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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Amérique du Sud 26 septembre 2021},
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité - corrigé}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{26 septembre 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Amérique du Sud ~\decofourright\\[6pt] ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - Jour 1 - 26 septembre 2022}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le sujet propose 4 exercices
%
%Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices}
%
%\medskip
%
%Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
%
%Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large\textsc{Exercice 1 -- Probabilités} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Le système d'alarme d'une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l'alarme s'active avec une probabilité de $0,97$. 
La probabilité qu'un danger se présente est de $0,01$ et la probabilité que l'alarme s'active est de \np{0,01465}.

On note $A$ l'évènement \og  l'alarme s'active \fg{}  et $D$ l'évènement \og  un danger se présente \fg . 

On note $\overline{M}$ l'évènement contraire d'un évènement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l'évènement $M$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On représenter les éléments de la situation que l'on connaît par un arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep = 1cm, levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
	{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$~}\naput{$0,01$}}
		{
		\TR{$A$}\naput{$0,97$}
		\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,97=0,03$}
		}
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1 -0,01=0,99$}}
		{
		\TR{$A$}\naput{}
		\TR{$\overline{A}$}\nbput{}
		}
	}
\medskip
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active est:
		
$P\left (D\cap A\right ) = 0,01\times 0,97 = \np{0,0097}$.		
		
		\item On en déduit que la probabilité qu'un danger se présente sachant que l'alarme s'active est:
$P_{A}(D)=\dfrac{P\left (D\cap A\right )}{P(A)}=\dfrac{\np{0,0097}}{\np{0,01465}}
\approx 0,662$.		
		
%Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
	
\item La probabilité que l'alarme s'active sachant qu'aucun danger ne s'est présenté est:

$P_{\overline{D}}(A) = \dfrac{P\left (A\cap \overline{D}\right )}{P\left (\overline{D}\right )} $.

On sait que $P(A)=\np{0,01465}$.

D'après la formule des probabilités totales:
$P(A)=P\left (D\cap A\right ) + P\left (\overline D \cap A\right )$.

On déduit: $P(A)-P\left (D\cap A\right ) = P\left (\overline D \cap A\right )$, donc
$P\left (\overline D \cap A\right ) = \np{0,01465}-\np{0,0097} = \np{0,00495}$.

Donc $P_{\overline{D}}(A) = \dfrac{P\left (A\cap \overline{D}\right )}{P\left (\overline{D}\right )} = \dfrac{0,00495}{0,99}= 0,005$.

On peut compléter l'arbre:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep = 1cm, levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
	{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$~}\naput{$0,01$}}
		{
		\TR{$A$}\naput{$0,97$}
		\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,97=0,03$}
		}
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1 -0,01=0,99$}}
		{
		\TR{$A$}\naput{$0,005$}
		\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,005=0,995$}
		}
	}
\medskip
\end{center}

\item On considère qu'une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu'un danger se présente et qu'elle ne s'active pas ou bien lorsqu'aucun danger ne se présente et qu'elle s'active.

Cette situation est représentée par les événements $D\cap \overline{A}$ et $\overline{D}\cap A$.

La probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est donc:% inférieure à $0,01$.

$P\left (D\cap \overline{A}\right )+ P\left (\overline{D}\cap A\right )
=  0,01\times 0,03 + 0,99\times 0,005 = \np{0,00525} < 0,01$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d'alarme. On prélève successivement et au hasard $5$ systèmes d'alarme dans la production de l'usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note $S$ l'évènement \og  l'alarme ne fonctionne pas normalement \fg{}  et on admet que $P(S) = \np{0,00525}$.

On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $5$ systèmes d'alarme prélevés.

%Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On a une répétition de 5 épreuves  assimilées à un tirage avec remise donc  la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $5$ systèmes d'alarme prélevés suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\np{0,00525}$.

%Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.

\item La probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d'alarme ne fonctionne pas normalement est:
$P(X=1) = \ds\binom{5}{1} \times \np{0,00525}^1 \times (1-\np{0,00525})^{5-1}
\approx \np{0,0257}$.

\item La probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement est:

$P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1- \ds\binom{5}{0} \times \np{0,00525}^0 \times (1-\np{0,00525})^5 = \np{0,0260}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard $n$ systèmes d'alarme. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0,07$.

Comme dans la partie B, la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de systèmes d'alarme défectueux suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p= \np{0,00525}$.

On cherche $n$ tel que $P(Y\geqslant 1) >0,07$.

