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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane  
~\decofourright\\16 juin 2017}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

%: EXERCICE 1
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
% 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\smallskip
%
%On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct.\\
%On considère l'équation:
%\begin{equation}
%\tag{E}
%z^4+2z^3-z-2=0
%\end{equation}
%ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.
%\begin{enumerate}
%\item Donner une solution entière de (E).
%\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$,
%\[
%z^4+2z^3-z-2=\left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right).
%\]
%\item Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
%\item Les solutions de l'équation (E) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé.\\
%Le quadrilatère ABCD est-il un losange~? Justifier.
%\end{enumerate}
%
\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $1^4+2\times 1^3-1-2=1+2-1-2=0$, donc $1$ est solution de (E).
\item Soit $z\in\C$, alors :

\[\left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)=z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2=z^4+2z^3-z-2.\]

\item D'après la question précédente, l'équation (E) équivaut à 
\[
z^2+z-2=0\quad \text{ou}\quad
z^2+z+1=0
\]
\begin{itemize}
\item l'équation $z^2+z-2=0$ est du second degré, à coefficients réels, son discriminant vaut $\Delta=9$ ; elle possède donc deux solutions réelles qui sont $- 2$ et $1$ ;
\item l'équation $z^2+z+1=0$ est du second degré, à coefficients réels, son discriminant vaut $\Delta=-3$, elle possède deux solutions complexes conjuguées qui sont $-\frac12-\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $- \frac12+\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\item Les solutions de (E) sont donc: $- 2$, $1$, $- \frac12- \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $-\frac12+ \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{itemize}

\item Notons:
\begin{itemize}
\item $A$ le point d'affixe $a = 1$,
\item $B$ le point d'affixe $b = -\frac12 + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$,
\item $C$ le point d'affixe $c = -2$,
\item $D$ le point d'affixe $d = -\frac12 - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{itemize}

Les nombres complexes $b$ et $d$ étant conjugués, la droite $(BD)$ est perpendiculaire à la droite $(AC)$ (qui n'est rien d'autre que l'axe réel). Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ sont donc perpendiculaires. 

De plus le milieu de $[AC]$ a pour affixe $\frac{a+c}{2}=-\frac12$ et le milieu de $[BD]$ a pour affixe $\frac{b+d}{2}=\frac{b+\overline{b}}{2}=\frac{2\text{Ré}(b)}{2}= - \frac12$. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent donc en leur milieu. On peut alors conclure que le quadrilatère $ABCD$ est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\smallskip
%
%
%Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d'une fine couche de nickel qui les protège contre la corrosion et l'usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse.
%
%On admet que la variable aléatoire $X$, qui à chaque pièce traitée associe l'épaisseur de nickel déposé, suit la loi normale d'espérance $\mu_1=25$ micromètres (\micro m) et d'écart-type $\sigma_1$.
%
%Une pièce est conforme si l'épaisseur de nickel déposé est comprise entre \np{22,8}~\micro m
% et \np{27,2}~\micro m.
% 
% La fonction de densité de probabilité de $X$ est représentée ci-dessous.\\
% On a pu déterminer que $P(X>\np{27,2})=\np{0,023}$.
% 
% \begin{center}
%\newrgbcolor{rctzbb}{0.10980392156862745 0.2235294117647059 0.7333333333333333}
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%\begin{pspicture*}(19.5,-0.1)(30.5,0.4)
% \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(19.5,-0.1)(30.5,0.4)
%\pscustom[linecolor=blue,fillcolor=blue!50,fillstyle=solid,opacity=0.5]{\psplot{27.198984936468946}{31.5}{EXP((-(x-25.0)^(2.0))/(1.1^(2.0)*2.0))/(abs(1.1)*sqrt(3.141592653589793*2.0))}\lineto(31.5,0)\lineto(27.198984936468946,0)\closepath}
%\psplot{19.5}{30.5}{(--20.-0.*x)/1.}
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%\begin{small}
%\psdots[dotstyle=x](27.2,0)
%\uput[-45](27.2,0){\np{27,2}}
%\uput[13](27.2,0.06){\np{2,3}~\%}
%\end{small}
%\end{pspicture*}
% \end{center}
% 
% 
% \begin{enumerate}
% \item
% \begin{enumerate}
% \item Déterminer la probabilité qu'une pièce soit conforme.
% \item Justifier que \np{1,1} est une valeur approchée de $\sigma_1$ à $10^{-1}$ près.
% \item Sachant qu'une pièce est conforme, calculer la probabilité que l'épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à 24~\micro m. Arrondir à $10^{-3}$.
% \end{enumerate}
% \item Une équipe d'ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans aucune source de courant. L'équipe affirme que ce nouveau procédé permet théoriquement d'obtenir 98~\% de pièces conformes.\\
% La variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associe l'épaisseur de nickel déposé suit la loi normale d'espérance $\mu_2=25$~\micro m et d'écart-type $\sigma_2$.
% \begin{enumerate}
% \item
%  En admettant l'affirmation ci-dessus, comparer $\sigma_1$ et $\sigma_2$.
% \item Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle que sur 500 pièces testées, 15 ne sont pas conformes.\\
% Au seuil de 95~\%, peut-on rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs~?
% \end{enumerate}
% \end{enumerate}
%
%
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La courbe de la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \mu$. Or $\np{22,8}=\mu - \np{2,2}$ et $\np{27,2} = \mu + \np{2,2}$.

