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\def\Oij{$\leqslant(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\leqslant(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\newcommand{\encircle}[1]{\tikz[baseline=(X.base)]\node (X) [draw, shape=circle, inner sep=0] {\strut #1};}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Représentations graphiques, tableaux de variations					%%%%%
% -------------------------------------------------------------------	%%%%%				
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\usetikzlibrary{arrows, decorations.markings} 							%%%%%
\tikzset { arrow style/.style={ -angle 60 } }							%%%%%
% Arbres																%%%%%
% ---------																%%%%%
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% QCM																	%%%%%
% -------																%%%%%
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\newcommand{\encircle}[1]{\tikz[baseline=(X.base)]\node (X) [draw, shape=circle, inner sep=0] {\strut #1};}		%%%%%
% Texte dans l'environnement maths										%%%%%
% ----------------------------------------------						%%%%%
\let\T\text																%%%%%
% Encadrements de formules												%%%%%
% ------------------------------------									%%%%%
\def\B#1{\fbox{$\displaystyle #1$}}										%%%%%
% Symboles																%%%%%
% -------------															%%%%%
\newcommand{\ii}{\text{i}}												%%%%%
% Vecteurs, angles orientés												%%%%%
% ----------------------------------									%%%%%
\def\v#1{ \vect{\text{#1}} }											%%%%%
\def\V#1#2{ \vect{\text{#1#2}} }										%%%%%
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\def\A#1#2{\big(\v{$#1$},\,\v{$#2$} \big)}								%%%%%
% Nombres décimaux														%%%%%
% --------------------------											%%%%%
\def\dd#1#2{ #1{,}#2 }													%%%%%
% Exponentielle															%%%%%
% ------------------													%%%%%
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% Espace																%%%%%
% ----------															%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}

\section{  Tirage simultané de 3 boules}
Chaque tirage est une combinaison de 3 éléments pris dans un ensemble de 7 éléments : le nombre total de tirages est donc $\displaystyle\binom{7}{3}$.

\begin{enumerate}

\item 
Exemple numérique : choisissons $k = 5$ .

Pour obtenir un tirage dont le plus grand numéro est 5, nous devons choisir deux boules dont les numéros sont compris entre 1 et 4 . Voici la liste des possibilités:

\[\{1, 2\} \quad \{1, 3\} \quad \{1, 4\} \]
\[\{2, 3\} \quad \{2, 4\} \quad \{3, 4\} \]

Il faut donc choisir deux boules distinctes dont les numéros sont compris entre 1 et 4 : il y a $\displaystyle\binom{4}{2}$ possibilités.

Cas général.

Pour obtenir un tirage dont le plus grand numéro est $k$, nous devons choisir deux boules dont les numéros sont compris entre $1$ et $k - 1$.
Le nombre de possibilités est alors $\displaystyle\binom{k - 1}{2}$.

\item
Notons $T_k$ l’ensemble des tirages dont le plus grand numéro est $k$ et $E$ l'ensemble de tous les tirages: $T_k$ est une partie de $E$.
\begin{itemize}
\item les parties $T_k$ sont deux à deux disjointes: pour $j \ne k$ on a $T_j \ \cap\  T_k = \emptyset$
\item d'autre part $E$ est la réunion de tous les $T_k$ lorsque $3 \leqslant k \leqslant7$
\end{itemize}
Autrement dit les parties $T_k$ forment une partition de $E$. On en déduit:
\[
\sum_{k = 3}^{7} \text{card} \ T_k \iff \sum_{k = 3}^{7} \binom{k - 1}{2} = \binom{7}{3}
\]
\end{enumerate}

\newpage

\section{Sous-tangentes}

\begin{enumerate}
\item
On cherche d’abord l’équation réduite de la tangente au point $M$ d’abscisse $t$. Sachant que l’exponentielle est dérivable et qu’elle est égale à sa dérivée, on obtient :

\[y = \e^t(x - t) + \e^t\]

 L’abscisse de $N$ est alors solution de
 
\[ \e^t(x - t) + \e^t = 0 \iff x = t - 1\]

 La distance de $P$ à $N$ est enfin la valeur absolue de la différence de leurs abscisses :
 
\[ PN = \left|t - (t - 1)\right| = 1 \]

\item
	\begin{enumerate}
	\item
	On procède comme dans la question précédente. L’équation réduite de la tangente en $M$ est
	
\[ y = f'(t) (x - t) + f(t)\]

	L’abscisse de $N$ est alors solution de 
\[ f'(t) (x - t) + f(t)  = 0 \iff x = t - \frac {f(t)} {f'(t)}\]
	On e déduit la distance $PN$:
	\[ PN = \left|t - \left( t - \frac {f(t)} {f'(t)}\right)\right| = \left| \frac {f(t)} {f'(t)} \right|\]
	Sachant $f$ et $f'$ strictement positives, on an déduit 
	\[PN = \frac {f(t)} {f'(t)} \]
	\item
	La condition $PN = k$ se traduit par une équation différentielle:
	\[
	(E_k)\quad \text{pour tout réel}\ t \text{:}  \quad  \frac {f(t)} {f'(t)} = k \iff f(t) = k f'(t)
	\]
	\item
	D’après le cours les solutions de $(E_k)$ sont les fonctions $t \longmapsto C \e^{kt}$ où $C$ est une constante réelle arbitraire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%

\newcommand{\proposal}{\raisebox{-0.2ex}{$\square~~$}}
\newcommand{\answer}{\mbox{\rlap{\raisebox{-0.1ex}{\hspace{-0.3ex} $\times$}}\proposal}}
\newcommand{\ii}{\text{i}}

\section{ Complexes: QCM}

\begin{enumerate} 
\item L'écriture algébrique de $z$ tel que $\overline{z}+ |z| = 6 + 2\ii$ est
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
		\answer		$\dfrac{8}{3} - 2\ii$	&
		\proposal		$-\dfrac{8}{3} - 2\ii$	&
		\proposal		$\dfrac{8}{3} + 2\ii$	&
		\proposal		$- \dfrac{8}{3} + 2\ii$ 
	\end{tabularx}
\end{center}

\item L'ensemble des points $M$ d'affixe  $z = x + \ii y$ vérifiant $|z - 1| = |z + \ii |$ est la droite d'équation :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
		\proposal	$ y =x-1$		&
		\answer		$y= -x$		&
		\proposal	$y = -x + 1$	&
		\proposal	$y = x$
	\end{tabularx}
\end{center}

\item Le nombre $\left(2 + 2\ii\sqrt{3}\right)^n$ est réel si et seulement si $n$ s'écrit :
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
		\proposal		$3k+1$	&
		\proposal		$3k+2$	&
		\answer		$3k$		&
		\proposal		$6k$
	\end{tabularx}
\end{center}

\item Une solution de l'équation (E) : $z = \dfrac{6 - z}{3 - z}~  (z \in \C)$ est :
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
		\proposal		$- 2 - \ii\sqrt{2}$	&
		\answer		$2 + \ii\sqrt{2}$		&
		\proposal		$1 - \ii$			&
		\proposal		$-1 - \ii$
	\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $ABC$ équilatéral avec $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$ . 
Si $z_{\text{A}} = \ii$ et $z_{\text{B}} = \sqrt{3}$, alors $z_{\text{C}}$ est égal à:
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
		\proposal		$-\ii$ 			&
		\proposal		$2\ii$ 			&
		\proposal		$\sqrt{3} + \ii$ 		&
		\answer		$\sqrt{3} + 2\ii$
	\end{tabularx}
\end{center}

\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \ii y$ vérifiant  arg $\left(\dfrac{z + 2}{z - 2\ii}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est
inclus dans :
	\begin{itemize}
		\item[\proposal] La droite d'équation $y = -x$
		\item[\proposal] Le cercle de centre I$(1 + \ii)$ et de rayon R = $\sqrt{2}$
		\item[\proposal] La droite d'équation $y = x$
		\item[\answer] Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 2$ et $z_{\text{B}} = 2\ii$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%

\section{ Fonction irrationnelle et première bissectrice}

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Il s'agit de prouver une équivalence. On procède donc en deux temps.
			\begin{itemize}		
				\item[$-$] Supposons d'abord que \fbox{$M \in (\Gamma)$}. Par hypothèse:
				
				\[ 0 \leqslant x \leqslant 1 \quad\text{et}\quad y = x - 2\sqrt{x} + 1 \]
On a donc $x \geqslant 0$.

On remarque ensuite $ y = \left(\sqrt{x} - 1\right)^2$, ce qui entraîne $y \geqslant 0$.

On peut écrire $\sqrt{y} = \left| 1 - \sqrt{x} \right|$.

La racine carrée étant croissante sue $\R^{+}$, nous obtenons:
\[ 0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant \sqrt x \leqslant 1 \qquad\text{et}\qquad \left| 1 - \sqrt x \right | = 1 - \sqrt x \]

On en déduit finalement $\displaystyle \sqrt y = 1 - \sqrt x \iff \sqrt x + \sqrt y = 1$.
			
				\item[$-$]  Supposons réciproquement \fbox{$\displaystyle x\geqslant 0 \quad y \geqslant 0 \quad\text{et}\quad \sqrt x + \sqrt y = 1$}\\
				On remarque d'abord que $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont compris entre 0 et 1. Puisque le carré est croissant sur $\R^{+}$, il en va de même pour $x$ et $y$. On vérifie:
				\[
				y = \sqrt y ^2 = \left(1 - \sqrt x\right)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1
				\]
				$M$ est donc bien un point de $(\Gamma)$.
			\end{itemize}
		\item Le symétrique de $M$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ est le point $M^{\prime}$ dont les coordonnées sont $x^{\prime} = y$ et $y^{\prime} = x$.
		Il suffit d’appliquer le résultat précédent :
		\begin{eqnarray*}
			M \in (\Gamma) & \iff & x\geqslant 0 \quad y \geqslant 0 \quad\text{et}\quad \sqrt x + \sqrt y = 1 \\
			& \iff & y^{\prime}\geqslant 0 \quad x^{\prime} \geqslant 0 \quad\text{et}\quad \sqrt {y^{\prime}} + \sqrt {x^{\prime}} = 1 \\
			& \iff & M^{\prime} \in (\Gamma)
		\end{eqnarray*}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Par hypothèse la courbe passe par $A(0, 1)$ et $B(1, 0)$ : ces deux points sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ 
		puisque leurs coordonnées sont échangées. Cette droite est donc la médiatrice de $[AB].$\\
		Supposons que $\Gamma$ est un arc de cercle de centre $I$ : ce point $I$ est équidistant de $A$ et de $B$. : il appartient donc à la droite d'équation $y = x$.\\
		Sachant $f'(1) = 0$, on peut affirmer que l’axe des abscisses est tangent à $\Gamma$  en $B$.
		Le point $I$ appartient donc à la perpendiculaire en B à l’axe des abscisses et son abscisse est $x_{I} = 1$.\\
		On en déduit que le coordonnées de $I$ sont  $x_{I} = y_{I} = 1$ et que le rayon du cercle est $IA = IB = 1$.
		
		\item Le point $C\left(\dfrac14, \dfrac14 \right)$ appartient à $(\Gamma)$ puisque $\sqrt{\dfrac14} + \sqrt{\dfrac14} = \dfrac12 + \dfrac12  = 1$.\\
		Calculons maintenant
		\[
		IC^2 = \left( 1 - \dfrac14 \right) ^2 + \left( 1 - \dfrac14 \right) ^2 = \dfrac9{16} + \dfrac9{16} = \dfrac98
		\]
		On en déduit $\displaystyle IC = \frac{3\sqrt2}4 \ne 1$. Donc $(\Gamma)$ n’est pas un arc de cercle.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage
%%%%%%%%%%

\section{ Exponentielle, Logarithme et tangentes}

\begin{enumerate} 
	\item\begin{enumerate} 
		\item Les coordonnées de $A$ sont $x_A = 0$ et $y_A = \e^0 = 1$. D'autre part $\left(\e^x\right)^\prime = \e^x$.
		
		On en déduit l'équation réduite de la droite $(D)$ tangente en $A$ à la courbe $(\Phi)$:
		
		\[ y = \e^0 (x - 0) + \e^0 \iff \fbox{$y = x + 1$} \]
		
		Les coordonnées de $B$ sont $x_B = 1$ et $y_B = \ln 1 = 0$. D'autre part $\left(\ln x\right)^\prime =\dfrac1x$. \\
		On en déduit l'équation réduite de la droite $(\Delta)$ tangente en $B$ à la courbe $(\Gamma$:
		\[ y = \dfrac11 (x - 1) + \ln 1 \iff \fbox{$y = x - 1$} \]

		\item Les droites $(D)$ et $(\Delta)$ ont le même coefficient directeur qui est égal à 1.
		
		Elles sont donc parallèles.
		
		La distance entre les deux droites est égale à la distance entre un point de l'une et son projeté orthogonal sur l'autre.
		Cette distance est donc la distance de $A$ à $(\Delta)$ :

\[
		d(A, \Delta) = \frac {\left| 1 - 0 + 1 \right|} {\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac {2} {\sqrt2} = \fbox{$\sqrt 2$}
		\]
		
	\end{enumerate}
	\item\begin{enumerate} 
		\item
		Soit pour tout $x$ réel $d_1(x) = \e^x - x - 1$. Montrons que cette différence est toujours positive ou nulle. \\
		La fonction $d_1$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$ réel $d_1^\prime(x) = \e^x - 1$. \\
		Pour étudier le signe de cette dérivée, il suffit d'utiliser le fait que l'exponentielle est une bijection strictement croissante de $\R$ sur $\R^{+*}$:
		\begin {eqnarray*}
			d_1^\prime(x) = 0 & \iff & \e^x = 1  \iff x = 0\\ 
			d_1^\prime(x) > 0 & \iff & \e^x > 1  \iff x > 0 \\
			d_1^\prime(x) < 0 & \iff & \e^x < 1  \iff x < 0
		\end {eqnarray*}
		On en déduit le tableau de variations de cette fonction:
		
		%\begin{center}
		%	\begin{tikzpicture}
  		%		 \tkzTabInit{$x$ / 1 , $d_1^\prime(x)$ / 1 , $d_1(x)$ / 1}{$-\infty$, $0$, $+\infty$}
		%		 \tkzTabLine{, -, z, +, }
		%		 \tkzTabVar{+/, -/ 0, +/ }
		%	\end{tikzpicture}
		%\end{center}
		
		\[\begin{tablvar}[5em]{2}
			 \hline
				x & -\infty & & 0 & & +\infty \\
			\hline
				d_1^\prime(x) & & - & \barre[0] & + & \\
			\hline
				\variations{\mil{d_1(x)} & \haut{}  && \bas{0} && \haut{} }
			\hline
		\end{tablvar}\]
		
		La fonction admettant un minimum en $0$, on obtient pour tout $x$ réel : 
		\[d_1(x) \geqslant d_1(0) = 0\]
		
