\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Kriegk \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Année 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small L'année 2024} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Asie} \lfoot{\small 18 juin 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Asie 18 juin 2024 \decofourright}} \end{center} \section*{Exercice 1 : \hfill 20 points} \emph{Bien qu'on ne demande pas de justification sur votre copie, on en donne dans ce corrigé.} \medskip \textbf{Question 1}\quad Le nombre premier est 37 : \textbf{réponse C}. En effet : \begin{itemize}[label=\textbullet] \item 1 n'est pas premier, il n'a qu'un seul diviseur entier naturel; \item 21 est divisible par 1, 3, 7 et 21 : il a plus de deux diviseurs entiers naturels; \item 54 est divisible, entre autres, par 1, 2 et 54 (il y a 8 diviseurs entiers naturels, en tout) : il a plus de deux diviseurs entiers naturels. \end{itemize} Contrairement à tous les autres nombres, 37 a exactement deux diviseurs naturels : 1 et 37. \medskip \textbf{Question 2}\quad L'aire totale du patron est de \np[cm^2]{150} : \textbf{réponse B}. En effet un cube a six faces, chaque face étant un carré dont le côté est l'arête du cube, donc ici \np[cm]{5}. Chaque face a une aire de :\quad $5^2 = 25 \:(\text{cm}^2)$. L'ensemble des six faces a donc une aire totale de :\quad $6\times 25 = 150 \:(\text{cm}^2)$. \medskip \textbf{Question 3}\quad Une forme factorisée de l'expression est $(2x-3)(2x+3)$ : \textbf{réponse B}. Dans l'expression littérale $4x^2 - 9$ on reconnaît une identité remarquable : $\aligned[t] 4x^2 - 9&= (2x)^2 - 3^2\\ &= \big((2x) - 3\big)\big((2x) + 3\big)\\ &=(2x - 3)(2x + 3)\endaligned$ \medskip \textbf{Question 4}\quad La largeur de l'écran est d'environ \np[cm]{62} : \textbf{réponse A}. Si la longueur et la largeur $\ell$ de l'écran sont dans le ratio $16 : 9$, alors on peut compléter le tableau de proportionnalité : \begin{center} \begin{tabularx}{5cm}{|l|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline Longueur&16&110\\ \hline Largeur&9&$\ell$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Avec un produit en croix, on a :\quad $\ell = \dfrac{110 \times 9}{16}=61,875$ Au centimètre près, cela donne donc \np[cm]{62}. \medskip \textbf{Question 5}\quad La médiane est 4,1 \textbf{réponse B} On range les valeurs dans l'ordre croissant : \quad 3,4\quad $\leqslant$\quad 3,67\quad $\leqslant$\quad 4,1\quad $\leqslant$\quad 4,23\quad $\leqslant$\quad 4,5 Comme il y a 5 valeurs et que 5 est un nombre impair, la médiane est la valeur en position $\dfrac{5 + 1}{2}=3$, dans la série ordonnée, ici, c'est donc 4,1. \bigskip \section*{Exercice 2 : \hfill 18 points} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation \no 1} : Fausse. En effet, sur représentation en perspective cavalière, on voit que l'assemblage est constitué de 4 cubes, trois étant posés sur un plan, et le quatrième posé au dessus des trois autres. Sur les vues \og horizontales\fg{} (vue de face, vue de dos, vue de gauche et la vue de droite), ce quatrième cube sera visible au dessus des autres. Sur le dessin présenté, on ne voit pas le quatrième cube. \begin{minipage}{10cm} \emph{Remarque :} On peut aussi dessiner sur sa copie la vue que l'on devrait avoir de droite, qui donne le dessin ci-contre : \end{minipage} \hfill~ \begin{tikzpicture}[scale=0.7, baseline={(0,0.7)}] \draw(0,0) rectangle (2,1) (0,0) rectangle (1,2) ; \end{tikzpicture}\hfill~ \item \textbf{Affirmation \no 2} : Fausse Dans la configuration, on a : \begin{itemize}[label=\textbullet] \item S, N et O sont alignés, dans cet ordre; \item S, U et D sont alignés, dans le même ordre. \end{itemize} Puisque l'on a : \begin{itemize}[label=\textbullet] \item d'une part :\quad $\dfrac{\mathrm{SN}}{\mathrm{SO}} = \dfrac{1}{2}$, car N est le milieu de [SO]; \item d'autre part : \quad $ \dfrac{\mathrm{SU}}{\mathrm{SD}} = \dfrac{5}{5 + 6} = \dfrac{5}{11}$; \item $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{5}{11}$ \end{itemize} d'après la contraposée du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (NU) et (OD) ne peuvent pas être parallèles. \item \textbf{Affirmation \no 3} : Vraie. En effet, nous avons deux expériences aléatoires dans lesquelles on est en situation d'équiprobabilité : les boules sont indiscernables au toucher dans l'une et le dé est non truqué dans l'autre. La probabilité d'un événement est donc toujours égale au nombre d'issues favorables sur le nombre d'issues total. Dans la première expérience, 6 issues sont favorables à l'événement (les 6 boules bleues) avec 10 issues possibles (6 + 4 = 10 boules dans l'urne), donc la probabilité qu'il se réalise est de $\dfrac{6}{10}= \dfrac{3}{5} = 0,6$. Dans la seconde expérience, 3 issues sont favorables à l'événement (les issues 2; 4 et 6) avec 6 issues possibles (les six numéros portés par les faces du dé), donc la probabilité qu'il se réalise est de $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0,5$. On a bien : \quad $0,6 \geqslant 0,5$, \quad donc la probabilité d'obtenir une boule bleue est effectivement supérieure à la probabilité que le numéro annoncé soir pair. \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 3 : \hfill 20 points} \medskip \begin{enumerate} \item Comme les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires, le triangle BCG est un triangle rectangle en C. Dans ce triangle rectangle en C, le théorème de Pythagore donne l'égalité suivante : $\mathrm{BG}^2 = \mathrm{BC}^2 + \mathrm{CG}^2$. En remplaçant par les valeurs connues, on a : \quad $20^2 = \mathrm{BC}^2 + 10^2$ Soit : \quad $\mathrm{BC}^2 = 20^2-10^2 = 400 - 100 = 300$. Comme BC est une distance, c'est une valeur positive, donc :\quad $\mathrm{BC} = \sqrt{300} \approx 17,32$. En arrondissant au millimètre, on a bien BC mesurant environ 17,3 cm. \item Dans le triangle BAG, on va considérer [AB] comme la base, et [CG] est donc la hauteur associée à cette base. La longueur AB est le double de la longueur BC, puisque C est le milieu de [AB]. L'aire du triangle est donc : \quad $\dfrac{\mathrm{AB}\times\mathrm{CG}}{2} = \dfrac{2\sqrt{300}\times 10}{2} = 10\sqrt{300} = 100\sqrt{3}\approx 173,2$. À l'unité près, l'aire du triangle BAG est de \np[cm^2]{173}. \item \begin{enumerate} \item Dans le triangle CGB, rectangle en C, on sait que : $\cos\left(\widehat{\mathrm{CGB}}\right) = \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{GB}} = \dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0,5$. Soit on sait que l'angle dont le cosinus vaut 0,5 est un angle de 60\degre, soit on utilise sa calculatrice en effectuant $\arccos(0,5)$ (ou $\cos^{-1}(0,5)$, selon le modèle de calculatrice), qui renvoie 60\degre. \item Le triangle AGB est un triangle isocèle en G (puisque l'arc de cercle passant par A et B a pour centre G, cela signifie que GA = GB, c'est le rayon de l'arc de cercle). La droite (CG) est donc la hauteur issue du sommet principal G, dans ce triangle ABG, isocèle en G. Cela signifie que la hauteur est aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{\mathrm{AGB}}$. Ainsi, l'angle $\widehat{\mathrm{CGB}}$ est donc la moitié de l'angle $\widehat{\mathrm{AGB}}$. On a donc, d'après la question précédente : \quad $\widehat{\mathrm{AGB}}=2\times 60 = 120$\degre. \end{enumerate} \item Les trois élèves peuvent effectivement former un disque complet avec leurs trois pièces, puisque un disque complet correspond à un arc de 360\degre, comme ils ont trois portions de disque avec des angles au centre de 120\degre, en mettant leur trois pièces ensemble ils vont reconstituer un angle au centre de $3\times 120 = 360$\degre, donc un disque complet. \item En mettant les trois pièces, on a donc un disque, de centre G et de rayon $R=\np[cm]{20}$. La surface de ce disque est donnée par :\quad $\pi \times R^2 = 400\pi$. Comme ce disque est l'assemblage de trois pièces idendiques (et donc de même surface), chacune des trois pièce à une surface de :\quad $\dfrac{400\pi}{3}\approx 418,9$. À l'unité près, l'aire de chaque pièce est de \np[cm^2]{419} \end{enumerate} \section*{Exercice 4 : \hfill 26 points} \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item D'après le tableau indicatif des distances, la distance entre Marseille et Strasbourg est de 803 km. Pour l'aller et le retour, on aura donc une distance totale de $803 \times 2 = \np[km]{1606}$. \item En choisissant la formule B, ils vont donc payer : $300 + \np{1606}\times 0,25 = 300 + 401,25 = 701,50$~(\euro). Ce calcul confirme le coût total annoncé. \item On peut déjà dire que le prix payé avec la formule B est inférieur à celui de la formule C, car :\quad $701,50 < 900$. Avec la formule A, le prix payé serait : \quad$ 1606 \times 0,5 = 803 > 701,25 $. Le prix A est aussi plus élevé que le B. La formule la plus avantageuse est donc la formule B. \item Si la voiture doit faire 1606 km (pour la distance aller et retour), alors elle va consommer :\quad $1606\times \dfrac{5,6}{100} = \np[L]{89,936}$ de carburant. Si le prix moyen du carburant est de 1,87 \euro{} par litre, le prix du carburant sera de :\quad $1,87 \times 89,936 = 168,18032$, soit, au centime près : 168,18\,\euro{}. Le coût total du voyage inclus la location de la voiture, l'achat du carburant nécessaire et les péages, et donc est de : \quad $701,50 + 168,18 + 115,80 = 985,48$\,\euro{}. Comme $985,48 \leqslant 1000$, le budget est suffisant pour ce voyage. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B }: Étude des formules \begin{enumerate}[resume] \item Pour la formule A : $0,50 \times x = 0,5x$; Pour la formule B : $300 + 0,25 \times x = 0,25x + 300$; Pour la formule C : $900$ (ici, le prix est fixe et ne dépend donc pas de $x$). \item Pour la formule A, on a une formule qui est l'expression d'une fonction linéaire, représentée par une droite passant par l'origine du repère : cela ne peut-être que la courbe 3; La formule B est l'expression d'une fonction affine non linéaire, dont l'ordonnée à l'origine est 300, elle est donc représentée par une droite qui coupe l'axe des ordonnées à la graduation 300 : c'est la courbe 2; La formule C est l'expression d'une fonction constante égale à 900, représentée par une droite horizontale coupant l'axe des ordonnées à la graduation 900 : c'est donc la courbe 1 (on pouvait aussi procéder par élimination, mais de toutes façons, aucune justification n'était attendue, ici). \item Résolvons l'équation : \quad$\aligned[t] 0,25x + 300 = 0,5x &\iff 300 = 0,25x\\ &\iff \dfrac{300}{0,25} = x\\ &\iff x = \np{1200}\endaligned$ L'équation a une unique solution, \np{1200}. Cela signifie que c'est pour \np{1200}~km parcourus que le prix payé avec la formule B est le même que celui avec la formule A. Graphiquement, cela correspond donc à l'abscisse du point d'intersection entre les courbes 2 (qui représente le prix payé avec la formule B) et 3 (prix payé avec la formule A). \item \begin{enumerate} \item Puisqu'il n'y a pas de justification attendue, on peut procéder par lecture graphique : après l'abscisse 2400, et donc notamment pour \np{2500}~km parcourus, c'est la courbe 1 qui est sous les deux autres, c'est donc la formule C qui est la plus avantageuse. \item Pour que la formule A soit la plus intéressante, il faut que la courbe 3 soit la plus basse. Ceci est vrai pour les abscisses entre 0 et \np{1200}, donc n'importe quelle distance choisie dans l'intervalle $[0 ~;~\np{1200}]$ est une bonne réponse. (même si la réponse 1200 km n'est pas la meilleure, car, les formules A et B sont toutes les deux les plus intéressantes pour cette distance là). \item Ici, cela va dépendre de la distance parcourue : \begin{itemize}[label=\textbullet] \item de 0 km à \np{1200}~km, le moins cher est la formule A ; \item de \np{1200}~km à \np{2400}~km, le moins cher est la formule B ; \item de \np{2400}~km à \np{2600}~km parcourus, le moins cher est la formule C. \end{itemize} Pour exactement \np{1200}~km parcourus, les formules A et B sont au même prix, pour exactement 2400 km parcourus, les formules B et C sont au même prix. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 5 : \hfill 16 points} \emph{Dans tout l'exercice, on n'attendait pas de justification, on en donne quelques unes dans ce corrigé quand même.} \begin{enumerate} \item Le bloc \begin{scratch} \blockmove{aller à x: \ovalnum{- 100} y: \ovalnum0} \end{scratch} indique que le lutin se positionne aux coordonnées $ (-100~;~0) $. \item \begin{minipage}[t]{8.5cm} Voici la figure obtenue, en prenant 1 cm pour 20 pas : \medskip En effet, le script donne : \begin{itemize}[label=\textbullet] \item on place le lutin au point $ (-100,0) $; \item le lutin regarde vers la droite; \item la variable \og côté \fg{} prend la valeur 80; \item on avance de 80 pas (donc 4 cm, ici); \item le lutin tourne dans le sens anti horaire de 120\degre, donc le prochain segment fera un angle de : $ 180 - 120 = 60 $\degre avec le segment précédent; \item on recommence deux autres fois, en traçant des segments de 4 cm, formant un angle de 60\degre avec le segment précédent : on trace donc un triangle équilatéral de côté 4cm. \end{itemize} \end{minipage} \hfill \begin{tikz}[baseline={(current bounding box.north)}] \draw (0,0)--(0:4cm)--(60:4cm)--(0,0)--(-60:4)--(0:4); \end{tikz} \begin{itemize}[label=\textbullet] \item après cette première boucle, on est donc revenu au point de départ (on a bouclé le triangle équilatéral) et on a tourné 3 fois de 120\degre, donc on a fait un tour complet ($3\times 120 = 360$\degre), on regarde donc dans le même sens qu'au début; \item la boucle suivante refait tracer un triangle équilatéral, avec le premier côté en commun, mais cette fois, on tourne dans l'autre sens. \end{itemize} \item Le script \no 1 trace le motif une première fois, se décale de 100 pas vers la droite (et donc est 20 pas à droite de la droite du motif précédent), trace à nouveau le motif, puis recommence une troisième fois : c'est la figure B. Le script \no 2 trace le motif une première fois avec un côté de 80, puis, sans se déplacer, le trace une deuxième fois, avec un côté multiplié par 1,2 (soit 96 pas), puis une troisième fois avec un côté à nouveau multiplié par 1,2 (pour arriver à 115,2 pas de côté) : c'est la figure A. Le script \no 3 est donc associé à la figure C, par élimination. \begin{minipage}{10.5cm} On peut aussi le comprendre : on trace le motif une première fois, puis une deuxième fois, mais après avoir fait une rotation de 120\degre{} dont le centre est le point de départ, puis une troisième fois après une autre rotation. On obtient la figure ci dessous, où le premier motif est en trait fin, le second en trait plus épais et le troisième encore plus épais : \end{minipage} \hfill \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0)}] \draw[line width=0.5pt] (0,0)--(-60:1)--(0:1)--(60:1)--cycle--(0:1); \draw[line width=1.25pt] (0,0)--(60:1)--(120:1)--(180:1)--cycle--(120:1); \draw[line width=2pt] (0,0)--(180:1)--(240:1)--(300:1)--cycle--(240:1); content \end{tikzpicture} \item Dans cette question on s'intéresse au script \no 2. \begin{enumerate} \item Le bloc \og motif \fg{} est exécuté trois fois. \item À la fin de ce script, la variable côté a été multipliée trois fois par 1,2 donc sa valeur est : \quad $80 \times 1,2^3 = 138,24$. Cependant, aucun motif n'est tracé avec ce côté là, s'il y avait 4 répétitions, le quatrième motif serait tracé avec un côté de 138,24 pas, et la variable terminerait à la valeur $80\times 1,2^4$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}