On en déduit donc, par symétrie, que $P(X\leqslant\np{22,8}) = P(X\geqslant\np{27,2}) = \np{0,023}$ et donc que

\[P(\np{22,8}\leqslant X\leqslant\np{27,2})=1-2\times\np{0,023}=\np{0,954}.\]

La probabilité qu'une pièce soit conforme est donc de \np{0,954}.
\item D'après le cours, on sait que lorsque $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma_1$ on a $P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma) = \np{0,954}$. 

En comparant avec le résultat de la question 1, on peut donc en déduire que 

$2\sigma_1=\np{2,2}$ d'où $\sigma_1=\np{1,1}$.
\item On a, à $10^{-3}$ près:
\begin{eqnarray*}
P_{(\np{22,8}\leqslant X\leqslant\np{27,2})}(X\leqslant 24)&=&\frac{P\left((X\leqslant 24)\cap(\np{22,8}\leqslant X\leqslant\np{27,1})\right)}{P(\np{22,8}\leqslant X\leqslant\np{27,2})}\\
&=&\frac{P(\np{22,8}\leqslant X\leqslant\np{24})}{P(\np{22,8}\leqslant X\leqslant\np{27,2})}\\
&=&\frac{\np{0,1589}}{\np{0,954}}\\
&=&\np{0,167}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À espérance $\mu$ égale, les courbes de Gauss à écart-type \og petit\fg{} sont plus regroupées autour de $\mu$. Comme avec le deuxième procédé de nickelage la probabilité qu'une pièce soit conforme est supérieure à celle du premier procédé, on peut penser que $\sigma_2 < \sigma_1$. On peut retrouver ce résultat par un calcul, en centrant et en réduisant  :

\[\np{22,8}\leqslant Y\leqslant\np{27,2}\Longleftrightarrow -\frac{\np{2,2}}{\sigma_2}\leqslant \frac{Y-\mu}{\sigma_2}\leqslant \frac{\np{2,2}}{\sigma_2}\]

Notons $Z = \frac{Y-\mu}{\sigma_2}$, alors $Z$ suit la loi normale centrée réduite. En notant $\Phi$ la fonction de répartition de cette loi, on a alors $\Phi\left(\frac{\np{2,2}}{\sigma_2}\right)-\Phi\left(-\frac{\np{2,2}}{\sigma_2}\right)=\np{0,98}$, ce qui équivaut, pour des raisons de symétrie, à $2\Phi\left(\frac{\np{2,2}}{\sigma_2}\right)- 1 = \np{0,98}$, c'est-à-dire à $\Phi\left(\frac{\np{2,2}}{\sigma_2}\right)=\np{0,99}$. 

