\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}

%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole juin 2011 - Corrigé},
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\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright \\Métropole juin  2011}}
    
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

%\medskip
%
%Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée 0 point.
%
%\medskip
% 
%Rappels :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Dans la gamme de tempérament égal: l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la 
%fréquence de la note est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$. 
%\item[$\bullet~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3. 
%\item[$\bullet~$] log désigne la fonction logarithme décimal. 
%\item[$\bullet~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$ ^{- 2}$), son niveau sonore est  exprimé en décibels (dB) par $\text{L}(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ où $I_{0} = 1O^{-12}$~W.m$^{-2}$. 
%\item[$\bullet~$] Pour deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$, exprimées en hertz (Hz), avec $f_{2} > f_{1}$, la différence de hauteur de ces notes s'exprime en savarts par $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En partant de la note LA, on monte de 40 demi-tons; on obtient la note :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}RÉ& \textbf{b.~~} \fbox{DO\#} &\textbf{c.~~} MI \\
\end{tabularx}

\medskip

Quand on monte d'un multiple de 12, on obtient la même note. De plus: $40 =3\times 12+4$.

\begin{center}
\ldots{} \quad \Rnode{X}{LA} \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad  \Rnode{Y}{LA} \quad LA\# \quad SI \quad DO \quad \Rnode{Z}{DO\#} \quad R\'E \quad  \ldots
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$+3\times 12$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$+4$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}		


\item En partant de la note MI, on descend de 50 demi-tons; on obtient la note:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} \fbox{RÉ} &  \textbf{b.~~}DO\# &\textbf{c.~~} SI\\
\end{tabularx}
\medskip
 
$50=4\times 12 +2$ 
 
 
\begin{center}
\ldots{} \quad DO\# \quad \Rnode{Z}{RÉ} \quad RÉ\# \quad \Rnode{Y}{MI}  \quad \ldots{} \quad \ldots{} \quad \ldots{} \quad \Rnode{X}{MI}  \quad \ldots{}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=-3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$-4\times 12$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=-3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$-2$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}
  
\item Un son passe d'un niveau sonore de 70~dB à un niveau sonore de 79~dB ; l'intensité sonore est multipliée par environ:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 2 & \textbf{b.~~} 4 &\textbf{c.~~} \fbox{8}\\
\end{tabularx}
\medskip
 
On cherche  l'intensité $I$ telle que $10\,\log\left ( \dfrac{I}{10^{-12}}\right )=70$; on trouve $I= 10^{7}\times 10^{-12}=10^{-5}$.

On cherche  l'intensité $I'$ telle que $10\,\log\left ( \dfrac{I'}{10^{-12}}\right )=79$; on trouve $I'= 10^{7,9}\times 10^{-12}=10^{-4,1}$.
 
$\dfrac{I'}{I} = \dfrac{10^{-4,1}}{10^{-5}} = 10^{\,0,9} \approx 7,94$ 

\medskip
 
\item Un son a un niveau sonore de 70~dB ; son intensité sonore (en W.m$^{-2}$) est égale à:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $10^{-6}$ & \textbf{b.~~} $10^{-4}$ &\textbf{c.~~} \fbox{$10^{-5}$} \\
\end{tabularx}
\medskip

Voir question précédente.

\medskip

\item Le diapason donnant la note LA$_3$ a une fréquence de 440 Hz; la fréquence (en Hz) de la note SOL$_4$ est environ égale à:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 988 & \textbf{b.~~} \fbox{784} &\textbf{c.~~} 880\\
\end{tabularx}
\medskip

Passer de LA$_3$ à SOL$_4$ c'est augmenter de 10 demi-tons donc la fréquence du SOL$_4$ est $440\times q^{10} = 440\times 2^{\frac{10}{12}} \approx 784$.
 
\item La mesure, en savarts, de la différence de hauteur entre les notes RÉ$_{3}$ et RÉ$_{4}$ est égale 
à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 401 & \textbf{b.~~} \fbox{$10^3 \log 2$} & \textbf{c.~~} $500 \log 2$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
Pour passer du RÉ$_3$ au RÉ$_4$, on multiplie la fréquence par 2 donc $\dfrac{f_2}{f_1} = 2$ et donc la différence de hauteur est $10^{3}\,\log(2)$. 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%Une chorale lycéenne regroupe deux types d'élèves: des élèves qui jouent d'un instrument de musique et des élèves qui ne jouent d'aucun instrument de musique.
% 
%Les élèves qui jouent d'un instrument de musique représentent 25\,\% de l'effectif total de la chorale.
% 
%Parmi les élèves qui jouent d'un instrument de musique, 80\,\% connaissent l'air de l'Hymne à la joie.
% 
%Parmi les élèves qui ne jouent d'aucun instrument de musique, 10\,\% connaissent l'air de 
%l'\emph{Hymne à la joie}.
% 
%On choisit au hasard un élève de la chorale. Chaque élève a la même probabilité d'être choisi. 
%
%On considère les évènements suivants :
% 
%$M$ : \og l'élève choisi joue d'un instrument de musique \fg 
%
%$H$ : \og l'élève choisi connaît l'air de l'\emph{Hymne à la joie} \fg
% 
%On rappelle que l'évènement contraire d'un évènement $A$ est noté $\overline{A}$.
% 
%Les probabilités seront données sous forme décimale.
 
