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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Denis Vergès et François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat S}}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\lfoot{\small{septembre 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (spécialité) Antilles-Guyane~\decofourright\\ [5pt] septembre 2016}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par
%
%\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\]
% 
%On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère \Oij.
% 
%On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$.
% 
%Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
% 
%\[u_n = \displaystyle\int_0^1  f_n(x)\:\text{d}x.\]
%
%
%\begin{center}
%\psset{unit=8cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.2,-0.075)(1.22,0.8)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.02)(1.2,0.8)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.2,0.8)
%%\multido{\n=0+1}{5}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 \n 1 sub x mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{2.71828  x exp 1 2.71828 x exp add  div}\uput[r](0.3,0.625){$\mathcal{C}_{0}$}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 1 2.71828 x exp add  div}\uput[r](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{1}$}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.33){$\mathcal{C}_{2}$}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 2 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.26){$\mathcal{C}_{3}$}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 3 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.18){$\mathcal{C}_{4}$}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 9 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.05){$\mathcal{C}_{10}$}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 50 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.05,0.05){$\mathcal{C}_{50}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
 
\textbf{Partie A - Étude graphique}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une interprétation graphique de $u_n$.
Quel que soit $n$ naturel et quel que soit le réel $x$, \:$\text{e}^{-(n-1)x} > 0$ et $1 + \text{e}^{x} > 1 > 0$ : les fonctions $f_n$ sont donc positives : les termes de la suite  $\left(u_n\right)$ sont des intégrales de fonctions positives sur [0~;~1] : $u_n$ est donc l'aire, en unités d'aire de la surface limitée par la courbe  $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\item %Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
D'après l'allure des courbes on peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et a pour limite $0$.
\item ~%Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.

\begin{center}
\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.075)(1.22,0.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0,0.5)(0.1,0.3)(0.4,0.1)(0.9,0)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(1.2,0.8)
\psline[linecolor=red](0,0)(0,0.5)(0.3,0.2)(0.5,0.1)(1.2,0)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0.2,0)(1.2,0.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.2,0.8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.2}{1 2.71828 x 3 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.18){\blue $\mathcal{C}_{4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'aire de la surface grisée s'obtient comme la somme des aires de deux trapèzes et d'un triangle : $4 + 6 + 2,5 = 12,5$ carrés d'aire 0,01.

L'aire de la surface limitée par les axes et la ligne rouge se décompose en $10,5 + 3 + 3,5 = 17$ aires de carrés d'aire 0,01.

On en déduit que $0,125 < u_4 < 0,17$.

On a donc \[0,12 < u_4 < 0,17.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude théorique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
$u_0 = \displaystyle\int_0^1  f_0(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1   \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}\:\text{d}x$.

En posant $u(x) = 1 + \text{e}^{x}$ on obtient $u'(x) = \text{e}^{x}$, donc :

$u_0 =\displaystyle\int_0^1 \dfrac{u'(x)}{u(x)}\:\text{d}x = \left[\ln u(x) \right]_0^1 = \left[\ln \left(1 + \text{e}^{x}\right) \right]_0^1 = \ln \left(1 + \text{e}\right) - \ln 2 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
\item %Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
Par linéarité de l'intégrale :

$u_0 + u_1 = \displaystyle\int_0^1  f_n(x)\:\text{d}x + \displaystyle\int_0^1  f_n(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1\left( \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}} + \dfrac{\text{e}^{-(1-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}\right)\:\text{d}x =$

$ \displaystyle\int_0^1\left( \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}} + \dfrac{1}{1 + \text{e}^{x}}\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^{x} + 1}{1 + \text{e}^{x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 1\:\text{dx} = 1 - 0 = 1$.

On en déduit que : $u_1 = 1 - u_0 = 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant  0$.
L'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle [0~;~1] est positive. Donc $u_n > 0$
\item %On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
$d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n + 1 - 1)x}}{1 + \text{e}^{x}} - \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{x}} - \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}} = $

$\dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{x}}\left(1 - \text{e}^{x} \right) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
		\item %Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
On sait que pour tout naturel $n$ et pour tout réel $x$, \: $\text{e}^{- nx} > 0$ et que 

$1 + \text{e}^x > 1 > 0$.

Le signe de $d_n(x)$ est donc celui de $1 - \text{e}^{x}$.

Or $0 \leqslant x\leqslant 1 \Rightarrow \text{e}^0 \leqslant \text{e}^x\leqslant \text{e}^1$ par croissance de la fonction exponentielle, soit $1 \leqslant \text{e}^x\leqslant \text{e}$, d'où $- \text{e} \leqslant -\text{e}^x \leqslant - 1$ et enfin $1 - \text{e} \leqslant 1 - \text{e}^x \leqslant 0$.

