overline{S}$}\nbput{\red $1-0,95 = 0,05$} } } \bigskip \end{center} \begin{enumerate} \item% Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut \np{0,8225}. La probabilité qu'un visiteur soit satisfait est, d'après la formule des probabilités totales : $P(S) = P(A\cap S) + P(\overline{A}\cap S) = 0,75\times 0,78 + 0,25\times 0,95 = \np{0,8225}$. \item Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$~min est: $P_{\overline{S}}(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{S} \cap \overline{A})}{P(\overline{S})} = \dfrac{0,25\times 0,05}{1-\np{0,8225}}\approx \np{0,0704}$. \end{enumerate} \item Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$~personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites. %Le directeur peut-il être rassuré ? La proportion d'insatisfaits est de $p=1-\np{0,8225} = \np{0,1775}$. L'échantillon est de taille $n=200$. $n=200\pg 30$, $np=200\times \np{0,1775} = 35,5 \pg 5$ et $n(1-p)=200\times \np{0,8225} = 164,5 \pg 5$, donc les conditions sont vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de visiteurs insatisfaits: \smallskip $I= \left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]\\[5pt] \phantom{I} = \left [ \np{0,1775}-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{\np{0,1775}(1-\np{0,1775})}}{\sqrt{200}}~;~\np{0,1775}+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{\np{0,1775}(1-\np{0,1775})}}{\sqrt{200}}\right ]\\[5pt] \phantom{I} \approx \cd \np{0,1245}~;~\np{0,2305}\cg$ \smallskip Sur $200$ personnes, $46$ se disent insatisfaites, ce qui fait une fréquence de $f=\dfrac{46}{200} = 0,23$. Cette fréquence appartient à $I$ donc, au risque de 5\,\%, on peut rassurer le directeur. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes % %\medskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que $N(t) = N_0\e^{at}$. \smallskip \begin{enumerate} \item Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines; cela signifie que $N(t+4)=2 N(t)$. On résout cette équation d'inconnue $a$: %En déduire la valeur du paramètre $a$. $N(t+4)=2 N(t) \iff N_0 \e^{a(t+14)} = 2N_0 \e^{at} \iff \e^{at+14a} = 2\e^{at} \iff \e^{at} \times \e^{14a} = 2 \e^{at} \\ \phantom{N(t+4)=2 N(t)} \iff \e^{14a} = 2 \iff 14a = \ln(2) \iff a=\dfrac{\ln(2)\rule{0pt}{9pt}}{14}$ \item En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$, $N(t) = N_0\e^{0,05t}$. La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables. %En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir détectable au toucher ? On admet qu'au temps $t_0$ il y a $N(t_0)=10^{4}$ cellules dans la tumeur. On cherche la différence $t-t_0$ avec $N(t)=10^{9}$. $\left. \begin{array}{l !{\iff} l} N(t)=10^{9} & N_0 \e^{0,05t} = 10^{9}\\ N(t_0)=10^{4} & N_0 \e^{0,05t_0} = 10^{4} \end{array} \right\rbrace \implies \dfrac{N_0 \e^{0,05t}}{N_0 \e^{0,05t_0}} = \dfrac{10^{9}}{10^{4}} \iff \e^{0,05(t-t_0)} = 10^{5}$ $\iff 0,05 (t-t_0) = \ln\left (10^{5}\right ) \iff t-t_0 = \dfrac{\ln\left (10^{5}\right )}{0,05}$ $\dfrac{\ln\left (10^{5}\right )}{0,05} \approx 230$; c'est donc au bout de 230 semaines que la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher. \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \e^{- \frac{k}{80}t}\right)\] \begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l !{~\textbullet} X} où & $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;\\ & $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure. \end{tabularx} %La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$. \medskip \begin{enumerate} \item % Détermination de la clairance Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$. \begin{enumerate} \item% Justifier que la clairance k du patient est solution de l'équation $c(6)=6,8 \iff \dfrac{112}{k}\left(1 - \e^{- \frac{k}{80}\times 6}\right) = 6,8 \iff 112 \left(1 - \e^{- \frac{3}{40} k}\right) = 6,8k\\ \phantom{c(6)=6,8} \iff 112 \left(1 - \e^{- \frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0$. \item %Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. Soit $f$ la fonction définie sur \textbf{R} par $f(x)=112 \left(1 - \e^{- \frac{3}{40} x}\right) - 6,8x$. $f'(x)= 112 \times \dfrac{3}{40} \e^{-\frac{3}{40}x} - 6,8 = 8,4 \e^{-\frac{3}{40}x} - 6,8$ $f'(x) >0 \iff 8,4 \e^{-\frac{3}{40}x} - 6,8 >0 \iff \e^{-\frac{3}{40}x} > \dfrac{6,8}{8,4} \iff -\dfrac{3}{40}x > \ln \left ( \dfrac{6,8}{8,4}\right )\\ \phantom{f'(x) >0} \iff x < - \dfrac{40}{3} \ln \left ( \dfrac{6,8}{8,4}\right )$. On pose $x_0= - \dfrac{40}{3} \ln \left ( \dfrac{6,8}{8,4}\right )$; alors $x_0\approx 2,82$. $f(0)= 112\left ( 1-\e^{0} \right ) - 6,8\times 0 = 0$; $f(x_0) \approx 2,17$ et $f(10) \approx -8,9<0$. On établit le tableau de variations de $f$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ et on place 10: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \esp & x_0 & \esp & +\infty \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\approx 2,17} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red \approx -8,9}} \rput(-1.3,2.9){\Rnode{beta}{\red 10}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} D'après le tableau de variations de $f$, on peut déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$. \item% Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat. $f(5) \approx 1,02>0$ et $f(6)\approx -0,21<0$ donc $\alpha \in \cd 5~;~6 \cg$; $f(5,8) \approx 0,066>0$ et $f(5,9)\approx -0,072<0$ donc $\alpha \in \cd 5,8~;~5,9 \cg$; $f(5,84) \approx 0,012>0$ et $f(5,85)\approx -0,002<0$ donc $\alpha \in \cd 5,84~;~5,85 \cg$; donc une valeur approchée de cette solution est $5,85$. Cela signifie que, pour une clairance de 5,85 litres par heure et un débit de $112~\mu\text{mol.h}^{-1}$, au bout de 6 heures, la concentration du médicament est de $6,8~\mu\text{mol.L}^{-1}$. \end{enumerate} \item% Réglage du débit \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$. On détermine la limite de $c(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. $\left. \begin{array}{@{} l} k>0 \text{ donc } \ds\lim_{t\to +\infty} -\dfrac{k}{80}t = -\infty\\[5pt] \text{on pose } T= -\dfrac{k}{80}t\\[5pt] \ds\lim_{T \to -\infty} \e^{T} = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-\frac{k}{80}t} = 0 \implies \ds\lim_{t\to +\infty} \dfrac{D}{k}\left ( 1- \e^{-\frac{k}{80}t}\right ) = \dfrac{D}{k}$ Donc $\ds\lim_{t\to +\infty} c(t)=\dfrac{D}{k}$. \item La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$. %En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$. La limite égale à $\dfrac{D}{k}$ est de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$ pour une clairance $k$ de $5,85$ L.h$^{-1}$. Donc $\dfrac{D}{5,85} = 16$ donc $D=93,6$~$\mu\text{mol.h}^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, $\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)$. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$. \medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left] - \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$. Si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left] - \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors \\ $ - \dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{3\pi}{4} \iff - \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} < \theta - \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} \iff - \dfrac{\pi}{2} < \theta - \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$ et donc $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$. \item Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. %On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées porlaires du point $M$.\\ On pose $z=\rho\left ( \cos(\theta) + \i \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right )$ avec $\theta \in \left] - \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$.\\ Le nombre $z$ a donc pour partie réelle $x=\rho \cos(\theta)$ et pour partie imaginaire $y=\rho\sin(\theta)$. D'après la formule $\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)$, on a:\\ $\cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right ) = \cos(\theta) \cos\left ( \dfrac{\pi}{4}\right ) + \sin(\theta) \sin \left ( \dfrac{\pi}{4}\right ) = \cos(\theta) \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sin(\theta) \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right )$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Si le point $M(z)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$, alors $y=-x +2$; on en déduit que $x+y=2$ ce qui équivaut à $\rho\cos(\theta) + \rho\sin(\theta) =2$ ou encore $\rho \left (\cos(\theta) + \sin(\theta)\rule{0pt}{10pt} \right ) = 2$ % c'est-à-dire $\rho = \dfrac{2}{\cos(\theta) + \sin(\theta) }$ Or $\cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2\rule[-4pt]{0pt}{0pt}} \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right )$ donc $\rho \cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \rho \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right )$ donc $\rho \cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times 2$ et donc $\rho \cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right ) = \sqrt{2}$. On en déduit que $\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right )}$. \item Réciproquement, on suppose que $\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right )}$. Comme $\cos \left (\theta - \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right )$, on en déduit que $\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right )}$ ce qui équivaut à $\rho \left ( \cos(\theta) + \sin(\theta) \rule{0pt}{10pt} \right ) = 2$ ou $x+y=2$ ou encore $y = -x+2$. On en conclut que le point $M(z)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x+2$. \end{list} On a donc démontré que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : $\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}$, avec $\theta \in \left] - \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$ et $\rho > 0$. \newpage \item% Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine 0 du repère. ~\\[-21pt] \begin{minipage}{0.7\linewidth} Un point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si $y=-x+2$. La distance O$M$ est minimale si et seulement si le nombre O$M^2$ est minimum. O$M^2 = x^2+y^2 = x^2+(-x+2)^2 = x^2 +x^2-4x+4=2x^2-4x+4$ $2x^2-4x+4$ est un polynôme de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=2>0$; ce polynôme admet donc un minimum pour $x=-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2\times 2}=1$. De plus $y = - x + 2 = - 1 + 2 = 1$. Le point H de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine a pour coordonnées $(1~;~1)$. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.25\linewidth} \begin{flushright} \psset{unit=0.8cm} \def\xmin {-1} \def\xmax {3} \def\ymin {-1} \def\ymax {3} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] \psaxes[labels=none,arrowsize=2pt 2,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect u$,-90][$\vect v$,180] \uput[dl](0,0){O} \pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](2,0){A}(0,2){B}(0,0){O} \pstProjection[PointName=none,CodeFig=true,CodeFigColor=red,% RightAngleSize=0.2,PointSymbol=none]{A}{B}{O}[H] \uput[ur](H){\red H} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-0.5}{2.5}{x neg 2 add}% tracé de la courbe \uput[ur](1.5,0.5){\blue $\mathcal{D}$} \uput[-100](2,0){\blue A} \uput[190](0,2){\blue B} \end{pspicture} \end{flushright} \end{minipage} \medskip \begin{list}{\textbullet}{\textbf{Remarque:} il y a plusieurs autres façons de déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de O.} \item D'après la question précédente, on sait que $\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}$ donc $\rho$ sera minimum si $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$ est maximum. Comme $\theta - \dfrac{\pi}{4} \in \left] - \dfrac{\pi}{2}~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, le maximum de $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$ se produit quand il vaut 1 et donc quand $\theta - \dfrac{\pi}{4}=0$, c'est-à-dire pour $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. On déduit alors que le point réalisant le minimum a pour coordonnées $(1~;~1)$. \item Il y a une solution géométrique très élémentaire. On appelle A\,$(2~;~0)$ et B\,$(0~;~2)$ les points d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ avec les axes du repère. La distance minimale entre O et la droite $\mathcal{D}$ est OH où H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB isocèle rectangle en O. Ce point H est donc aussi le milieu de \cd AB\cg. On en déduit les coordonnées du point H. \end{list} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} %\medskip % %Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes. % %\medskip On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante. %\medskip \subsubsection*{Partie A} %\medskip Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l !{=} l} u_0&0,3\\ u_{n+1} & 0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.$ où pour tout $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002. $u_1 = 0,9 u_0 (1-u_0)=0,9\times 0,3\times (1-0,3) = 0,189$; le nombre de tortues en 2001 est 189. $u_2 = 0,9 u_1 (1-u_1)=0,9\times 0,189\times (1-0,189) \approx 0,138$; le nombre de tortues en 2001 est 138. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle $\cd 0~;~ 1\cg$. \begin{enumerate} \item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $0 \leqslant u_{n+1} v 0,9u_n$. On sait que $0 \pp 1-u_n \pp 1$; on multiplie les trois membres de cette inégalité par le nombre $u_n$ de l'intervalle $\cd 0~;~1\cg$, donc qui est positif ou nul: $0 \pp u_n(1-u_n) \pp u_n$. D'où on déduit en multipliant par $0,9$ l'inégalité $0 \pp 0,9 u_n(1-u_n) \pp 0,9 u_n$ c'est-à-dire $0 \pp u_{n+1} \pp 0,9 u_n$, pour tout $n$. \item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$. On sait que, pour tout $n$, $u_n \in \cd 0~;~1\cg$; donc $u_n\pg 0$. Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $u_n \pp 0,3\times 0,9^n$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation}\\ Pour $n=0$: $u_0=0,3$ et $0,3\times 0,9^0 = 0,3$ donc $u_0 \pp 0,3\times 0,9^0$. \\ La propriété est vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité} On suppose que, pour $n\pg 0$, la propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire $u_n \pp 0,3\times 0,9^n$. On va démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$. D'après la question précédente: $u_{n+1} \pp 0,9 u_n$. \\ D'après l'hypothèse de récurrence: $u_n \pp 0,3\times 0,9^n$. \\ On déduit: $u_{n+1} \pp 0,9\times 0,3 \times 0,9^n$ c'est-à-dire: $u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1}$. Donc la propriété est vraie au rang $n+1$ donc elle est héréditaire. \item \textbf{Conclusion} La propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie pour $n=0$, et elle est héréditaire pour tout $n\pg 0$; d'après le principe de récurrence, on peut donc dire que la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} On a donc démontré par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\pp 0,3\times 0,9^n$, et on a donc par conséquence: $0\pp u_n\pp 0,3\times 0,9^n$. \item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues? $-1 < 0,9 < 1$ donc la suite géométrique $(0,9^n)$ a pour limite $0$; \\ on en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,3\times 0,9^n=0$. On sait que, pour tout $n$, $0 \pp u_n \pp 0,3\times 0,9^n$ donc, d'après le théorème des gendarmes, on peut déduire que $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. Cela signifie que cette population de tortues est en voie d'extinction. \end{enumerate} \item Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année \textbf{avant} laquelle il reste au moins $30$~tortues, c'est-à-dire $0,03$ millier de tortues. On complète l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence: \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables} : &$u$ est un réel\\ &$n$ est un entier naturel\\ \textbf{Traitement} : &$u$ prend la valeur $0,3$\\ &$n$ prend la valeur 0\\ &Tant que {\red $u\geqslant 0,03$} faire :\\ &\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} {\red $n$ prend la valeur $n+1$}\\ {\red $u$ prend la valeur $0,9 u (1-u)$}\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie} : &Afficher {\red $2000+(n-1)$}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} %\bigskip \subsubsection*{Partie B} %\medskip Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} v_{10} &0,032\\ v_{n+1} &1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout $n \geqslant 10$, $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$. \medskip \begin{enumerate} \item% Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012. $v_{11}=1,06 v_{10} \left(1-v_{10}\right) = 1,06 \times 0,032 (1 - 0,032) \approx 0,033$; il y aura donc 33 tortues en 2011. $v_{12}=1,06 v_{11} \left(1-v_{11}\right) = 1,06 \times 0,033 (1 - 0,033) \approx 0,034$; il y aura donc 34 tortues en 2012. \item On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente vers $\ell$. $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n =\ell$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \left(1-v_n\right) =$ $ 1 - \ell$; on en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty} 1,06 v_n \left(1-v_n\right) = 1,06 \ell (1 - \ell)$. De plus $\ds\lim_{n\to +\infty} v_{n+1} = \ds\lim_{n\to +\infty} v_{n} = \ell$. Comme $v_{n+1} = 1,06 v_n \left(1 - v_n\right)$, d'après l'unicité de la limite, on peut dire que $\ell = 1,06\ell(1 - \ell)$. \item% La population de tortues est -elle encore en voie d'extinction ? La suite $(v_n)$ est croissante et $v_{10} = 0,032$ ce qui signifie qu'il y a a 32 tortues en 2010. Donc, pour tout $n\pg 10$, $v_n\pg v_0$ autrement dit $v_n\pg 0,032$. Il y aura donc au moins 32 tortues pour toute année au delà de 2010, donc cette population de tortues n'est plus en voie d'extinction. \end{enumerate} \end{document}