\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Hache %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} %\usepackage{tikz} %\usepackage{tkz-tab} %\usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \headheight5 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Polynésie Sujet 1 5 septembre 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %\renewcommand\arraystretch{1.} %\frenchsetup{StandardLists=true} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small Polynésie -- corrigé} \rfoot{\small 5 septembre 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie~\decofourright\\[7pt] Sujet 1 -- 5 septembre 2024\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ} \end{center} \medskip {\Large\bf{}Exercice 1\hfill 5 points} \medskip Une concession automobile vend deux sortes de véhicules : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 60\,\% sont des véhicules tout-électrique ; \item 40\,\% sont des véhicules hybrides rechargeables. \end{itemize} \medskip 75\,\% des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52\,\% des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile. On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $E$ : \og l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique \fg{} ; \item $B$ : \og l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile \fg. \end{itemize} %\medskip % %\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.} % %\medskip On crée un arbre pondéré résumant la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{$0,6$}} { \TR{$B$}\naput{$0,75$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,75=0,25$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,4$}} { \TR{$B$}\naput{$0,52$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,52=0,48$} } } \bigskip \end{center} \begin{enumerate} \item La probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile est:\\ $P(E\cap B) = P(E)\times P_E(B)=0,6\times 0,75 = 0,45$. %\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.} \item %Démontrer que $P(B) = 0,658$. D'après la formule des probabilités totales:\\ $P(B)= P(E\cap B) + P \left (\overline{E}\cap B \right ) = 0,45+0,4\times 0,52=0,658$. \item Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile. La probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique est:\\ $P_B(E)=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,45}{0,658}\approx 0,684$. \item On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de $20$~acheteurs. \begin{enumerate} \item %Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. On est dans le cas d'une répétition avec remise d'une expérience n'ayant que 2 issues: la possibilité d'installer une borne de recharge, avec la probabilité $p=0,658$, ou non. Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,658$. \item $P(X = 8) = \ds\binom{20}{8}\times 0,658^8\times (1-0,658)^{20-8} \approx 0,011$ \item La probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge est: $P(X\geqslant 10) = 1-P(X\leqslant 9) \approx 1- \np{0,0452} \approx 0,955$ \item L'espérance de $X$ est: $E(X)=np=20\times 0,658 = 13,16$. \item La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte \np{1200}~\euro. %En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d'engager pour cette offre lors de la vente de $20$ ~véhicules? L'espérance de $X$ représente le nombre moyen de clients pouvant installer une borne de recharge à leur domicile. L'installation d'une borne coûte \np{1200}~\euro. Il faut donc prévoir: $13,16\times \np{1200}$ soit \np{15792}~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip {\Large\bf{}Exercice 2\hfill 6 points} %\medskip % %\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ %Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. %} %\medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x + x$. \textbf{Affirmation A} : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci- dessous: \begin{center} {%\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{5cm}} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & -\infty & \esp & +\infty \\ \hline & & & \Rnode{max}{+\infty} \\ \text{variations de } f & & & \\ & \Rnode{min}{-\infty} & & \ncline{->}{min}{max} %\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red -2}} %\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \begin{list}{\textbullet}{} \item $\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{x}=0$ et $\ds\lim_{x\to -\infty} x = -\infty$ donc $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ \item $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{x}=+\infty$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ \item $f'(x)=\e^{x}+1>0$ sur $\R$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. \end{list} \begin{flushright} \textbf{\blue Affirmation A