Conclusion : $1 - \text{e}^x \leqslant 0 \Rightarrow d_n(x) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$d_n(x) < 0 \iff f_{n+1}(x) - f_n(x) < 0 \iff f_{n+1}(x) < f_n(x)$.

Il en résulte par intégration sur l'intervalle [0~;~1]que $u_{n+1} < u_n$  : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

Comme on a vu qu'elle minorée par zéro, elle est donc convergente vers une limite $\ell$ supérieure ou égale à zéro.
\item %On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a :
		
%		\[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\]
$u_n + u_{n + 1} = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}} + \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^{-(n + 1 - 1)x}}{1 + \text{e}^{x}}$ et par linéarité de l'intégrale :

$u_n + u_{n + 1} = \displaystyle\int_0^1 \left[\dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}} + \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{x}}\right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{x}}\left(\text{e}^{x} + 1 \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x  = \left[ \dfrac{\text{e}^{-nx}}{- n}\right]_0^1 = - \dfrac{\text{e}^{-n}}{- n} + \dfrac{1}{n} =  \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.$		
		\item %En déduire la valeur de $\ell$.
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{- n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 -  \text{e}^{- n} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n} = 0$.

On a donc $\ell = 0.$
		\item %On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné.
		
%Recopier et compléter les quatre lignes de la partie \textbf{Traitement} de l'algorithme
%suivant.
		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
%\textbf{Entrée :}		&$N$ est un entier naturel non nul\\
%\textbf{Variables :}	&$U$ est un nombre réel\\
%						&$K$ est un entier naturel\\
%\textbf{Initialisation :}&Affecter 1 à $K$\\
%						&Affecter $1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$ à $U$\\
%						&Demander à l'utilisateur la valeur de $N$\\
%\textbf{Traitement :}	& Tant que $K < N$\\
%						&Affecter \ldots \ldots \ldots à $U$\\
%						&Affecter \ldots \ldots \ldots à $K$\\
%						&Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie :}		&Afficher $U$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Tant que $K < N$

Affecter $\dfrac{1 - \text{e}^{- K}}{K} - U$ à $U$

Affecter $K + 1$ à $K$

Fin Tant que\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(11,11)
%\psframe(3,0.5)(10,7.5)%DAEH
%\pspolygon(10,7.5)(8.2,9.3)(1.2,9.3)%EFG
%\pspolygon(3,7.5)(1.2,9.3)(3,0.5)%HGD
%\psline(1.2,9.3)(1.2,2.3)(3,0.5)(10,7.5)%GCDE
%\psline[linestyle=dashed](8.2,9.3)(8.2,2.3)(1.2,2.3)%FBC
%\psline[linestyle=dashed](8.2,2.3)(10,0.5)%BA
%\uput[dr](10,0.5){A}\uput[ur](8.2,2.3){B}
%\uput[l](1.2,2.3){C}\uput[dl](3,0.5){D}
%\uput[r](10,7.5){E}\uput[ur](8.2,9.3){F}
%\uput[ul](1.2,9.3){G}\uput[dr](3,7.5){H}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{BC}},\: \vect{\text{BF}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).
Le point H a pour coordonnées $(1~;~1~;~1)$.

$M \in \text{(BH)} \iff $ il existe $t \in \R \: \vect{\text{B}M} = t \vect{\text{BH}} \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x - 0&=&t(1 - 0)\\
y - 0&=&t(1 - 0)\\
z - 0&=&t(1 - 0)
\end{array} \right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y&=&t\\
z&=&t
\end{array} \right.$
\item %Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
On a D(1~;~1~;~0), \quad E(1~;~0~;~1) et G(0~;~1~;~1).

D'où $\vect{\text{DE}}(0~;~- 1~;~1), \quad     \vect{\text{DG}}(- 1~;~0~;~1)$.

Comme $\vect{\text{BH}}(1~;~1~;~1)$ ce vecteur est orthogonal à $\vect{\text{DE}}$ et à $\vect{\text{DG}}$, soit à deux vecteurs non colinéaires du plan (DEG). Le vecteur $\vect{\text{BH}}$ est donc normal au plan (DEG) : la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).
D'après la question précédente une équation du plan (DEG) est : 

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{DEG}) \iff 1x + 1y + 1z + d = 0$.

On a par exemple D $\in   (\text{DEG}) \iff 1 + 1 + 0 + d = 0 \iff d = - 2$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{DEG}) \iff x + y + z - 2 = 0$.
\item %On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH).

%Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P.
les coordonnées de P vérifient l'équation paramétrique de la droite (Bh) et l'équation du plan (DEG) soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y&=&t\\
z&=&t\\
x + y + z - 2 &=& 0
\end{array} \right.\Rightarrow 3t - 2 = 0 \iff t = \dfrac{2}{3}$.