$P(Y\geqslant 1) >0,07 \iff 1-P(Y=0)>0,07 \iff 0,93 > P(Y=0)$

$P(Y=0)<0,93 
\iff \ds\binom{n}{0}\times \np{0,00525}^0 \times (1-\np{0,00525})^n <0,93
\iff \np{0,99475}^n < 0,93\\
\phantom{P(Y=0)<0,93}
\iff \ln \left (\np{0,99475}^n\right ) < \ln(0,93)
\iff n \ln \left (\np{0,99475}\right )  < \ln(0,93)\\
\phantom{P(Y=0)<0,93}
\iff n> \dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (\np{0,99475}\right )}$

Or $\dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (\np{0,99475}\right )} \approx 13,8$, donc il faut prélever au moins 14 systèmes d'alarme pour que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0,07$.


\begin{list}{\textbullet}{Vérification à la calculatrice}
\item Pour $n=13$, on trouve $P(Y\geqslant 1) \approx \np{0,0661}<0,07$.
\item Pour $n=14$, on trouve $P(Y\geqslant 1) \approx \np{0,0710}>0,07$.
\end{list}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large\textsc{Exercice 2 -- Suites} \hfill 7 points}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac15 u_n^2$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u_1 = \dfrac{1}{5} u_0^2 = \dfrac{16}{5}$ et $u_2 = \dfrac{1}{5} u_1^{2} = \dfrac{\left (\frac{16}{5}\right )^2}{5} = \dfrac{256}{125}$
		
		\item On complète la fonction ci-dessous qui renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\texttt{def suite\_u(p) :}\\
	\quad \texttt{u = \blue 4}\\
	\quad \texttt{for i in range(1,\blue p) :}\\
	\quad \qquad \texttt{u = \blue u*u/5}\\
	\quad \texttt{return u}\\
	\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\: $0 < u_n \leqslant 4$.
Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $0 < u_n \leqslant 4$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$u_0=4$ et $0<4\leqslant 4$ donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est-à-dire $0 < u_n \leqslant 4$ (hypothèse de récurrence).

$0 < u_n \leqslant 4$ donc
$0 < u_n^2 \leqslant 16$ donc
$0 < \dfrac{1}{5} u_n^2 \leqslant \dfrac{16}{5}$

Or $\dfrac{16}{5} =3,2 \leqslant 4$ donc $0 < \dfrac{1}{5} u_n^2 \leqslant 4$, c'est-à-dire $0 < u_{n+1} \leqslant 4$.

Donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire. Donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel.
\end{list}

On a donc démontré que pour tout entier naturel $n$, on a: $0 < u_n \leqslant 4$.

		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{5} u_n^2 - u_n = u_n \left (\dfrac{u_n}{5}-1\right )
= u_n \left (\dfrac{u_n-5}{5}\right )$		

$u_n\leqslant 4$ donc $u_n-5<0$; or $u_n>0$ donc $u_n\left (u_n-5\right )<0$ et donc $u_{n+1}-u_n<0$

On en conclut que la suite $(u_n)$ est décroissante.
		
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Pour tout $n$, $0<u_n$ donc la suite $(u_n)$ est minorée par 0.

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.		
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l'égalité $\ell = \dfrac15 \ell^2$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\ds\lim_{n\to +\infty} u_{n+1} = \ds\lim_{n\to +\infty} u_{n} =\ell$;
\item $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{5}u_{n}^2  = \dfrac{1}{5}\ell^2$;
\item Pour tout $n$, on a: $u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n^2$.
\end{list}		

On peut en conclure que $\ell = \dfrac{1}{5}\ell^2$.
		
		\item %En déduire la valeur de $\ell$.
$\ell$ est solution de l'équation $x=\dfrac{1}{5}x^2$; on résout cette	équation.

$x=\dfrac{1}{5}x^2 \iff x\left (1-\dfrac{1}{5}x\right )=0
\iff x=0 \text{ ou } x=5$

Or, pour tout $n$, on a: $0<u_n\leqslant 4$ donc $\ell$ vérifie $0\leqslant \ell \leqslant 4$. La solution $\ell=5$ n'est donc pas valable donc $\ell=0$.
		