vraie} \end{flushright} \textbf{Affirmation B} : L'équation $f(x) = -2$ admet deux solutions dans $\R$. \begin{center} {%\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{5cm}} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & -\infty & \esp & +\infty \\ \hline & & & \Rnode{max}{+\infty} \\ \text{variations de } f & & & \\ & \Rnode{min}{-\infty} & & \ncline{->}{min}{max} \rput*(-3,0.6){\Rnode{zero}{\red -2}} \rput(-3,1.55){\Rnode{alpha}{\red \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $\R$. Elle est strictement croissante sur $\R$ et va de $-\infty$ à $+\infty$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=-2$ admet une solution unique dans $\R$. \begin{flushright} \textbf{\blue Affirmation B fausse} \end{flushright} \item \textbf{Affirmation C} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = - \dfrac13$. Pour $x\neq 0$, on a: $\dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = \dfrac{x^2 \left (\frac{\ln(x)}{x^2} -1 +\frac{2}{x^2} \right )}{3x^2} = -\dfrac{1}{3} \left ( 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} -\dfrac{2}{x^2} \right )$ \begin{list}{\textbullet}{} \item $\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{1}{x}$ On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$; donc par produit: $\ds\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$. \item On sait aussi que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0$. \end{list} On en déduit que $\ds\lim_{x\to +\infty} \left ( 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} -\dfrac{2}{x^2} \right )=1$ et donc que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = - \dfrac13$. \begin{flushright} \textbf{\blue Affirmation C vraie} \end{flushright} \item On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par $k(x) = 1 + 2\e^{-x^2 + 1}$. \textbf{Affirmation D} : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$. Toute primitive $K$ de la fonction $k$ a pour dérivée $k$. Or, pour tout réel $X$, on a $\e^{X}>0$. Donc pour tout réel $x$, on a $\e^{-x^2 + 1}>0$, donc $1+2\e^{-x^2 + 1}>0$, et donc $k(x)>0$. La primitive $K$ a donc une dérivée toujours strictement positive, donc elle est strictement croissante sur $\R$. \begin{flushright} \textbf{\blue Affirmation D fausse} \end{flushright} \item On considère l'équation différentielle $\quad (E): \quad 3y' + y = 1$. \textbf{Affirmation E} : La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 4\e^{- \frac13 x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ avec $g(0) = 5$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $g(x) = 4\e^{- \frac13 x} + 1$ donc $g(0)=4\e^{0} + 1=4+1=5$ \item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)= 4\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )\e^{-\frac{1}{3}x} = -\dfrac{4}{3}\e^{-\frac{1}{3}x} $. Donc $3g'(x)+g(x) = 3\times \left ( -\dfrac{4}{3}\e^{-\frac{1}{3}x}\right ) + \left ( 4\e^{-\frac{1}{3}x} +1 \right ) = - 4\e^{-\frac{1}{3}x} + 4\e^{-\frac{1}{3}x} +1 = 1$ Donc la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \end{list} \begin{flushright} \textbf{\blue Affirmation E vraie} \end{flushright} \item \textbf{Affirmation F} : Une intégration par parties permet d'obtenir : $\displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\:\text{d}x = 1 - 2\e^{-1}$. En prenant: $\left\{ \begin{array}{l !{=} l} u(x) & x \\ v'(x) & \e^{-x} \end{array}\right.$, on a: $\left\{ \begin{array}{l !{=} l} u'(x) & 1\\ v(x) & - \e^{-x} \end{array}\right.$ Cela donne par intégration par parties : $\displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \e^{-x}\right]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 - \e^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \e^{-x} - \e^{-x}\right]_0^1 = - \e^{-1} - \e^{-1} + 1 = 1 - 2\e^{- 1}$. \begin{flushright} \textbf{\blue Affirmation F vraie} \end{flushright} \end{enumerate} \bigskip {\Large\bf{}Exercice 3\hfill 4 points} \medskip On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres: \begin{list}{\textbullet}{} \item le 1\up{er} étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ; \item le 2\up{e} étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ; \item le 3\up{e} étage possède 9 boules ; \item \ldots \item le $n$-ième étage possède $n^2$ boules. \end{list} \medskip Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$. \begin{enumerate} \item Le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages est:\\ $u_1+u_2+u_3+u_4=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$. \item On considère la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n.