\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
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\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse - Corrigé}%tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourright~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourleft\\ 
Métropole septembre 2008}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

%\emph{Pour chacune des cinq questions $1$ à $5$, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque question, indiquer sur la copie, la bonne réponse. On ne demande pas de justification.\\
%Toute bonne réponse donne un point. Une réponse fausse enlève $0,25$~point L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}\\
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] On désigne par $\log$ le  logarithme décimal.
%\item[$\bullet~$] 	On rappelle que deux notes situées à un intervalle d'octave ascendante ont un rapport de fréquences égal à 2.
%\item[$\bullet~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel. Les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.
%\item[$\bullet~$]  Les cinq questions font référence à la gamme de tempérament égal : dans cette gamme, l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences est géométrique de raison $q$ , où $q$ est un nombre réel positif tel que $q^{12} = 2$. Une quarte juste contient cinq demi-tons.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}

\item  On indique que, lorsque deux sons ont pour fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ avec $f_{1} < f_{2}$, la mesure de l'intervalle entre ces deux sons, exprimée en savarts, est donnée par la formule : $10^3 \log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$.\\
La mesure de l'intervalle entre le MI$_{3}$ et le MI$_{4}$, en savarts, est égale à:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $\nombre{1000}\log \left(2^{\frac{1}{12}}\right)$&	\textbf{b.} $\nombre{1000}\log \left(2^{12}\right)$&	\textbf{c.}  \fbox{$\nombre{1000}\log 2$}\\
\end{tabularx}

Il y a 12 demi-tons entre le MI$_3$ et le MI$_4$ donc le rapport de fréquences entre ces deux notes est $2$. La mesure de l'intervalle entre ces deux notes est donc $\np{1000}\,\log 2$.

\medskip

\item  On précise que l'intervalle de septième ascendante DO--SI a un rapport de fréquences égal à $2^{\frac{11}{12}}$. La mesure, en savarts, de l'intervalle séparant ces deux notes est égale à :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $\nombre{1000}\left(\log 2^{11} - \log 2^{12}\right)$&	\textbf{b.} $\nombre{2000}\log \left(\dfrac{11}{12}\right)$&	\textbf{c.} \fbox{$\dfrac{\nombre{11000}}{12} \log 2$}\\
\end{tabularx}

$\dfrac{f_2}{f_1} = 2^{\frac{11}{12}}$ donc la mesure de l'intervalle séparant ces deux notes est:

\hfill $10^{3}\,\log\left ( \dfrac{f_2}{f_1}\right )
= 10^{3}\,\log\left ( 2^{\frac{11}{12}}\right )
= 10^{3} \times \dfrac{11}{12} \,\log 2
= \dfrac{\np{11000}}{12}\,\log 2$.\hfill{}

\medskip

\item  Le nombre entier $p$ d'octaves qui peuvent être intercalées entre deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ avec $f_{1} < f_{2}$ est tel que 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $\dfrac{f_{2}}{f_{1}}$ est congru à $p$ modulo 2&	\textbf{b.} \fbox{$2^p \leqslant \dfrac{f_{2}}{f_{1}} < 2^{p+1}$}	&	\textbf{c.}  $\dfrac{f_{2}}{f_{1}}$ est congru à 2 modulo $p$.\\
\end{tabularx}

S'il y a $k$ demi-tons entre la note de fréquence $f_1$ et la note de fréquence $f_2$, cela signifie que $\dfrac{f_2}{f_1}=2^{\frac{k}{12}}$.

La division euclidienne de $k$ par 12 donne $k=12p+r$ avec $0\leqslant r  < 12$.

Donc $2^{\frac{k}{12}} = 2^{\frac{12p+r}{12}} = 2^{p+\frac{r}{12}}
= 2^p \times 2^{\frac{r}{12}}$.