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln \left(u_n\right)$ et $w_n = v_n - \ln (5)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} = 2v_n - \ln (5)$.
$v_{n+1} = \ln \left (u_{n+1}\right ) = \ln \left (\dfrac{1}{5}u_n^2\right )
= \ln \left ( \dfrac{1}{5}\right ) + \ln \left ( u_n^2 \right )
= - \ln \left (5\right ) +2 \ln \left (u_n\right )
=2 \ln\left (u_n\right ) -\ln \left (5\right )\\
\phantom{v_{n+1}}
=2 v_n -\ln \left (5\right )$		
		
		\item %Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2.
$w_n = v_n - \ln (5)$ donc $v_n=w_n+ \ln(5)$

$w_{n+1} =v_{n+1} - \ln(5) = 2 v_n -\ln(5) -\ln(5)
= 2\left (w_n +\ln(5)\mathstrut\right ) -2\ln(5)\\
\phantom{w_{n+1}}
=2 w_n +2\ln(5)-2\ln(5)=2w_n$		
		
Donc la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2.
		
		\item %Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $v_n = \ln \left(\dfrac45 \right) \times 2^n + \ln (5)$.
$v_0=\ln\left (u_0\right )=\ln(4)$ donc $w_0=v_0-\ln(5)=\ln(4)-\ln(5) = \ln \left (\dfrac{4}{5}\right )$

La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $w_0=\ln\left (\dfrac{4}{5}\right )$ donc, pour tout entier naturel $n$, on a:
$w_n=w_0\times q^n = \ln\left (\dfrac{4}{5}\right ) \times 2^n$.

Pour tout $n$, $v_n=w_n +\ln(5)$ donc $v_n = \ln\left (\dfrac{4}{5}\right )\times 2^n +\ln(5)$.		
			\end{enumerate}
			
\item %Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$ et retrouver $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$.
$\ds\lim_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$;
$\dfrac{4}{5}<1$ donc $\ln\left (\dfrac{4}{5}\right )<0$.

On en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} \ln\left (\dfrac{4}{5}\right )\times 2^n=-\infty$, et donc que $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n=-\infty$.

$v_n=\ln\left (u_n\right )$ donc $u_n=\e^{v_n}$

Or $\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{x}=0$, et $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n=-\infty$, donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \e^{v_n}=0$.

On a donc redémontré que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$.


\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
%\newpage

\textbf{\Large\textsc{Exercice 3 -- Fonctions, fonction logarithme} \hfill 7 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
$g(x) = 1+ x^2[1 - 2 \ln (x)].$

La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item $g(\text{e}) = 1+\e^2\left (1-2\ln(\e)\right ) = 1+\e^2\left (1-2\right ) 
=1-\e^2$

$\e>2$ donc $\e^2>4$ donc $1-\e^2<0$, et donc $g(\e)<0$.

\item %Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
$\ds\lim_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} 1-2\ln(x) = -\infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} x^2\left (1-2\ln(x)\right )=-\infty$.

On en déduit que $\ds\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,\: $g'(x) = -4x \ln (x)$.
Pour $x\in\;]0\;; +\infty[$, on a:	\\
$g'(x)=2x\left (1-2\ln(x)\right ) + x^2\left (-\dfrac{2}{x}\right )
= 2x -4x\ln(x) -2x=-4x\ln(x)$.	
		
		\item Pour étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, on détermine le signe de $g'(x)$ sur cet intervalle.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | l*{4}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 1 & \esp  & +\infty \\
\hline
-4x &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\ln(x) &\vline\:\vline  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
g'(x)=-4x\ln(x) & \vline\:\vline & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
\begin{list}{\textbullet}{Donc la fonction $g$}
\item est strictement croissante sur $]0\;; 1[$;
\item est strictement décroissante sur $]1\;; +\infty[$;
\item admet en $x=1$  un maximum égal à $g(1)=1+1^2\left (1-\ln(1)\right )=2$.
\end{list}		

		\item% Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
On trace le tableau des variations de la fonction $g$ sur $[1~;~+\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp & +\infty \\ 
\hline
g'(x) & \vline\;\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 &  \vline\;\vline & &   \Rnode{max}{2}  &  &   \\  
g(x) &\vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 &\vline\;\vline \Rnode{min1}{\phantom{0}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique sur l'intervalle $]1\;; +\infty[$. On appelle $\alpha$ cette solution.

		\item %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$
$\left .
\begin{array}{l}
g(1) =2>0\\
g(2)\approx -0,55<0
\end{array}		
\right \}$ donc $\alpha \in\;[1\;; 2]$

$\left .
\begin{array}{l !{\approx} l}
g(1,8) & 0,43>0\\
g(1.9) &  -0,024<0
\end{array}		
\right \}$ donc $\alpha \in\;[1,8\;; 1,9]$
		
$\left .
\begin{array}{l !{\approx} l}
g(1,89) & 0,024>0\\
g(1.90) &  -0,024<0
\end{array}		
\right \}$ donc $\alpha \in\;[1,89\;; 1,90]$			
	\end{enumerate}

\item On en déduit le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & \alpha & \esp  & +\infty \\
\hline
g(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~\alpha]$, $g''(x) = - 4[\ln (x) + 1]$.