À l'aide de la fonction \texttt{fracNormale} de la calculatrice, on obtient alors que 

$\frac{\np{2,2}}{\sigma_2}=\np{2,326}$, d'où $\sigma_2=\np{0,946}$. On a donc bien $\sigma_2<\sigma_1$.
		\item Avec les notations usuelles du cours, on  a $n = 500$ et $p = \np{0,98}$. Les conditions $n\geqslant 30$, $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$ sont respectées, on peut donc utiliser l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\%.

À l'aide de la calculatrice, on a $I = [\np{0,967}~;~\np{0,993}]$. Notons $f$ la fréquence observée de pièces conformes dans l'échantillon, alors $f=\frac{550 - 15}{500} = \np{0,97}$. On a donc $f \in I$ et il n'y a pas lieu de rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\smallskip
%
%Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[
%f(x)=\e^x\text{~~et~~}g(x)=\e^{-x}.
%\]
%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.
%
%Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$.\\
%La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$.
%
%À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune des valeurs  de $a$.
%
%\begin{center}
%\begin{multicols}{2}
%\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(2.5,3.5)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,3.5)
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2.5}{2.5}{EXP(x)}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-2.5}{2.5}{EXP(-x)}
%\psplot[linecolor=red!50,linestyle=dashed]{-2.5}{2.5}{(--0.8243606353500641--1.6487212707001282*x)/1.}
%\psplot[linecolor=blue!50,linestyle=dashed]{-2.5}{2.5}{(--0.9097959895689501-0.6065306597126334*x)/1.}
%\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](0.5,-1.5)(0.5,3.5)
%\psline[linecolor=cyan,linewidth=2pt](1.8,2)(2.5,2)
%\psdots[dotstyle=o,linecolor=cyan](2,2)
%\uput[90](2,2){\cyan $a = 0.5$}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=blue](0.5,0.6065306597126334)
%\uput[-45](0.5,1.6487212707){\red$M$}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](0.5,1.6487212707)
%\uput[45](0.5,0.6065306597126334){\blue{$N$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](-0.5,0.)
%\uput[-45](-0.5,0.){\red{$P$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=blue](1.5,0.)
%\uput[-135](1.5,0){\blue{$Q$}}
%\end{pspicture*}
%
%
%{\small
%\begin{tabular}{|c|c|c|}
%\hline
%&A&B\\
%\hline
%1&Abscisse $a$&Longueur $PQ$\\
%\hline
%2&-3 & 2 \\\hline
%-3&2,5 & 2 \\\hline
%4&-2 & 2 \\\hline
%5&-1,5 & 2 \\\hline
%6&-1 & 2 \\\hline
%7&-0,5 & 2 \\\hline
%8&0 & 2 \\\hline
%9&0,5 & 2 \\\hline
%10&1 & 2 \\\hline
%11&1,5 & 2 \\\hline
%12&2 & 2 \\\hline
%13&2,5 & 2 \\\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{multicols}
%\end{center}
%
%\emph{Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que la tangente en M à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en N à $\mathcal{C}_g$.
%\item
%\begin{enumerate}
%\item Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$~?
%\item Démontrer cette conjecture.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ a pour coefficient directeur $f'(a) = \e^a$, et a pour vecteur directeur $\vect{u}\left(1~;~\e^a\right)$.
\item La tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ a pour coefficient directeur $g'(a)=-\e^{-a}$, et a pour vecteur directeur $\vect{v}\left(1~;~-\e^{-a}\right)$.
\end{itemize}

On a $\vect{u}\cdot\vect{v}=1\times1 + \e^{a}\times \left(-\e^{-a}\right) = 1 - \e^{a-a} = 1 - 1 = 0$. Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont orthogonaux, donc les deux droites sont perpendiculaires.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On peut conjecturer que, pour tout réel $a$,  $PQ=2$.
		\item 
			\begin{itemize}
				\item \textbf{Détermination de $P$}. La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation :

\[y = \e^{a}(x-a) + \e^a.\]