\begin{enumerate}
\item% Donner les valeurs de la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ et de la probabilité conditionnelle $p_{M}(H)$ de l'évènement $H$ sachant l'évènement $M$. 

Les élèves qui jouent d'un instrument de musique représentent 25\,\% de l'effectif total de la chorale donc $p(M)=0,25$.

Parmi les élèves qui jouent d'un instrument de musique, 80\,\% connaissent l'air de l'\emph{Hymne à la joie} donc $p_M(H)=0,80$.

\item On construit un arbre pondéré traduisant la situation:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\naput{$0,25$}}
		{
		\TR{}~[tnpos=r]{$H$}\naput{$0,80$}
		\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\nbput{$1-0,80=0,20$}
 		}
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline M$}\nbput{$1-0,25=0,75$}}
		{
		\TR{}~[tnpos=r]{$H$}\naput{$0,10$}
 		\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\nbput{$1-0,10=0,90$}
 		}
}
\bigskip
\end{center}

 
\item La probabilité que l'élève choisi joue d'un instrument de musique et connaisse l'air de l'\emph{Hymne à la joie} est 
$p(M \cap H) = p(M)\times p_M(H) = 0,25\times 0,80 = 0,20$.

\item La probabilité que l'élève choisi connaisse l'air de l'\emph{Hymne à la joie} est $p(H)$. 

D'après la formule des probabilités totales:
$p(H)= p(M\cap H) + p(\overline{M}\cap H)
= 0,25\times 0,80 + 0,75\times 0,10 = 0,275$.

\item La probabilité que l'élève choisi joue d'un instrument de musique sachant qu'il connaît l'air de l'\emph{Hymne à la joie} est
$p_H(M)=\dfrac{p(M\cap H)}{p(H)} = \dfrac{0,20}{0,275} \approx 0,727$.

\item% Les évènements $M$ et $H$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
$p(M)=0,25$ et $p(H)=0,275$ donc $p(M)\times p(H) = 0,25\times 0,275= \np{0,06875}$ et
$p(M\cap H) = 0,20$

$p(M\cap H) \neq p(M)\times p(H)$ donc les événements $M$ et $H$ ne sont pas indépendants.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}
%
%\medskip
 
%On désigne par I l'intervalle [0~;~2]. 

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l'intervalle I = \cd 0~;~2\cg, par: 
$f(x) = \text{e}^x + 2x + 1$.
 
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

	\begin{enumerate}

		\item Pour tout  $x$ de l'intervalle I:
$f'(x)= \e^{x}+2$.

		\item% Prouver que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle I. 
Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $\e^{x}+2>0$ donc $f'(x)>0$ pour tout $x$ de I; la fonction $f$ est donc strictement croissante sur l'intervalle I.
		
		\item% Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.

$f(0)=2$ et $f(2) = \e^2+5 \approx 12,4$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{3cm}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & 2 \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{\e^2+5}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau de valeurs ci-dessous:
%		 
%On donnera, dans chaque cas, la valeur décimale arrondie au dixième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&  0 & 0,2 & 0,5 & 0,8 & 1 & 1,3 & 1,5 & 1,7 & 2 \\ \hline
$f(x)$&2&2,6 &3,6 &4,8& 5,7 &7,3 &8,5 & 9,9 & 12,4 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item On trace la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthogonal \Oij: 
		
\medskip		
				
\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=1cm}
\def\xmin {-0.21}   \def\xmax {2.21}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {13}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[ul](1.4,7.86){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[-70](1.5,6){\blue $\Delta$}
\def\f{2.718 x exp 2 x mul 1 add add}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{2}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 x mul 3 add}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.693,0)(0.693,4.386)
\uput[d](0.693,0){\blue $x_0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\end{enumerate} 
	
\item On considère la fonction $g$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I, par 
$g(x) = 2x+3$.
 
On désigne par $\Delta$ la droite d'équation $y = 2x + 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item% Tracer la droite $\Delta$ dans le repère de la question 2. b. 
Voir figure.
		\item% Déterminer, par lecture graphique, la solution $x_{0}$ de l'équation $f(x) = g(x)$. 