\smallskip

$0 \leqslant r < 12 
\iff 0 \leqslant \dfrac{r}{12} < 1
\iff 1 \leqslant 2^{\frac{r}{12}} < 2
\iff 2^p \leqslant 2^p \times 2^{\frac{r}{12}} < 2^p \times 2
\iff 2^p \leqslant 2^{\frac{k}{12}} < 2^{p+1}\\[5pt]
\phantom{0 \leqslant r < 12}
\iff 2^p \leqslant \dfrac{f_2}{f_1} < 2^{p+1}$

\medskip

\item  Le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
\textbf{a.} \fbox{$2^{\frac{5}{12}}$}
&	\textbf{b.} $\dfrac{5}{2}$
&	\textbf{c.} $2^{\frac{12}{5}}$.\\
\end{tabularx}

Une quarte juste correspond à 5 demi-tons donc un rapport de fréquence de $2^{\frac{5}{12}}$.

\medskip

\item  Si l'on suppose que l'oreille humaine ne peut entendre un son de fréquence supérieure à 18000 Hz et que la fréquence du LA3 est à peu près de 440 Hz, alors- le premier LA inaudible plus aigu que le LA$_{3}$ est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} LA$_{8}$&	\textbf{b.} \fbox{LA$_{9}$}	& \textbf{c.}  LA$_{10}$
\end{tabularx}
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
note  & LA$_3$ & LA$_4$ & LA$_5$ & LA$_6$ & LA$_7$ & LA$_8$ & LA$_9$\\ 
\hline
fréquence  & 449 & 880 & \np{1760} &  \np{3520} & \np{7040} &  \np{14080} & \textcolor{red}{\np{28160}}\\   
\hline
\end{tabularx}
\end{center}  

\end{enumerate}

 
\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

Dans une classe de 20 élèves, spécialisée en musique, 8~élèves jouent du piano, 15 jouent du violon et 3~élèves jouent à la fois du piano et du violon.\\

%Les probabilités seront données sous forme de fractions.

\begin{enumerate}
\item  On choisit au hasard un élève dans la classe. Chaque élève a la même chance d'être choisi.

On répartit les 20 élèves selon l'instrument joué; on commence par placer les 3 élèves qui jouent à la fois du piano et du violon; il en reste $8-3=5$ qui ne jouent que du piano, et $15-3=12$ qui ne jouent que du violon:

\hfill
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmax{11} \def\ymax{5}	
\begin{pspicture}(0,1)(\xmax,\ymax)	
\psellipse[linecolor=blue](4,3)(3,1.5)	
\psellipse[linecolor=red](7,3)(3,1.5)	
\uput[ul](2,4.5){\blue Piano}
\uput[ur](9,4.5){\red Violon}
\rput(3,3){5} \rput(5.5,3){3} \rput(8,3){12}
\end{pspicture}
\hfill{}	

	\begin{enumerate}
	
		\item%  Montrer que la probabilité pour que l'élève joue des deux instruments est $\dfrac{3}{20}$.
Il y a 3 élèves sur 20 qui jouent à la fois du piano et du violon; donc la probabilité que l'élève choisi joue des deux instruments est de $\dfrac{3}{20}$.

		\item%  Montrer que la probabilité pour que l'élève joue du piano sans jouer du violon est $\dfrac{5}{20}$.
Il y a 5 élèves qui jouent du piano sans jouer du violon donc la probabilité que l'élève choisi joue du piano sans jouer du violon est $\dfrac{5}{20}$.

		\item%  Calculer la probabilité pour que l'élève joue du violon sans jouer du piano.
Il y a 12 élèves qui jouent du violon sans jouer du piano donc la probabilité que l'élève choisi joue du violon sans jouer du piano est $\dfrac{12}{20}$.


