%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumerate} \usepackage{variations} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Jean-Paul Goualard \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \everymath{\displaystyle} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \arabic{subsection}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Métropole - 21 juin 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S } \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{21 juin 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole~\decofourright\\21 juin 2017}}} \end{center} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 7 points}} \label{courbe} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie A }} \bigskip On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$. Pour tout $x$, $h(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}$ ; d'après les croissances comparées, \\ $\lim_{x\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=0}}$. \item %Étudier les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations. $h$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables. $h=u\mathrm{e}^{w}$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\w(x)-x\end{cases}$. $h'=\left(u\mathrm{e}^{w}\right)'=u'\mathrm{e}^{w}+u\left(\mathrm{e}^{w}\right)'=u'\mathrm{e}^{w}+u\times w'\mathrm{e}^{w}$ avec $\begin{cases}u'(x)=&\\w'(x)=-1\end{cases}$. On en déduit : $h'(x)=\mathrm{e}^{-x}+x\times (-1)\mathrm{e}^{-x}$ donc, après factorisation par $\mathrm{e}^{-x}$ : $\boxed{\textcolor{red}{h'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}}}$. Pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ ; $h'(x)=0\iff 1-x=0\iff x=1$ et \\$ h'(x)>0\iff 1-x>0\iff x<1$. $h(0)=0$ et $h(1)=\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$. \textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation : }} \begin{center} \begin{variations} x&0&&1&&\pI\\ \filet h'(x)&&\c&\h{\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,37}&\d&0\\ \filet \end{variations} \end{center} \item L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : %\[h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)\] % où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$. Pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^{-x}-h'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(1-x)\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}=x\mathrm{e}^{-x}=h(x)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)}}\] \item %Déterminer une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction \\ %$x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$. Soit la fonction $v:x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$ ; $v(x)=-(-1)\mathrm{e}^{-x}=-w'(x)\mathrm{e}^{w(w)}$ (avec les notations précédentes) donc une primitive de $v$ est \[\boxed{\textcolor{red}{V:x\longmapsto -\mathrm{e}^{w(x)}=-\mathrm{e}^{-x}}}\] \item %Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Soit $H$ une primitive de $h$. $h(x) =\mathrm{e}^{-x} - h'(x)$ donc $H(x)=-\mathrm{e}^{-x}-h(x)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{H(x)=-\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=-(x+1)\mathrm{e}^{-x}}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Partie B }} \bigskip On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: \[f(x) =x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\text{\hspace{2cm}et\hspace{2cm}} g(x) =\ln(x + 1).\] On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé. \bigskip \begin{enumerate} \item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x~;~g(x))$ : $M$ et $N$ sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \begin{enumerate} \item %Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale. $M$ et $N$ ont la même abscisse et $f(x)\geqslant g(x)$ (car $x+1\geqslant 1$ donc \\ $\ln(x+1)\geqslant 0$). D'où $MN=f(x)-g(x)=x\mathrm{e}^{-x}=h(x)$ : $\boxed{\textcolor{red}{MN = h(x) = x\mathrm{e}^{-x}}}$. \item %Placer sur le graphique fourni en annexe page \pageref{fin} les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN. D'après l'étude des variations de $h$, \,$MN$ est maximum pour $x=1$. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=3cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.1,-0.5)(5,2.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(5.2,2.4) \psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=blue]{0}{5.2}{x*EXP(-x)+ln(x+1.0)} \psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200,linecolor=red]{0}{5.2}{ln(x+1.0)} \psline(3.7,-0.1)(3.7,0.1) \uput[d](3.7,0){$\lambda$} \psdots[dotstyle=x,dotscale=1](1,1.06)(1,0.69) \uput[ul](1,1.06){M} \uput[dr](1,0.69){N} \psline(1,1.06)(1,0.69) \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{3.7}{x*EXP(-x)+ln(x+1)} \psplot[linewidth=1.5pt]{3.7}{0}{ln(x+1)}} \uput[u](4,1.68){$\mathcal{C}_f$} \uput[d](4.2,1.65){$\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x =0$ et $x =\lambda$. \begin{enumerate} \item %Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique. Hachurons le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique. (voir ci-dessus) \item %On note $A_{\lambda}$. l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que : %\[A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\] $A_{\lambda}=\int_0^\lambda(f(x)-h(x))\text{ d}x=\int_0^1h(x)=H(\lambda)-H(0)=-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}-(-1)\\ =1-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$ : \[\boxed{\textcolor{red}{A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}}}.