\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Corrigé : Denis Vergès et François Hache %Relecture : François Hache %Remerciements à Johann Dolivet et Mickaël Goyot \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité - corrigé}, pdftitle = {Amérique du Sud 22 novembre 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2 - corrigé} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{22 novembre 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Amérique du Sud 22 novembre 2024~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France: \begin{center} \scalebox{0.7}{ \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-2,0)(8.5,41) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(0,0)(8.5,40) \uput[d](1,0){A+}\uput[d](2,0){O+}\uput[d](3,0){B+}\uput[d](4,0){A$-$} \uput[d](5,0){O$-$}\uput[d](6,0){AB+}\uput[d](7,0){B$-$}\uput[d](8,0){AB$-$} \multido{\n=0+5}{9}{ \psline[linecolor=lightgray](0,\n)(8.5,\n) \uput[l](0,\n){\n\,\%}} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5,labels=none](0,0)(0,0)(8.5,40) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(1.2,38.2)\uput*[u](1,38.2){38,2\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,0)(2.2,36.5)\uput[u](2,36.5){36,5\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.8,0)(3.2,7.7)\uput[u](3,7.7){7,7\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.8,0)(4.2,6.8)\uput[u](4,6.8){6,8\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.8,0)(5.2,6.5)\uput[u](5,6.5){6,5\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2.5)\uput[u](6,2.5){2,5\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,1.4)\uput[u](7,1.4){1,4\,\%} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,0.4)\uput[u](8,0.4){0,4\,\%} \rput{90}(-1,20){Partie des Français} \end{pspicture} % %\medskip % %\emph{\scriptsize Source : https://fr.statista.com!statistiques/6 56036/ groupes-sanguins-repartition-rh- france/} } \end{center} \bigskip %A+, O+, B+, A$-$, O$-$, AB+, B$-$ et AB$-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus. % %Par exemple: A + est le groupe sanguin A de rhésus +. Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus. %Dans l'exercice, on adopte les notations du type : % %$A$ + est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + \fg % %$A -$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus $-$ \fg % %$A$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A \fg % %\medskip % %Les parties 1 et 2 sont indépendantes. % %\newpage \textbf{Partie 1} %\medskip % %On note $Rh$ + l'évènement \og La personne est de rhésus positif \fg. \begin{enumerate} \item %Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$. Le pourcentage de personne ayant un rhésus positif est: $38,2+36,5+7,7+2,5$ soit $84,9\,\%$. Donc la probabilité $P\left (Rh+\right )$ que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$. \item% Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à $0,001$ près. On cherche $P_{Rh+}(A)= \dfrac{P\left (Rh+ \cap A\right )}{P\left (Rh+\right )} = \dfrac{P\left (A+\right )}{P\left (Rh+\right )}$ Il y a $38,2\,\%$ de personnes A+ dans la population donc $P\left (A+\right )=0,382$. Donc $P_{Rh+}(A)= =\dfrac{0,382}{0,849}\approx 0,450$. \item Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus. La probabilité que son rhésus soit négatif est: $P_{AB}\left (Rh-\right ) = \dfrac{P\left (Rh- \cap AB\right )}{P\left (AB\right )} = \dfrac{P\left (AB-\right )}{P\left (AB\right )}.