	\end{enumerate}

\item On prend successivement au hasard deux élèves différents dans la classe. On peut considérer que l'on est dans un cas de « tirages sans remise ».
	\begin{enumerate}
		\item%  Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui correspond à cette seconde question.\\
On écrit la répartition des 19 élèves après que le 1\ier{} élève a été choisi; trois cas:

\medskip

\begin{multicols}{3}

\begin{center}
Le 1\ier{} élève joue \\du violon et du piano.
\end{center}

\psset{unit=0.5cm}
\def\xmax{10} \def\ymax{5}	
\begin{pspicture}(1,1)(\xmax,\ymax)	
\psellipse[linecolor=blue](4,3)(3,1.5)	
\psellipse[linecolor=red](7,3)(3,1.5)	
\uput[ul](2,4){\blue P}
\uput[ur](9,4){\red V}
\rput(3,3){5} \rput(5.5,3){2} \rput(8,3){12}
\end{pspicture}

\columnbreak

\begin{center}
Le 1\ier{} élève joue du piano\\
seulement.
\end{center}

\psset{unit=0.5cm}
\def\xmax{10} \def\ymax{5}	
\begin{pspicture}(1,1)(\xmax,\ymax)	
\psellipse[linecolor=blue](4,3)(3,1.5)	
\psellipse[linecolor=red](7,3)(3,1.5)	
\uput[ul](2,4){\blue P}
\uput[ur](9,4){\red V}
\rput(3,3){4} \rput(5.5,3){3} \rput(8,3){12}
\end{pspicture}

\columnbreak

\begin{center}
Le 1\ier{} élève joue du violon\\
seulement.
\end{center}

\psset{unit=0.5cm}
\def\xmax{10} \def\ymax{5}	
\begin{pspicture}(1,1)(\xmax,\ymax)	
\psellipse[linecolor=blue](4,3)(3,1.5)	
\psellipse[linecolor=red](7,3)(3,1.5)	
\uput[ul](2,4){\blue P}
\uput[ur](9,4){\red V}
\rput(3,3){5} \rput(5.5,3){3} \rput(8,3){11}
\end{pspicture}
\end{multicols}

On peut donc compléter l'arbre pondéré proposé (voir page suivante).
		
		\medskip

\begin{figure}[!t]
\centering		
\hspace*{2cm} \shortstack{Instrument(s) joué(s)\\par le 1\up{er} élève}
\hspace*{1cm} \shortstack{Instrument(s) joué(s)\\par le 2\up{e} élève}
	
\bigskip

\newcommand{\ofrac}[2]
{
\raisebox{0.5ex}{#1}%
\slash\raisebox{-0.5ex}{#2}
}	
		
\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=*2.75cm,nodesepA=0pt,nodesepB=7pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{\shortstack{Piano et\\violon}}\ncput*{$\ofrac{3}{20}$}}
		{\TR{\shortstack{Piano et\\violon}}\ncput*{$\ofrac{2}{19}$}
		\TR{\shortstack{Piano sans\\violon}}\ncput*{$\ofrac{5}{19}$}
		\TR{\shortstack{Violon sans\\piano}}\ncput*{\red $\ofrac{12}{19}$}
		}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{\shortstack{Piano sans\\violon}}\ncput*{$\ofrac{5}{20}$}}
		{
		\TR{\red \shortstack{Piano et\\violon}}\ncput*{\red $\ofrac{3}{19}$}
		\TR{\red \shortstack{Piano sans\\violon}}\ncput*{\red $\ofrac{4}{19}$}
		\TR{\red \shortstack{Violon sans\\piano}}\ncput*{\red $\ofrac{12}{19}$}
		}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{\shortstack{Violon sans\\piano}}\ncput*{\red $\ofrac{12}{20}$}}
		{
		\TR{\red \shortstack{Piano et\\violon}}\ncput*{\red $\ofrac{3}{19}$}
		\TR{\red \shortstack{Piano sans\\violon}}\ncput*{\red $\ofrac{5}{19}$}
		\TR{\red \shortstack{Violon sans\\piano}}\ncput*{\red $\ofrac{11}{19}$}
		}
}

\bigskip

\end{figure}

		\item La probabilité pour que les deux élèves choisis jouent tous deux à la fois du piano et du violon est, d'après l'arbre:
 $ \dfrac{3}{20} \times \dfrac{2}{19} = \dfrac{3}{190}$.