\] \item %Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat. $A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}+\dfrac{1}{\lambda}$. $\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)=0$ et $\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}\right)=0$ (croissances comparées). Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}A_{\lambda}=1}}$. L'aire entre les deux courbes (pour $0\leqslant x$) vaut 1. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{tabular}{|ll|} \hline \textbf{Variables :}&\\ &$\lambda$ est un réel positif\\ &$S$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.\\ \textbf{Initialisation :}&\\ &Saisir $S$\\ &$\lambda$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement :}&\\ &Tant Que $1-\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}S$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}} \textbf{commun à tous les candidats} \bigskip L'espace est mini d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne : $2x-z-3=0$. On note A le point de coordonnées $\left(1~;~a~;~a^2\right)$ où $a$ est un nombre réel. \begin{enumerate} \item %Justifier que, quelle que soit la valeur de $a$, le point A n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$. $2x_A-z_A-3=2-a^2-3=-1-a^2<0$ donc A n'appartient pas à $\mathcal{ P}$ (puisque ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de $\mathcal{P}$). \item \begin{enumerate} \item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ (de paramètre $t$) passant par le point A et orthogonale au plan $\mathcal{P}$. $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$ ; c'est aussi un vecteur directeur de $\mathcal{D}$. $\mathcal{D}$ passe par A donc une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est : \[\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}\] \item Soit M un point appartenant à la droite $\mathcal{D}$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente. %Exprimer la distance AM en fonction du réel $t$. $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}2t\\0\\-t\end{pmatrix}$ ; on en déduit que $AM=\sqrt{(2t)^2+(-t)^2}=\sqrt{5t^2}=\left\vert t \right\vert\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AM=\left\vert t \right\vert\sqrt{5}}}$ \end{enumerate} \bigskip \parbox{4.5cm}{On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale à $\mathcal{P}$ et passant par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ et la distance AH est appelée distance du point A au plan $\mathcal{P}$.}\hfill \parbox{7cm}{\begin{center} \psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.,-2.)(12.,7.5) \pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(7.,-1.)(10.,3.)(3.,4.) \psline(0.,0.)(7.,-1.) \psline(7.,-1.)(10.,3.) \psline(10.,3.)(3.,4.) \psline(3.,4.)(0.,0.) \rput[tl](0.72,0.86){$\mathcal{P}$} %\psplot{-1.}{12.}{(-15.5--4.*x)/3.} %\psplot{-1.}{12.}{(--15.5-1.*x)/7.} \psline(5.,7.)(5.,1.5) \psline[linestyle=dashed](5,1.5)(5,-0.71) \psline(5,-0.71)(5,-2) \begin{scriptsize} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) %\rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.,-1.) %\rput[bl](7.08,-0.8){\blue{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10.,3.) %\rput[bl](10.08,3.2){\blue{$C$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.,4.) %\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$D$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,1.5) \rput[bl](5.08,1.7){\blue{$H$}} \psdots[dotstyle=*](5.,5.) \rput[bl](5.08,5.2){$A$} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.,-0.7142857142857143) %\rput[bl](5.08,-0.6){\darkgray{$F$}} %\psdots[dotstyle=*](4.568,0.924) %\rput[bl](4.64,1.12){\xdxdff{$G$}} %\psdots[dotstyle=*](5.8624,1.3768) %\rput[bl](5.94,1.58){\xdxdff{$I$}} %\psdots[dotstyle=*](5.,2.) %\rput[bl](5.08,2.2){\xdxdff{$J$}} \psline(4.57, 0.92)(5,1.5) \psline(5.86,1.38)(5,1.5) \psline(4.78,1.71)(5,2) \psline(5.43,1.94)(5,2) \psline(4.78,1.21)(4.78,1.71) \psline(5.43,1.94)(5.43,1.44) \uput[r](5,6){$\mathcal{D}$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} } \item %Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées $\left(1~;~a~;~a^2\right)$ au plan $\mathcal{P}$ est minimale. Justifier la réponse. $H$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et au plan $\mathcal{P}$. $H$ est associé à un nombre $t_H$, solutio n du système : $\begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2x-z-3=0\end{cases}\iff \begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2+4t-a^2+t-3=0\end{cases}\iff \begin{cases}x=1+2t\\y=a\\z=a^2\\t=\dfrac{a^2+1}{5}\\\end{cases}$. H est donc associé à la valeur $t_H=\dfrac{a^2+1}{5}$. On a alors : $AH=\left\vert t_H \right\vert\sqrt{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a^2+1}{\sqrt{5}}}}$. $a\mapsto a^2+1$ admet un minimum pour $a=0$ donc la distance de A au plan $\mathcal{P}$ est minimum pour $a=0$ et vaut alors $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}}$ \end{enumerate} \newpage \subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d'incendie. \medskip Le but de l'exercice est d'étudier les impacts de foudre détectés par un capteur. L'écran radar, sur lequel les points d'impact de foudre sont observés, a l'allure suivante : \begin{center} \psset{xunit=0.03cm,yunit=0.03cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-130.,-130.)