\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole  juin 2013 - Corrigé},
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\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes
\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse -- } 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\ Métropole juin  2013}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip
 
%Les membres de l'orchestre d'une ville se répartissent en deux catégories bien distinctes :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] un tiers sont des instrumentistes; 
%\item[$\bullet~~$] tous les autres sont des chanteurs.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%D'autre part, on sait qu'un quart des instrumentistes et un dixième des chanteurs de cet orchestre sont solistes.
% 
%On choisit au hasard un membre de l'orchestre. Chaque membre de l'orchestre a la même probabilité d'être choisi.
% 
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{description}
%\item $I$ = \og la personne choisie est un instrumentiste \fg, 
%\item $C$ = \og la personne choisie est un chanteur \fg, 
%\item $S$ = \og la personne choisie est un soliste \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\emph{On note $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ et $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.\\
%Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme de fractions.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle $\overline{S}$ l'évènement \og la personne choisie n'est pas soliste\fg.

On complète l'arbre de probabilités ci-dessous: 
 
\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$I$}\taput{1/3}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}\taput{1/4}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{3/4}
 		}
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$C$}\tbput{2/3}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}\taput{1/10}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{9/10}
 		}
}
\bigskip
\end{center}
 
\item  
	\begin{enumerate}

		\item La probabilité que la personne choisie soit un instrumentiste soliste est:
		
		$p(I\cap S)=p(I)\times p_I(S)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$ 

		\item La probabilité que la personne choisie soit un soliste est, d'après la formule des probabilités totales:

$p(S)= p(I\cap C) + p(C \cap S) = \dfrac{1}{12} + \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{15}
= \dfrac{5}{60} + \dfrac{4}{60} 
= \dfrac{9}{60}
= \dfrac{3}{20}$
		
	\end{enumerate} 

\item% Les évènements $I$ et $S$ sont-ils indépendants ?
$p(I)=\dfrac{1}{3}$ et $p(S)=\dfrac{3}{20}$ donc 
$p(I)\times p(S)= \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{20} = \dfrac{1}{20}$

$P(I\cap S) = \dfrac{1}{12}$ donc $p(I\cap S) \neq p(I)\times p(S)$ donc les évènements $I$ et $S$ ne sont pas indépendants.

\item La probabilité que la personne choisie soit un chanteur sachant qu'elle n'est pas soliste est:

$p_{\overline{S}}(C)= \dfrac{p(C\cap \overline{S})}{p(\overline{S})}
= \dfrac{p(C\cap \overline{S})}{1-p(S)}
= \dfrac{\frac{2}{3}\times \frac{9}{10}}{1-\frac{3}{20}}
= \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{17}{20}}
= \dfrac{3}{5} \times \dfrac{20}{17} = \dfrac{12}{17}$

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

%\medskip
%
%On désigne par I l'intervalle $[- 1~;~2]$.
%
%\bigskip
 
\subsubsection*{Première partie}

%\medskip
% 
On considère la fonction $g$ dérivable et définie sur l'intervalle I$=[- 1~;~2]$ par 
$g(x) = \e^x - x + 1$.

%On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$.

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle I, $g'(x)$. 
$g'(x)=\e^{x} - 1$		
		
		\item% Résoudre dans l'intervalle I l'inéquation : $\e^x - 1 > 0$.
$\e^{x} - 1 >0
\iff
\e^x > 1
\iff
\e^x > \e^{0}
\iff
x>0$

Sur l'intervalle I, $\e^x-1>0$ si $x\in ]0~;~2]$.

