\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit sujet : Denis Vergès %Tapuscrit corrigé : Valérie Tamboise et François Kriegk %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-tab} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~~;~~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Corrigé Asie Sujet 1 10 juin 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.3} \frenchsetup{StandardLists=true} %\geometry{a5paper,margin=5mm} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{10 juin 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 10 juin 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3, espcl=4]{$x$/0.8,variations de $f$/1.5}{0,{$1,5 $}, 5 } \tkzTabVar{-/{$-5,5$},+/{$2,4$},-/{$0,35$}} \end{tikzpicture} \end{center} \item La courbe $\mathcal{C}$ semble traverser la tangente au point A et donc admettre un point d'inflexion au point A. \item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~1,5[$ puis décroissante sur l'intervalle $]1,5~;~5]$, sa dérivée est donc positive puis négative. La courbe représentant la dérivée $f'$ de $f$ est donc la courbe $\mathcal{C}_2$. La fonction $f$ est concave sur $[0~;~2,5[$ puis convexe sur $]2,5~;~5]$, sa dérivée seconde est donc négative puis positive. La courbe représentant la dérivée seconde $f''$ de $f$ est donc la courbe $\mathcal{C}_1$. \item Si $F$ est une primitive de $f$, on aura donc $f = F'$ et $f'= F''$. $f$ est négative sur $[0~;~0,5[$ puis positive, une primitive est donc décroissante sur $[0~;~0,5[$ puis croissante : ce n'est pas le cas (c'est même exactement le contraire) de la fonction représentée par $\mathcal{C}_3$. $\mathcal{C}_3$ n'est donc pas la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$. %$f'(x)=0$ pour $x=1,5$ donc une primitive admet un point d'inflexion au point d'abscisse $1,5$. % % Ces deux conditions semblent être respectées sur la courbe $\mathcal{C}_3$, cette représentation peut donc être celle d'une primitive de $f$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $f$ est de la forme $u\times v$ avec $u(x)=4x-2$ et $v(x)=\e^{-x+1}$. On a donc $u'(x)= 4$ et $v'(x)=-1 \times \e^{-x+1}$. $f'= u'v + v'u$ donc, pour tout réel $x$ positif : $f'(x) = 4 \times \e^{-x+1} -1 \times \e^{-x+1} \times (4x-2)= (4-4x+2)\e^{-x+1} = (-4x+6)\e^{-x+1}$. \item Déterminons le signe de $-4x+6$ : \quad $\aligned[t] -4x+6 >0 &\iff 6 > 4x \\ &\iff \dfrac{3}{2}>x\endaligned$ les images pertinentes sont : \quad $f(0)= (4\times 0 -2) \e ^{-0+1}= -2\e$ et \quad $f\left( \dfrac{3}{2}\right)= \left(4 \times \dfrac{3}{2}-2\right)\e^{-\frac{3}{2}+1}=4\e^{-\frac{1}{2}}$ \quad (la limite en $+\infty$ est admise). \emph{Remarque :} On a $-2\e \approx -5,43$, ce qui confirme la lecture graphique de la \textbf{partie A} \linebreak et $ f\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 2,43 $, là aussi, conforme. On a donc le tableau : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3]{$x$/0.8,signe de $-4x+6$/0.8,signe de $\e^{-x+1}$/0.8,signe de $f'(x)$/0.8,variations de $f$/2}{0,$\dfrac{3}{2}$,$+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-} \tkzTabLine{,+,t,+} \tkzTabLine{,+,z,-} \tkzTabVar{-/$-2\e$,+/$4\e^{-\frac{1}{2}}$,-/0} \end{tikzpicture} \end{center} \item Pour tout réel $x$ positif on a : $f''(x)= -4 \times \e^{-x+1} -1 \times \e^{-x+1} \times (-4x+6)= (-4+4x-6)\e^{-x+1}= (4x-10)\e^{-x+1}$ Déterminons le signe de $4x-10$ :\quad $\aligned[t] 4x-10 >0 &\iff 4x > 10 \\ &\iff x>\dfrac{5}{2}\endaligned$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3]{$x$/0.8,signe de $4x-10$/0.8,signe de $\e^{-x+1}$/0.8,signe de $f''(x)$/0.8}{0,$\dfrac{5}{2}$,$+\infty$} \tkzTabLine{,-,z,+} \tkzTabLine{,+,t,+} \tkzTabLine{,-,z,+} \end{tikzpicture} \end{center} La fonction $f$ est donc concave sur $\left[0~;~\dfrac{5}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{5}{2}~;~+\infty\right[$. Le point A, d'abscisse $\dfrac{5}{2}$ est un point d'inflexion de la courbe