On a donc P$\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3} \right)$.

\item %Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.
On a :

$\text{PD}^2 = \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{2}{3}\right)^2$ ;

$\text{PE}^2 = \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{2}{3}\right)^2 +  \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2$ ;

$\text{PG}^2 = \left(0 - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^2$.

On a donc de façon évidente $\text{PD}^2 = \text{PE}^2 = \text{PG}^2 =  \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$, soit $\text{PD} = \text{PE} = \text{PG}$.

Le point P est donc équidistant des trois sommets du triangle (DEG), c'est donc le centre du cercle circonscrit au triangle (DEG), mais comme celui-ci est équilatéral car ses trois côtés sont des diagonales de carrés de côté 1, le point P est orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre de gravité du triangle équilatéral (DEG).
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\emph{Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro
sinon.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$

%\[(E) :\quad  z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,\]

%où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\C$.
%\item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
%\item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
%\item[$\bullet~~$] Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
%\end{itemize}
On a $z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0 \iff (z + a)^2 + 1 = 0 \iff (z + a)^2 - \text{i}^2 = 0 \iff $

$(z + a + \text{i})(z + a - \text{i}) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}z + a&=&- \text{i}\\
z + a&=&\text{i}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} z&=&- a - \text{i}\\
z&=& - a + \text{i}
\end{array}\right.$

$a$ est réel donc les deux solutions sont complexes conjuguées de même module.
\item %Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe 

%$z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.
%
%Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Le nombre $z$ est un réel positif.
%\item[$\bullet~~$] Le nombre $z$ est égal à 1.
%\item[$\bullet~~$] Un argument de $z$ est $\theta$.
%\item[$\bullet~~$] Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
%\end{itemize}
$z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta} = \text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}\left(\text{e}^{-\text{i}\frac{\theta}{2}} + \text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}\right) = \text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}\left(\cos \frac{\theta}{2} - \text{i}\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} + \text{i}\sin \frac{\theta}{2} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}\cos \frac{\theta}{2} = 2\cos \frac{\theta}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}$ qui est l'écriture exponentielle de $z$.

Le module de $z$ est donc $2\cos \frac{\theta}{2}$ et un argument de $z$ est $\frac{\theta}{2}.$
\item %Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par 

%\[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
%\item[$\bullet~~$] Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
%\item[$\bullet~~$] La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
%\item[$\bullet~~$] Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$.
%
%La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
%\end{itemize}
On a pour tout réel $x$, \: $f'(x) = - \text{e}^{-x} \sin x + \text{e}^{-x} \cos x = \text{e}^{-x}(\cos x - \sin x)$.

Donc $f'\left(\frac{\pi}{4} \right) = \text{e}^{-\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$.
\item %Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$.

%$0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $P(X = 30)$
%\item[$\bullet~~$] $P(X \leqslant 60)$
%\item[$\bullet~~$] $P(X \leqslant 30)$
%\item[$\bullet~~$] $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$
%\end{itemize}
On a $P(X \leqslant 30) = \displaystyle\int_0^{30} 0,02 \text{e}^{- 0,02x}\:\text{d}x = \left[-\text{e}^{- 0,02x} \right]_0^{30} = -\text{e}^{- 0,02\times 30} + 1 \approx 0,451 \approx 0,45$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60\,\% présentent des failles de sécurité. Afin
%de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter
%les défaillances.
%
%On estime que chaque jour, il remet en état 7\,\% des ordinateurs défaillants, tandis que de
%nouvelles failles apparaissent chez 3\,\% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le
%nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
%
%\medskip
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc
%informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs
%défaillants au bout de $n$ jours.
%
%Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
%\item Déterminer $a_1$ et $b_1$.
%\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
%\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
%		\item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
%		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
%		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
%		
%\[X_{n+1} = DX_n + B.\]
%		
%	\end{enumerate}
%\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = X_n - 10B$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_{n+1} = DY_n$.
%		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = D^nY_0$.
%		
%En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
%		\item Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
% 	\end{enumerate}
%\item Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le
%long terme ?
%\end{enumerate}
\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item On décrit la situation précédente à l'aide d'un graphe en appelant A l'état \og être sain\fg{} et B l'état \og être défaillant\fg:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{B}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,03}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,07}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,97}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,93}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\red \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}%   définition des sommets
\ncarc[linecolor=red]{->}{G}{D} \Aput{\red\valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[linecolor=red,angleA=90]{->}{G}{4mm}   
   \Bput{\red \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Déterminer $a_1$ et $b_1$.
$a_1=0,97a_0+0,07b_0 = 0,97 \times 0,4+0,07 \times 0,6 = 0,43$

$b_1 = 0,03a_0+0,93b_0 = 0,03\times 0,4 + 0,93 \times 0,6 = 0,57$

\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
D'après le texte, on peut dire que
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,07\,b_n\\
b_{n+1} & 0,03\,a_n + 0,93\,b_n
\end{array}
\right .$

\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
La traduction matricielle du système précédent, est :

$\begin{pmatrix}
a_{n+1} \\ b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,07 \\ 0,03 & 0,93
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{n} \\ b_{n}
\end{pmatrix}$

ou encore $X_{n+1}= A X_n$.