	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I. 
$g(-1)=\e^{-1}+2 \approx 2,37$;
$g(0)=2$;
$g(2)=\e^{2} - 1 \approx 6,39$

On dresse le tableau de variations de la fonction $g$ sur I:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -1 & \hspace*{\esp} & 0 & \hspace*{\esp} & 2 \\
 \hline
g'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\e^{-1}+2}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\e^2-1}   \\
g(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% Montrer que, pour tout $x$ appartenant à I, $g(x) > 0$.
Le minimum de la fonction $g$ sur I est 2 donc, pour tout $x$ de I, $g(x)\geqslant 2$ donc $g(x)>0$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsubsection*{Deuxième partie}

%\medskip
 
On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur l'intervalle I par : 
$f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
% 
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle I, on a : 
%\[f'(x = \dfrac{g (x)}{\e^x}.\] 
Pour tout $x$ de I:
$f'(x)=1+ \dfrac{1\times \e^x - x\times \e^x}{\left ( \e^x\right )^2}
= 1+ \dfrac{1-x}{\e^x}
= \dfrac{\e^x +1-x}{\e^x}
= \dfrac{g(x)}{\e^x}$

\item% En utilisant les résultats de la première partie, préciser le signe de $f'$ sur l'intervalle I. 
D'après la partie 1, $g(x)>0$ pour tout $x$ de I.
De plus, $\e^x>0$ pour tout $x$.

Donc, pour tout $x$ de I, $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur I.

%En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 

$f(-1) = -\e \approx -2,72$ et $f(2)= 3+2\e^{-2} \approx 3,27$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{5cm}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & -1   & \hspace*{\esp} & 2 \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{3+2\e^{-2}}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{-\e} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer une équation de (T) la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
La tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$ a pour équation:

$y=f'(0)\left ( x-0 \right ) + f(0)$

$f(0)=1$ et $f'(0)=g(0)=2$
donc (T) a pour équation $y=2x+1$.

		\item Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au centième). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 1$	&$- 0,5$&0	&0,5&1	&1,5&2\\ \hline
$f(x)$	&$-2,72$&$-0,32$&1	&1,80&2,37&2,83	& 3,27\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item On trace la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente (T) dans le repère \Oij{}:

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(-1.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange!80,subgridcolor=orange!80](-3,-7)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.2pt](0,0)(-1.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x 1 x 2.713 x exp div add add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{1.25}{2 x mul 1 add}
\uput[dr](1.5,2.83){\blue $\mathcal C$}
\uput[ul](1,3){\blue (T)}
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 6 points}

\medskip

%On rappelle que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] On désigne par log la fonction logarithme décimal. On rappelle que pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, on a : $\log (ab) = \log (a) + \log (b)$ . 
%\item[$\bullet~~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^-2$), son niveau sonore $L(I)$ est exprimé en décibels (dB) par $L(I) = 10 \log \left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ avec $I_{0}  =  10^{-12}$ W.m$^{- 2}$.
% 
%On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent. 
%\item[$\bullet~~$] Pour deux sons ayant respectivement pour fréquences, exprimées en hertz (Hz), $f_{1}$ et $f_{2}$ 
%(avec $f_{1} < f_{2}$) la mesure de l'intervalle entre les deux sons s'exprime en savarts par $10^3 \log \left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)$. 
%\item[$\bullet~~$] Les questions font référence à la gamme de tempérament égal.
% 
%Dans cette gamme :
%
%\setlength\parindent{8mm} 
%	\begin{itemize}
%		\item l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ , où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
%		\item les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ; 
%		\item à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et 
%LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.
%	\end{itemize}
%	\setlength\parindent{0mm} 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Une conversation à voix basse a une intensité sonore de $10^{- 10}$~W.m$^{- 2}$.% Calculer le niveau sonore de cette conversation en dB. 

Le niveau sonore de cette conversation est
$L(10^{-10})= 10 \log \left ( \dfrac{10^{-10}}{10^{-12}}\right )
= 10 \log(100) = 10\times 2 = 20$~dB.

\item Un marteau piqueur a un niveau sonore de $120$~dB.% Calculer l'intensité sonore de ce marteau piqueur en W.m$^{- 2}$. 

L'intensité sonore $I$ de ce marteau piqueur est telle que:

$L(I)=120
\iff
10 \log\left ( \dfrac{I}{10^{-12}}\right )=120
\iff
\log\left ( \dfrac{I}{10^{-12}}\right )=12
\iff
\dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{12}
\iff
I = 10^{12}\times 10^{-12}\\
\phantom{L(I)=120}
\iff
I=1$~W.m$^{-2}$

\item Un violon a un niveau sonore de 70 dB.% Quel est le niveau sonore, en dB, de 10 violons identiques jouant ensemble? 