		\item
		Soit pour tout $x$ réel $d_2(x) = x - 1 - \ln x$. Montrons que cette différence est toujours positive ou nulle. \\
		La fonction $d_2$ est dérivable sur $\R^{+*}$ et pour tout $x > 0$ réel $d_2^\prime(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac {x - 1} x$. \\
		Puisque $x > 0$, cette dérivée est du signe de $x -1$ et on en déduit le tableau de variations:

		\[\begin{tablvar}[5em]{2}
			 \hline
				x & 0 & & 1 & & +\infty \\
			\hline
				d_2^\prime(x) & \bb & - & \barre[0] & + & \\
			\hline
				\variations{\mil{d_2(x)} & \bb\haut{}  && \bas{0} && \haut{} }
			\hline
		\end{tablvar}\]
		La fonction admettant un minimum en $0$, on obtient pour tout $x > 0$ : 
		\[d_2(x) \geqslant d_2(1) = 0\]
		
		\item
		Intuitivement, si on relie $M$ et $N$, le segment $[MN]$ coupe les tangentes $(D)$ et $(\Delta)$ en deux points $M'$ et $N'$.\\
		D'après la question précédente, on a $M'N' \geqslant \sqrt 2$ et donc $MN \geqslant \sqrt 2$.\\
		Le résultat peut être démontré rigoureusement.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section{ Représentation graphique}

\begin{enumerate}
	\item Représentation de la fonction.
	\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}
%	\begin{scope}[yscale=0.5]
%		\draw  [thick, ->]  (-5, 0)--(4, 0) ;
%		\draw  [thick, ->]  (0, -4)--(0, 4) ;
%		\draw (1,-0.2)--(1,0.2);
%		\draw (-0.1,1)--(0.1,1);
%		\draw  [domain=-5:1.5]  plot(\x, { .5 * exp(2 * \x) - 2.1 * exp(\x) + 1.1 * \x + 1.6 });
%	\end{scope}
%	\end{tikzpicture}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(4,4)
\psframe[framearc=0.1](-5,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.1pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-3.98)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-4.9}{4}{2.71828  x 2 mul exp 2 div 2.71828 x exp 2.1 mul sub 1.1 x mul add 1.6 add}
\end{pspicture*}
	\end{center}
	\item\begin{enumerate}
		\item On peut conjecturer que la fonction est croissante sur $[-5~;~4]$.
		\item On peut conjecturer que l’équation $f(x) = 0$ a une solution sur cet intervalle puisqu’il semble exister un point d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.
	\end{enumerate}

	\item\begin{enumerate}
		\item Posons $X = \e^x$ et étudions le trinôme $X^2 - 2, 1X + 1,1$.
		
Son discriminant est $\Delta = 0,01 = 0,1^2$ . Il a donc deux racines réelles :
		\[
X_1 = \frac{2,1 - 0.1} {2} = 1\quad\text{et}\quad X_2 = \frac{2,1 + 0.1} {2} = 1,1
		\]
D’après le théorème sur le signe du trinôme, ce trinôme est positif ou nul lorsque $X \leqslant 1$ ou lorsque $X\geqslant 1,1$.
		
On en déduit $\e^{2x} - 2,1x + 1,1 \geqslant 0$ si et seulement si $\e^x \leqslant 1$ ou $\e^x \geqslant 1,1$.

Cette condition est équivalente à $x \leqslant 0$ ou $x \geqslant \ln 1,1$.
		
		\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$ réel:
		\[
		f'(x) = \e^{2x} - 2,1x + 1,1
		\]
		Nous venons d'étudier le signe de $f'(x)$ dans la question précédente. On en déduit le tableau de variations de $f$:
		\[\begin{tablvar}{3}
			 \hline
				x & -\infty && 0 && \ln 1,1 && +\infty \\
			\hline
				f^\prime(x) && + & \barre[0] & - & \barre[0] & + &\\
			\hline
				\variations{ \mil{f(x)} & \bas{}  && \haut{0} && \bas{f(\ln 1,1)} && \haut{} }
			\hline		
		\end{tablvar}\]
		
		\item On a trouvé une solution puisque $f(0) = 0$.
		
		D’après les variations de $f$, on sait que $f(x) < 0$ pour tout $x \in \left]-\infty~;~0\right[ \cup \left]0~;~\ \ln 1,1\right]$.
		
		D’autre part, on sait que $f$ est dérivable donc continue, et strictement croissante sur $\left[\ln1,1;\ \ln1,2\right]$ : 
		cette fonction réalise donc une bijection de cet intervalle sur l’intervalle image $\left[f(\ln1,1)~;~\ f(\ln1,2)\right]$.
		
		On vérifie que $0$ appartient à l'intervalle image puisque:
		
		\[
		 f(\ln 1,1) \approx -0,00016 < 0 \quad\text{et}\quad f(\ln 1,2) \approx 0,16 > 0
		\]
		
L'équation $f(x) = 0$ a donc une solution et une seule dans l'intervalle  $\left[\ln1,1~;~\ \ln1,2\right]$.

		Il n'y a pas d'autre solution puisque $f$ est strictement croissante sur $\left[\ln1,1~;~\ +\infty\right[$.
		
En résumé l'équation $f(x) = 0$ a exactement deux solutions.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Il s'agit d'estimer le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle proposé : on utilise pour cela les variations étudiées à la question 3 b.
	
On peut déjà observer que $\ln 1,1 \approx 0,095  < 0,15$.
	
Sur cet intervalle, le maximum est le plus grand des deux nombres $f(0) = 0$ et $f(0,15)$.
	
Sachant $f(0,15) \approx 0,00008 > 0$, on sait que le maximum est majoré par $0,0001$.
	
Le minimum de la fonction est le plus petit des deux nombres $f(-0,05)$ et $f(\ln1,1)$.
	
Sachant $f(-0,05) \approx -0,00016$, ces deux nombres (et donc le minimum de la fonction) sont minorés par $-0,0002$.

Il est donc raisonnable de prendre \fbox{$-0,0002 \leqslant y \leqslant 0,0001$}.

\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%

\section{ Suites: Vrai/Faux}

\begin{enumerate}
	\item VRAI
	
Par hypothèse la suite $\left(u_n\right)$ est positive. On en déduit pour tout $n$: $1 + u_n \geqslant 0$ puis $v_n \geqslant 0$.
	
0n calcule ensuite la différence
	
\[ 1 - v_n = \frac 1 {1 + u_n} \]

La remarque précédente entraîne pour tout $n$: $1 - v_n \geqslant 0$ et donc $v_n \leqslant 1$.

	\item VRAI
	
Par hypothèse $\left(u_n\right)$ a une limite finie que l'on note $\ell$: les théorèmes sur les limites nous garantissent $\ell \geqslant 0$ puisque $\left(u_n\right)$ est positive.
	
D'après le théorème sur la limite d'une somme, nous avons:  $\lim 1 + u_n = 1 + \ell > 0$.
	
Puisque ce nombre est différent de $0$, nous obtenons en appliquant le théorème sur la limite d'un quotient:  $\lim v_n = \dfrac \ell {1 + \ell}$.
	
La suite $\left(v_n\right)$ est donc convergente.

	\item VRAI
	
On a montré $1 - v_n = \dfrac 1 {1 + u_n} $, ce qui implique $v_n = 1 - \dfrac 1 {1 + u_n} $.

Calculons maintenant la différence entre deux termes consécutifs de $\left(v_n\right)$:

\[v_{n + 1} - v_n =  \frac 1 {1 + u_n} - \frac 1 {1 + u_{n + 1}} = \frac { u_{n + 1} - u_n} {\left(1 + u_n\right)  \left(1 + u_{n + 1}\right)}\]

Puisque $\left(u_n\right)$ est croissante, nous avons pour tout $n$ : $u_{n + 1} - u_n \geqslant 0$.
	
Nous en déduisons $v_{n + 1} - v_n \geqslant 0$ et donc $\left(v_n\right)$ croissante.

	\item FAUX
	
Un contrexemple est obtenu en posant pour tout $n$ : $u_n = n$. Cette suite diverge car elle tend vers $+\infty$.
	
Dans ce cas nous avons :

\[v_n = \frac n {1 + n} = 1 -  \frac 1 {1 + n} \]

Les théorèmes sur les limites et les opérations nous donnent $\lim v_n = 1$.
	
Par conséquent $\left(v_n\right)$ est convergente alors que $\left(u_n\right)$  est divergente.

\end{enumerate}

\newpage
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\section{ Géométrie dans l’espace : QCM}

\begin{enumerate}
	\item Si $A \ne B$, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left \| \vect{MA} \right \| = \left \| \vect{MB} \right \|$ est
	\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\textbf{a.~~}~			l'ensemble vide		&
		\textbf{\encircle{b}.~~}~	un plan~~~~~ 		&
		\textbf{c.~~}~ 			une sphère
	\end{tabularx} \end{center}

	\item Soient $A(0~;~1~;~-2)$ et $B(2~;~1;~0)$.\\
	Les coordonnées du barycentre $G$ de $(A~;~ 1)$ et $(B~;~ 3)$ sont
	\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\textbf{a.~~}~			$G(6~;~4~;~-2)	$		&
		\textbf{\encircle{b}.~~}~	$G(1,5~;~1~;~-0.5)$	&
		\textbf{c.~~}~ 			$G(0,5~;~1~;~1.5)$
	\end{tabularx} \end{center}

	\item Soit $d$ la droite de représentation paramétrique $x=2-t~;~y =3t~;~z = -3,~ t \in \R$.\\
	On considère les points A$(2~;~3~;~-3)$, B$(2~;~0~;~-3)$ et C(0~;~6~;~0). On a :
	\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\textbf{a.~~} 			$d$ = (AB)		&
		\textbf{b.~~}			$d$ = (BC)		&
		\textbf{\encircle{c}.~~}			$d \neq$ (AB) et $d \neq $ (BC) et $d \neq $ (CA)
	\end{tabularx}\end{center}

	\item Les droites de représentations paramétriques respectives :
	\begin{center}
	$\left\{\begin{array}{l c l}
		x &=& 2+t\\
		y& =& 1-t\\
		z&=&1 +t, 
	\end{array}\right. t \in R
	\qquad
	\left\{\begin{array}{l c l}
		x& =& -t'\\
		y& =& 2-1,5t'\\
		z& =& 3+t', 
	\end{array}\right.t' \in R$ 
	\end{center}
	admettent comme point commun :
	\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
		\textbf{a.~~}	I(3~;~0~;~2)		&
		\textbf{\encircle{b}.~~}	J(2~;~1~;~1)		& 
		\textbf{c.~~}	K$(0~;~2~;~-3)		$
	\end{tabularx}\end{center}

	\item Les droites de représentations paramétriques respectives :
	\begin{center}
	$\left\{\begin{array}{l c l}
		x &=& 1\\
		y &=& 1+2t\\
		z &=& 1+t, 
	\end{array}\right.t \in R,
	\qquad
	\left\{\begin{array}{l c l}
		x &= &3-2t'\\
		y &=& 7-4t'\\
		z &=& 2-t', 
	\end{array}\right.t' \in R$
	\end{center}
	 sont :
	\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
		\textbf{a.~~}	 parallèles		&
		\textbf{b.~~}	sécantes		& 
		\textbf{\encircle{c}.~~}	non coplanaires
	\end{tabularx}\end{center}

	\item La droite de représentation paramétrique $x = -4t~ ;~ y =  1 + 3t~ ;~ z  = 2 + 2t,~ t \in \R$ et le plan d'équation $x - 2y + 5z - 1 = 0$ sont :
	\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}	
		\textbf{a.~~}	 orthogonaux				&
		\textbf{\encircle{b}.~~}	parallèles			& 
		\textbf{c.~~}	ni orthogonaux ni parallèles
	\end{tabularx}\end{center}

	\item L'ensemble des points tels que $x - y + 2z - 1 = 0$ et $-2x + 4y - 4z + 1 = 0$ est :
	\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\textbf{a.~~}	 l'ensemble vide		&
		\textbf{\encircle{b}.~~}	une droite				&
		\textbf{c.~~}	un plan
	\end{tabularx}\end{center}

\end{enumerate}

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\section{Fonctions trigonométriques et équations}

\begin{enumerate}
	\item Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables et pour tout $x$ réel:
	\[f'(x) = -\sin x + 1\]
	
	On sait que la fonction sinus est majorée par 1, ce qui entraîne $f'(x) \geqslant 0$ et par conséquent $f$ croissante sur $\R$.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Localisation des solutions de l'équation $\cos x + x = 0$.
		
On vérifie $f\left(-\dfrac\pi2\right) = -\dfrac\pi2 < 0$ et et $f(0) = 1 > 0$.

		Puisque $f$ est croissante, on peut écrire 
		\[
		x \leqslant -\frac\pi2 \Rightarrow f(x) \leqslant f\left(-\dfrac\pi2\right)  < 0 \qquad\text{et}\qquad x\geqslant 0 \Rightarrow f(x) \geqslant f(0) > 0
		\]
		L’équation $f(x) = 0$ ne peut donc avoir de solution en dehors de l’intervalle $I = \left[-\dfrac\pi2~;~0\right]$.
		
		\item[$\bullet$] Restriction à l'intervalle $I$.
		
Le sinus étant croissant sur $I$, on sait: $-1 \leqslant \sin x \leqslant 0 \iff 0 \leqslant -\sin x \leqslant 1$.
		
On peut alors écrire : $1 \leqslant 1 -\sin x \leqslant 2$.
		
Donc $f'$ est strictement positive et $f$ est strictement croissante sur $I$. De plus la fonction $f$ est continue car dérivable : 
		
elle réalise donc une bijection de $I$ sur l'intervalle image $\left[f\left(-\dfrac\pi2\right)~;~f(0)\right] = \left[-\dfrac\pi2~;~1\right]$.
		
		L'intervalle image contenant la valeur $0$,  l'équation $f(x) = 0$ a une solution et un seule dans l'intervalle $I$.
		
		\item[$\bullet$] Valeur approchée de $\alpha$.
		
On procède par balayage :
		\begin{eqnarray*}
		f(-0,8) \approx -0,10 < 0 \quad\text{et}\quad f(-0,7) \approx 0,06 > 0 & \Rightarrow & -0,8 < \alpha < -0,7\\
		f(-0,74) \approx -0,002 < 0 \quad\text{et}\quad f(-0,73) \approx 0,02 > 0 & \Rightarrow & -0,74 < \alpha < -0,73\\
		f(-0,74) \approx -0,002 < 0 \quad\text{et}\quad f(-0,739) \approx 0,0001 > 0 & \Rightarrow & -0,74 < \alpha < -0,739
		\end{eqnarray*}
		On peut donc écrire \fbox{$\alpha \approx -0, 739$} à $10^{-3}$ près.
		
	\end{itemize}
	
	\item On pose pour tout $x$ réel: $g(x) = \sin x - \dfrac x2$.
	\begin{enumerate}
	\item On déduit de $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ l'encadrement  $-1 - \dfrac x2 \leqslant g(x) \leqslant 1 - \dfrac x2$.\\
	On remarque d'abord $1 - \dfrac x2 < 0 \iff x > 2$. On en déduit $x > 2 \Rightarrow g(x) < 0$.\\
	On remarque ensuite $-1 - \dfrac x2 > 0 \iff x < -2$. On en déduit $x < -2 \Rightarrow g(x) > 0$.\\
	On en déduit que les solutions de $g(x) = 0$ sont comprises entre $-2$ et $2$.
	