$P$ est un point de cette droite, d'ordonnée $0$ et d'abscisse $x_P$, on a donc :

\[0=\e^a\left(x_P-a\right)+\e^a\Longleftrightarrow \e^a\left(x_P-a\right)=-\e^a\Longleftrightarrow x_P-a=-1\Longleftrightarrow x_P=a-1.\]

Ainsi le point $P$ a pour coordonnées $P(a - 1~;~0)$.
\item \textbf{Détermination de $Q$}. La tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ a pour équation:

\[y=-\e^{-a}(x-a)+\e^{-a}. \]

$Q$ est un point de cette droite, d'ordonnée $0$ et d'abscisse $x_Q$, on a donc:

\[0=-\e^{-a}\left(x_Q - a\right)+\e^{-a}\Longleftrightarrow \e^{-a}\left(x_Q - a\right) = \e^{-a}\Longleftrightarrow x_Q - a = 1\Longleftrightarrow x_Q = a + 1.\]

Ainsi le point $Q$ a pour coordonnées $Q(a + 1~;~0)$.
\item \textbf{Calcul de $PQ$}.
Les points $P$ et $Q$ étant situés sur l'axe des abscisses, la distance entre ces deux points est donnée par :

\[PQ = \abs{x_P-x_Q} = \abs{(a-1)-(a+1)} = \abs{a-1-a-1} = \abs{-2} = 2. \]
La conjecture est démontrée.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\smallskip
%
%Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif.\\
%Le but de l'exercice est d'étudier l'équation
%\begin{equation}
%\tag{$E_n$}
%\dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac1n
%\end{equation}
%ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$.
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\smallskip
%
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
%\[
%f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}.
%\]
%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\
%On a donné en \textbf{ANNEXE}, qui n'est pas à rendre, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
%\begin{enumerate}
%\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
%\item Déterminer son maximum.
%\end{enumerate}
%
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\smallskip
%
%
%\begin{enumerate}
%\item
%Montrer que, pour $n\geqslant 3$, l'équation $f(x)=\dfrac1n$ possède une unique solution sur $[1~;~\e]$ notée $\alpha_n$.
%\item D'après ce qui précède, pour tout entier $n\geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l'équation (E$_n$).
%\begin{enumerate}
%\item Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d'équations respectives $y=\frac13$, $y=\frac14$ et $y=\frac15$.\\
%Conjecturer le sens de variation de la suite $(\alpha_n)$.
%\item Comparer, pour tout entier $n\geqslant 3$, $f(\alpha_n)$ et $f(\alpha_{n+1})$.\\
%Déterminer le sens de variation de la suite $(\alpha_n)$.
%\item En déduire que la suite $(\alpha_n)$ converge.\\
%\emph{Il n'est pas demandé de calculer sa limite.}
%\end{enumerate}
%\item On admet que, pour tout entier $n\geqslant 3$, l'équation (E$_n$) possède une autre solution $\beta_n$ telle que:
%\[
%1\leqslant\alpha_n\leqslant\e\leqslant\beta_n.
%\]
%\begin{enumerate}
%\item On admet que la suite $(\beta_n)$ est croissante.\\
%Établier que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3,
%\[
%\beta_n\geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.
%\]
%\item En déduire la limite de la suite $(\beta_n)$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x\in]0~;~+\infty[$, on a $f'(x) = \dfrac{\frac1x\times x - \ln(x)\times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln(x)}{x^2}$. Comme $x^2 > 0$, $f'(x)$ a donc le même signe que $1 - \ln (x)$. Or :

\[ 1-\ln(x)\geqslant 0\Longleftrightarrow 1\geqslant \ln(x)\Longleftrightarrow \e\geqslant x\]

Par ailleurs on a $\limd{x}{0}f(x)=-\infty$ (pas de forme indéterminée), $\limi{x}{+\infty}f(x)=0$ (par croissance comparée) et $f(\e) = \frac{\ln(\e)}{\e}=\frac{1}{\e}$. 