		\item% 	Quelle est la probabilité pour que chacun des deux élèves choisis ne joue que d'un instrument?
Il y a plusieurs cas disjoints qui forment l'événement \og chacun des deux élèves choisis ne joue que d'un instrument\fg:

\begin{list}{\textbullet}{}

\item piano seulement et piano seulement avec une probabilité de 
$\dfrac{5}{20} \times \dfrac{4}{19} = \dfrac{1}{19}$;

\item piano seulement et violon seulement avec une probabilité de 
$\dfrac{5}{20} \times \dfrac{12}{19} = \dfrac{3}{19}$;

\item violon seulement et piano seulement avec une probabilité de 
$\dfrac{12}{20} \times \dfrac{5}{19} = \dfrac{3}{19}$;

\item violon seulement et violon seulement avec une probabilité de 
$\dfrac{12}{20} \times \dfrac{11}{19} = \dfrac{33}{95}$.

\end{list}		
		
La probabilité que chacun des deux élèves choisis ne joue que d'un instrument est donc:

\hfill $\dfrac{1}{19} + \dfrac{3}{19} + \dfrac{3}{19} + \dfrac{33}{95} = \dfrac{68}{95}$.\hfill{}	
		
	\end{enumerate}
\item On prend successivement au hasard trois élèves différents dans la classe.% On peut considérer que l'on est dans un cas de « tirages sans remise ».

Sur 20 élèves, il y en a 3 qui jouent de deux instruments; si les deux premiers élèves jouent des deux instruments, il en reste 1 qui joue des deux instruments sur $20-2=18$. La probabilité de choisir cet élève est donc de $\dfrac{1}{18}$.

La probabilité pour que tous les trois jouent à la fois du piano et du violon est donc: 
$\dfrac{3}{20} \times \dfrac{2}{19} \times \dfrac{1}{18} =\dfrac{1}{\nombre{1140}}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

%Le niveau sonore $N(I)$, en décibels, d'un son d'intensité acoustique $I$ est donné par la formule :
%$N(I) = 10\log \left(\dfrac{I}{I_{0}}  \right)$
%
% où $I_{0}$ désigne la plus faible intensité perceptible par l'oreille humaine et où $\log$ désigne le logarithme décimal.
% 
%  Le décibel est noté dB.
%  
%   On rappelle que, pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a : \[\log (ab) = \log a + \log b~ \text{et}~ \log \left(\dfrac{a}{b} \right) = \log a - \log b.\]

\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item%  Calculer, en décibels, le niveau sonore $N(I)$ lorsque $I = I_{0}$.
Si $I=I_0$, le niveau sonore est: $N(I_0)=10\,\log \left (\dfrac{I_0}{I_0} \right ) = 10\,\log 1 = 0$~dB.

		\item  Lors du décollage de la fusée Ariane, on a observé que $I = I_{0} \times 10^{17}$.
		
%Calculer, en décibels, le niveau sonore $N(I)$ correspondant.

$I = I_{0} \times 10^{17}$ donc $\dfrac{I}{I_0} = 10^{17}$ et donc le niveau sonore est $N(I)=10\,\log \left ( 10^{17}\right ) = 10\times 17 = 170$~dB.

	\end{enumerate}

\item Pour un marteau-piqueur, on a $N(I) =110$.% Donner l'expression de l'intensité acoustique $I$ en fonction de $I_{0}$.

$N(I)=110
\iff 10\,\log\left (\dfrac{I}{I_0} \right ) = 110
\iff \log\left (\dfrac{I}{I_0} \right ) = 11
\iff \dfrac{I}{I_0} = 1011
\iff I=I_0 \times 10^{11}$

\item Le niveau sonore d'un aspirateur est 70~dB.% Calculer, en décibels, le niveau sonore de trois aspirateurs identiques fonctionnant simultanément sachant que les intensités acoustiques des sons s'additionnent. On en donnera la valeur décimale arrondie au dixième.