	\item Étudions maintenant les variations de $g$ sur l'intervalle $\left[-\pi~;~\pi\right]$ (cet intervalle contient l'intervalle $\left[-2~;~2\right]$).
	
	Calculons la dérivée: $g'(x) = \cos x - \dfrac12$.
	
	Elle s'annule lorque $\cos x = \dfrac12$, c'est-à-dire lorsque $x = -\dfrac \pi 3$ ou $x = \dfrac \pi 3$.
	
	Nous savons d’autre part que le cosinus est strictement croissant sur $[-\pi~;~0]$ et strictement décroissant sur $[0~;~\pi]$. On en déduit:
	
	\[\cos x > \frac12 \iff -\frac\pi3 < x < \frac\pi3\]

Nous pouvons dresser le tableau de variations de $g$ :
		\[\begin{tablvar}{3}
			 \hline
				x & -\pi && -\frac\pi3 &&\frac\pi3 && \pi \\
			\hline
				g^\prime(x) && - & \barre[0] & + & \barre[0] & - &\\
			\hline
				\variations{ \mil{g(x)} & \haut{\frac\pi2}  && \bas{g\left(-\frac\pi3\right)} && \haut{g\left(\frac\pi3\right)} && \bas{-\frac\pi2} }
			\hline		
		\end{tablvar}\]
Dans ce tableau $g\left(\dfrac\pi3\right) = \dfrac {\sqrt3} 2 - \dfrac \pi 6$ et $g\left(-\dfrac\pi3\right) = -\dfrac {\sqrt3} 2 + \dfrac \pi 6$.
	
Sur $\left[\dfrac \pi 3~;~\pi \right]$, $g$ est continue car dérivable et strictement décroissante. Elle réalise donc une bijection de $\left[\dfrac \pi 3~;~\pi \right]$ 	
	sur l'intervalle image $\left[g(\pi)~;~g\left(\dfrac \pi 3\right)\right]$.
	
L’intervalle image contient $0$ car $g(\pi) = -\dfrac \pi 2 < 0$ et $g\left(\dfrac\pi3\right) = \dfrac {\sqrt3} 2 - \dfrac \pi 6 > 0$. Par conséquent l'équation $g(x) = 0$ 
	a exactement une solution $\beta$ sur cet intervalle.
	
Puisque $g$ est impaire, l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution $-\beta$ sur l'intervalle $\left[- \pi~;~-\dfrac \pi 3\right]$.
	
Sur $\left[ -\dfrac \pi 3~;~\dfrac \pi 3 \right]$, $g$ est strictement croissante et s'annule en $0$ : l'équation a donc exactement une solution sur cet intervalle.

	En résumé, l'équation a trois solutions $-\beta$, $0$ et $\beta$  sur $[-\pi~;~\pi]$.
	
	\item On procède par balayage:
	
\[\begin{array}{ccccc}
		g(1,8) \approx 0,07 > 0 & \text{et} & g(1,9) \approx -0,004 < 0 & \Rightarrow & 1,8 < \beta < 1,9\\
		g(1,89) \approx 0,004 > 0 & \text{et} & g(1,9) \approx -0,004 < 0 & \Rightarrow & 1,89 < \beta < 1,9\\
		g(1,895) \approx 0,0004 > 0 & \text{et} & g(1,896) \approx -0,0004 < 0 & \Rightarrow & 1,895 < \beta < 1,896
\end{array}\]
		On peut donc écrire \fbox{$\beta \approx 1,895$} à $10^{-3}$ près.
	
	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\section {Divisibilité, nombres premiers (spécialité)  : VRAI/FAUX }

\begin{enumerate}
	\item FAUX.\\
	Un contrexemple est fourni par $n = 20$. Ce nombre est divisible par 4 puisque $n = 5 \times 4$.\\
	Ce nombre n'est pas divisible par $8$ puisqu'il est strictement compris entre deux multiples consécutifs de $8$ qui sont $16$ et $24$.\\
	On peut aussi remarquer que la décomposition de $n$ en facteurs premiers comprend exactement deux facteurs premiers $2$. Or, si $n$
	était divisible par $8$, sa décomposition en facteurs premiers devrait contenir trois facteurs premiers $2$.
	
	
	\item VRAI.\\
	Puisque $2$ et $3$ sont deux nombres premiers, ils apparaissent dans la décomposition de ce nombre en facteurs premiers. Par conséquent ce nombre est divisible par leur produit qui est $6$.
	
	\item FAUX.\\
	Considérons le nombre $n = 12$. Il est divisible par $4$ puisque $n = 3 \times 4$. Il est divisible par $6$ puisque $n = 2 \times 6$. \\
	Il ne saurait être divisible par $24$ puisque $n < 24$.
	
	\item FAUX.\\
	Posons $a = 7$ et $b = 5$. Ces deux nombres sont des nombres premiers: ils sont donc premiers entre eux.\\
	Calculons maintenant $a + b = 12$ et $a - b= 2$. Ces deux nombres sont pairs: ils ne sont donc pas premiers entre eux.
	
	\item VRAI.\\
	Soient $m = 2a + b$ et $n = 3a + 2b$. Notons $d = \text{PGCD}(a, b) $ et $\delta = \text{PGCD}(m, n)$.\\
	Puisque $d$ divise $m$ et $n$, $d$ divise toute combinaison linéaire de ces nombres, en particulier $m$ et $n$. Donc $d \leqslant \delta$.\\
	De même, puisque $\delta$ divise $m$ et $n$, $\delta$ divise toute combinaison linéaire de ces nombres. \\
	Donc $\delta$ divise $2m - n = a$ et $\delta$ divise $-3m + 2n = b$. Donc $\delta \leqslant d$.\\
	Finalement, nous pouvons conclure \fbox{$d = \delta$}. Par conséquent, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $m$ et $n$ le sont également.

		
\end{enumerate}

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\section{ Équations de plans et calculs de distances}

\begin{enumerate}
	\item Soit $M(x, y, z)$ un point quelconque de l’espace. Il appartient à $P$ si et seulement si :
	\[
	\vect{AM} \cdot \vect n = 0 \iff (x - 1)\times -1 + y \times 1 + (z - 1) \times 1 = 0  \iff \fbox{$-x + y + z = 0$}
	\]
	
	\item\begin{enumerate}
		\item Le plan $(P')$ admet pour vecteur normal le vecteur $\vect {n'}\left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right)$.\\
		Les vecteurs $\vect{n}$ et $\vect{n'}$ sont orthogonaux car $\vect{n}\cdot \vect{n'} = -1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times -1 = 0$.\\
		Les plans $(P$) et $(P')$ sont donc perpendiculaires.
		
		\item Par application du cours :
		\begin{eqnarray*}
			d = \frac {\left| -0 + 1 + 1 \right |} {\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}}  = \frac 2 {\sqrt 3} = \frac {2\sqrt 3} 3 \\
			d' = \frac {\left| -0 + 2 - 1 + 1 \right |} {\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}}  = \frac 2 {\sqrt 6} = \frac {\sqrt 6} 3
		\end{eqnarray*}
		
	\end{enumerate}
	
	\item\begin{enumerate}
		\item On résout le système formé par les deux équations cartésiennes :
		\[
		\left\{ \begin{array}{rll}
			-x + y + z &=& 0 \\
			x + 2y - z + 1 &=& 0
		\end{array} \right.
		\iff
		\left\{ \begin{array}{rll}
			-x + y &=& -z \\
			x + 2y  &=& z - 1
		\end{array} \right.
		\iff
		\left\{ \begin{array}{rll}
			-x + y &=& -z \\
			3y  &=& -1
		\end{array} \right.
		\]
		On en déduit une représentation paramétrique de la droite d’intersection $D$ :
		\[
		\left\{ \begin{array}{rll}
			x &=& -\frac13 + t \\
			y &=& -\frac13 \\
			z &=& t
		\end{array} \right.
		\quad t\in \R
		\]		
		
		\item La droite $(D)$ admet donc pour vecteur directeur $\vect {u}\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right)$.\\
		La droite $(MH)$ est perpendiculaire à $D$ lorsque
		\[
			\vect{MH} \cdot \vect u = 0 \iff \left( -\dfrac13 + t - 0 \right) \times 1 + 	\left( -\dfrac13 - 1 \right) \times 0 + (t - 1)\times 1 = 0 \iff  t = \frac23	
		\]
		On en déduit $H\left(\dfrac13~;~-\dfrac13~;~\dfrac23\right)$.
		
		\item On calcule les coordonnées de $\vect{MH} \left(  \dfrac13~;~-\dfrac43~;~-\dfrac13 \right)$.\\
		On en déduit $MH^2 = \dfrac {18} 9 = 2$ et on vérifie $d^2 + d'^2 = \dfrac {12} 9 + \dfrac69 = 2$.
			
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\section {Partage d'une aire}

\begin{enumerate}
	\item Puisque la fonction $f$ est positive et continue, l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses , les droites $t = 0$ et $t = x$ est :
	\[
		{\cal A}_1 = \int_0^x \e^{t - 1} \ {\rm d}t = \left[  \e^{t - 1}  \right]_0^x = \e^{x- 1} - \frac1\e
	\]
	Soit $H_x(x~;~0)$ le point de l'axe des abscisses d'abscisse $x$. L'aire du triangle $IM_xH_x$ est:
	\[
		{\cal A}_2 = \frac {H_xM_x\cdot H_xI} 2 = \frac {\e^{x- 1} (1 - x)}2
	\]
	On en déduit $g(x) = {\cal A}_1 + {\cal A}_2 = \fbox{$\dfrac {\e^{x- 1} (3 - x)}2  - \dfrac1\e$}$.
	
	\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x \in [0~;~1]$ :
	\[
		g'(x) = \dfrac {\e^{x- 1} (3 - x) - \e^{x- 1}}2 = \dfrac {\e^{x- 1} (2 - x)}2
	\]
D'une part l’exponentielle est strictement positive.
	
D'autre part  $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 2 - x > 0$.
	
Par conséquent $g'$ est strictement positive et $g$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$.
	
	\item \begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Soient $M_0\left(0~;~\frac 1\e \right)$ et $N_0\left(1~;~\frac 1\e \right)$.
		
Par définition, $g(0)$ est l’aire du triangle $IOM_0$ c’est-à-dire la moitié de l’aire du rectangle $OIN_0M_0$.
		
Or ce rectangle est inclus dans $\Delta$ et son aire est majorée par celle de $\Delta$. Nous en déduisons:

\[2g(0) \leqslant g(1) = \int_0^1 f(t) \ {\rm d}t \iff g(0) \leqslant \frac12 \int_0^1 f(t) \ {\rm d}t 
		\]
		
		\item[$\bullet$] La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0~;~1]$ : elle réalise
		donc une bijection de $[0, 1]$ sur l’intervalle image $[g(0)~;~g(1)]$.
		
Considérons la moitié de l'aire de $\Delta$: $\displaystyle \frac {g(1)} 2 = \dfrac12 \int_0^1 f(t) \ {\rm d}t $.
		
Ce nombre est majoré par $g(1)$ (puisque $g(1)$ est positif) et nous venons de prouver qu'il est minoré par $g(0)$ : il appartient donc à l'intervalle image $[g(0)~;~g(1)]$.

		On en déduit que l’équation  $g(x) = \dfrac {g(1)} 2$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans $[0~;~1]$.
	\end{itemize}
	\item Posons $v = \dfrac {g(1)} 2$. On vérifie d'abord $v = \dfrac12\left( 1 - \dfrac1\e \right) \approx 0,31606$.
	
	On procède ensuite par balayage:
	
\[\begin{array}{ccccc}
g(0,3) \approx 0,303 < v  &  \text{et}  & g(0,4) \approx 0,346 > v & \Rightarrow & 0,3 < \alpha < 0,4 \\
g(0,33) \approx 0,315 < v  &  \text{et}  & g(0,34) \approx 0,319 > v & \Rightarrow & 0,33 < \alpha < 0,34 \\
		g(0,331) \approx 0,3157 < v  &  \text{et}  & g(0,332) \approx 0,3161 > v & \Rightarrow & 0,331 < \alpha < 0,332\end{array}\]
	
On peut donc écrire \fbox{$\alpha \approx 0,331$} à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

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\section {Partage d'une aire (avec question de cours)}

\begin{enumerate}
	\item  Puisque la fonction $f$ est positive et continue, l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses , les droites $t = 0$ et $t = x$ est :

\[{\cal A}_1 = \int_0^x \e^{t - 1} \ {\rm d}t = F(x)\]

Soit $H_x(x, 0)$ le point de l'axe des abscisses d'abscisse $x$. L'aire du triangle $IM_xH_x$ est:
	
\[{\cal A}_2 = \frac {H_xM_x\cdot H_xI} 2 = \frac {f(x) (1 - x)}2\]
	
On en déduit $g(x) = {\cal A}_1 + {\cal A}_2 = F(x) + \dfrac {f(x) (1 - x)}2  $.
	
	\item Soit $x$ et $h$ tels que $x$ et $x + h \in [0~;~1]$. 
	\begin{itemize}
	\item[$-$]On suppose $h > 0$.
	
	On considère le domaine $\cal D$ délimité par la courbe, l’axe des abscisses , les droites $t = x$ et $t = x + h$ : son aire est 

\[{\cal A} = \int_x^{x + h} f(t) \ {\rm d}t = F(x + h) - F(x)\]
	Notons $P$ le point de coordonnées $\left(x + h~;~f(x)\right)$. Puisque la fonction $f$ est croissante, le domaine $\cal D$ contient le rectangle $M_x P H_{x + h} H_x$ 
	et son aire est minorée par l'aire de ce rectangle:
	\[
			f(x) \cdot (x + h - x)  \leqslant {\cal A} \iff h\ f(x) \leqslant {\cal A}
  	\]
	Notons $Q$ le point de coordonnées $\left((x~;~f(x + h)\right)$. Puisque la fonction $f$ est croissante, le domaine $\cal D$ est contenu dans  le rectangle $Q M_{x + h} H_{x + h} H_x$ 
	et son aire est majorée par l'aire de ce rectangle:

\[{\cal A} \leqslant f(x + h) \cdot (x + h - x) \iff {\cal A} \leqslant h\ f(x + h)\]

On en déduit l'encadrement $ h\ f(x) \leqslant F(x + h) - F(x) \leqslant h\ f(x + h)$ et en divisant par $h > 0$ on obtient:
	
\[f(x) \leqslant \frac {F(x + h) - F(x)} h \leqslant f(x + h)\]
	
Si nous faisons tendre $h$ vers $0$, nous obtenons : 
	
\[\lim_{\substack{h \to 0\\h>0}} f(x + h) = f(x)\]
	 
car la fonction $f$ est continue.
	