$ Il y a $0,4\,\%$ de personnes AB-- dans la population donc $P\left (AB-\right )=0,004$. $2,5+0,4=2,9$ donc il y a $2,9\,\%$ de personnes AB dans la population donc $P\left (AB\right )=0,029$. $\dfrac{0,004}{0,029}\approx 0,138$ donc la probabilité que son rhésus soit négatif est $0,138$ à $0,001$ près. %Arrondir le résultat à 0,001 près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip %Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près. % %\medskip Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que $6,5\,\%$ de la population française est de groupe O$-$ donc $P\left (O-\right )=0,065$. %\medskip \begin{enumerate} \item On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels. \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse. Le choix au hasard de 50 personnes peut être assimilé à un tirage avec remise donc la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de donneurs universels suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,065$. La probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels est donc: $P\left( X=8\right ) = \displaystyle\binom{50}{8}\times 0,065^{8}\times \left (1-0,065\right )^{50-8} \approx 0,010$. \item On considère la fonction ci-dessous nommée \texttt{proba} d'argument \texttt{k} écrite en langage Python. \begin{center} \ttfamily \begin{tabular}{|l|} \hline def proba(k):\\ \quad p = 0\\ \quad for i in range(k+1):\\ \quad \quad p = p + binomiale(i , 50 , 0.065)\\ \quad return p\\ \hline \end{tabular} \end{center} Cette fonction utilise la fonction \texttt{binomiale} d'argument $i, n$ et $p$, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. %Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction \texttt{proba} lorsqu'on saisit \texttt{proba(8)} dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. La valeur numérique renvoyée par la fonction \texttt{proba} lorsqu'on saisit \texttt{proba(8)} dans la console Python correspond à $P\left ( X\leqslant 8 \right )$ et vaut environ $0,995$; cela veut dire qu'il y a une probabilité de $0,995$ que sur les 50 personnes, il y en ait au plus 8 de groupe O--.. \end{enumerate} \item On veut déterminer le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$. Autrement dit on cherche $n$ pour que $P\left (X\geqslant 1\right ) > 0,999$, donc en passant par l'événement contraire: $1-P\left (X=0\right ) > 0,999$. Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065$, on a: $P\left (X=0\right ) = \displaystyle\binom{50}{0} \times 0,065^0 \times \left (1-0,06(\right )^{n}=0,935^n$. On résout l'inéquation: $1-0,935^n > 0,999$. $\aligned 1-0,935^n > 0,999 & \iff 1-0,999 > 0,935^n \iff 0,001 > 0,935^n\\ & \iff \ln \left ( 0,001\right ) > \ln \left ( 0,935^n\right ) \quad (\text{croissance de la fonction ln})\\ & \iff \ln \left ( 0,001\right ) > n\times \ln \left ( 0,935\right )\\ & \iff \dfrac{\ln \left ( 0,001\right )}{\ln \left ( 0,935\right )} < n \quad (\text{car }\ln\left (0,935\right )<0) \endaligned$ Or $\dfrac{\ln \left ( 0,001\right )}{\ln \left ( 0,935\right )} \approx 102,8$ donc le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$ est $n=103$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip %Cet exercice contient 5 affirmations. % %Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse. % %Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation. % %\medskip \textbf{Partie 1} \medskip %On considère la suite $(u_n)$ définie par: \begin{center}$u_0 = 10$\, et pour tout entier naturel $n,\,u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2$.\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1} : Vraie %La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0. Démonstration par récurrence : soit $P_n$ la proposition : \og $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n $\fg. \emph{Initialisation} : $I_0 = 10$ et $I_1 = \dfrac13 \times 10 + 2 = \dfrac{10}{3} + \dfrac63 = \dfrac{16}{3} < \dfrac{30}{3}$, soit $0\leqslant I_1 \leqslant I_0$ : la proposition est vraie au rang $0$ ; \emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$,\, $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ ; il en résulte par produit par le réel positif $\dfrac13$ que \quad $0 \leqslant \dfrac13 u_{n+1} \leqslant \dfrac13 u_n$ puis par somme avec 2 : $2 \leqslant \dfrac13 u_{n+1} + 2 \leqslant \dfrac13 u_n + 2$, soit finalement : $2 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$ : la proposition est vraie au rang $n + 1$. \emph{Conclusion} : la proposition est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle l'est aussi au rang $n + 1$. D'après le principe de récurrence quel que soit $n \in \N,\,$ $ 0 < 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$, autrement dit la suite est décroissante et minorée par $0$. \item \textbf{Affirmation 2} : Fausse%$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$. En effet dans la question précédente on a montré au moment de l'hérédité que pour $n \in \N, \, u_{n+1} \geqslant 2$, donc pour $n\in \N, \, u_n \geqslant 2 > 0$ : la limite de la suite ne peut être nulle. \item \textbf{Affirmation 3} : Vraie .%La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3$ est géométrique.On a pour tout naturel : $v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \dfrac13u_n + 2 - 3 = \dfrac13u_n - 1 = \dfrac13(u_n - 3) = \dfrac13v_n$. L'égalité $v_{n+1} = \dfrac13v_n$ vraie pour tout naturel $n$ montre que le suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 3 = 10 - 3 = 7$. On sait qu'alors pour $n \in \N, \, v_n = v_0 \times q^n$ (avec $q$ raison de la suite), soit $v_n = 7\times \left(\dfrac13\right)^n$. Comme $0 < \dfrac13 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$ et il en résulte que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 3$, ce qui améliore le résultat de la question précédente. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip On considère l'équation différentielle $(E) :\, y' = \dfrac32 y + 2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\R$ \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 4} : Vraie. Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle (E). Soit $g$ la fonction constante définie sur $\R$ par $g(x) = K$, avec $K \in \R$ ; alors $g'(x) = 0$. $g$ est donc solution de l'équation différentielle si $g'(x) = \dfrac32g(x) + 2 \iff 0 = \dfrac32 \times K + 2 \iff \dfrac32K = - 2 \iff K= - \dfrac43$. \item Dans un repère orthonormé \Oij{} on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0) = 0$. \item \textbf{Affirmation 5} : Vraie La tangente au point d'abscisse 1 de $\mathcal{C}_f$ a pour coefficient directeur $2 \e^{\frac32}$. Soit $f$ une solution sur $\R$ de l'équation $(E)$, alors : $f'(x) = \dfrac32 f(x) + 2$. Or on a vu que $g'(x) =\dfrac32 g(x) + 2$, d'où par différence membre à membre de ces deux égalités : $f'(x) - g'(x) = \dfrac32 f(x) - \dfrac32 g(x) \iff f'(x) - g'(x) = \dfrac32 (f(x) - g(x)) \iff $ $((f - g)'(x) = \dfrac32 (f(x) - g(x))$ par linéarité de la dérivation : ceci signifie que la fonction $f - g$ est solution de l'équation $y' = \dfrac32y$ dont les solutions sont les fonctions $x \longmapsto K\e^{\frac32 x}$, avec $ K \in \R$. On a donc $f(x) - g(x) = f(x ) - \left(- \dfrac43\right) = K\e^{\frac32 x}$, avec $ K \in \R$. Finalement les solutions de $(E)$ sont définies sur $\R$ par $f(x) = K\e^{\frac32 x} - \dfrac43$. En particulier la fonction $f_1$ telle que $f_1(0) = 0$ vérifie $K\e^{0} - \dfrac43 \iff K = \dfrac43$, donc $f_1(x) = \dfrac43\e^{\frac32 x} - \dfrac43$. Puisque $f_1$ est une solution de $(E)$, on a $f'_1(1) = \dfrac32f(1) + 2 = \dfrac32\left[\dfrac43\e^{\frac32\times 1} - \dfrac43\right] + 2 =$ $ 2\e^{\frac32} - 2 + 2 = 2\e^{\frac32}$. Le nombre dérivé en 1 est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de $f_1$ au point d'abscisse 1. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Exercice 3 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par : \[f(x) = \left(x^2 - 4\right)\e^{-x}.