On a donc le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2.5]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.8,$f(x)$/1.5}{$0$,$\e$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$\frac{1}{\e}$,-/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\emph{Remarque: les limites n'étaient pas exigées dans l'énoncé.}
\item D'après le tableau de variation précédent, la fonction $f$ a pour maximum $\frac{1}{\e}$ et ce maximum est atteint en $x=\e$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier tel que $n\geqslant 3$, alors $0<\frac1n\leqslant\frac13\leqslant\frac{1}{\e}$.

Sur l'intervalle $[1~;~\e]$, la fonction $f$ est continue (car dérivable), et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de $[1~;~\e]$ sur $\left[f(1)~;~\frac{1}{\e}\right]=\left[0~;~\frac{1}{\e}\right]$. 

Le nombre $\frac1n$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{\e}\right]$, donc l'équation $f(x) = \frac1n$ admet une unique solution $\alpha_n$ dans $[1~;~\e]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
Les abscisses inférieures à $\e$ des points d'intersection entre les droite $D_3$, $D_4$, $D_5$ et la courbe $\mathcal{C}$ sont les nombre $\alpha_3$, $\alpha_4$ et $\alpha_5$. Graphiquement, on lit que $\alpha_3>\alpha_4>\alpha_5$, il semble donc que la suite $(\alpha_n)$ soit décroissante.
		\item Soit $n$ un entier tel que $n\geqslant 3$. Par définition de la suite $(\alpha_n)$, on a $f(\alpha_n)=\frac1n$ et $f(\alpha_{n+1})=\frac{1}{n+1}$. Comme $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$, on a donc $f(\alpha_{n+1})<f(\alpha_{n})$.
		
Supposons que $\alpha_n\leqslant \alpha_{n+1}$, alors, la fonction $f$ étant croissante sur $[1~;~\e]$, cela entraînerait que $f(\alpha_n)\leqslant f(\alpha_{n+1})$, ce qui est faux. Par conséquent, pour tout entier $n\geqslant 3$, on a $\alpha_n>\alpha_{n+1}$, ce qui prouve que la suite $(\alpha_n)$ est décroissante.
		\item La suite $(\alpha_n)$ est décroissante, minorée (par 1), elle est donc convergente.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier tel que $n\geqslant 3$. Par définition de $\beta_n$, on a:

\[f(\beta_n)=\frac1n\SSI \frac{\ln(\beta_n)}{\beta_n}=\frac1n\SSI\ln(\beta_n)=\frac{\beta_n}{n}.\]

La suite $(\beta_n)$ est croissante, donc, pour tout entier naturel $n\geqslant 3$  on a $\beta_n\geqslant\beta_3>0$. La fonction $\ln$ étant croissante sur $]0~;~+\infty[$, ceci implique que $\ln(\beta_n)\geqslant\ln(\beta_3)$, c'est-à-dire que $\frac{\beta_n}{n}\geqslant\frac{\beta_3}{3}$. On en déduit bien que $\beta_n\geqslant n\frac{\beta_3}{3}$.
		\item $\beta_3>0$, donc $\limi{n}{+\infty}n\frac{\beta_3}{3}=+\infty$.