Par application du théorème des gendarmes, nous obtenons maintenant:

\[\lim_{\substack{h \to 0\\h>0}} \frac {F(x + h) - F(x)} h = f(x) \]

	\item[$-$]On démontre de la même façon pour  $h < 0$:

\[\lim_{\substack{h \to 0\\h<0}} \frac {F(x + h) - F(x)} h = f(x)\]

	\item[$-$] On déduit des deux résultats précédents:

\[\lim_{h \to 0} \frac {F(x + h) - F(x)} h = f(x)\]

Par conséquent $F$ est dérivable sur $[0, 1]$ et $F' = f$.
	\end{itemize}
	
	\item La fonction $g$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables et pour tout $x \in [0~;~1]$:
	
	\[g'(x) = f(x) + \frac12 \left[ f'(x) (1 - x) - f(x)  \right] = \frac {f(x) + f'(x) \ (1 - x)} 2\]
	
On sait que $f$ est  positive et strictement croissante, ce qui implique $f(x) \geqslant 0$ et $f'(x) > 0$.

D'autre part, pour tout $x \in [0~;~1]$, on a $1 - x \geqslant 0$.
	
On en déduit que $g'(x)$ est strictement positive et donc que $g$ est strictement croissante sur $[0, 1]$.	
	
	\item \begin{enumerate}
		\item Soient $M_0\left(0~;~\frac 1\e \right)$ et $N_0\left(1~;~\frac 1\e \right)$.
		
Par définition, $g(0)$ est l’aire du triangle $IOM_0$ c’est-à-dire la moitié de l’aire du rectangle $OIN_0M_0$.
		
Or ce rectangle est inclus dans $\Delta$ et son aire est majorée par celle de $\Delta$. Nous en déduisons:

\[2g(0) \leqslant g(1) = \int_0^1 f(t) \ {\rm d}t \iff g(0) \leqslant \frac12 \int_0^1 f(t) \ {\rm d}t \]
		
		\item La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur$ [0~;~1]$ : elle réalise donc une bijection de $[0~;~1]$ sur l’intervalle image $[g(0)~;~g(1)]$.
		
Considérons la moitié de l'aire de $\Delta$: $\displaystyle \frac {g(1)} 2 = \dfrac12 \int_0^1 f(t) \ {\rm d}t $.

Ce nombre est majoré par $g(1)$ (puisque $g(1)$ est positif) et nous venons de prouver qu'il est minoré par $g(0)$ : il appartient donc à l'intervalle image $[g(0)~;~g(1)]$.
		
On en déduit que l’équation  $g(x) = \dfrac {g(1)} 2$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans $[0~;~1]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Équation différentielle en électricité}

\textbf{A. Solutions d'une équation différentielle}

\medskip
	
\begin{enumerate}
	\item \begin{itemize}
	\item[$-$]Montrons que toute fonction $f$ telle que $f(t) = -\dfrac b a + C \e^{at}$ est solution de $y' = ay + b$.
		
On vérifie d'abord que pour tout réel $t$ : $f'(t) = aC\  \e^{at}$.

On en vérifie ensuite que pour tout réel $t$ : $a f(t) + b = -b + aC\  \e^{at} + b =  aC\ \e^{at}$ .
		
On peut donc écrire pour tout réel $t$ : $f'(t) = a f(t) + b$ .
		
	\item[$-$]Montrons que la condition $f(0) = 0$ impose que la solution de  $y' = ay + b$ est unique.
		
		En effet 
		
\[f(0) = 0 \iff -\dfrac b a + C \e^0 = 0 \iff C = \dfrac b a\]
		
		\item[$-$]Il existe donc une fonction et une seule qui est solution de l'équation différentielle et qui vérifie $f(0) = 0$.
		\end{itemize}
		
	\item D'après la question précédente, lorsque $a = -10$ et $b = 6$, la solution de $({\cal A})$ qui vérifie $f(0) = 0$ est
		\[f(t) = -\dfrac b a + \dfrac b a \e^{at} = -\dfrac b a \left( 1 - \e^{at} \right) = \frac35 \left( 1 - \e^{-10t} \right)\]
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{ B. Établissement d'un courant dans une bobine.}

\medskip

\begin{enumerate}
		\item En utilisant les valeurs numériques de l'énoncé, on sait que la fonction $i$ est solution de l'équation différentielle
		
\[\frac12 i' + 5i = 3 \iff i' = -10i + 6.\]
		
On sait de plus qu'à la date $t = 0$ l'intensité est nulle, ce qui se traduit par $i(0) = 0$.

D'après l'étude faite dans la partie {\bf A}, on peut écrire : $ i(t) = \dfrac35 \left( 1 - \e^{-10t} \right)$.
		
		\item Sachant $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} -10t = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{X \to -\infty} \e^X= 0$, on obtient $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \e^{-10t } = 0$.
		
En appliquant les théorèmes sur les limites et les opérations, il vient finalement

\begin{center}
\fbox{$\displaystyle\lim_{t \to +\infty} i(t) = \frac35$}
\end{center}
		
	\end{enumerate}
		
\newpage
%%%%%%%%%%

\section {Étude d’une suite selon deux méthodes}

 \begin{enumerate}
 	\item La fonction $f$ est définie sur $I = [0~;~1]$ car $-4 \notin  I$. Elle est dérivable sur $I$ en tant que fonction rationnelle et pour tout $x \in I$:
	\[
		f'(x) = \frac {3(x + 4) - (3x + 2)} {(x + 4)^2} = \frac {10} {(x + 4)^2}  > 0
	\]
	Puisque $f' > 0$, $f$ est strictement croissante sur $I$. On en déduit que pour tout $x\in I$ :

\[0 \leqslant x \leqslant 1 \Longrightarrow f(0) = \frac12 \leqslant f(x) \leqslant f(1) = 1.\]

	Par conséquent pour tout $x\in I$, on a bien $f(x) \in I$.
	
	\item On procède par récurrence sur $n$.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Pour $n = 0$ on a $u_0 = 0 \in I$ : la propriété est bien vérifiée.
		
		\item[$\bullet$] Supposons que pour un entier $n$ donné on ait $u_n \in I$.
		En appliquant le résultat de la question précédente, on obtient $f(u_n) \in I$ et donc $u_{n + 1} \in I$.\\
		La propriété est donc vérifiée pour l'entier $n + 1$.
		
		\item[$\bullet$] En conclusion, pour tout $n \geqslant 0$, on a $u_n \in I$.
		
	\end{itemize}
	
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 {\bf Première méthode.}
 \medskip
 
 \begin{enumerate}
 	\item Représentation graphique de $f$.
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\begin{scope}[scale=10]
		
		\draw  [thick, ->]  (-0.05, 0)--(1.05, 0) ;
		\draw  [thick, ->]  (0, -0.05)--(0, 1.05) ;
		
		\draw [gray, thin] (0, 0) -- (1, 1);
		
		\draw [magenta, domain=0:1] plot( \x, { (3 * \x + 2) / (\x + 4)  } );
		
		\draw (0, 0) node[below left] {$A_0$};		
		\foreach \k/\x in {1/0.5, 2/0.78, 3/0.91} {\draw (\x, 0) node[below] {$A_\k$};}
		\foreach \k in {0.5, 0.78, 0.91} {\draw (\k, -0.01)--(\k, 0.01);}
		\foreach \x/\y in {0/0.5, 0.5/0.78, 0.78/0.91} {
			\draw [
				blue,
				decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}},
				postaction={decorate}
			] (\x, \x) -- (\x, \y);
			\draw [
				blue,
				decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}},
				postaction={decorate}
			] (\x, \y) -- (\y, \y);		
		}		
	\end{scope}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\item On peut conjecturer que $\left(u_n\right)$ est croissante et convergente vers $1$.
	
 	\item Calcul de la différence entre deux termes consécutifs:
	
\[
		u_{n + 1} - u_n = \frac {3u_n + 2}{u_n + 4} - u_n = \frac {3u_n + 2 - u_n^2 - 4u_n} {u_n + 4}  = \frac{- u_n^2 -u_n + 2}{u_n + 4} 
\]

	On vérifie maintenant $(1 - u_n) (u_n + 2) = - u_n^2 -u_n + 2$, ce qui prouve le résultat demandé.
	
	On sait que pour tout $n$, on a : $0 \leqslant u_n \leqslant 1$. On en déduit que les trois facteurs $(1 - u_n)$, $(u_n + 2)$ et $(u_n + 4)$ sont positifs ou nuls.\\
	Par conséquent la différence $u_{n + 1} - u_n $ et positive ou nulle et la suite $(u_n)$ est croissante.
	
\item La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1 : elle est donc convergente vers un réel $\ell$.\\
	De plus $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ implique $0 \leqslant \ell \leqslant 1$ par passage à la limite dans les inégalités.
	
\item D'une part nous savons $\lim u_{n + 1} = \lim u_n = \ell$.

D'autre part $f$ est continue sur $I$ et en appliquant le théorème sur la limite de la composée d’une fonction continue et d’une suite, on obtient : $\lim f(u_n) = f(\ell)$.
	
L'unicité de la limite implique \fbox{$\ell = f(\ell)$}.

Résolvons maintenant cette équation.

\[\ell = \frac {3\ell + 2} {\ell + 4} \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0\]

Cette équation a deux solutions évidentes $1$ et $-2$.\\
Sachant $\ell \in I$, nous pouvons conclure \fbox{$\ell = 1$}.
	
 \end{enumerate}

\medskip
 {\bf Deuxième méthode.}
 \medskip
 
 \begin{enumerate}
 	\item On calcule $v_{n + 1}$ en fonction de $v_n$ :
		\begin{eqnarray*}
			v_{n + 1} & = & \frac {u_{n + 1} - 1} {u_{n + 1} + 2} \\
			 & = & \frac {3u_n + 2 - (u_n + 4)} {3u_n + 2 + 2(u_n + 4)} \\
			 & = & \frac {2u_n - 2} {5u_n + 10} \\
			 & = & \frac25\ \frac {u_n - 1} {u_n + 2}\\
			 & = & \frac25\ v_n
		\end{eqnarray*}
		Par conséquent la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac25$.
	
	\item On calcule $v_0 = \dfrac {u_0 - 1} {u_0 + 2} = -\dfrac12$. D'après le cours \fbox{$v_n = -\dfrac12 \left(\dfrac25\right)^n$}.
		
 	\item Avant de calculer $u_n$, il est utile de remarquer que $v_n = 1 - \dfrac 3 {u_n + 2}$.\\
	On en déduit maintenant:
	\[
		\frac 3 {u_n + 2} = 1 - v_n \iff u_n + 2 = \frac 3 {1 - v_n} \iff u_n = \frac {1 + 2v_n} {1 - v_n} 
	\]
	En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient finalement
	\begin{center}\fbox{$\displaystyle
		u_n = \frac {1 - \left(\dfrac25\right)^n} {1 + \dfrac12 \left(\dfrac25\right)^n }
	$}\end{center}
	
	\item Sachant $-1 < \dfrac25 < 1$, on a $\lim  \left(\dfrac25\right)^n = 0$ et les théorèmes sur les limites et les opérations 
	nous permettent de conclure \fbox{$\lim u_n = 1$}.
	
 \end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%

\section {Tétraèdre}

\begin{enumerate}
	\item Figure.
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		
		\draw (-2, 0)--(3, 0);
		\draw (0, -2)--(0, 2);
		\draw (0, 0) node[below left] {$O$};
		\draw[->] (0, 0) -- (1, 0); \draw (0.5, 0) node[below] {$\scriptstyle\vect{i}$};
		\draw[->] (0, 0) -- (0, 1); \draw (0, 0.5) node[left]  {$\scriptstyle\vect{j}$};
		
		\draw (2, 0) -- (-1, 1.73) -- (-1, -1.73) -- cycle;
		
		\draw (2, 0) node[above right] {$A$};
		\draw (-1, 1.73) node[above left] {$B$};
		\draw (-1, -1.73) node[below left] {$C$};
		
		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\item \begin{itemize}
	\item[$\bullet$] Calcul des côtés du triangle.
	\[
		AB^2 = (-3)^2 + \sqrt3^2 = 12 \qquad  BC^2 = 0^2 + (-2\sqrt3)^2 = 12 \qquad  CA^2 = 3^2 + \sqrt3^2 = 12
	\]
	On en déduit $AB = BC = CA$ : le triangle est équilatéral.
	\medskip
	\item[$\bullet$] Calcul de la distance de $O$ à chaque sommet.
	\[
		OA^2 = 2^2 = 4  \qquad  OB^2 = (-1)^2 + \sqrt{3}^2 = 4   \qquad  OC^2 = (-1)^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2 = 4
	\]
	On en déduit $OA = OB = OC = 2$ : $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle.
	\end{itemize}
	
	\item \begin{enumerate}
		\item Le point $M(x, y, z)$ est équidistant de $A$ et de $B$ si et seulement si $AM^2 = BM^2$:
		\begin{eqnarray*}
			(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = (x + 1)^2 + (y - \sqrt3)^2 + z^2 & \iff & -4x + 4 = 2x + 1 -2\sqrt3 y + 3 \\
			& \iff & -6x + 2\sqrt3 y = 0 \\
			& \iff & \sqrt3 x - y = 0
		\end{eqnarray*}
		On obtient une équation du plan médiateur de $[AB]$.
		
		\item Le point $M(x, y, z)$ est équidistant de $B$ et de $C$ si et seulement si $BM^2 = CM^2$:
		\begin{eqnarray*}
			(x + 1)^2 + \left(y - \sqrt3\right)^2 + z^2 = (x + 1)^2 + + \left(y + \sqrt3\right)^2 + z^2 & \iff & -2\sqrt3 y = 2\sqrt3 y \\
			& \iff & y = 0
		\end{eqnarray*}
		On obtient une équation du plan médiateur de $[BC]$.
		
		\item Le point $M(x, y, z)$ est équidistant des trois points lorsque se coordonnées sont solution du système
		\[
		\left\{ \begin{array}{rcl} \sqrt3x - y & =& 0 \\ y & = & 0 \end{array} \right.
		\iff
		\left\{ \begin{array}{rcl} x & =& 0 \\ y & = & 0 \end{array} \right.
		\]
		On obtient bien l'axe $\left( O, \vect{k} \right)$.		
	 \end{enumerate}
	 
	\item S’il existe, le point $D$ est équidistant de $A$ , $B$ et $C$ : il appartient donc à l’axe $\left( O, \vect{k} \right)$.\\
	Posons $(D(0~,~ 0~,~ k)$ et appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle $AOD$:
	\[
		DA^2 = DO^2 + OA^2 = k^2 + 4
	\]
	Le tétraèdre est donc régulier si et seulement si
	\[
		DA^2 = AB^2 \iff k^2 + 4 = 12 \iff k = 2\sqrt2 \quad\text{ou}\quad k = -2\sqrt2
	\]
	Puisque la troisième coordonnée de $D$ doit être positive, il existe une solution et une seule au problème, le point $\left(D(0~;~0~;~2\sqrt2\right)$.
	