\] %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Limites :%Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. $\bullet~$ : en $- \infty$ : de $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 = + \infty$ d'où $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 - 4 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^{-x} = + \infty$ on en déduit par produit de limites que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$ ; $\bullet~$ : en $+ \infty$ $f(x) = x^2\e^{-x} - 4\e^{-x}$ : on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}4\e^{-x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2\e^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x^2}{\e^x} = 0$ (puissances comparées), donc : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. \item %Justifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \left(-x^2 + 2x + 4\right)\e^{-x}$. $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $\R$. Sur cet intervalle : $f'(x) = 2x\e^{-x} + \left(x^2 - 4\right) \times (- 1)\e^{-x} = \e^{-x}(2x - x^2 + 4) = \left(- x^2 + 2x + 4\right)\e^{-x}$. \item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. On sait que quel que soit $x \in\R,\, \e^{-x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $- x^2 + 2x + 4$. On a $- x^2 + 2x + 4 = -\left(x^2 - 2x - 4\right) = -\left[(x - 1)^2 - 1 - 4\right] = -\left[(x - 1)^2 - 5\right] =$ $- x^2 + 2x + 4 = - \left(x - 1 + \sqrt 5\right)\left(x - 1 - \sqrt 5\right)$ : ce trinôme a deux racines $1 - \sqrt 5$ et $1 + \sqrt 5$. On sait que le trinôme a le signe de $a = -1$, donc est négatif sauf sur l'intervalle $\left[1 - \sqrt 5~;~1 + \sqrt 5\right]$ où il est positif. On a donc le tableau de variations : \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-\infty$} \uput[u](4,2.4){\footnotesize$1 - \sqrt 5$} \uput[u](5.5,2.4){$0$} \uput[u](7,2.4){\footnotesize$1 + \sqrt 5$} \uput[u](9.6,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5) \rput(2.5,2.25){$-$}\rput(5.5,2.25){$+$}\rput(8.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$}\rput(7,2.25){$0$} \rput(5.5,1){$-4$}\uput[d](1.4,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$\approx -8,5$}\uput[d](7,2){$\approx 0,25$} \uput[u](9.4,0){$0$} \end{pspicture} \end{center} On a $f\left(1 - \sqrt 5\right) = \left(2 - 2\sqrt 5 \right)\e^{\sqrt 5 - 1} \approx - 8,5$ ; $f\left(1 + \sqrt 5\right) = \left(2 + 2\sqrt 5 \right)\e^{\sqrt 5 -+ 1} \approx 0,25$ ; $f(0) = - 4$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\e^{-x}\, \text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que $I_0 = \e^2 - 1$. $I_0 = \displaystyle\int_{-2}^0 \e^{-x}\, \text{d}x = \left[- \e^{-x}\right]_{-2}^0 = - \e^{0} - \e^{2} = \e^2 - 1$. \item %En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité : On calcule $I_n$ en faisant une intégration par partie : on a $\left\{\begin{array}{l c l l c l} u(x) &=& \e^{-x}&u'(x) &=& - \e^{-x}\\ v'(x)&=&x^n&v(x) &=&\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\\ \end{array}\right.$ on a $I_n = \left[\e^{-x} \times \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{-2}^0 - \displaystyle\int_{-2}^0 - \e^{-x}\dfrac{x^{n+1}}{n+1} = 0 - \dfrac{(-2)^{n+1}\e^{2}}{n + 1} + \dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{-2}^0 \e^{-x}x^{n+1}\, \text{d}x = $ $- \dfrac{(-2)^{n+1}\e^{2}}{n + 1} + \dfrac{I_{n+1}}{n + 1}$, donc $I_n = - \dfrac{(-2)^{n+1}\e^{2}}{n + 1} + \dfrac{I_{n+1}}{n + 1}$ et en multipliant chaque membre par $n + 1$, $(n + 1)I_n = -(- 2)^{n+1}\e^2 + I_{n+1} \iff I_{n+1} = (- 2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_n.$ %\[I_{n+1} = (- 2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_n.\] \emph{Rem.