%Justifier que la fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$.

Sur $[1~;~\alpha]$, $\ln(x)\geqslant 0$ donc $\ln(x)+1>0$ donc $-4\left (\ln(x)+1\right )<0$. \\
On en déduit que $g''(x)>0$ et donc que la fonction $g$ est concave sur $[1~;~\alpha]$.
\end{enumerate}


\begin{enumerate}[resume]
\item 
\begin{multicols}{2}
Sur la figure ci-contre, A et B sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1 et $\alpha$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3,3)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{1.9}{1 x ln 2 mul sub x dup mul mul 1 add}
\uput[ul](1,2){\red A}\uput[ur](1.9,0){\red B}\uput[d](1.9,0.05){$\alpha$}
\uput[ur](1.5,1.5){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{multicols}

	\begin{enumerate}
		\item La droite (AB) a pour équation réduite:
		
$\dfrac{y-y_{\text A}}{x - x_{\text A}} = \dfrac{y_{\text B}-y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}
\iff
\dfrac{y-2}{x-1} = \dfrac{0-2}{\alpha - 1}
\iff
y=\dfrac{-2 \left (x-1\right )}{\alpha - 1} +2$

$\iff
y= \dfrac{-2}{\alpha - 1} x +\dfrac{2}{\alpha - 1} + \dfrac{2\alpha - 2}{\alpha - 1}
\iff
y= \dfrac{-2}{\alpha - 1} x +\dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}$
		
		\item %En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~\alpha]$,\: $g(x) \geqslant \dfrac{- 2}{\alpha - 1} x + \dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}$.
Sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$, la fonction est concave, donc sa courbe représentative est située au dessus de toute sécante, donc au dessus du segment [AB].

On en déduit que sur $[1~;~\alpha]$, on a: $g(x) \geqslant \dfrac{- 2}{\alpha - 1} x + \dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}$.
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}
\newpage

\textbf{\Large\textsc{Exercice 4 -- Géométrie dans l'espace} \hfill 7 points}

\medskip

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que 

AB $= 5$, AD $= 3$ et AE $= 2$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine A dans lequel les points B, D et E ont respectivement pour coordonnées (5~;~0~;~0), (0~;~3~;~0) et (0~;~0~;~2).

Le repère est donc:
$\left (\text{A}\;; \dfrac{1}{5}\vectt{AB},\; \dfrac{1}{3}\vectt{AD},\; \dfrac{1}{2}\vectt{AE} \right )$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(7.2,3)%ABFE
\psline(7.2,0.2)(8.4,1.6)(8.4,4.4)(7.2,3)%BCGF
\psline(8.4,4.4)(1.6,4.4)(0.2,3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.6,1.6)(8.4,1.6)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.6)(1.6,4.4)%DH
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0.2,0.2)(8.4,1.6)(3,4.4)%ACM
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](7,0.2){B} \uput[r](8.4,1.6){C}
\uput[ur](1.6,1.6){D} \uput[l](0.2,3){E} \uput[ul](7.2,3){F}
\uput[ur](8.4,4.4){G} \uput[ul](1.6,4.4){H} \uput[u](3,4.4){M}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item % Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points H et G.
$\vectt{AH}= \vectt{AD} + \vectt{AE}$ donc le point H a pour coordonnées $(0\;; 3\;; 2)$.
		
$\vectt{AG}=  \vectt{AB} + \vectt{AD} + \vectt{AE}$ donc le point G a pour coordonnées $(5\;; 3\;; 2)$.		

		\item% Donner une représentation paramétrique de la droite (GH).
La droite (GH) a pour vecteur directeur $\vectt{HG}$ de coordonnées $(5\;; 0\;; 0)$.

De plus, elle passe par le point G donc elle a pour représentation paramétrique:

$\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x & 5 +5t\\
y & 3\\
z & 2
\end{array}		
\right . \text{ avec } t\in\R$.		
	\end{enumerate}	
	
\item Soit M un point du segment [GH] tel que $\vect{\text{HM}} =k\vect{\text{HG}}$ avec $k$ un nombre réel de l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que les coordonnées de M sont $(5k~;~3~;~2)$.
$\vectt{HM} = k \vectt{HG}
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text M} -0& 5k\\
y_{\text M} -3& 0\\
z_{\text M} -2& 0
\end{array}		
\right .		
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text M} & 5k\\
y_{\text M} & 3\\
z_{\text M} & 2
\end{array}		
\right .	$
		
Donc  les coordonnées de M sont $(5k~;~3~;~2)$.	
		