(130.,130.) \pscircle(0.,0.){0.6} \pscircle(0.,0.){1.2} \pscircle(0.,0.){1.8} \pscircle(0.,0.){2.4} \pscircle(0.,0.){3.} \rput[tl](11.763406374095203,-2.1183288593829452){20} \rput[tl](30.32335436602127,-2.94321543680188){40} \rput[tl](50.94551880149468,-3.7681020142208146){60} \rput[tl](71.15523994825863,-5.8303184577681515){80} \rput[tl](88.89030136276575,-6.655205035187086){100} \rput[tl](108.68757922082023,-4.59298859163975){Est} \rput[tl](-8.446314772668737,112.54090540184897){Nord} \uput[l](-95,0){Ouest} \rput[tl](-1.0223355758983101,-106.05403761416872){Sud} %\psplot{-110.}{110.}{(-0.--1.*x)/1.} %\psplot{-110.}{110.}{(-0.-1.*x)/1.} \rput[tl](-73.19991110005525,-52.848853370647426){5} \rput[tl](-57.114622840385984,-38.000894977106604){4} \rput[tl](-42.26666444684513,-23.977823160984713){3} \rput[tl](-27.83114934201374,-12.429411077119628){2} \rput[tl](-12.57074765976342,1.1812174502927935){1} \rput[tl](99.61382686921192,38.30111343414485){A} \rput[tl](47.64597249181893,98.93027687443656){B} \rput[tl](-39.792004714588316,103.4671530502407){C} \rput[tl](-104.95804433068429,47.787309074462605){D} \rput[tl](-98.3589517113328,-41.71288457549181){E} \rput[tl](-38.96711813716938,-95.33051210772257){F} \rput[tl](58.78194128697457,-85.84431646740481){G} \rput[tl](99.20138358050245,-41.300441286782345){H} \psline(0.,-110.)(0.,110.) \psplot{-100.}{100.}{(-0.-0.*x)/1.} \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.) \uput[dl](10,0){\blue{$O$}} %\rput[bl](-10.096087927506609,9.017639935772673){$c$} %\rput[bl](-20.407170145243313,25.927814772860835){$d$} %\rput[bl](-30.30580907427055,42.83798960994899){$e$} %\rput[bl](-40.204448003297784,60.16060773574662){$f$} %\rput[bl](-50.10308693232502,77.07078257283479){$g$} %\rput[bl](-115.269126548421,-120.90199600770954){$h$} %\rput[bl](-123.93043561131982,124.914204063133){$i$} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-70.71067811865476,-70.71067811865476) %\rput[bl](-69.07547821296056,-68.10925505289772){\darkgray{$A$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](70.71067811865476,70.71067811865476) %\rput[bl](72.39256981438703,73.35879297444957){\darkgray{$B$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-70.71067811865476,70.71067811865476) %\rput[bl](-69.07547821296056,73.35879297444957){\darkgray{$C$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](70.71067811865476,-70.71067811865476) %\rput[bl](72.39256981438703,-68.10925505289772){\darkgray{$D$}} %\rput[bl](3.1020973111963714,124.914204063133){$j$} %\rput[bl](-173.01118696774654,3.6558771825495975){$k$} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,100.) %\rput[bl](1.4523241563584988,102.64226647282176){\darkgray{$E$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,-100.) %\rput[bl](1.4523241563584988,-97.3927285512699){\darkgray{$F$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-100.,0.) %\rput[bl](-98.3589517113328,2.4185473164211952){\darkgray{$G$}} %\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](100.,0.) %\rput[bl](101.67604331275926,2.4185473164211952){\darkgray{$H$}} \psline(-70.71,-70.71)(70.71,70.71) \psline(70.71,-70.71)(-70.71,70.71) \psdot[dotstyle=x](22.9,45.31) \uput[r](22.9,45.31){P} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l'écran, cinq cercles concentrique correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l'ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H. \medskip L'écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. \medskip On assimile l'écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ de la manière suivante : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item l'origine O marque la position du capteur ; \item l'axe des abscisses est orienté d'Ouest en Est ; \item l'axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ; \item l'unité choisie est le kilomètre. \end{enumerate} Dans la suite, un point de l'écran radar est associé à un point d'affixe z. \begin{center} \textbf{PARTIE A} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item On note $z_P$ l'affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle $r$ le module de $z_P$ et $\theta$ son argument dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. %Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour $r$ et pour $\theta$ (aucune justification n'est demandée) : % %$\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline %\textbf{Proposition A }&\textbf{Proposition B }&\textbf{Proposition C }&\textbf{Proposition D }\\ %\hline %40 < r < 60 &20 < r < 40 &40 < r < 60 &0< r < 60 \\ %\text{et}&\text{et}&\text{et}&\text{et}\\ %0<\theta<\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}&-\dfrac{\pi}{2}<\theta<-\dfrac{\pi}{4}\\ %\hline %\end{array}$ $r=z_P$ ; d'après le dessin, $40