} On peut aussi intégrer par partie $I_{n+1}$. \item% En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$. L'égalité précédente donne avec : $\bullet~n = 0 :\, I_{1} = (- 2)^{1}\text{e}^2 + I_0 = - 2\e^{2} + \e^{2} - 1 = -\e^{2} - 1$, $\bullet~n = 1 :\, I_{2} = (- 2)^{2} \text{e}^2 + I_1 = 4 \text{e}^2 - 2\e^{2} - 2 = 2\text{e}^2 - 2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3} \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1. $f$ a le signe du trinôme $x^2 - 4$ car quel que soit $x \in \R$, \, $\e^{- x} > 0$. Comme $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ ce trinôme a le signe de $a = 1$ donc est positif, sauf sur l'intervalle borné par les deux racines soit sur l'intervalle $]-2~;~2[$ où $f'x) < 0$. Donc sur l'intervalle $]-2~;~2[, \, f(x) < 0$ et sur $]- \infty~;~-2[ \cup ]2~;~+ \infty[, \, f(x) > 0$. \item %On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. %Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. %Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$. $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $- 2$ t on vient de voir que sur l'intervalle $]-2~,~0[, \, f(x) < 0$, donc l'aire $S$ du domaine $D$ est égale à l'opposé de l'intégrale de la fonction $d$ de $x = - 2$ à $x = 0$. $\text{aire}(D) = - \displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\:\text{d}x = - \displaystyle\int_{-2}^0 \left(x^2 - 4\right)\e^{-x}\:\text{d}x = - \displaystyle\int_{-2}^0 x^2\e^{-x} + 4\displaystyle\int_{-2}^0 \e^{-x} = - I_2 + 4I_0 = 4\left(-\e^{2} - 1\right) - \left(2\e^2 - 2\right) = 2\e^2 - 2 \approx 12,78$ (ce que l'on peut conforter avec la figure). \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-3,-9)(5,3) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-2,-9)(0,0) \psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(0,1)\uput[d](1,0){\scriptsize $\vect{\imath}$} \uput[l](0,1){\scriptsize $\vect{\jmath}$} \psaxes[Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-3,-9)(5,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt,linecolor=red]{-3}{6}{x dup mul 4 sub 2.71828 x exp div} \pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=red]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-2}{0}{x 2 exp 4 sub 2.71828 x exp div}\psline[linewidth=0.2pt](0,-4)(0,0)(-2,0)}\uput[dl](0,0){\small O} \uput[r](-2,2){\red $\mathcal{C}_f$}\rput(-1,-3){$D$} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \textbf{\Large Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les trois points A(3~;~0~;~0), B(0~;~2~;~0) et C(0~;~0~;~2). %\begin{center} %\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(3,2.5) %\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1,0) %\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,1) %\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-0.6,-0.6) %\uput[u](0.5,0){\footnotesize $\vect{\jmath}$} %\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{k}$} %\uput[ul](-0.3,-0.3){\footnotesize $\vect{\imath}$} %\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1,0) %\psline(3,0)\psline(0,2.5)\psline(-2,-2) %\uput[ul](-1.8,-1.8){A}\uput[u](2,0){B}\uput[l](0,2){C} %\psdots(-1.8,-1.8)(2,0)(0,2)\uput[dr](0,0){O} %\end{pspicture} %\end{center} %L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante : % %\og Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC \fg, \bigskip \textbf{Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)} \medskip \begin{enumerate} \item Soit le vecteur $\vect{n}(2~;~3~;~3)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées $\left ( -3\,;\, 2 \,;\, 0\right )$. $\vectt{AB}\cdot\vect{n}=-3 \times 2 + 2\times 3 + 0 \times 3 = 0$ donc $\vectt{AB} \perp \vect{n}$ \item Le vecteur $\vectt{AC}$ a pour coordonnées $\left ( -3\,;\, 0 \,;\, 2\right )$. $\vectt{AC}\cdot\vect{n}=-3 \times 2 + 0\times 3 + 2 \times 3 = 0$ donc $\vectt{AC} \perp \vect{n}$ \end{list} Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ non colinéaires, donc il est normal au plan (ABC). \item% Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x + 3y + 3z - 6 = 0$. Le plan (ABC) est l'ensemble des points M de coordonnées $\left ( x\,;\, y \,;\, z\right )$ tels que $\vectt{AM} \perp \vect{n}$. Le vecteur $\vectt{AM}$ a pour coordonnées $\left ( x-3\,;\, y \,;\, z\right )$. $\vectt{AM} \perp \vect{n} \iff \vectt{AM} \cdot \vect{n} = 0 \iff 2\left (x-3\right ) + 3y + 3z=0 \iff 2x +3y +3z -6=0$ Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne: \[M(x~;~y~;~z) \in \text{ABC} \iff 2x +3y +3z -6 = 0.