Les intensités sonores s'ajoutent; on va donc calculer l'intensité sonore d'un violon, multiplier par 10 pour obtenir l'intensité sonore de 10 violons, puis déterminer à quel niveau sonore correspond cette nouvelle intensité.

L'intensité sonore $I$ d'un violon est telle que:

$L(I)=70
\iff
10 \log\left ( \dfrac{I}{10^{-12}}\right )=70
\iff
\log\left ( \dfrac{I}{10^{-12}}\right )=7
\iff
\dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{7}
\iff
I = 10^{7}\times 10^{-12}\\
\phantom{L(I)=70}
\iff
I= 10^{-5}$~W.m$^{-2}$

L'intensité sonore de 10 violons est de $10\times 10^{-5}=10^{-4}$~W.m$^{-2}$.

Le niveau sonore de 10 violons est donc
$L\left (10^{-4}\right ) = 10 \log \left ( \dfrac{10^{-4}}{10^{-12}}\right )
= 10\log(10^{8}) = 10\times 8 = 80$~dB.

\item L'oreille humaine est capable de percevoir les sons dont la fréquence est comprise entre 20~Hz et \np{20000}~Hz.% Quelle est, en savarts, la mesure de cet intervalle ? 

La mesure de cet intervalle est 
$10^3 \log \left ( \dfrac{\np{20000}}{20}\right )
= 10^3 \log(\np{1000}) = 10^3 \times 3 = \np{3000}$~savarts. 

\item La fréquence (arrondie à 1 Hz près) du DO$_{0}$ est de 33 Hz.% combien y a-t-il de DO différents audibles par l'oreille humaine ? 

La fréquence du DO$_1$ est $33\times q^{12} = 33\times 2 = 66$~Hz.

Les fréquences des notes DO suivantes sont une suite géométrique de raison 2. On cherche donc le plus grand nombre entier $n$ tel que $33\times 2^n \leqslant \np{20000}$:

$33\times 2^n \leqslant \np{20000}
\iff
2^n \leqslant \dfrac{\np{20000}}{33}
\iff
\log (2^n) \leqslant \log \left ( \dfrac{\np{20000}}{33} \right )
\iff
n \log (2) \leqslant \log \left ( \dfrac{\np{20000}}{33} \right )\\
\phantom{33\times 2^n \leqslant \np{20000}}
\iff
n \leqslant \dfrac{\log \left ( \dfrac{\np{20000}}{33} \right )}{\log(2)}
\iff
n \leqslant 9,24
$

Il y a donc 10 DO différents correspondant aux octaves 0 à 9:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
octave		& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline
note 		&DO$_0$ &DO$_1$ &DO$_2$ &DO$_3$ &DO$_4$ &DO$_5$ &DO$_6$ &DO$_7$ &DO$_8$ &DO$_9$\\\hline 
fréquence 	&33 &66 &132 &264 &528 &\np{1056} &\np{2112} &\np{4224} &\np{8448} &\np{16896} \\ \hline
\end{tabularx}

\item On sait que la fréquence du LA$_{3}$ est 440 Hz.
On enregistre un son sur un oscilloscope et on obtient un signal périodique de période 18,2~millisecondes.

Une période de 18,2~millisecondes correspond à une période de $18,2 \times 10^{-3}$ seconde et donc à une fréquence de 
$\dfrac{1}{18,2 \times 10^{-3}}\approx 55$~Hz.