représentative de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=(ax+b)\e^{-x+1}$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels. $F$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ positif on a : $F'(x)= 1 \times \e^{-x+1} - \times \e^{-x+1} \times (ax+b)= (a-ax-b)\e^{-x+1}= (-ax-b+a)\e^{-x+1}$ $\aligned F\text{ est une primitive de }f &\iff F'=f\\ &\iff \forall x \in \R^+ \quad (-ax-b+a)\e^{-x+1}= (4x-2)\e^{-x+1} \\ &\iff \forall x \in \R^+ \quad (-ax-b+a)= (4x-2) \quad \text{ car } \quad \e^{-x+1}>0 \\ &\iff \begin{cases} -a=4 \\ a-b=-2 \end{cases} \quad\text{par identification des coefficients}\\ &\iff \begin{cases} a=- 4 \\ b=a+2=-4+2=-2 \end{cases}\endaligned$ $F(x)=(-4x-2)\e^{-x+1}$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \item $\displaystyle I = \int_{\frac{3}{2}}^8 f(x) \mathrm{d} x = \Big[(-4x-2)\e^{-x+1} \Big]_{\frac{3}{2}}^8 = (-4\times 8-2)\e^{-8+1} - \left(-4\times \dfrac{3}{2}-2\right)\e^{-\frac{3}{2}+1} = -34\e^{-7}+ 8\e^{-\frac{1}{2}}$ $I \approx 4,821$ soit $4,82$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La hauteur du point de départ est égale à $f\left(\dfrac{3}{2}\right)= 4\e^{-\frac{1}{2}} \approx 2,426$ soit $2,43\,\rm{m}$ au centimètre près. \item L'aire, en unité d'aire, est égale à l'intégrale $I$ calculée à la question \textbf{3.} L'unité est le mètre, une unité d'aire est donc égale à $\np[m^2]{1}$. On veut donc couvrir une surface de : \quad $\dfrac{75}{100} \times 4,82 \, \rm{m}^2$ soit environ $3,62 \,\rm{m}^2$. De plus : $\dfrac{3,62}{0,8} \approx 4,525$ Il faudra donc 5 bombes de peinture pour réaliser cette œuvre. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item On a : \quad $\vect{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} 4 - 3\\ -1 - (-1) \\ 0-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ \quad et \quad $\vect{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix} 0 - 3\\ 3 - (-1) \\ 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}$. On a $x_{\vect{\mathrm{AC}}} = -3 x_{\vect{\mathrm{AB}}}$, mais $y_{\vect{\mathrm{AC}}} \neq -3 y_{\vect{\mathrm{AB}}}$, les vecteurs sont donc non colinéaires, et donc les points A, B et C ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item On sait que A, B et C ne sont pas alignés, et donc qu'ils définissent un plan. Pour montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires, il suffit de montrer que D est un point du plan (ABC), ce qui équivaut à prouver qu'un vecteur reliant un point du plan (ABC) au point D est coplanaire à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Pas tout à fait au hasard (car on a regardé l'énoncé de la question suivante), on va choisir d'exprimer le vecteur $\vect{\mathrm{CD}}$ en fonction d'une base de (ABC) constituée des vecteurs $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$ dont on a déjà déterminé les coordonnées précédemment. On a : \quad $\vect{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}4 - 0\\3 - 3\\-2 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}$. On remarque que l'on a :\quad $\vect{\mathrm{CD}} = 4\times \vect{\mathrm{AB}} + 0\times \vect{\mathrm{AC}}$. Le vecteur $\vect{\mathrm{CD}}$ peut donc être écrit comme combinaison linéaire des vecteurs $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$, donc c'est un vecteur du plan (ABC), et puisque C est dans le plan (ABC), on en déduit que D est également dans (ABC). Finalement, puisque D est dans (ABC), les quatre points A, B, C et D sont bien coplanaires. \item À la question précédente, on a établi $\vect{\mathrm{CD}} = 4\times \vect{\mathrm{AB}} + 0\times \vect{\mathrm{AC}}$, c'est-à-dire $\vect{\mathrm{CD}} = 4\times \vect{\mathrm{AB}}$. Les vecteurs $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{CD}}$ étant colinéaires, les segments [AB] et [CD] sont portés par des droites parallèles (strictement, car C n'est pas aligné avec A et B). ABCD est donc une figure plane (les quatre points étant coplanaires), c'est donc un quadrilatère, non croisé (puisque $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires de même sens, cela signifie que ABDC est non croisé, ABCD serait un quadrilatère croisé), dont les côtés [AB] et [DC] sont parallèles : le quadrilatère ABDC est donc bien un trapèze, de bases [AB] et [DC]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comme on est dans un repère \Oijk{} orthonormé, on va utiliser les coordonnées des vecteurs pour calculer le produit scalaire : \begin{itemize} \item $\vect{n}\cdot\vect{\mathrm{AB}} = 2\times 1 + 1 \times 0 + 2 \times (-1) = 2 + 0 - 2 = 0$ :\quad $ \vect{n}$ et $\vect{\mathrm{AB}}$ sont donc orthogonaux; \item $\vect{n}\cdot\vect{\mathrm{AC}} = 2\times (-3) + 1 \times 4 + 2 \times 1 = -6 + 4 + 2 = 0$ :\quad $ \vect{n}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$ sont aussi orthogonaux; \end{itemize} $\vect{n}$ étant orthogonal à une base (deux vecteurs non colinéaires) du plan (ABC), on en déduit que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ étant normal à (ABC), on en déduit que (ABC) admet une équation de la forme :\quad$ 2x + y + 2z + d = 0$, où $d$ est un réel donné. De plus, $\aligned[t] \mathrm{A} \in (\mathrm{ABC}) &\iff 2x_{\mathrm{A}} + y_{\mathrm{A}} + 2z_{\mathrm{A}} + d = 0\\ &\iff 2\times 3 + (-1) + 2\times 1 + d = 0\\ &\iff 6 - 1 + 2 + d = 0\\ &\iff d = -7\endaligned$ Finalement, une équation de (ABC) est :\quad$2x + y + 2z - 7 = 0$. \item Si $\Delta$ est orthogonale à (ABC), cela signifie que $\vect{n}$, qui est normal à (ABC) doit diriger $\Delta$. Et si la droite passe par S, de coordonnées $(2 ~;~ 1 ~;~ 4)$, on en déduit qu'une représentation paramétrique de $\Delta$ est : $\begin{cases}x = x_{\mathrm{S}} + x_{\vect{n}}t\\y = y_{\mathrm{S}} + y_{\vect{n}}t\\z = z_{\mathrm{S}} + z_{\vect{n}}t\\ \end{cases} \quad t \in \R$\quad ce qui donne ici :\quad $\begin{cases}x = 2 + 2t\\y=1+t\\z=4+2t\end{cases} \quad t \in \R$. \item On nomme $M_t$ le point de paramètre $t$ sur la droite $\Delta$. $\aligned[t] M_t \in (\mathrm{ABC}) &\iff 2x_{M_{t}} + y_{M_{t}} + 2z_{M_{t}} - 7 = 0\\ &\iff 2(2 + 2t) + (1 + t) + 2(4 + 2t) - 7 = 0\\ &\iff 4 + 4t + 1 + t + 8 + 4t - 7 = 0\\ &\iff 9t + 6 = 0\\ &\iff t = \dfrac{-2}{3}\endaligned$ Il existe donc un unique point de $\Delta$ qui est sur le plan (ABC), c'est le point de paramètre $t=\dfrac{-2}{3}$ dans la représentation paramétrique. Ce point est donc le point I (ou bien $M_{\frac{-2}{3}}$), et a bien pour coordonnées : $\left(2 + 2\times \dfrac{-2}{3} ~;~ 1 + \dfrac{-2}{3}~;~ 4 + 2\times \dfrac{-2}{3}\right) = \left(\dfrac{2}{3} ~;~ \dfrac{1}{3} ~;~ \dfrac{8}{3}\right)$. Dans le repère orthonormé \Oijk{}, on a donc : $\aligned[t] \mathrm{SI} &= \sqrt{\left(x_\mathrm{I} - x_{\mathrm{S}}\right)^2 +\left(y_\mathrm{I} - y_{\mathrm{S}}\right)^2 +\left(z_\mathrm{I} - z_{\mathrm{S}}\right)^2 } = \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-2\right)^2 + \left(\dfrac{1}{3} - 1\right)^2 + \left(\dfrac{8}{3} - 4\right)^2 } \\ &=\sqrt{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2 } = \sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9} + \dfrac{16}{9}} = \sqrt{\dfrac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2 \endaligned$ On arrive bien à SI = 2 unités graphique, et comme \Oijk{} est d'unité graphique 1 cm, on a bien SI = 2 cm. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Avec les coordonnées données pour H, on a $\vect{\mathrm{BH}} \begin{pmatrix}-1 \\ 4\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{\mathrm{CH}} \begin{pmatrix}3 \\ 0\\-3\end{pmatrix}$. On a donc : \quad $\vect{\mathrm{CD}}\cdot\vect{\mathrm{BH}} = 4\times (-1) + 0\times 4 + (-4) \times -1 = -4 + 0 + 4 = 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux, et les droites (BH) et (CD) qu'ils dirigent sont orthogonales. Par ailleurs :\quad $\vect{\mathrm{CH}} = \dfrac{3}{4}\vect{\mathrm{CD}}$, les points C, H et D sont alignés, donc H est sur la droite (CD). H est donc le point de la droite (CD) tel que (BH) est orthogonale à (CD), donc c'est bien le projeté orthogonal de B sur (CD). On a $\mathrm{BH} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-1)^2 } = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. La distance BH est bien égale à $3\sqrt{2}$ cm. \item On a donc besoin de connaître les longueurs des deux bases du trapèze : \begin{itemize} \item $\mathrm{AB} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ cm; \item Comme on a $\vect{\mathrm{CD}} = 4\times \vect{\mathrm{AB}}$, on a notamment, $\mathrm{CD} = \left|4\right|\times \mathrm{AB} = 4\sqrt{2}$ cm. \end{itemize} L'aire du trapèze ABDC est donc :\quad $\mathcal{A}_{\mathrm{ABDC}} = \dfrac{\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} =\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}= \np[cm^2]{15} $ \end{enumerate} \item Finalement, le volume de la pyramide est :\quad $\mathcal{V}_{\mathrm{ABDCS}} = \dfrac{1}{3} \times 15 \times 2 = \np[cm^3]{10}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Puisque l'individu est choisi dans la population française, on suppose qu'il y a une situation d'équiprobabilité et que les proportions sont assimilables à des probabilités. Comme 5,7\,\% des adultes avaient déjà été infectés, d'après l'étude du \emph{Lancet}, la probabilité que l'individu choisi ait déjà été infecté est de $P(I) = 0,057$. \item \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item On a une épreuve de Bernoulli, dont le succès : \og l'individu choisi a déjà été infecté\fg{}, a une probabilité $p = 0,057$; \item Cette épreuve est répétée $N = 100$ fois, de façon identique et indépendante (car le prélèvement des 100 individus est assimilé à un tirage avec remise); \item $X$ est une variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi ces répétitions. \end{itemize} Avec ces éléments, on peut affirmer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $N = 100$ et $p = 0,057$. \emph{Remarque :} le paramètre donnant le nombre de répétitions est souvent noté $n$, plutôt que $N$, mais dans la question \textbf{2. e.}, un entier $n$ est introduit, donc pour éviter le conflit de notation, on utilise $N$ ici. \item Puisque $X$ suit une loi binomiale, on a :\quad $E(X) = N\times p = 100\times 0,057 = 5,7$. On en déduit que dans un échantillon de 100 personnes adultes choisies au sein de la population française le 11 mai 2020, en moyenne, 5,7 d'entre eux avaient déjà été infectés par la COVID 19. \item La probabilité demandée est celle de l'évènement $\{X = 0\}$. Pour les variables aléatoires régies par la loi binomiale, on a (pour $k$ entier naturel inférieur à $n$) :\quad $P(X = k) = \displaystyle \binom{N}{k} \times p^k \times (1 - p)^{N-k}$. On a donc, ici : \quad $P(X = 0) = \displaystyle \binom{100}{0 }\times 0,057^0 \times 0,943^{100} = 0,943^{100} \approx 0,0028$. \item La probabilité qu'au moins deux personnes de l'échantillon aient été préalablement infectées est de : $P(X \geqslant 2 ) = 1 - P\big(~\overline{X \geqslant 2}~\big) = 1 - P(X \leqslant 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$. (Certains modèles de calculatrices n'ont pas besoin de ce calcul). À la calculatrice, on obtient : \quad$P(X \geqslant 2) \approx 0,9801$. \item Par exploration à la calculatrice, on constate que pour $n \leqslant 8$, on a une probabilité inférieure ou égale à 0,9, avec $P(X \leqslant 8) \approx 0,8829$ et $P(X \leqslant 9) \approx 0,9408$. L'entier cherché est 9. Cela signifie que dans un échantillon de cent adultes choisis dans la population française le 11 mai 2020, il y a plus de neuf chances sur dix que le nombre d'entre eux préalablement infectés par la COVID 19 est inférieur ou égal à 9. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item L'évènement $I$ est l'évènement déjà utilisé dans la \textbf{Partie A}. On avait $P(I) = 0,057$. \begin{itemize} \item La description de la \textbf{sensibilité} nous fait comprendre qu'il s'agit de la probabilité conditionnelle : \quad $P_I(T) = 0,8$; \item celle de la \textbf{spécificité} indique que est :\quad$P_{\overline{I}}\big(~\overline{T}~\big) = 0,99$. \end{itemize} Avec ces informations, on peut compléter l'arbre probabilisé : \hfill~\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick] \tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{3} \def\DistanceInterFeuilles{0.8} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$I$}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,057$}; \draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$0,8$}; \draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$0,2$}; \draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$0,943$}; \draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$0,01$}; \draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$0,99$}; \end{tikzpicture}\hfill~ \item Les évènements $I$ et $\overline{I}$ partitionnent l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales : $P(T) = P\big(I\cap T\big) + P\big(~\overline{I} \cap T\big) = 0,057 \times 0,8 + 0,943 \times 0,01 = \np{0,05503}$. \item La question posée est de calculer : \quad $P_T(I)$. D'après la définition des probabilités conditionnelles : $P_T(I) = \dfrac{P(T \cap I)}{P(T)} = \dfrac{0,057 \times 0,8}{\np{0,05503}} = \dfrac{4560}{5503} \approx \np{0,8286}$. Cela signifie qu'une personne dont le test est positif n'a qu'une probabilité de \np{0,8286} (environ) d'avoir été préalablement infectée par la COVID 19. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Si le test est le même, sa sensibilité et sa spécificité sont les mêmes, ce qui change, c'est donc la probabilité d'avoir été préalablement infecté. Cette probabilité n'est pas connue, notons la $x$. On a donc l'arbre suivant : \hfill~\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick] \tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{3} \def\DistanceInterFeuilles{0.8} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$I$}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$x$}; \draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$0,8$}; \draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$0,2$}; \draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$1-x$}; \draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$0,01$}; \draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$0,99$}; \end{tikzpicture}\hfill~ Les évènements $I$ et $\overline{I}$ partitionnent toujours cet univers différent, donc, d'après la loi des probabilités totales : $P(T) = P\big(I\cap T\big) + P\big(~\overline{I} \cap T\big) = x \times 0,8 + (1 - x) \times 0,01 = 0,8x + 0,01 - 0,01x = 0,79x + 0,01$. D'après l'énoncé, 29,44\,\% des gens ont un test positif, donc la probabilité de choisir un individu dont le test est positif est de 0,2944. On a donc une double égalité, dont on déduit l'équation suivante : \quad $0,79x + 0,01 = 0,2944$ Résolvons :\quad $\aligned[t] 0,79x + 0,01 = \np{0,2944}&\iff 0,79x = \np{0,2844}\\ &\iff x = \dfrac{\np{0,2844}}{0,79}\\ &\iff x = \dfrac{\np{2844}}{\np{7900}}\endaligned$ La probabilité que la personne choisie ait été infectée est donc de $\dfrac{\np{2844}}{\np{7900}} = 0,36$. Dans cet autre pays, la proportion de personnes préalablement infectées est donc 36\,\%. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 : FAUSSE.} La propriété du cours indique que toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers une limite $\ell$, avec $\ell\geqslant 0$. Il suffit donc d'exhiber un contre-exemple. La suite constante égale à 1 est décroissante (mais pas strictement décroissante) et minorée par 0 (entre autres), et pourtant, elle converge vers 1, et pas vers 0. Si on préfère donner un contre exemple avec une suite strictement décroissante, on peut par exemple choisir la suite définie sur $\N^*$ et de terme général :\quad $u_n = 1 + \dfrac{1}{n}$, par exemple. Cette suite est assez clairement décroissante, minorée par 0 et converge vers 1. \item \textbf{Affirmation 2 : VRAIE.