	\item \begin{enumerate}
		\item Remarquons d'abord que $M$ est distinct de $A$ et de $B$ puisque les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
		
Appliquons la formule de cosinus:
		
\[\vect {AM} \cdot \vect {BM} = AM\ BM\ \cos \widehat{AMB} \Longrightarrow \cos \widehat{AMB} = \frac {\vect {AM} \cdot \vect {BM} } {AM\ BM} \]

Nous savons que par hypothèse $\vect{CM} = \lambda \vect{CD}$. Nous en déduisons les coordonnées de $M$ en fonction de $\lambda$ :

\[\left\{ \begin{array}{ccc} x + 1 & =& \lambda (0 + 1) \\ y + \sqrt3 & = &  \lambda \left(0 + \sqrt3\right) \\ z & = & \lambda\ \left(2\sqrt2 - 0\right)\end{array} \right.
			\iff
			\left\{ \begin{array}{ccc} x & =& \lambda - 1 \\ y & = &  \sqrt3 (\lambda - 1) \\ z & = & 2\sqrt2\lambda \end{array} \right.
		\]
		On en déduit les coordonnées des vecteurs $\vect{AM}$ et $\vect{BM}$ en fonction de $\lambda$ :
		\[
			\vect{AM} \left\{ \begin{array}{c} \lambda - 3 \\ \sqrt3 (\lambda - 1) \\ 2\sqrt2\lambda  \end{array} \right.
			\qquad\text{et}\qquad
			\vect{BM} \left\{ \begin{array}{c} \lambda \\ \sqrt3 (\lambda - 2) \\ 2\sqrt2\lambda  \end{array} \right.
		\]
		On peut maintenant calculer leur produit scalaire:
		\[
			\vect{AM} \cdot \vect{BM} = \lambda (\lambda - 3) + 3(\lambda - 1) (\lambda - 2) + 8 \lambda^2 = 12\lambda^2 - 12\lambda + 6
		\]
		Nous savons que $C$ et $D$ sont équidistants de $A$ et $B$: ils appartiennent donc au plan médiateur de $[AB]$. La droite $(CD)$ est donc incluse
		dans ce plan. En particulier $M$ est équidistant de $A$ et $B$ et donc $MA = MB$. On en déduit:
		\[
			AM\ BM = AM^2 = (\lambda - 3)^2 + 3(\lambda - 1)^2 + 8\lambda^2 = 12\lambda^2  -12\lambda + 12
		\]
		On obtient finalement
		\[
			\cos \widehat{AMB} = \frac {12\lambda^2 - 12\lambda + 6} {12\lambda^2  -12\lambda + 12} = \frac {2\lambda^2 - 2\lambda + 1} {2(\lambda^2  - \lambda + 1)}
		\]
		
		\item Le trinôme $\lambda^2  - \lambda + 1$ n'a pas de racine réelle puisque son discriminant est $\Delta = -3 < 0$.
		
La fonction $f$ est donc définie sur $\R$. Elle est de plus dérivable sur $\R$ en tant que fonction rationnelle et pour tout $\lambda$ :

\[f'(\lambda) = \frac12\ \frac {2\lambda - 1} {(\lambda^2  - \lambda + 1)^2} \]

Cette dérivée est du signe de $2\lambda - 1$ et nous pouvons dresser la tableau de variations de $f$:

\[\begin{tablvar}[5em]{2}
			 \hline
				\lambda & 0 & & \frac12 & & 1 \\
			\hline
				f^\prime(\lambda) & & - & \barre[0] & + & \\
			\hline
				\variations{\mil{f(\lambda)} & \haut{\frac12}  && \bas{\frac13} && \haut{\frac12} }
			\hline
\end{tablvar}\]
	
		\item Lorsque $\lambda\in[0~;~1]$, le cosinus de $\widehat{AMB}$ atteint son minimum $\dfrac13$ pour $\lambda = \dfrac12$.
		
Puisque le cosinus est décroissant sur $[0~;~\pi]$, l'angle $\widehat{AMB}$ atteint son maximum pour cette valeur de $\lambda$.

Le point $M$ est alors le milieu de $[CD]$.
		
		\item Le maximum de $\widehat{AMB}$ est donc

\[\cos^{-1} \frac13 \approx 1,23\  \text{radians} \approx 70,53\text{°}\]

	 \end{enumerate}	
 \end{enumerate}

\newpage

\section {Nombres complexes, similitudes (spécialité)}

\medskip
{\bf PARTIE I}
\medskip

\begin {enumerate}
	\item D'après l'énoncé, on sait $\T A \ne \T E$ et $\T C \ne \T G$. D'après le cours, ces conditions suffisent pour affirmer
		qu'il existe une similitude plane directe $S$ telle que S(A) = C et S(E) = G.\\
		De plus, l'angle de cette similitude est
		\[
			\angle{EA}{GC} = \angle{BA} {BC} = -\frac \pi 2
		\]
	
	\item \begin {enumerate}
		\item On remarque au préalable que ABC est rectangle en B: par conséquent $\Gamma$ est le cercle de diamètre [AC].
		De la même façon, $\Gamma'$ est le cercle de diamètre $[EG]$.\\
		D'après la question précédente $\A{\Omega \T A} {\Omega \T C} = -\dfrac \pi 2$.\\
		Le triangle $\Omega$AC est donc rectangle en $\Omega$ et le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AC], c'est-à-dire à $\Gamma$.\\
		De la même façon $\A{\Omega \T E} {\Omega \T G} = -\dfrac \pi 2$. \\
		Le triangle $\Omega$ EG est donc rectangle en $\Omega$ et le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [EG], c'est-à-dire à $\Gamma'$.\\
		
		\item Il suffit de remarquer que $\angle {\T{BE}} {\T{BG}} = \dfrac \pi 2$, alors que l'angle de la similitude est $-\dfrac \pi 2$. \\
		On ne peut donc avoir $\Omega$ = B.
		
		\item D'après l'énoncé, les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ se coupent en deux points distincts B et K.\\
		Or d'après la question {\bf 2.\ a.}, $\Omega$ est l'un de ces deux points et d'après la question {\bf 2.\ b.},  $\Omega$ et B sont deux points distincts.\\
		On peut donc conclure $\Omega $= K.
	
	 \end{enumerate}	
 \end{enumerate}


\medskip
{\bf PARTIE II}
\medskip

\begin {enumerate}
	\item Figure. 
	
Après avoir placé les points de l'énoncé, on vérifie que F est le milieu de [AC]. On trace ensuite le cercle de centre F et de rayon FA : il s'agit du cercle $\Gamma$.
	
On construit ensuite le point $m(-2~;~{5}~;~0)$ qui est le milieu de [EG] puis le cercle de centre $m$ et de rayon $m$E : il s'agit du cercle $\Gamma'$.
	
Ces deux cercles se coupent en deux points: $\Omega$ est le point d'intersection qui est différent de B.

	 \begin{tikzpicture} \begin {scope} [scale=1.4]
		
		\clip (-5.2,-4.5) rectangle (3.2, 4.5);
		
		\coordinate (A) at (2, 4);
		\coordinate (B) at (-1, -2);
		\coordinate (C) at (3, -4);
		\coordinate (E) at (0, 0);
		\coordinate (F) at (2.5, 0);
		\coordinate (G) at (-5, 0);
		
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\draw (A) node[ above] {A};
		\draw (B) node[ below ] {B};
		\draw (C) node[ below right ] {C};
		
		\draw (-5.5, 0) -- (4.5, 0);
		\draw (E) node[ above left ] {E};
		\draw (F) node[ above right ] {F};
		\draw (G) node[ below left ] {G};
		
		\draw (-5 - 0.5, 0 + 0.25) -- (-1, -2);
		
		\draw[blue] (2.5, 0) circle(4.03);
		\draw[blue] (-2.5, 0) circle(2.5);
		
		\draw (-1, 2) node {$\bullet$}; \draw (-1.1, 2.1) node[ above ] {$\Omega$};
		
		\draw (-2.5, 0) node {$\bullet$}; \draw (-2.5, 0) node[below] {$m$};
		
		\draw[blue]  (1, -4) node {$(\Gamma)$};
		\draw[blue]  (-2.5, -2.7) node {$(\Gamma')$};
		
	\end{scope} \end{tikzpicture}
	
	\item Notons $s: \ z \mapsto z' = az + b$ l'écriture complexe de $S'$. On résout:
	\[\left\{ \begin{array} {ccc} z_E& =& a z_A + b \\ z_G & = & az_C + b \end{array} \right.
		\iff
		\left\{ \begin{array} {ccc} 0& =& a (2 + 4\ii) + b \\ -5 & = & a (3 - 4\ii) + b \end{array} \right.
\]
	
	Par soustraction membre à membre, on obtient: $$a (-1 + 8\ii) = 5 \iff a = \dfrac {5 (-1 - 8\ii)} {65}  = \dfrac {-1 - 8\ii} {13}$$
	On en déduit ensuite
	\[
		b = -a(2 + 4\ii) = \frac {(1 + 8\ii) (2 + 4\ii) } { 13} = \frac { -30 + 20\ii} {13 } 
	\]
	L'écriture complexe de $S'$ est donc \fbox{$\ z \mapsto z' = \dfrac {(-1 - 8\ii) z - 30 + 20\ii} {13}$}.\\
	Le centre $\Omega'$ de $S'$ a pour affixe la solution de l'équation $z = az + b$:
	\[
		 (14 + 8\ii) z = 10 (-3 + 2\ii) \iff z = \frac { 5 (-3 + 2\ii) (7 - 4\ii) } {65 } = \frac {-13 + 26\ii } {13} = \fbox{-1 + 2\ii}
	\]
	\item On vérifie que $\Omega' \in \Gamma$: il suffit pour cela de montrer que les vecteurs $\vect{\Omega'\T A}$ et $\vect{\Omega'\T C}$ sont orthogonaux.
	Calculons leurs coordonnées puis leur produit scalaire:
	\[
		\vect{\Omega'\T A} \left( \begin{array} {ccc} 2 - (-1) & =  & 3 \\ 4 - 2 & = & 2 \end{array} \right)
		\quad
		\vect{\Omega'\T C} \left( \begin{array} {ccc} 3 - (-1) & =  & 4 \\ -4 - 2 & = & -6 \end{array} \right)
		\quad
		\vect{\Omega'\T A} \cdot \vect{\Omega'\T C} = 3\times 4 + 2 \times (-6) = 0
 	\]
	De la même façon, on vérifie $\Omega' \in \Gamma'$ en calculant les coordonnées de $\vect{\Omega'\T E}$ et $\vect{\Omega'\T G}$ et en montrant que leur produit scalaire est nul:
	\[
		\vect{\Omega'\T E} \left( \begin{array} {ccc} 0 - (-1) & =  & 1 \\ 0 - 2 & = & -2 \end{array} \right)
		\quad
		\vect{\Omega'\T G} \left( \begin{array} {ccc} -5 - (-1) & =  & -4 \\ 0 - 2 & = & -2 \end{array} \right)
		\quad
		\vect{\Omega'\T E} \cdot \vect{\Omega'\T G} = 1\times (-4) + (-2) \times (-2) = 0
 	\]
	Par conséquent $\Omega'$ est bien l'un de deux points d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma'$. Les points B et $\Omega'$ sont distincts car leurs affixes sont différentes. Par conséquent $\Omega'$ et $\Omega$ sont confondus.
	
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%

\section {Modèles d'évolution}

\begin {enumerate}
	\item Supposons $\lim u_n = \ell \in \R$.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$]La fonction $f$ est une fonction polynôme : elle est donc continue sur $\R$. Le théorème sur la limite de la composée d'une fonction continue et d'une suite 
		nous permet d'écrire $\lim f(u_n) = f(\ell)$.
		\item[$\bullet$]On sait d'autre part $\lim u_{n + 1} = \lim u_n = \ell$.
		\item[$\bullet$]D’après l’unicité de la limite d’une suite : \fbox{$f(\ell) = \ell$}.
	\end{itemize}
	\item \begin {enumerate}
		\item On calcule la différence entre deux termes consécutifs de la suite:
		\[
		u_{n + 1} - u_n = u_n \left(1- u_n\right) - u_n = -u_n^2 \leqslant 0
		\]
		Puisque cette différence est négative, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		
		\item On procède par récurrence.
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet$] Pour $n = 0$, on a $u_0 = \dd{0}{4}$  et donc $0 \leqslant u_0 \leqslant 1$.
			\item[$\bullet$] Supposons que pour un entier n donné nous ayons $0 \leqslant u_n \leqslant 1$. Montrons qu’il en va de même pour l'entier $n + 1$. \\
			Nous avons au départ $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ et $0 \leqslant 1 - u_n \leqslant 1$. 
			Nous pouvons effectuer le produit membre à membre de ces deux encadrements car tous les termes sont positifs ou nuls: $0 \leqslant u_n (1 - u_n) \leqslant 1$.
			Nous obtenons le résultat souhaité : $0 \leqslant u_{n + 1} \leqslant 1$.
			\item[$\bullet$] En conclusion, pour tout entier $n$ : \fbox{$0 \leqslant u_n \leqslant 1$}.
		\end{itemize}
		
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ donc convergente vers un réel $\ell$ qui est solution de l'équation		
			\begin{center}$\ell = f(\ell) \iff \ell = \ell(1 - \ell) \iff \ell^2 = 0$\end{center}	
		On en déduit \fbox{$\lim u_n = 0$}.
		
		\item Sous ces hypothèses, la population de coccinelles va à terme vers son extinction.
	\end{enumerate}
	
	\item \begin {enumerate}
		\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0, 1]$ en tant que fonction polynôme.\\
		Pour tout $x \in [0, 1]$ : $f'(x) = \dd{1}{8}(1 - 2x)$.
		On en déduit le tableau de variations de $f$ :
		
\begin{center} 
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.1,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$\frac{1}{2}$}\uput[u](7.9,2.4){$1$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3.5,1.9){$+$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.5,1.9){$-$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\rput(1,1){$f$}
\uput[u](2.15,0){0}\uput[d](5,2){0,45}\uput[u](7.85,0){0}
\end{pspicture}

%\begin{tikzpicture}
%			\tkzTabInit[espcl=2] {$x$ / 1 , $f^\prime(x)$ / 1 , $f(x)$ / 2} { $0$, $\frac 1 2$, $1$}
%			\tkzTabLine{, +, z, -}
%			 \tkzTabVar{ - / $0$ , + / $\dd{0}{45}$ , - / $0$ }
%		\end{tikzpicture} 
\end{center}

		On vérifie bien que $f\left(\dfrac12\right) = \dfrac{\dd{1}{8}}4 = \dd{0}{45} \in \left[  0, \dfrac12 \right]$.
		