		\item% Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
Soit $\mathscr P_n$ la propriété $X_n = A^n X_0$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, $A^n=A^0 = I_2$ la matrice identité d'ordre 2.

$A^0\times X_0= I_2 \times X_0=X_0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.


\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie à un rang $p\pg 0$; on va démontrer qu'elle est vraie au rang $p+1$.

On a comme hypothèse que $X_p = A^p X_0$. 

$X_{p+1}=A \times X_p = A\times \left ( A^p X_0\right )
= \left (A\times A^p\right )\times X_0 = A^{p+1}X_0$

Donc la propriété est démontrée pour le rang $p+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = A^nX_0$.

		\item% Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
$X_{30}=A^{30}X_0 \approx
\begin{pmatrix}
0,687 \\ 0,313
\end{pmatrix}$

Au bout de 30 jours, il y a $68,7\,\%$ d'appareils sains, et $31,3\,\%$ d'appareils défectueux.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
Au bout de $n+1$ jours, un appareil est soit sain soit défectueux; la proportion d'appareils sains est $a_{n+1}$ et la proportion d'appareil défectueux est $b_{n+1}$ donc $a_{n+1} + b_{n+1}=1$.

		\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
%		
%\[X_{n+1} = DX_n + B.\]
On a vu que

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,07\,b_n\\
b_{n+1} & 0,03\,a_n + 0,93\,b_n
\end{array}
\right .$;

or, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$,
donc
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,07\,(1-a_n)\\
b_{n+1} & 0,03\,(1-b_n) + 0,93\,b_n
\end{array}
\right .$

ce qui équivaut à
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,9\,a_n + 0,07\\
b_{n+1} & 0,9\,b_n + 0,03 
\end{array}
\right .$

$DX_n+B = 
\begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a_n \\ b_n
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0,9 a_n\\ 0,9 b_n \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,9a_n + 0,07\\ 0,9b_n + 0,03\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix}
=
X_{n+1}$

		
	\end{enumerate}

\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = X_n - 10B$, donc $X_n=Y_n+10B$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_{n+1} = DY_n$.
$Y_{n+1}= X_{n+1} -10B = DX_n+B-10B = D\left (Y_n+10B\right )-9B
= DY_n + 10DB - 9B$

$10D =  
\begin{pmatrix}
9 & 0 \\ 0 & 9 
\end{pmatrix}
= 9 I_2$
donc
$10DB - 9B = 9I_2B-9B = 9B-9B=0$

Donc $Y_{n+1} = DY_n$.

		\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$.
		
%En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.

Donc $X_n=Y_n+10B = D^nY_0 + 10B = D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B$.

		\item% Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
$D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ donc
$D=0,9I_2$ ;
 
on a donc $D^n= 0,9^n I_2^n = 0,9^n I_2 =
\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0 &0,9^n\end{pmatrix}$

$X_0=\begin{pmatrix} 0,4\\0,6 \end{pmatrix}$
et
$B= \begin{pmatrix} 0,07\\0,03 \end{pmatrix}$
donc
$10B= \begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}$

$X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B
\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0 &0,9^n\end{pmatrix} \times
\left [ 
\begin{pmatrix} 0,4\\0,6 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}
\right ] 
+
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}\\
\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}
\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0 &0,9^n\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} -0,3\\0,3 \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}$

$\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}-0,3\times 0,9^n \\ 0,3\times 0,9^n\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 0,7\\0,3 \end{pmatrix}\\
\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}
\iff
X_n= 
\begin{pmatrix}-0,3\times 0,9^n +0,7 \\ 0,3\times 0,9^n + 0,3\end{pmatrix}
$

$\phantom{X_n= D^n\left ( X_0-10B \right ) +10B}\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n} & -0,3\times 0,9^n +0,7\\
b_{n} & 0,3\times 0,9^n + 0,3
\end{array}
\right .
$

 	\end{enumerate}

\item% Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?
La proportion d'ordinateurs défaillants est $b_n$ et on cherche
$\ds\lim_{n \to +\infty}b_n$.

Or $-1<0,9<1$ donc  $\ds\lim_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$ et on en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty}b_n = 0,3$.

Sur le long terme, on peut dire que la proportion d'ordinateurs défaillants va tendre vers 30\,\%.
\end{enumerate}
\end{document}