Par comparaison à l'infini, on en déduit que $\limi{n}{+\infty}\beta_n=+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip
%
%On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.\\
%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\\
%On considère les points $A(-1~;~2~;~0)$, $B(1~;~2~;~4)$ et $C(-1~;~1~;~1)$.
%
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
%\item Calculer le produit scalaire $\vect{AB}\cdot\vect{AC}$.
%\item En dédurie la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.
%\end{enumerate}
%\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}
%2\\-1\\-1
%\end{pmatrix}$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
%\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
%\end{enumerate}
%\item Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $3x+y-2z+3=0$ et $\mathcal{P}_2$ le plan passant par $O$ et parallèle au plan d'équation $x-2z+6=0$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}_2$ a pour équation $x=2z$.
%\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
%\item Soit la droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est
%\[
%\left\{
%\begin{array}{rcl}
%x&=&2t\\
%y&=&-4t-3,~~~t\in \R\\
%z&=&t
%\end{array}
%\right.
%\]
%Démontrer que $\mathcal{D}$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
%\end{enumerate}
%\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées.
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}
2\\0\\4
\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}
0\\-1\\1
\end{pmatrix}$. Les  coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés. Ils définissent bien un plan $(ABC)$.
		\item On a 
\(
\vect{AB}\cdot\vect{AC}=2\times 0+0\times(-1)+4\times 1=4,
\)
		\item D'autre part:
\[
\vect{AB}\cdot\vect{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})=\sqrt{2^2+0^2+4^2}\times\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}\times\cos(\widehat{BAC})=\sqrt{40}\cos(\widehat{BAC}).
\]
On en déduit que $\cos(\widehat{BAC})=\frac{4}{\sqrt{40}}$. À l'aide de la calculatrice: $\widehat{BAC}\approx \np{50,8}\degree$ soit 51\degres au degré près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont non nuls et non colinéaires. Ils forment donc une base du plan $(ABC)$. De plus
\begin{itemize}
\item $\vect{n}\cdot\vect{AB}=2\times 2+(-1)\times 0+(-1)\times 4=4-4=0$, donc $\vect{n}\perp\vect{AB}$
\item $\vect{n}\cdot\vect{AC}=2\times 0+(-1)\times(-1)+(-1)\times 1=1-1=0$, donc $\vect{n}\perp\vect{AC}$
\end{itemize}
Le vecteur $\vect{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		\item Une équation cartésienne de $(ABC)$ est alors de la forme $2x-y-z+d=0$. Le point $A(-1;2;0)$ appartient à ce plan donc $-2-2=d=0$ d'où $d=4$. Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc $2x-y-z+4=0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un vecteur normal au plan d'équation $x-2z+6=0$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}
1\\0\\-2
\end{pmatrix}$. Ce vecteur est également un vecteur normal au  plan $\mathcal{P}_2$ puisque ces deux plans sont parallèles. Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc: $x-2z+d=0$. Et comme $O(0;0;0)\in\mathcal{P}_2$ cela conduit à $d=0$. Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-2z=0\SSI x=2z$.
\item Le plan $\mathcal{P}_1$ a pour vecteur normal $\vect{n_1}\begin{pmatrix}
3\\1\\-2
\end{pmatrix}$. Ce vecteur n'est pas colinéaire à $\vect{n_2}$, par conséquent les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont ni parallèles ni confondus: ils sont sécants.
		\item 
		\begin{itemize}
		\item Pour tout réel $t$, on a $3(2t) +(- 4t - 3) - 2t + 3 = 6t- 4t-3- 2t + 3 = 0$ donc la droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}_1$.
		\item Pour tout réel $t$, on a $(2t) - 2(t)= 0$, donc la droite $\mathcal{D}$ et incluse dans le plan $\mathcal{P}_2$.
		\end{itemize}
Ces deux plans étant sécants selon une droite, cette droite n'est autre que la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $\mathcal{D}$, alors il existe un réel $t$ tel que $M(2t;-4t-3;t)$. D'où :

\[M\in(ABC)\SSI 2(2t)-(-4t-3)-t+4=0\SSI 7t+7=0\SSI t=-1\]

La droite $\mathcal{D}$ et le plan $(ABC)$ n'ont donc  qu'un seul point commun, obtenu pour $t=-1$, c'est le point $I(-2~;~1~;~-1)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\smallskip