		\item D'après les variations de $f$, pour tout $x \in [0, 1]$, $f(x)\in \left[  0, \dfrac12 \right]$.
		\begin{itemize}
			\item Montrons par récurrence que $u_n$ est compris entre $0$ et $\dfrac12$.
			\begin{itemize}
				\item[$\bullet$] Pour $n = 0$, on a $u_0 = \dd{0}{3}$  et donc $0 \le u_0 \le \dfrac12$.
				\item[$\bullet$] Supposons que pour un entier n donné nous ayons $0 \le u_n \le \dfrac12$. Montrons qu’il en va de même pour l'entier $n + 1$. 
				
				Il suffit de remarquer que $u_n \in [0, 1]$, ce qui implique $u_n+1 = f(u_n)  \in \left[  0, \dfrac12 \right]$.
				\item[$\bullet$] En conclusion, pour tout entier $n$ : \fbox{$0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$}.
			\end{itemize}
			\medskip
			\item Montrons que la suite $(u_n)$ est croissante. On calcule la différence entre deux termes consécutifs:
			\[
				u_{n + 1} - u_n = \dd{1}{8} u_n \left(1- u_n\right) - u_n = \dd{0}{8}u_n - \dd{1}{8}u_n^2 = \frac95\  u_n \left(\frac49 - u_n\right)
			\]
			Montrons maintenant par récurrence que la différence $\dfrac49 - u_n$ est positive.
			\begin{itemize}
				\item[$\bullet$] Pour $n = 0$, on a $u_0 = \dd{0}{3}$  et donc $0 \leqslant u_0 \leqslant \dfrac49 \approx \dd{0}{444}$.
				\item[$\bullet$] Supposons que pour un entier n donné nous ayons $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac49$.\\
				Nous savons que $f$ est strictement croissante sur $\left[ 0, \dfrac12 \right]$ et que $u_n$ et $\dfrac49$ appartiennent à cet intervalle. 
				Nous en déduisons:
				\[
					f(0) = 0 \leqslant f(u_n) \leqslant f\left(\dfrac49\right) = \dfrac49 \iff 0 \leqslant u_{n + 1} \leqslant \dfrac49
				\]
				L'encadrement est donc vérifié pour l'entier $n + 1$.
				\item[$\bullet$] En conclusion, pour tout entier $n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac49$.
			\end{itemize}
			On en déduit finalement  que \fbox{$(u_n)$ est croissante} puisque $u_n \geqslant 0$ et $\dfrac49 - u_n \geqslant 0$.
		\end{itemize}
		
		\item La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\dfrac12$: elle est donc convergente vers un réel $\ell$ qui est solution de l'équation
		\[
			\ell = f(\ell) \iff \ell = \dd{1}{8} \ell(1 - \ell) \iff \dd{1}{8} \ell^2 -\dd{0}{8} \ell= 0 \iff \frac95 \ell \left( \ell - \frac49 \right) = 0
		\]
		Cette équation a deux solutions $0$ et $\dfrac49$. Sachant que la suite $(u_n)$ est croissante, elle est minorée par $u_0 = \dd{0}{3}$, ce qui implique $\ell \geqslant \dd{0}{3} > 0$.
		On en déduit \fbox{$\lim u_n = \dfrac49$}.

		
		\item Sous ces hypothèses, la population de coccinelles tendra à terme vers environ $444\ 000$ individus.
	\end{enumerate}
	
	\item Sous ces hypothèses, l’effectif de la population semble alterner chaque année entre deux valeurs qui sont approximativement 800 000 individus 
	et 512 000 individus. Pour préciser les valeurs et le comportement de la suite, on peut utiliser un tableur ou une calculatrice.
			
 \end{enumerate}
 
 \newpage
 \begin{center}\underline{\bf Feuilles annexes}\end{center}
 
 {\bf 1\ier cas : } $u_0 = \dd{0}{4}$ et $k = 1$.
 \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[scale=8]
	
	\draw[->] (-.05, 0) -- (1.05, 0);
	\draw[->] (0, -.05) -- (0, 1.05);
	\draw [gray, domain=-0:1]  plot(\x, { \x  });
	\draw [magenta, domain=-0:1]  plot(\x, { \x * (1 - \x) });

	\draw (0.4, 0) node[below] {$u_0$};
	\draw (0.24, 0) node[below] {$u_1$};
	\draw (0.18, 0) node[below] {$u_2$};
	
	\draw (1, 0) node[below] {$1$};
	\draw (0, 1) node[left] {$1$};
	\draw (-0.0075, 1) -- (0.0075, 1);
	
	\draw (0.24, -0.0075) -- (0.24 , 0.0075);
	\draw (0.18, -0.0075) -- (0.18 , 0.0075);
	
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.4, 0) -- (0.4, 0.24);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.4, 0.24) -- (0.24, 0.24);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.24, 0.24) -- (0.24, 0.18);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.24, 0.18) -- (0.18, 0.18);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.18, 0.18) -- (0.18, 0.15);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.18, 0.15) -- (0.15, 0.15);
		
\end{scope}\end{tikzpicture}\end{center}

{\bf 2\ieme cas : } $u_0 = \dd{0}{3}$ et $k = \dd{1}{8}$.
 \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[scale=8]
	
	\draw[->] (-.05, 0) -- (1.05, 0);
	\draw[->] (0, -.05) -- (0, 1.05);
	\draw [gray, domain=-0:1]  plot(\x, { \x  });
	\draw [magenta, domain=-0:1]  plot(\x, { 1.8 * \x * (1 - \x) });

	\draw (0.3, 0) node[below] {$u_0$};
	\draw (0.38, 0) node[below] {$u_1$};
	\draw (0.44, 0) node[below] {$u_2$};
	
	\draw (1, 0) node[below] {$1$};
	\draw (0, 1) node[left] {$1$};
	\draw (-0.0075, 1) -- (0.0075, 1);
	
	\draw (0.38, -0.0075) -- (0.38 , 0.0075);
	\draw (0.42, -0.0075) -- (0.42 , 0.0075);
	
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.3, 0) -- (0.3, 0.38);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.3, 0.38) -- (0.38, 0.38);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.38, 0.38) -- (0.38, 0.42);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.38, 0.42) -- (0.42, 0.42);
		
\end{scope}\end{tikzpicture}\end{center}

\newpage
{\bf 3\ieme cas : } $u_0 = \dd{0}{3}$ et $k = \dd{1}{8}$.
 \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[scale=8]
	
	\draw[->] (-.05, 0) -- (1.05, 0);
	\draw[->] (0, -.05) -- (0, 1.05);
	\draw [gray, domain=-0:1]  plot(\x, { \x  });
	\draw [magenta, domain=-0:1]  plot(\x, { 3.2 * \x * (1 - \x) });

	\draw (0.8, 0) node[below] {$u_0$};
	\draw (0.5, 0) node[below] {$u_1$};
	
	\draw (1, 0) node[below] {$1$};
	\draw (0, 1) node[left] {$1$};
	\draw (-0.0075, 1) -- (0.0075, 1);
	
	\draw (0.5, -0.0075) -- (0.5 , 0.0075);
	
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.8, 0) -- (0.8, 0.5);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.8, 0.5) -- (0.5, 0.5);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.5, 0.5) -- (0.5, 0.8);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.5, 0.8) -- (0.8, 0.8);
	\draw [blue, decoration={markings, mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}, postaction={decorate}] (0.8, 0.8) -- (0.8, 0.5);
		
\end{scope}\end{tikzpicture}\end{center}
	
\newpage
%%%%%%%%%%

\section {Une pyramide dans le cube}

\begingroup

\def\v#1{ \vect{\text{#1}}}
\def\V#1#2{ \vect{\text{#1#2}}}

\let\T\text

 \begin{enumerate}
 	\item Dans le repère choisi :
	\[
		\V AB = \v i \iff B \left(  \begin{array} {c} 1\\ 0 \\ 0  \end{array} \right)
		\qquad\text{et}\qquad
		\V AC = \V AB + \V BC = \v i  + \v j  \iff C \left(\begin{array} {c} 1\\ 1 \\ 0  \end{array} \right)
	\]
	On en déduit les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$ : $ I  \left(\begin{array} {ccc} \dfrac{1 + 1}2 &= & 1\\  \dfrac{0 + 1}2 &= & 1/2 \\  \dfrac{0 + 0}2 &= & 0  \end{array} \right)$\\
	On établit de même :
	\begin{center}
		$\T D \left(  \begin{array} {c} 0 \\ 1 \\ 0  \end{array} \right)$ 
		\quad  puis \quad 
		$\T H \left(  \begin{array} {c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$
		\quad et \quad
		$\T K \left(  \begin{array} {c} 0 \\ 1 \\ 1/2 \end{array} \right)$
	\end{center}
	\begin{center}
		$\T E \left(  \begin{array} {c} 0 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right)$ 
		\quad  puis \quad 
		$\T F \left(  \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$
		\quad et \quad
		$\T M \left(  \begin{array} {c} 1/2 \\ 0 \\ 1  \end{array} \right)$
	\end{center}
	
 	\item 
	Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs
	\begin{center}
		$\V IK \left(  \begin{array} {c} -1 \\ 1/2 \\ 1/2  \end{array} \right)$ 
		\quad et \quad
		$\V IM  \left(  \begin{array} {c} -1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{array} \right)$
	\end{center}
	Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisque leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles: les trois points I, K et M 
	ne sont donc pas colinéaires et il existe un plan et un seul passant par ces points.\\
	Déterminons maintenant une équation cartésienne du plan ${\cal P}$ = (IKM).\\
	Nous cherchons un vecteur $\vect n$ normal à ce plan, c'est-à-dire orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $\V IK $ et $\V IM $.\\
	Soit $\vect n \left(  a~;~b ~;~c \right)$. Ses coordonnées sont solution du système:
	\[
	\left\{  \begin{array} {ccc}  -a + \dfrac b 2 + \dfrac c 2 & = & 0 \\  -\dfrac a 2 - \dfrac b 2 + c & =& 0  \end{array} \right.
	\iff
	\left\{  \begin{array} {ccc}  b + c & = & 2a \\  -b + 2c & =& a  \end{array} \right.
	\iff
	\left\{  \begin{array} {ccc}  b + c & = & 2a \\  3c & =& 3a  \end{array} \right.
	\iff
	\left\{  \begin{array} {ccc}  b & = & a \\  c & =& a  \end{array} \right.
	\]
	Les solutions de ce système sont les triplets $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel quelconque. On peut donc prendre $\vect n \left(1~;~1~;~1 \right)$
	comme vecteur normal au plan $ {\cal P}$.
	
Soit P( x~;~y ~;~z) un point quelconque de l'espace.
	\[
		\T P \in {\cal P} \iff \V IP \cdot \vect n = 0 \iff (x - 1) \times 1 + \left(y - \dfrac12 \right) \times 1 + z \times 1 = 0 \iff \fbox{$x + y + z = \dfrac32$}
	\]
	
	On calcule maintenant les coordonnées des points $J$, $L$ et $N$ :
	\[
		\T J  \left(  \begin{array} {c} 1/2 \\ 1 \\ 0  \end{array} \right)
		\qquad
		\T L  \left(  \begin{array} {c} 0 \\ 1/2 \\ 1  \end{array} \right)
		\qquad
		\T N  \left(  \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ 1/2  \end{array} \right)
	\]
	Il est alors immédiat de vérifier que les coordonnées de chacun de ces points vérifient l'équation cartésienne du plan $\cal P$ : les points
	I, J, K, L et M appartiennent donc à $\cal P$.
	
	
	\item On calcule les coordonnées du vecteur $\V AG$:
	\[
		\V AG = \V AB + \V BC + \V CG = \V AB + \V AD + \V AE = \v i + \v j + \v k 
		\iff 
		\V AG \left(  \begin{array} {c} 1 \\ 1 \\ 1  \end{array} \right)
	\]
	On déduit $\V AG= \vect n$ : le vecteur $\V AG$ est bien normal au plan $\cal P$.
	
	\item Puisque la droite (AG) est perpendiculaire au plan $\cal P$, le projeté orthogonal d'un point quelconque de $\cal P$ sur (AG)
	est le point d'intersection T de cette droite et de ce plan.\\
	Puisque T est un point de (AG) , il existe un réel $k$ tel que $\V AT = k \V AG$. On peut calculer les coordonnées de T en fonction 
	du paramètre $k$ :
	\[
		\left\{  \begin{array} {ccc} x_T - x_A &=& k (x_G - x_A ) \\ y_T - y_A &=& k (y_G - y_A ) \\ z_T - z_A &=& k (z_G - z_A )  \end{array} \right.
		\iff
		\left\{  \begin{array} {ccc} x_T &=& k \\ y_T &=& k \\ z_T &=& k  \end{array} \right.
	\]
	Puisque T est un point de $\cal P$, ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan:
	\[
		k + k + k = \dfrac32 \iff k = \dfrac12
	\]
	Par conséquent T$\left(  \begin{array} {c} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2  \end{array} \right)$ est le projeté orthogonal des six points I, J, K, L, M, N 
	sur la droite (AG).
	
	\item Montrons que  I, J, K, L, M et N  appartiennent à un même cercle de centre T.
	\[\begin{array}{rcccl}
		\T{TI}^2 & = & (1 - 1/2)^2 + (1/2 - 1/2)^2 + (0 - 1/2)^2 & =  &1/2 \\
		\T{TJ}^2 & = & (1/2 - 1/2)^2 + (1 - 1/2)^2 + (0 - 1/2)^2 & =  &1/2 \\
		\T{TK}^2 & = & (0 - 1/2)^2 + (1 - 1/2)^2 + (1/2 - 1/2)^2 & =  &1/2
	\end{array}\]
	
On en déduit \fbox{TI = TJ = TK = $\dfrac {\sqrt 2} 2$}.

On vérifie ensuite que T est milieu de [IL], [JM] et [KN], ce qui implique \fbox{TL = TM = TN = $\dfrac {\sqrt 2} 2$}.\\
	Les six points appartiennent au cercle de centre T et de rayon $\dfrac {\sqrt 2} 2$.\\
	Montrons maintenant que les côtés de l'hexagone IJKLMN mesurent tous $\dfrac {\sqrt 2} 2$.\\
	Calculons les coordonnées des vecteurs $\V IJ$ et $\V TK$:
	
\[\V IJ \left(  \begin{array} {ccccr} x_J - x_I &=& 1/2 - 1 &=& -1/2  \\ y_J - y_I &=& 1 - 1/2 &=& 1/2 \\ z_J - z_I &=& 0 - 0 &= &0   \end{array} \right)
		\qquad
		\V TK \left(  \begin{array} {ccccr} x_K - x_T &=& 0 - 1/2 &=& -1/2  \\ y_K - y_T &=& 1 - 1/2 &=& 1/2 \\ z_K - z_T &=& 1/2 - 1/2 &= &0   \end{array} \right)\]
		
	On en déduit $\V IJ = \V TK$ : IJKT est un parallélogramme. Par conséquent
	
\[\T{IJ} = \T{TK} = \frac {\sqrt2} 2	\qquad\text{et}\qquad 	\T{JK} = \T{IT} = \frac {\sqrt2} 2\]

puisque $T$ est milieu de $[IL]$, on peut écrire $\V TL = \V IT = \V JK$ :  le quadrilatère TJKL est un parallélogramme. Par conséquent :

\[\T{LK} = \T{TJ} = \frac {\sqrt 2} 2\]

On a donc démontré \fbox{IJ = JK = KL = $\dfrac {\sqrt 2} 2$}.