\] \item La droite $d$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{n}$ est l'ensemble des points M de coordonnées $\left ( x\,;\, y \,;\, z\right )$ tels que $\vectt{OM}$ et $\vect{n}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que \\ $\vectt{OM}=t.\vect{n}$ où $t\in\R$. Le vecteur $\vectt{OM}$ a pour coordonnées $\left ( x\,;\, y \,;\, z\right )$. Or $\vectt{OM}=t.\vect{n} \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} l} x & 2t\\ y & 3t\\ z & 3t \end{array} \right . $ La droite $d$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{n}$ a donc pour représentation paramétrique: $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} x & 2t\\ y & 3t\\ z & 3t \end{array} \right . \quad t\in\R$ \item On note H le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC). Les coordonnées de H vérifient le système $\left \{ \begin{array}{r !{=} l} x & 2t\\ y & 3t\\ z & 3t\\ 2x+3y+3z-6& 0 \end{array} \right . $ On a donc: $2\left (2t\right )+3\left (3t\right )+3\left (3t\right )-6= 0$, donc $22t=6$ donc $t=\dfrac{3}{11}$. Les coordonnées de H sont donc: $\left (\dfrac{6}{11}\,;\, \dfrac{9}{11}\,;\, \dfrac{9}{11} \right )$. %Déterminer les coordonnées du point H. \item La distance du point O au plan (ABC) est OH. $\text{OH}^2=\left (\dfrac{6}{11} \right )^2 + \left (\dfrac{9}{11} \right )^2 + \left (\dfrac{9}{11} \right )^2 = \dfrac{36+81+81}{11^2}=\dfrac{198}{11^2}$ donc $\text{OH} = \dfrac{\sqrt{198}}{11}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2 : Démonstration de la propriété} %\medskip \begin{enumerate} \item% Démontrer que le volume du tétraèdre OABC est égal à 2. En prenant pour base le triangle OAB et pour hauteur OC, le volume du tétraèdre OABC vaut $\dfrac{\text{OC}\times \text{aire(OAB)}}{3}$. $\text{OC}=2$ et $\text{aire(OAB)} = \dfrac{\text{OA} \times \text{OB}}{2}=\dfrac{3\times 2}{3}=3$ Le volume du tétraèdre OABC est donc égal à $\dfrac{2\times 3}{3}=2$. \item %En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à $\sqrt{22}$. En prenant pour base le triangle ABC et pour hauteur OH, le volume du tétraèdre OABC vaut $\dfrac{\text{OH}\times \text{aire(ABC)}}{3}$. Ce volume vaut 2 et $\text{OH} =\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$, donc $2=\dfrac{\frac{3\sqrt{22}}{11} \times \text{aire(ABC)}}{3}$. On en déduit que: $\text{aire(ABC)} = \dfrac{6}{\text{OH}} = \dfrac{6}{\frac{3\sqrt{22}}{11}} = \dfrac{6\times 11}{3\sqrt{22}} = \dfrac{22}{\sqrt{22}} = \sqrt{22}$. \item Soit la propriété: pour le tétraèdre OABC, \og le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre \fg. %On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\text{aire(OAB)} = 3$ donc $\left (\text{aire(OAB)}\right )^2 = 9$ \item $\text{aire(OAC)} = \dfrac{\text{OA} \times \text{OC}}{2}=\dfrac{3\times 2}{2}=3$ donc $\left (\text{aire(OAC)}\right )^2 = 9$ \item $\text{aire(OBC)} = \dfrac{\text{OB} \times \text{OC}}{2}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$ donc $\left (\text{aire(OBC)}\right )^2 = 4$ \end{list} Donc $\left (\text{aire(OAB)}\right )^2 + \left (\text{aire(OAC)}\right )^2 + \left (\text{aire(OBC)}\right )^2 = 9+9+4=22$. Comme $\text{aire(OABC)} = \sqrt{22}$, on a:\\ $\left (\text{aire(OABC)}\right )^2=22=\left (\text{aire(OAB)}\right )^2 + \left (\text{aire(OAC)}\right )^2 + \left (\text{aire(OBC)}\right )^2$. La propriété est vérifiée. \end{enumerate} \end{document}