$ \begin{enumerate} \item $S_5 = u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 = \left ( u_1+u_2+u_3+u_4 \strut\right ) +u_5 30+5^2 = 55$ Le nombre total de boules d'une pyramide de 5 étages est: $S_5=55$. \item% On considère la fonction \texttt{pyramide} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. On complète la fonction \texttt{pyramide} ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'instruction \texttt{pyramide(n)} renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages. \begin{center} \ttfamily \begin{tabular}{|l|}\hline def pyramide(n) :\\ \qquad S = 0\\ \qquad for i in range(1,~n+1) :\\ \qquad \qquad S = \blue S + i**2\\ \qquad return \blue S\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item \begin{list}{\textbullet}{Pour tout entier naturel $n$ :} \item $\begin{aligned}[t] \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 & = \dfrac{(n+1)(2n^2+n)}{6} + \dfrac{6(n+1)^2}{6}\\ & = \dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{8}\\ & = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \end{aligned}$ \item $\begin{aligned}[t] \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6} & = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n^2+3n+4n+6)}{6}\\ & = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \end{aligned}$ \end{list} Donc $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6}$ \item On démontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=1$, on a $S_1=1$ et $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \dfrac{1(1 + 1)(2\times 1 + 1)}{6} = \dfrac{1\times 2\times 3}{6} =1$ Donc la propriété est vraie au rang 1. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n$, avec $n \geqslant 1$, c'est-à-dire $S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. C'est l'hypothèse de récurrence. $\begin{aligned}[t] S_{\blue n+1} & = u_1+u_2+\cdots +u_n+u_{n+1} = \left (u_1+u_2+\cdots +u_n \strut\right )+u_{n+1} \\ & = S_n+(n+1)^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}+(n+1)^2 \\ & = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6} \text{ (d'après la question précédente)}\\ & = \dfrac{({\blue n + 1})[({\blue n + 1}) + 1][2({\blue n + 1}) + 1]}{6} \end{aligned}$ Donc la propriété est vraie au rang ${\blue n + 1}$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 1, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$. \\ Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$. \end{list} On a donc démontré par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. \end{enumerate} \item Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède $200$~oranges.% Combien d'oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ? Il faut donc trouver le plus grand entier $n$ tel que $S_n \leqslant 200$. On calcule: $S(7)=\dfrac{7(7+1)(2\times 7+1}{6}=140<200$ et $S(8)=\dfrac{8(8+1)(2\times 8+1)}{6}=204>200$. Le marchand utilise donc 140 oranges pour construire une pyramide à 7 étages. \end{enumerate} \bigskip {\Large\bf{}Exercice 4\hfill 5 points} \medskip \begin{minipage}{0.5\linewidth} On considère un cube ABCDEFGH et l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], on considère les points K et L de coordonnées: \begin{center}K\,$(m~;~0~;~0)$\quad et \quad L\,$(1 - m~;~1~;~1)$.\end{center} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \psset{unit=0.85cm} \begin{pspicture}(6.6,6.6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30,linewidth=0pt](5,5.9)(0.4,5.3)(1.6,0.82)(6.6,1.4)%LEKC \pspolygon(0.4,1)(4.2,0.5)(4.2,4.8)(0.4,5.3)%ABFE \psline(4.2,0.5)(6.6,1.4)(6.6,5.7)(4.2,4.8)%BCGF \psline(6.6,5.7)(2.8,6.2)(0.4,5.3)%GHE \psline(5,5.9)(0.4,5.3)(1.6,0.82)%LEK \psline[linestyle=dashed](5,5.9)(6.6,1.4)(1.6,0.84)%LCK \psline[linestyle=dashed](0.4,1)(2.8,1.9)(6.6,1.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](2.8,1.9)(2.8,6.2)%DH \uput[dl](0.4,1){A} \uput[d](4.2,0.5){B} \uput[dr](6.6,1.4){C} \uput[ul](2.8,1.9){D} \uput[ul](0.4,5.3){E} \uput[dr](4.2,4.8){F} \uput[ur](6.6,5.7){G} \uput[u](2.8,6.2){H} \uput[dl](1.6,0.84){K} \uput[u](5,5.9){L} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Le point E a pour coordonnées (0~;~0~;~1). Comme $\vectt{AC}=\vectt{AB}+\vectt{AD}$, le point C a pour coordonnées (1~;~1~;~0). \item Dans cette question, $m = 0$. Ainsi, le point L\,(1~;~1~;~1) est confondu avec le point G, le point K(0~;~0~;~0) est confondu avec le point A et le plan (LEK) est donc le plan (GEA). \begin{enumerate} \item %Justifier que le vecteur $\vect{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan (GEA). \begin{list}{\textbullet}{} \item ABCD est un carré donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc $\vectt{DB} \perp \vectt{AC}$. \item Le vecteur $\vectt{AE}$ est normal au plan (ABD) donc $\vectt{AE}$ est orthogonal à tout vecteur du plan (ABD), donc $\vectt{AE} \perp \vectt{DB}$. \item Les vecteurs $\vectt{AE}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas colinéaires. \end{list} Le vecteur $\vectt{DB}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GEA) donc