} En effet, pour $n$ entier naturel :\quad $v_n = \dfrac{-9^n + 3^n}{7^n} = -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \dfrac{1 - \left(\dfrac{3}{9}\right)^n }{1} = -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)$ Comme on a : $\dfrac{9}{7}>1$, on en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{9}{7}\right)^n = +\infty.$ Par ailleurs : $-1 < \dfrac{1}{3}<1$, donc on en déduit $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$, donc, par limite de la somme : $\lim\limits_{n \to +\infty} 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 1$. Finalement, par limite du produit : $\lim\limits_{n \to +\infty} -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n \times \left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right) = -\infty$. Si on a, pour tout $n$ naturel, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors, par comparaison : \quad $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = -\infty$. \item \textbf{Affirmation 3 : VRAIE.} L'appel \texttt{terme(4)} commence par initialiser la variable \texttt{U} avec la valeur 1 (ligne 2 de la fonction). Puis, la boucle \texttt{for} va s'exécuter \texttt{N} fois, ici donc 4 fois, avec le compteur \texttt{i} qui va prendre les valeurs entières entre 0 et \texttt{N-1}, donc ici 0, 1, 2 et 3. \begin{itemize} \item La première exécution \og modifie\fg{} \texttt{U} en \texttt{U + 0}, la valeur reste égale à 1; \item La deuxième exécution modifie \texttt{U} en \texttt{U + 1}, la valeur devient égale à $1 + 1 = 2$; \item La troisième exécution modifie \texttt{U} en \texttt{U + 2}, la valeur devient égale à $2 + 2 = 4$; \item La dernière exécution modifie \texttt{U} en \texttt{U + 3}, la valeur devient égale à $4 + 3 = 7$. \end{itemize} On a donc bien la valeur 7 renvoyée par cet appel. \item \textbf{Affirmation 4 : FAUSSE.} Pour connaître le montant total du prix A, il suffit de multipler 1000 par 15. Le montant total est donc de $\np{15000}$\,\euro{}. Pour le prix B, il s'agit d'additionner les 15 premier termes d'une suite géométrique de premier terme 1 (le montant du prix le premier jours) et de raison 2 (car le montant chaque jour est le double du montant de la veille). On applique la formule connue : \quad $1 \times \dfrac{1 - 2^{15}}{1 - 2} =\dfrac{1-2^{15}}{-1} = 2^{15} - 1 = \np{32767}$. Comme $\np{32767} > \np{15000}$, le prix B est (nettement) plus avantageux. \emph{Remarque :} En cas d'oubli de cette formule, on peut aussi (patiemment) calculer la somme des 15 termes, voire même remarquer que la somme reçue au quinzième jour sera de $2^{15 - 1} = \np{16384}$, donc rien que la somme reçue le quinzième jour du prix B est strictement supérieure aux quinze jours cumulés pour le prix A. \item \textbf{Affirmation 5 : VRAIE.} Soit $n$ un entier naturel non nul quelconque : \begin{itemize} \item La fonction ln est strictement croissante sur $\R^{*+}$, et $\ln(1) = 0$, donc on en déduit que la fonction ln est à valeurs positives sur $[1 ~;~ +\infty[$ (voire à valeurs strictement positives sur $]1~;~ +\infty[$). \item $\aligned[t] \displaystyle v_{n+1} - v_n &= \int_{1}^{n+1} \ln x \:\mathrm{d} x - \int_{1}^{n} \ln x \:\mathrm{d} x \\ &= \int_{n}^{n+1} \ln x \:\mathrm{d} x \quad\text{par la relation de Chasles} \endaligned$ \item l'expression $v_{n+1} - v_n$ est donc l'intégrale, entre deux bornes ordonnées dans l'ordre croissant (car $n < n+1$) d'une fonction à valeurs positives sur l'intervalle d'intégration (car $[n ~;~ n+1] \subset [1 ~;~ +\infty[$, puisque $n\geqslant 1$) : cette expression est donc positive. \end{itemize} Pour un $n$ quelconque supérieur à 1, la différence entre les termes $v_{n+1}$ et $v_n$ est positive, donc la suite $\left(v_n\right)$ est bien croissante. \end{enumerate} \end{document}