L'aspirateur correspond à une intensité de $I$ donc trois aspirateurs correspondent à une intensité de $3I$. Le niveau sonore de trois aspirateurs est donc:

$ N(3I)
= 10\,\log\left (\dfrac{3I}{I_0}\right )
= 10\,\log\left (3\times \dfrac{I}{I_0}\right )  
=10 \left ( \log 3 + \log \left ( \dfrac{I}{I_0}\right )\right )
= 10\,\log 3 + 10\,\log\left ( \dfrac{I}{I_0}\right )$

Il y a donc une augmentation du niveau sonore de $10\,\log 3 \approx 4,8$~dB, donc le niveau sonore des trois aspirateurs est d'environ 74,8~dB.

\item  Un isolant acoustique est vendu pour effectuer une atténuation du niveau sonore de 1,5~dB par centimètre d'épaisseur.
L'épaisseur en centimètres d'une cloison fabriquée avec ce matériau est de 10~cm.
 
%  Cette cloison sépare deux pièces.
  
Un son d'intensité acoustique notée $I_{B}$ émis dans une pièce est atténué en un son d'intensité acoustique $I_{C}$ dans l'autre pièce.

	\begin{enumerate}

		\item%  Démontrer que $N\left(I_{C}\right) - N\left(I_{B}\right)= - 15$
L'atténuation du niveau sonore est de 1,5~dB par centimètre d'épaisseur; la cloison a une épaisseur de 10~cm donc l'atténuation est de $1,5\times 10=15$~dB: $N(I_C)-N(I_B)=-15$.

		\item%  Démontrer que $\log \left(\dfrac{I_{C}}{I_{B}}\right) = -1,5$.
On applique la formule $\log a - \log b = \log \dfrac{a}{b}$:		
		
$N(I_C)-N(I_B)=-15
\iff 10\,\log\left ( \dfrac{I_C}{I_0} \right ) - 10\,\log\left ( \dfrac{I_B}{I_0} \right ) = -15
\iff \log\left ( \dfrac{I_C}{I_0} \right ) - \log\left ( \dfrac{I_B}{I_0} \right ) = -1,5\\[5pt]
\phantom{N(I_C)-N(I_B)=-15}
\iff \log \left ( \dfrac{\frac{I_C}{I_0}}{\frac{I_B}{I_0}}  \right ) = -1,5
\iff \log \left ( \dfrac{I_C}{I_B}  \right ) = -1,5
$		
		
		\item%  En déduire que la valeur arrondie à l'unité du rapport $\dfrac{I_{B}}{I_{C}}$ est $32$.
$\log \left ( \dfrac{I_C}{I_B}  \right ) = -1,5
\iff \dfrac{I_C}{I_B}  = 10^{-1,5}
\iff \dfrac{I_B}{I_C} = 10^{1,5}$
donc 
$\dfrac{I_B}{I_C} \approx 32$.

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}


On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 
$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x + 1}$.

%On a tracé sur la feuille annexe  la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

\begin{enumerate}
\item%  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.\\

%Démontrer que, pour tout $x \in [0~ ;~ 1]$, on a : $f'(x)= \dfrac{x\text{e}^x}{(x + 1)^2}$.

$f'(x)=\dfrac{\e^{x}\times(x+1) - \e^{x} \times 1}{\left (x+1 \right )^2}
= \dfrac{x\e^{x}+\e^{x} - \e^{x}}{\left (x+1 \right )^2}
= \dfrac{x\e^{x}}{\left (x+1 \right )^2}$

\item  

	\begin{enumerate}

		\item%  Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~ ;~ 1].
Pour tout $x$ de $]0~;~1]$, $x>0$, $\e^{x}>0$ et $x+1>0$; donc sur cet intervalle $f'>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$.
 
		\item  $f(0)=\dfrac{\e^{0}}{0+1}=1$ et $f(1)=\dfrac{\e^{1}}{1+1}= \dfrac{\e}{2}$.

		\item%  En déduire que, pour tout $x \in [0~ ;~ 1]$ on a $1 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\text{e}}{2}$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$ donc pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1)$ autrement dit: $1 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\e}{2}$.

	\end{enumerate}
\item On désigne par P le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$ et par Q celui d'abscisse $1$.

	\begin{enumerate}

		\item  On désigne par T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point Q; elle a pour équation: $y= f'(1)\left ( x-1\right ) + f(1)$.