Considérons maintenant dans le plan $\cal P$ la symétrie de centre T : cette transformation échange I, et L, J et M, ainsi que K et N. Or une symétrie centrale est une isométrie et on obtient
	
\[\T{LM} =\T{IJ} \qquad\qquad \T{MN} = \T{JK} \qquad\text{et}\qquad \T{NI} = \T{KL}.\]
	
On en déduit \fbox{LM = MN = NI = $\dfrac {\sqrt 2} 2$}.
	
	\item Calculons d’abord l’aire du triangle équilatéral TIJ de côté $a = \dfrac {\sqrt 2} 2$.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] sa base est $a = \dfrac {\sqrt 2} 2$
		\item[$\bullet$] sa hauteur est $h = a \cos \dfrac \pi 6 = \dfrac {\sqrt6} 4$
		\item[$\bullet$] son aire est donc ${\cal A}= \dfrac12 \times  \dfrac {\sqrt 2} 2 \times \dfrac {\sqrt6} 4 = \dfrac {\sqrt3} 8$
	\end{itemize}
	On en déduit l'aire de l'hexagone (qui est la base de la pyramide) : \fbox{$ 6 {\cal A} = \dfrac {3\sqrt3} 4  $}.
	
Calculons maintenant la hauteur de la pyramide c'est-à-dire la distance de G au plan $\cal P$ :

	\[
		d = \frac { \left| 1 + 1 + 1 - 3/2 \right|  } {  \sqrt{}1^2 + 1^2 + 1^2 } = \frac { 3/2 } { \sqrt 3 } = \fbox{$ \dfrac {\sqrt 3} 2 $}
	\]
	
On en déduit le volume de la pyramide ${\cal V} = \dfrac 13 \times \dfrac {3\sqrt3} 4 \times \dfrac {\sqrt 3} 2 = \fbox{$\dfrac 38$}$.

Comme le volume du cube est égal à $1$, le volume de la pyramide est égal aux trois huitièmes du volume du cube.
\end{enumerate}
 
\endgroup

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Fonctions vérifiant certaines conditions}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On peut écrire pour tout $x$ réel : $f(x) = \e^{2x} \left( a + \dfrac b {\e^x} + \dfrac c { \e^{2x} }  \right)$.\\
		On sait que, d'après le cours, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \e^x = \lim_{x \to +\infty} \e^{2x} = +\infty$. 
		Les théorèmes sur les limites et les opérations nous donnent alors $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}   a + \dfrac b {\e^x}  + \dfrac c { \e^{2x}} = a$.\\
		Il est donc nécessaire que $a$ soit strictement positif: sinon on aurait  $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.\\
		Les deux conditions $f(x) = 0$ et $f(\ln2) = 0$ se traduisent par le système :
\[
\left\{ \begin{array}{ccc} a + b + c &=& 0 \\ 4a + 2b + c  &=& 0 \end{array}  \right.
\iff
\left\{ \begin{array}{ccc} a + b &=& -c \\ 4a + 2b  &=& -c \end{array}  \right.
\iff
\left\{ \begin{array}{ccr} a + b &=& -c \\ 2a  &=& c \end{array}  \right.\]

Ce système a pour solutions tous les triplets $(t/2~;~-3t/2 ~;~t)$ où $t \in R$. Par exemple, le triplet $(1~;~-3~;~2)$ est un triplet solution qui vérifie de plus $a>0$.

En conclusion, la fonction \fbox{$f(x) = \e^{2x} -3\e^x + 2$} vérifie les conditions de l'énoncé.
		
	\item Les fonctions $f$ définies par $f(x) = k\ \ln x$ où $k$ est un paramètre réel vérifient la deuxième condition:
	
\[f(xy) = k\ \ln(xy) = k (\ln x + \ln y) = k\ \ln x  + k\ \ln y = f(x) + f(y)\]

Pour ces fonctions, la première condition se traduit par

\[f(2) = 4 \iff k\ \ln 2 = 4 \iff k = \dfrac{4} {\ln 2}\]

En conclusion, la fonction \fbox{$f(x) = \dfrac{4\ \ln x} {\ln 2}$} vérifie les conditions de l'énoncé.
		
	\item On sait que la valeur moyenne d’une fonction impaire sur un intervalle centré en $0$ est égale à $0$.
Il suffit donc de choisir une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à $2$ qui soit impaire, par exemple $f(x) = x^3.$
		
Vérifions le résultat dans ce cas : $\displaystyle\mu = \dfrac 1 {2 - (-2)} \int_{-2}^2 x^3 \ \text{d} x = \dfrac14 \left[  \dfrac{x^4}4 \right]_{-2}^2 = \dfrac {2^4 -(-2)^4} {16}  = 0$.\\
		En conclusion, la fonction \fbox{$f(x) =x^3$} vérifie les conditions de l'énoncé.
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item OUI
		
Une primitive de $g'$ étant $g$, on calcule $\displaystyle \int_0^1 g'(x) \text{d} x = g(1) - g(0)$.
		
La condition de l'énoncé se traduit par $g(1) = g(0)$. Or nous lisons graphiquement que les deux points de la courbe d’abscisses $0$ et $1$ ont la même ordonnée $0$.
		\item OUI
		
On observe graphiquement que le minimum de $g$ est minoré par $-1/2$. Autrement dit, pour tout $x \in [-1, 1]$ : $f(x) \geqslant -1/2$.
		
Nous pouvons intégrer cette inégalité sur l'intervalle $[0~;~1]$:

\[\int_0^1 f(x) \ \text{d} x \geqslant \int_0^1 -\dfrac12 \ \text{d} x = \left[   -\dfrac{x}2 \right]_0^1 = -\dfrac12\]	
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Suites: QCM}

On considère trois suites telles que $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$.

\begin{enumerate}
	\item Si la suite $(v_n)$ tend vers $-\infty$, alors: \medskip
	\begin{itemize}
		\item[\proposal] la suite $(w_n)$ tend vers $-\infty$
		\item[\answer] la suite $(u_n)$ est majorée
		\item[\answer] la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$
		\item[\proposal] la suite $(w_n)$ n'a pas de limite
	\end{itemize} 
	\bigskip
	
	\item Si pour tout $n$, $u_n \geqslant 1$ et $w_n = 2u_n$ et si $\lim u_n = \ell$, alors: \medskip
	\begin{itemize}
		\item[\proposal] $\lim v_n = \ell$
		\item[\proposal] la suite $(w_n)$ tend vers $+\infty$
		\item[\answer] $\lim (w_n - u_n) = \ell$
		\item[\answer] on ne sait pas dire si la suite $(v_n)$ a une limite ou non
	\end{itemize} 
	\bigskip
	
	\item Si $\lim u_n = -2$ et $\lim w_n = 2$, alors: \medskip
	\begin{itemize}
		\item[\answer] la suite $(v_n)$ est majorée
		\item[\proposal] $\lim v_n = 0$
		\item[\proposal] la suite $(v_n)$ n'a pas de limite
		\item[\answer] on ne sait pas dire si la suite $(v_n)$ a une limite ou non
	\end{itemize} 
	\bigskip
	
	\item Si $u_n = \dfrac {2n^2 - 1} {n^2}$ et $w_n = \dfrac {2n^2 + 3} {n^2}$ alors: \medskip
	\begin{itemize}
		\item[\proposal] $\lim w_n = 0$
		\item[\answer] $\lim v_n = 2$
		\item[\answer] $\lim u_n = 2$
		\item[\proposal] la suite $(v_n)$ n’a pas de limite
	\end{itemize} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Étude d’une fonction}

{\bf Partie A} \medskip

\begin{enumerate}
	\item On sait que pour tout $x > 0$, on a : $\sqrt x = \dfrac {x} {\sqrt x}$ et $\e^{1 - x} = \dfrac \e {\e^x}$. On peut donc écrire:
	
\[f(x) = \dfrac {x} {\sqrt x} \  \dfrac \e {\e^x} = \dfrac \e {\sqrt x} \ \dfrac x {\e^x}\]
	
Par application du cours, on a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac x {\e^x} = 0$.

Par ailleurs $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt x = +\infty$ entraîne  $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac \e {\sqrt x} = 0$.

Le théorème sur la limite d'un produit nous donne alors le résultat: \fbox{$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$}.
	
On peut alors affirmer que $\cal C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $+\infty$.
	\item La fonction $f$ est dérivable sur $\left]0, +\infty\right[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
	Pour tout $x > 0$ :
	
	\[f'(x) = \dfrac 1 {2 \sqrt x} \e^{1 - x} - \sqrt x  \e^{1 - x} = \frac {(1 - 2x)  \e^{1 - x}} {2 \sqrt x}\]
	
	\item Puisque $\displaystyle \sqrt x$ et $\displaystyle \e^{1 - x}$ sont strictement positifs sur $\left]0, +\infty\right[$, $f'(x)$ est du signe de $1 - 2x$.\\
	On en déduit le tableau de variations de $f$ :
	
\begin{center} 
\begin{pspicture}(8,3.25)
\psframe(8,3.25)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3.25)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.15,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\frac{1}{2}$} \uput[u](7.65,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$} \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](7.5,1.9){$-$} 
\rput(1,1){$f$}\uput[u](2.15,0){0}\uput[d](5,2){$\approx 1,166$}\uput[u](7.8,0){$0$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\end{pspicture}

%\begin{tikzpicture}
%			\tkzTabInit[espcl=2.2] {$x$ / 1 , $f^\prime(x)$ / 1 , $f(x)$ / 2} { $0$, $\frac 1 2$, $+\infty$}
%			\tkzTabLine{d, +, 0, -}
%			 \tkzTabVar{ - / $0$ , + / {$f(1/2)$} , - / $0$ }
%		\end{tikzpicture} 
\end{center}
	La fonction admet pour maximum $f(1/2)  =  \dfrac{\sqrt2} 2\ \e^{1/2}= \dfrac{\sqrt{2\e}} 2$.
	
 	\item Figure.
	\begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[scale=2]
		\draw  [thick, ->]  (-.5, 0)--(5, 0) ;
		\draw  [thick, ->]  (0, -.5)--(0, 2) ;
		\draw (1,-0.05)--(1,0.05); \draw (1, -0.05) node[below] {$1$};
		\draw (-0.05,1)--(0.05,1); \draw (-0.05, 1) node[left] {$1$};
		\draw  [domain=-0:4.8, samples=100, very thick]  plot(\x, { sqrt(\x) * exp(1 - \x) });
	\end{scope} \end{tikzpicture} \end{center}
	
\end{enumerate}

\medskip{\bf Partie B} \medskip

 \begin{enumerate}
 	\item Puisque $f$ est positive, $u_n$ est l’aire du domaine du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\cal C$ et les droites d’équations $x = n$ et $x = n + 1$. Cette aire est mesurée en unités d’aire (1u.a. = $4 \text{cm}^2$).
	
 	\item Sachant $f$ décroissante sur $[1/2, +\infty[$, on peut écrire pour tout $n$:
	
\[t \in [n, n + 1] \Longrightarrow f(n + 1) \leqslant f(t) \leqslant f(n)\]

En intégrant cet encadrement, on obtient:

\[\int_n^{n + 1} f(n + 1) \ \text{d}t \leqslant \int_n^{n + 1} f(t) \ \text{d}t  \leqslant \int_n^{n + 1} f(n) \ \text{d}t\]

Il vient finalement en remarquant que pour toute constante $k$ , $\displaystyle \int_n^{n + 1} k \ \text{d}t  = k\left[t\right]_n^{n + 1} = k$:	
	\begin{center}
\fbox{$f(n + 1) \leqslant u_n \leqslant f(n)$}
	\end{center}
	
 	\item On déduit du résultat précédent pour tout $n \geqslant 1$ : $u_{n + 1} \leqslant f(n + 1) \leqslant u_n$.
	
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
	
 	\item La suite $\left(u_n\right)$ est positive: elle est donc minorée par $0$. Elle est de plus décroissante: elle est donc convergente.
	
On a démontré dans la partie {\bf A} : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

	Ce résultat implique $\lim f(n) = \lim f(n + 1) = 0$.  Par application du théorème des gendarmes, il vient \fbox{$ \lim u_n = 0  $}.
\end{enumerate}

\medskip{\bf Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate}
 	\item \begin{enumerate}
		\item Par application de la linéarité des intégrales définies, le taux d’accroissement de $F$ au point $x$ est :
		
\[T(h) = \frac {F(x + h) - F(x)} {h} = \frac 1h \int_x^{x + h} f(t) \ \text{d}t\]

On cherche la limite de ce taux lorsque $h$ tend vers $0$.
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet$] Supposons $h > 0$.
			
Puisque $f$ est décroissante sur $[1, +\infty[$, nous avons  pour tout $t\in [x, x + h]$ : 

\[f(x + h) \leqslant f(t) \leqslant f(x)\]

Il vient en intégrant cet encadrement:
			$\displaystyle
			 	\int_x^{x + h} f(x + h)\ \text{d} t  \leqslant \int_x^{x + h} f(t) \ \text{d} t \leqslant \int_x^{x + h} f(x)\ \text{d} t
			$.
			
			En remarquant que pour toute constante $k$,$\displaystyle \int_x^{x + h} k\ \text{d} t  =  k\ [t]_x^{x + h} = hk$, on obtient :
			
\[h\ f(x + h) \leqslant F(x + h) - F(x) \leqslant h\ f(x)\]

Il vient alors en divisant par $h > 0$ : \fbox{$f(x + h) \leqslant T(h) \leqslant f(x)$}.
			
	\item[$\bullet$] Supposons maintenant $h < 0$.
			
Puisque $f$ est décroissante, nous avons  pour tout $t\in [x + h, x]$ :

\[f(x + h) \geqslant f(t) \geqslant f(x)\]

Il vient en intégrant cet encadrement:
$\displaystyle
\int_{x + h}^x f(x + h)\ \text{d} t  \geqslant \int_{x + h}^x f(t) \ \text{d} t \geqslant \int_{x + h}^x f(x)\ \text{d} \:t$.

On obtient maintenant en appliquant la remarque faite au cas précédent:

\[-h\ f(x + h) \geqslant F(x) -  F(x + h) \geqslant -h\ f(x)\]

Il vient alors en divisant par $-h >0$: \fbox{$f(x + h) \geqslant T(h) \geqslant f(x)$}.
		\end{itemize}
		
On sait que $f$ est continue et donc que $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x + h) = f(x)$.
		
Dans les deux cas, le théorème des gendarmes donne donc: $\displaystyle \lim_{h \to 0} T(h)= f(x)$.
		
Par conséquent $F$ est dérivable en $x$ et \fbox{$F'(x) = f(x)$}.