		\item %En déduire que $\vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{CM}} = 25k^2  - 25k + 4$.
Les coordonnées de $\vectt{AM}$ sont celles de M donc: $(5k~;~3~;~2)$.	
		
Les coordonnées de C sont $(5\;; 3\;; 0)$, donc celles de $\vectt{CM}$ sont $(5	k-5\;; 3-3\;; 2-0)$ soit $(5k-5\;; 0\;; 2)$.

$\vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{CM}}
= 5k \times (5k-5) + 3 \times 0 + 2\times 2
 = 25k^2  - 25k + 4$
	
		\item %Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M.
Le triangle AMC est rectangle en M si et seulement si $\vect{\text{AM}} \perp \vect{\text{CM}}$, c'est-à-dire $\vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{CM}}$ ou encore $25k^2-25k+4=0$.		
		
On résout cette équation.
$\Delta = (-25)^2-4\times 25\times 4 = 225 = 15^{2}$

L'équation admet deux solutions 
$k'=\dfrac{25+15}{2\times 25} = \dfrac{40}{50}=\dfrac{4}{5}$
et
$k''=\dfrac{25-15}{2\times 25} = \dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}$

Donc pour $k=\dfrac{1}{5}$ ou $k=\dfrac{4}{5}$, le triangle AMC est rectangle en M.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point M a pour coordonnées (1~;~3~;~2).

On admet que le triangle AMC est rectangle en M.

%On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\dfrac13 \times\text{Aire de la base}  \times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère le point K de coordonnées (1~;~3~;~0).
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer une équation cartésienne du plan (ACD).
Le plan (ACD) a pour vecteurs directeurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AD}$, donc il a pour équation cartésienne $z=0$.
		
		\item %Justifier que le point K est le projeté orthogonal du point M sur le plan (ACD).
$z_{\text K}=0$ donc le point K appartient au plan (ACD).

$\vectt{MK}$ a pour coordonnées $(0\;; 0\;; -2)$, donc \\
$\bullet~~\vectt{MK}\cdot\vectt{AB} = 0$ donc $\vectt{MK}\perp\vectt{AB}$;\\
$\bullet~~\vectt{MK}\cdot\vectt{AC} = 0$ donc $\vectt{MK}\perp\vectt{AC}$.

On en déduit que $\vectt{MK}$ est orthogonal au plan (ACD), et donc que K est le projeté orthogonal du point M sur le plan (ACD).
	
		\item Le volume du tétraèdre MACD est:
$\dfrac{1}{3}\times \text{Aire de ACD} \times \text{MK}$.

$\vectt{MK}$ a pour coordonnées $(0\;; 0\;; -2)$, donc MK $=2$.

Le triangle ACD est rectangle en D donc a pour aire 
$\dfrac{\text{AD}\times\text{DC}}{2}=\dfrac{ 3\times 5}{2}=\dfrac{15}{2}$.

Le volume du tétraèdre MACD est donc, en unités de volume:
$\dfrac{1}{3} \times \dfrac{15}{2} \times 2 = 5$.

\end{enumerate}	
	
\item On note P le projeté orthogonal du point D sur le plan (AMC).

%Calculer la distance DP ; en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.

Si on considère D comme sommet du tétraèdre MACD, la base est le triangle AMC, et la hauteur est DP.

Le triangle AMC est rectangle en M donc son aire est:
$\dfrac{\text{AM} \times \text{MC}}{2}$.

$\text{AM} = \ds\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2+(2-0)^2} = \ds\sqrt{14}$

$\text{CM} = \ds\sqrt{(1-5)^2+(3-3)^2+(2-0)^2}= \ds\sqrt{20}$

L'aire de AMC vaut: $\dfrac{\ds\sqrt{14}\times \sqrt{20}}{2}=\ds\sqrt{70}$.

Le tétraèdre MACD a donc pour volume: $\dfrac{1}{3}\times\ds\sqrt{70}\times\text{DP}$ soit: $\dfrac{\text{DP} \ds\sqrt{70}}{3}$.

On sait que ce volume vaut 5, donc: 
$\dfrac{\text{DP} \ds\sqrt{70}}{3} = 5$ donc:
$\text{DP}= \dfrac{15}{\ds\sqrt{70}} \approx 1,8$.
\end{enumerate}

\end{document}