le vecteur $\vectt{DB}$ est normal au plan (GEA). \item %Déterminer une équation cartésienne du plan (GEA). On déduit de la question précédente que le plan (GEA) a une équation de la forme $1\times x + (-1)\times y + 0\times z + d =0$, soit $x-y+d=0$. Le plan (GEA) passe par le point A de coordonnées (0~;~0~;~0) donc $0-0+d=0$ et donc $d=0$. Le plan (GEA) a donc pour équation $x-y=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} On s'intéresse désormais à la nature de CKEL en fonction du paramètre $m$. \begin{enumerate}[resume] \item Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l'intervalle [0~;~1]. \begin{enumerate} \item %Démontrer que CKEL est un parallélogramme. \begin{list}{\textbullet}{} \item K\,$\begin{pmatrix} m\\0\\0 \end{pmatrix}$ et E\,$\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{KE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0-m\\0-0\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix}$. \item C\,$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ et L\,$\begin{pmatrix} 1-m\\1\\1 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{CL}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1-m-1\\1-1\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix}$. \end{list} $\vectt{KE} = \vectt{CL}$ donc CKEL est un parallélogramme. \item% Justifier que $\vect{\text{KC}} \cdot \vect{\text{KE}} = m(m - 1)$. K\,$\begin{pmatrix} m\\0\\0 \end{pmatrix}$ et C\,$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{KC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1-m\\1-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m\\1\\0 \end{pmatrix}$. $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE} = x_{\vectt{KC}}\times x_{\vectt{KE}} + y_{\vectt{KC}}\times y_{\vectt{KE}} + z_{\vectt{KC}}\times z_{\vectt{KE}} = (1-m)\times (-m) + 1 \times 0 + 0 \times (-1) = m(m - 1)$ \item% Démontrer que CKEL est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$. \begin{tabular}[t]{@{} l @{ si, et seulement si, } l} CKEL est un rectangle & CKEL possède un angle droit\\ &$\vectt{KC} \perp \vectt{KE}$\\ & $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE}=0$\\ & $m(m-1)=0$\\ &$m = 0$ ou $m = 1$ \end{tabular} \end{enumerate} \item Dans cette question, $m = \dfrac12$. Ainsi, L a pour coordonnées $\left(\dfrac12~;~1~;~1\right)$ et K a pour coordonnées $\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que le parallélogramme CKEL est alors un losange. \begin{list}{\textbullet}{} \item K\,$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0\\0 \end{pmatrix}$ et L\,$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\1 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{KL}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\1-0\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$. \item E\,$\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ et C\,$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{EC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1-0\\1-0\\0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$. \item $\vectt{KL} \cdot \vectt{EC} = 0\times 1 + 1\times 1 + 1 \times (-1)=0$ donc $\vectt{KL} \perp \vectt{EC}$ \end{list} Le parallélogramme CKEL a ses diagonales perpendiculaires donc c'est un losange. \item %À l'aide de la question \textbf{3.~b.}, déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CKE}}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE} = m(m-1)$; or $m=\dfrac{1}{2}$ donc $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE} =\dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{1}{2}-1 \right ) = - \dfrac{1}{4}$ \item $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE} = \text{KC} \times \text{KE} \times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )$ \item $\vectt{KC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1-m\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}$ Donc $\text{KC}^2 = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^2+ 1^2+0^2=\dfrac{5}{4}$ donc $\text{KC}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ \item $\vectt{KE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix}$ Donc $\text{KE}^2 = \left (-\dfrac{1}{2} \right )^2+ 0^2+1^2=\dfrac{5}{4}$ donc $\text{KE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ \end{list} On a donc: $-\dfrac{1}{4} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{\sqrt{5}}{2} \times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )$ Donc $-\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )$ et donc $\cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right ) = -\dfrac{1}{5}$ On en déduit avec la calculatrice que $\widehat{\text{CKE}} \approx 101,5\degres$, soit $\widehat{\text{CKE}} \approx 102\degres$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}