%On donnera une valeur décimale de $x_{0}$ arrondie au dixième. 
Par lecture graphique, la valeur arrondie au dixième de $x_0$ est $0,7$.

		\item% Déterminer, par le calcul, la valeur exacte du nombre réel $x_{0}$.
Le nombre $x_0$ est solution de l'équation $f(x)=g(x)$:

$f(x)=g(x)
\iff
\e^{x} +2x +1 = 2x + 3
\iff
\e^{x} = 2
\iff
x=\ln(2)$		

Donc $x_0=\ln(2)$.
		
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

%\medskip
%
%\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}
%
%\medskip

%Début janvier 2011, Frédéric a lancé son site web d'apprentissage du piano en ligne. Ce site propose aux abonnés une méthode complète et progressive, incluant partitions et vidéos explicatives.
% 
%Frédéric a comptabilisé à la fin de chaque mois le nombre total d'abonnés sur son site.
% 
%Les résultats sont indiqués, pour les cinq premiers mois, dans le tableau suivant où $x_{i}$ désigne le rang du mois et $y_{i}$ désigne le nombre d'abonnés correspondant :
%
%%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%$x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
%$y_{i}$&21 &48 &57 &83 &105\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On représente le nuage de points M$_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$: voir figure.% , pour tout indice $i$ compris entre 1 et 5, dans un repère orthogonal du plan, où 2~cm représentent 1 rang de mois en abscisse et 1~cm représente 10~abonnés en ordonnée. 

\bigskip

\begin{figure}[!h]
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {8}
\def\ymin {-0.2}   \def\ymax {16}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1.8cm,yunit=0.9cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray,subgridcolor=gray](0,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\i=1+1}{8}
{
\uput[d](\i,0){\i}
}
\multido{\i=1+1,\n=10+10}{16}
{
\uput[l](0,\i){\n}
}
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(1,2.1)(2,4.8)(3,5.7)(4,8.3)(5,10.5)
\uput[dr](1,2.1){M$_1$}
\uput[l](2,4.8){M$_2$}
\uput[dr](3,5.7){M$_3$}
\uput[ul](4,8.3){M$_4$}
\uput[ul](5,10.5){M$_5$}
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.2pt}
\psdots(1,2.22)(5,10.34)
\uput[ul](1,2.22){\blue A}
\uput[dr](5,10.34){\blue B}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.5}{7.5}{20.3 x mul 1.9 add 10 div}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](6,0)(6,12.37)(0,12.37)
\uput[l](0,12.37){\blue 124}
\uput[ul](6.5,13.4){\blue $\mathcal D$}
\psset{linecolor=red}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](7.3,0)(7.3,15)(0,15)
\uput[d](7.3,0){\red 7,3}
\end{pspicture}
\end{figure}

		\item% Pourquoi un ajustement affine est-il envisageable ? 
Les points sont presque alignés donc un ajustement affine est envisageable.

	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}
		\item L'équation  de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ du nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés à la calculatrice est: $y=20,3 x + 1,9$.
		
		\item% Construire, en précisant les coordonnées des points utilisés, la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent.
On calcule les coordonnées de deux points A et B pour tracer la droite $\mathcal D$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & A & B \\
\hline  
$x$&1 &5\\ 
\hline 
$y$&22,2 &103,4\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate} 

\item On suppose que la tendance d'évolution se poursuit. 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer graphiquement une estimation du nombre d'abonnés sur le site de Frédéric fin juin 2011. 
Fin juin 2011 correspond à $x=6$; une estimation graphique du nombre d'abonnés est 124.		
		
		\item% Vérifier cette estimation par le calcul.
Pour $x=6$, on a: $20,3 x + 1,9 = 20,3\times 6 + 1,9 = 123,7$ donc 124 abonnés.
	\end{enumerate}		 
\item On utilise l'ajustement affine précédent dans les questions suivantes. 
	\begin{enumerate}

		\item% Estimer, par le calcul, à la fin de quel mois le nombre d'abonnés devrait avoir dépassé 150. 
On cherche $x$ tel que $20,3 x + 1,9 > 150$; on résout cette inéquation:

$20,3 x + 1,9 > 150 
\iff
20,3 x > 148,1
\iff
x > \dfrac{148,1}{20,3}$

L'entier immédiatement plus grand que $\dfrac{148,1}{20,3}$ est 8 donc c'est à partir de fin août 2011 que le nombre d'abonnés devrait avoir dépassé 150.


		\item% Vérifier ce résultat graphiquement en laissant apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
Voir figure.

	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\end{document}