%
%On considère la suite définie par son premier terme $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, par:
%\[
%u_{n+1}=2u_n+6
%\]
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 
%\[
%u_n=9\times 2^n-6.
%\]
%\item Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_n$ est divisible par 6.
%
%\smallskip
%
%On définit la suite d'entiers $(v_n)$ par, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $v_n=\dfrac{u_n}{6}$.
%\item On considère l'affirmation: \og pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier\fg{}.\\
%Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
%\item \begin{enumerate}
%\item Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $v_{n+1}-2v_n=1$.
%\item En déduire que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
%\item En déduire, pour tout entier $n\geqslant 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$.
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Vérifier que $2^4\equiv1~~[5]$.
%\item En déduire que si $n$ est de la forme $4k+2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_k$ est divisible par 5.
%\item Le nombre $u_n$ est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l'entier naturel $n$~? Justifier.
%
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
\begin{enumerate}
\item Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété: \og $u_n=9\times 2^n-6$\fg{}. Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Initialisation}. On a $u_0 = 3$ et $9\times 2^0 - 6 = 9 - 6 = 3$, donc 
$\mathcal{P}(0)$ est vraie.
		\item \textbf{Hérédité}. Supposons que, pour $n$ entier naturel,  $n \geqslant 0$,\: $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors 
		
		$u_n=9\times 2^n-6$, donc 
\begin{eqnarray*} 
u_{n+1}&=&2u_n+6\\
&=&2\left(9\times 2^n-6\right)+6\\
&=&9\times 2\times 2^n-12+6\\
&=&9\times 2^{n+1}-6
\end{eqnarray*}
et la propriété $\mathcal{P}(n + 1)$ est donc vraie. La propriété est héréditaire.
		\item \textbf{Conclusion.} La propriété est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ supérieur ou égal à zéro, elle est vraie au rang $n + 1$. 
		
D'après le principe de la récurrence, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal{P}(n)$ est vraie.
	\end{itemize}
\item Soit $n\in\N$. $3$ divise $9$, $2$ divise $2^n$, 2 et 3 sont premiers entre eux, donc $2\times 3=6$ divise $9\times 2^n$. Il est par ailleurs clair que 6 divise $-6$ donc 6 divise la combinaison $9\times 2^n-6$. En d'autres termes, 6 divise $u_n$.
\item L'affirmation est fausse. En effet on a $v_6 = \frac{u_6}{6} = \frac{9\times 2^6-6}{6}=\frac{570}{6}=95$ qui n'est pas un nombre premier.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\in\N^*$, alors:

\[v_{n+1}-2v_n=\frac{9\times 2^{n+1}-6}{6}-2\times\frac{9\times 2^n-6}{6}=\frac{9\times 2^{n+1}-6+9\times 2^{n+1}+12}{6} = \frac66 = 1.\]

		\item Soit $n\in\N^*$.

D'après la relation précédente, il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $av_n + bv_{n+1}=1$. Le théorème de Bézout permet alors de conclure que $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
		\item Pour tout $n\in\N^*$, on a $u_n=6v_n$, $u_{n+1}=6v_{n+1}$. De plus $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux. On peut alors conclure que $\text{PGCD}(u_n,u_{n+1})=6$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $2^4=16=3\times 5+1$ donc $2^4\equiv 1~[5]$.
		\item Soit $k\in n$, et $n=4k+2$, alors:

\[u_n = 9\times 2^{4k+2}-6 = 9\times (2^4)^k\times 2^2-6.\]

On en déduit alors que :
\begin{eqnarray*}
u_n&\equiv&9\times 1^k\times 4-6~~~[5]\\
&\equiv& 4\times 1\times 4-1~~~[5]\\
&\equiv& 15~~~[5]\\
&\equiv&0~~~[5]
\end{eqnarray*}
Le nombre $u_n$ est alors divisible par 5.
		\item Le nombre $u_n$ n'est pas divisible par 5 pour les autres valeurs de $n$, en effet on  a $u_0=3$ comme contre-exemple immédiat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\bigskip
%
%
%\bigskip
%
%\begin{center}
%\textbf{ANNEXE de l'exercice 4}
%
%\smallskip
%
%\textbf{Cette annexe n'est pas à rendre}
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=0.7cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-2.,-0.15)(16.,0.45)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-0.15)(16.,0.45)
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%\uput[135](-1.2,0.33){\color{orange}{$D_3$}}
%\uput[135](-1.2,0.25){\color{orange}{$D_4$}}
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%\uput[45](1.2,0.1){\blue$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\end{document}