On cherche le nombre de demi-tons dont il faut descendre pour passer d'une note de 440~Hz à  une note de 55~Hz; on cherche donc l'entier relatif $n$ tel que 
$440\times q^n = 55$, et comme $q^{12}=2$ on a
$440\times 2^{\frac{n}{12}} = 55$. On résout cette équation:

$440\times 2^{\frac{n}{12}} = 55
\iff 
2^{\frac{n}{12}} = \dfrac{55}{440}
\iff 
\log \left ( 2^{\frac{n}{12}} \right )= \log\left ( \dfrac{55}{440} \right )
\iff
\dfrac{n}{12} \log(2) = \log\left ( \dfrac{55}{440} \right )
\iff
\dfrac{n}{12} = \dfrac{\log\left ( \frac{55}{440} \right )}{\log(2)}\\
\phantom{440\times 2^{\frac{n}{12}} = 55}
\iff
n=12\times \dfrac{\log\left ( \frac{55}{440} \right )}{\log(2)}
\iff
n=-36$

$n=-36$ est un multiple de 12 donc on reste sur la même note, et $-36=-3\times 12$ donc on descend de 3 octaves: la note obtenue est donc LA$_{0}$.

 
%Donner la fréquence du signal en hertz (arrondie à l'unité). En déduire la note émise. 

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 6 points}

%\medskip
% 
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2 cm.
%
%\medskip
% 
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
On considère les points A et B d'affixes respectives : 
$z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3} \text{ et } z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.

\begin{enumerate}

\item% Placer les points A et B dans le repère \Ouv{} et tracer le triangle OAB. Utiliser la feuille de papier millimétré fournie. 
Voit figure à la fin de l'exercice.

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la forme algébrique de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ est i.
On sait que $\i^2 = -1$ donc
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}
= \dfrac{- \sqrt{3} + 3\text{i}}{3 + \text{i}\sqrt{3}}
= \dfrac{\i^2 \sqrt{3} + 3\text{i}}{3 + \text{i}\sqrt{3}}
= \dfrac{\i \left ( \i \sqrt{3} + 3 \right )}{3 + \text{i}\sqrt{3}}
= \i
$

		\item $\left | \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} \right | = \left | \i \right | = 1$
		
On sait que $z_{\text{A}} = \text{OA}$ et $z_{\text{B}} = \text{OB}$
donc
$\left | \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} \right | =  1
\iff
\dfrac{\left | z_{\text{B}} \right |}{\left | z_{\text{A}}\right |} = 1
\iff
\dfrac{\text{OB}}{\text{OA}} = 1
\iff
\text{OB} = \text{OA}
$

	\end{enumerate}

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer un argument de $z_{\text{A}}$. 
$ \left | z_{\text{A}} \right |^2
= 3^2 + \left ( \sqrt{3} \right )^2
= 12$
donc
$\left | z_{\text{A}} \right | = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

On peut donc écrire: $z_{\text{A}} 
= 2\sqrt{3} \left ( \dfrac{3}{2\sqrt{3}} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right )
= 2\sqrt{3} \left ( \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} \i\right ) 
$

On cherche le réel $\theta$ tel que 
$\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \dfrac{1}{2}$ donc $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ à $2\pi$ près.

Le nombre $\dfrac{\pi}{6}$ est un argument de $z_{\text A}$.

		\item On admet qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$. 
 
%Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ (en radians),

$\widehat{\text{AOB}} = \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}
= \dfrac{4\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6}
= \dfrac{3\pi}{6}
= \dfrac{\pi}{2}$
(voir figure)

	\end{enumerate} 

\item  $\text{OA} = \text{OB}$ et $\widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\pi}{2}$ donc le triangle OAB isocèle rectangle en O. 

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2,PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(3.5,3.5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange!80,subgridcolor=orange!80](-5,-1)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.2pt](0,0)(-2.5,-0.5)(3.5,3.5)
\pstTriangle[PosAngleA=-135](0,0){O}(3,1.732){A}(-1.732,3){B}
\pstRightAngle[linecolor=black,RightAngleSize=0.15]{A}{O}{B}
\psarc{->}(O){0.7}{0}{30}  \uput[15](0.7;15){$\frac{\pi}{6}$}
\psarc{->}(O){0.5}{0}{120} \uput[60](0.5;60){$\frac{2\pi}{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}