$f(1)= \dfrac{\e}{2}$ et $f'(1) = \dfrac{1\times \e^{1}}{(1+1)^2}=\dfrac{\e}{4}$

Donc T a pour équation: $y = \dfrac{\e}{4}\left ( x-1\right ) + \dfrac{\e}{2}$ c'est-à-dire: $y=\dfrac{\e}{4}\,x + \dfrac{\e}{4}$.

		\item  La droite T est sécante à l'axe des ordonnées au point R.% Calculer les coordonnées du point R.
		
Le point R a pour abscisse 0 et pour ordonnée $\dfrac{\e}{4}\times 0 + \dfrac{\e}{4}$. le point R a pour coordonnées $\left ( 0~;\dfrac{~\e}{4} \right )$.

		\item%  Sur la feuille annexe  à rendre avec la copie, construire les droites T et (PQ).
Voir figure.
	\end{enumerate}

\item

	\begin{enumerate}

		\item  On désigne par I le point de coordonnées (1~;~ 0).
%Calculer la mesure (en unités d'aire) de l'aire de chacun des trapèzes OPQI et ORQI.

%\parbox{0.8\linewidth}{
%On rappelle que l'aire du trapèze ci-contre de bases de dimensions $b$ et $B$ et de hauteur $h$ est donnée par la formule $\dfrac{b + B}{2} \times h$} \hfill 
%\parbox{0.18\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(1.8,1.5)
%\pspolygon(0.3,0)(1.5,0)(1.5,1.4)(0.3,1)
%\psframe(0.3,0)(0.5,0.2) \psframe(1.3,0)(1.5,0.2) 
%\uput[u](0.9,0){$h$}\uput[l](0.3,0.5){$b$} \uput[r](1.5,0.75){$B$}
%\end{pspicture}}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Le trapèze OPQI a pour aire:
$\dfrac{(\text{OP} + \text{IQ}) \times \text{OI}}{2}
= \dfrac{\left (1+ \dfrac{\e}{2} \right )\times 1}{2}
= \dfrac{2+\e}{4}$ unité d'aire.

\item Le trapèze ORQI a pour aire:
$\dfrac{(\text{OR} + \text{IQ}) \times \text{OI}}{2}
= \dfrac{\left ( \dfrac{\e}{4}+ \dfrac{\e}{2} \right )\times 1}{2}
= \dfrac{3\e}{8}$ unité d'aire.
 
\end{list}


		\item  On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite (IQ) et la courbe $\mathcal{C}$. On hachure cette partie du plan sur le graphique.

		\item  On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure (en unités d'aire) de l'aire de la partie du plan hachurée.% Donner l'expression de $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
		
D'après le cours: $\mathcal{A} = \ds\int_0^1 \dfrac{\e^{x}}{x+1} \d x$.		
		
		\item%  À l'aide des résultats de la question 4. a., en déduire graphiquement la double inégalité :
L'aire $\mathcal{A}$ est comprise entre les deux aires des trapèzes ORQI et OPQI donc, d'après les questions précédentes: 

\[\dfrac{3\text{e}}{8} \leqslant \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{x + 1}\:\text{d}x  \leqslant \dfrac{2 + \text{e}}{4}.\]

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}
 
\psset{unit=10cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=black,%
subgridcolor=black,griddots=1,subgriddots=40](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,1.6)

\def\f{2.71828 x exp x 1 add div}

\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{0}{0}
\closepath
}

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ur](0,1){P} \uput[r](1,1.36){Q} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](0.5,1.1){\blue $\mathcal{C}$}

\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0}{1}{\f}
\psdots(0,1)(1,1.36)(1,0)(0,0.68)
\psline(0,1)(1,1.36)(1,0)

\uput[ur](1,0){I} \uput[l](0,0.68){R}
\psplot[plotpoints=1000]{0}{1}{2.7182 4 div x 1 add mul}
\end{pspicture*} 
\end{center}	

\end{document}