		\item Puisque $F' = f$ est strictement positive sur $[1, +\infty[$, $F$ est strictement croissante sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $t \geqslant 0$, on peut écrire : $\left( t - \sqrt2 \right)^2 \geqslant 0$. On obtient en développant:
		
\[t - 2\sqrt2 \sqrt t + 2 \geqslant 0 \iff t + 2 \geqslant 2\sqrt2 \sqrt t \]
	
		\item On déduit de la question précédente: $\displaystyle \sqrt t \leqslant \frac {t + 2} {2 \sqrt 2}$.
		En multipliant par $\e^{1 - t} > 0$, on peut écrire $f(t) \leqslant  \dfrac {(t + 2)\e^{1 - t}} {2 \sqrt 2}$.
		
Il vient finalement en intégrant cette inégalité sur $[1, x]$ : \fbox{$\displaystyle F(x) \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt2} \int_1^x (t + 2)\e^{1 - t}\ \text{d} t$}.
		
		\item Posons $u(t) = t + 2$ et $v(t) = -\e^{1 - t}$.
		
Ces deux fonctions sont dérivables: $u'(t) = 1$ et $v'(t) = \e^{1 - t}$.

Ces deux dérivées sont continues car elle-mêmes dérivable. Nous pouvons appliquer le théorème d'intégration par parties:
		\begin{eqnarray*}
			\int_1^x (t + 2)\e^{1 - t} \ \text {d} t & = & \left[  -(t + 2)\e^{1 - t} \right]_1^x - \int_1^x -\e^{1 - t} \ \text d t \\
			&= & \left[  -(t + 2)\e^{1 - t} \right]_1^x - \left[ e^{1 - t} \right]_1^x \\
			& = & \left[  -(t + 3)\e^{1 - t} \right]_1^x \\
			& = & \fbox{$4 - (x + 3)\e^{1 - x}$}
		\end{eqnarray*}
		
		\item D'une part, $F$ croissante implique pour tout $x \geqslant 1$ : $F(x) \geqslant F(1) = 0$.
		
D'autre part, par application des questions {\bf C. 2. b} et {\bf c} : $F(x) \leqslant \dfrac {4 - (x + 3)\e^{1 - x}}{2\sqrt2}$.
		
Puisque $(x + 3)\e^{1 - x} > 0$, on en déduit :  $F(x) \leqslant \dfrac {4 }{2\sqrt2} = \sqrt 2$.

En conclusion, nous avons prouvé \fbox{$0 \leqslant F(x) \leqslant \sqrt2$}.
	\end{enumerate}
 	\item Par application de la linéarité des intégrales définies:

\[S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_{n - 1} = \int_1^n f(t) \ \text{d}t = F(n)\]

Calculons la différence entre deux termes consécutifs: $S_{n + 1} - S_n = u_n \geqslant 0$. La suite $(S_n)$ est donc croissante.
	
D'après la question précédente, la suite $(S_n)$ vérifie $0 \leqslant S_n = F(n) \leqslant \sqrt2$.
	
La suite $\left(S_n\right)$ est croissante et majorée par $\sqrt 2$ , donc convergente vers un réel $\ell$.
	
Par passage à la limite dans l'encadrement précédent, nous obtenons \fbox{$0 \leqslant \ell \leqslant \sqrt 2$}.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {La diagonale du cube}

\begin{enumerate}
	\item On utilise la relation de Chasles et les propriétés du produit scalaire :
	
\[\V EA \cdot \V AF = \V EA \cdot \left( \V AE+ \V EF \right) = - \V AE^2 + \V EA \cdot \v EF\]

Puisque $\V EA \perp \V EF$, il vient : \B{\V EA \cdot \V AF = -a^2}.
	
De la même façon:
\[\begin{array} {clcllll}
		\V AB \cdot \V AF &=&  \V AB \cdot \left( \V AB + \V BF \right) &=& \V AB^2 + \V AB \cdot \V BF &=& \B{a^2} \\
		\V BC\cdot \V AF &=&  \V BC \cdot \left( \V AB + \V BF \right) &=& \V BC \cdot \V AB + \V BC \cdot \V BF &=& \B{0} \\
	\end{array}\]
		
	\item On additionne les trois produits scalaires calculés dans la question précédente :
	
\[\V EA \cdot \V AF + \V AB \cdot \V AF + \V BC \cdot \V AF  = -a^2 + a^2 + 0 = 0 \iff \V EC \cdot \V AF = 0\]
	
Les vecteurs $\V EC$ et  $\V AF$ sont donc orthogonaux.
	
	\item Puisque $\V EC$ est orthogonal à $\V AF$ et $\V AH$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH), il est orthogonal à tout
	vecteur de ce plan : la droite (EC) est donc perpendiculaire au plan (AFH).
	
	Le projeté orthogonal de E sur (AFH) est donc le point d'intersection de  (EC) et de (AFH), c'est-à-dire le point I.
	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le produit scalaire:
		
\[\V EH \cdot \V AF =  \V EH \cdot \left( \V AE + \V EF \right) = \V EH \cdot \V AE + \V EH \cdot \V EF = 0\]

Les droites (EH) et (AF) sont orthogonales.
		
Sachant I $\in$ (EC), nous pouvons écrire $\V EI = k\V EC$ et en appliquant le résultat de la question {\bf 2.}:

\[\V EI \cdot \V AF =  k \V EC \cdot \V AF =  0\]

Les droites (EI) et (AF) sont orthogonales.
		\item En utilisant les deux résultats précédents, on obtient:
		
\[\V AF \cdot \V HI =   \v AF \cdot \left( \V EI - \V EH \right) = \V AF \cdot \V EI  - \V AF \cdot \V EH  = 0\]

Les droites (AF) et (HI) sont orthogonales.
		\item On commence par prouver que $\V EF$ et $\V EI$ sont orthogonaux à $\V AH$:

\[\begin{array} {cll}
			\V EF \cdot \V AH &=&  \V EF \cdot \left( \V AE + \V EH \right) = \V EF \cdot \V AE + \V EF \cdot \V EH  = 0 \\
			\V EI \cdot \V AH  &=&  k \V EC \cdot \V AH = 0 \\
		\end{array}\]
		
En utilisant ces deux résultats, il vient:
		
\[\V AH \cdot \V FI =   \V AH \cdot \left( \V EI - \V EF \right) = \V AH \cdot \V EI  - \V AH \cdot \V EF  = 0
\]

Les droites (AH) et (FI) sont orthogonales.
		
	\end{enumerate}
\item Nous venons de montrer que (HI) et (FI) sont deux hauteurs du triangle AFH : le point I est donc l'orthocentre de ce triangle.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Géométrie dans l'espace: calculs de barycentre et de volume}

 \begin{enumerate}
 	\item On calcule les coordonnées de $\v AB$ et $\v AC$ puis leur produit scalaire.
	
\[\V AB \left(  \begin{array}{ccr}  1 - (-1) & = & 2 \\ 4 - 0 & = & 4 \\ -1 - 1 & = & -2  \end{array} \right)
		\qquad
		\V AC \left(  \begin{array}{ccr}  3- (-1) & = & 4 \\ -4 - 0 & = & -4 \\ -3 - 1 & = & -4  \end{array} \right)
		\qquad
		\V AB \cdot \V AC= 8 - 16 + 8 = 0\]

	Les vecteurs $\V AB$ et $\V AC$ étant orthogonaux, le triangle ABC est rectangle en A.
	
	\item \begin{enumerate}
		\item Calculons les deux produits scalaires suivants:
		\begin{center}$\displaystyle\begin{array}{lcr}
			\V AB \cdot \V SO & = & 2 \times -4 + 4 \times 0 - 2 \times -4 = 0\\
			\V AC \cdot \V SO & = & 4 \times -4 - 4 \times 0 - 4 \times -4 = 0
		\end{array}$\end{center}
Le vecteur $\V SO$ est donc orthogonal aux vecteurs $\V AB$ et $\V AC$.
		
		\item Puisque $\V AB$ et $\V AC$ ne sont pas colinéaires, le vecteur $\V SO$ est normal au plan (ABC).
		
Soit M(x~;~y~;~z) un point quelconque de l'espace. Il appartient au plan (ABC) si et seulement si

\[\V AB \cdot \V SO = 0 \iff (x + 1) \times -4 + y \times 0 + (z - 1) \times -4 = 0 \iff \fbox{$x + z = 0$}\]
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous cherchons trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :
		
		\[a \V OA + b \V OB + c \V OC = \vect{0} \quad\text{et}\quad a + b + c \ne 0\]
		Le triplet $(a~;~b~;~c)$ est donc solution du système
		$\displaystyle
		\left\{  \begin{array}{rcl}  -a + b + 3c &=& 0 \\ 4b - 4c &=& 0 \\ a - b - 3c &=& 0 \end{array} \right.
		$\\
		La première et la troisième équation étant équivalentes, le système se réduit à

\[\left\{  \begin{array}{rcl}  -a + b + 3c &=& 0 \\ 4b - 4c &=& 0 \end{array} \right.
			\iff
			\left\{  \begin{array}{rcl}  a - b &=& 3c \\ b &=& c \end{array} \right.
			\iff
			\left\{  \begin{array}{rcl}  a &=& 4c \\ b &=& c \end{array} \right.\]
			
Les solutions de ce système sont les triplets $(4t~;~t~;t)$ où $t \in R$. En particulier $(4~;~1~;1)$
	et un triplet solution tel que $ 4 + 1 + 1 \ne 0$.
		
En conclusion, O est le barycentre du système $(\text{A}~;~4), (\text{B}~;~1), (\text{C}~;~1)$.
		
		\item On sait que le barycentre de trois points appartient à tout plan qui les contient.
	 
Donc $\text{O}$ appartient au plan  $(\text{ABC})$.
		
De plus les trois coefficients du système sont de même signe : le point  $\text{O}$ appartient donc à l'intérieur du triangle ABC.
		
	\end{enumerate} 
	\item D'après la question {\bf 2. a}, O est le projeté orthogonal du point S sur le plan ABC. On peut donc prendre comme base du tétraèdre le triangle ABC et comme hauteur la distance SO.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Calcul de l'aire de la base: ${\cal A} = \dfrac {\text{AB}\times \text{AC}}2$ \\
		On vérifie $ \text{AB} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = 2\sqrt 6$,\quad  $ \text{AC} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 4^2} = 4\sqrt 3$ \quad et ${\cal A} = 12\sqrt2$.
		\item[$\bullet$] Calcul de la hauteur: $h = OS = \sqrt{4^2 + 0^2 + 4^2} = 4\sqrt2$.
	\end{itemize}
	On en déduit le volume du tétraèdre: ${\cal V} = \dfrac {{\cal A}  \times h} 3 = \dfrac {12\sqrt2 \times 4\sqrt 2} 3 = \B{32}$.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section{Fonction irrationnelle, méthode d'Euler}

{\bf Partie A} 

\medskip

Tableau numérique.

\makebox[\textwidth]{$\displaystyle\begin{array}{|l|llllll|}
\hline
u_n&0&~~1&~~2&~~3&~~4&~~5\\
\hline
x_n& 0 & \dd{0}{1} & \dd{0}{2} & \dd{0}{3} & \dd{0}{4} & \dd{0}{5}\\
\hline
y_n& 1 & \dd{1}{1} & \dd{1}{191} & \dd{1}{275} & \dd{1}{353} & \dd{1}{427}\\
\hline
\end{array}$}

\medskip{\bf Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La condition $f(x)f'(x) = 1$ implique $f(x) \ne 0$ et $f'(x) \ne 0$ pour tout $x \geqslant 0$.
	
La fonction $f$ ne peut donc s'annuler.
	
\item Puisque $f$ est dérivable, elle est continue sur $[0, +\infty[$.\\
	Or si $f(0) = 1$ et s'il existe $a > 0$ tel que $f(a) < 0$, le théorème des valeurs intermédiaires implique que
	 $f$ s'annule au moins une fois sur $[0, a]$.
	
\item Supposons que $f$ prend une valeur strictement négative : d'après la question {\bf B 2.} $f$ s'annule, ce qui est en contradiction avec le résultat de la question   {\bf B 1.}
	
On en déduit $f \geqslant 0$. Mais puisque $f$ ne peut s'annuler, on a bien \B{f > 0}.
\end{enumerate}

\medskip{\bf Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $u$ est dérivable sur un intervalle I, alors \B{\dfrac{u^2}2} est une primitive de $u$ sur cet intervalle.
	
\item Les deux fonctions $x \longmapsto \dfrac{f(x)^2}2$ et $x \longmapsto x$ ont la même dérivée sur I.

Elles diffèrent donc d'une constante sur cet intervalle.
	
On peut donc écrire pour tout $x \geqslant 0$ : $f(x)^2 = 2x + k$ ou $k$ est une constante réelle.
	
\item La condition $f(0) = 1$ implique $k = 1$.

Sachant $f > 0$, on peut écrire pour tout $x \geqslant 0$ : \B{f(x) = \sqrt{2x + 1}}.
	
\item Tableau numérique.
	
\makebox[\textwidth]{$\displaystyle\begin{array}{|l|llllll|}
		\hline
		x&0&~~1&~~2&~~3&~~4&~~5\\
		\hline
		f(x)& 1 & \dd{1}{095} & \dd{1}{183} & \dd{1}{265} & \dd{1}{342} & \dd{1}{414}\\
		\hline
\end{array}$}

On constate la proximité des valeurs obtenues dans les deux tableaux : l’erreur est majorée par $\dd{0}{02}$.
	
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Exemple de codage (spécialité)}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On vérifie de façon immédiate:  $7\times2 - 13\times1 = 14 - 13 = 1$.
		
Le couple $(u, v) = (2, 1)$ est donc solution de l'équation.
		
		\item En multipliant les deux membres de l'égalité précédente par $4$, on obtient:
		
\[7 \times 8 - 13 \times 4 = 4 \iff 14 \times 4 - 26 \times 2 = 4.\]

Le couple $(u_0, v_0) = (4, 2)$ est donc solution de l'équation.
		
	\item D'après la question précédent $(u_0, v_0)$ est une solution particulière de l'équation 
	
	\[(\T E)\quad14a - 26k = 4.\]
		
\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Supposons d'abord que $(a,\, k)$ est un couple solution de (E) :
		
\[14 a - 26k = 14 u_0 - 26 v_0 \iff 7a - 13 k = 7 u_0 -13 v_0 \iff 7(a - u_0) = 13(k - v_0)\]

On en déduit que $7$ divise le produit $13(k - v_0 )$.
		
Or, nous savons que $7$ et $13$ sont premiers entre eux et d'après le théorème de Gauss, 
on en déduit que $7$ divise le facteur $k - v_0$.
		
Il existe donc un entier relatif $t$ tel que $k - v_0 = 7t$. On en déduit maintenant:

\[7(a - u_0) = 13\times 7t \iff a - u_0 = 13t.\]

Par conséquent tout couple $(a, k)$ qui est solution de (E) vérifie

		\[a = u_0 + 13t \quad\text{et} \quad k = v_0  + 7t \qquad\text{où} \qquad t\in \Z\]
		
		\item[$\bullet$] Vérifions que tout couple $(u_0 + 13t,\, v_0 + 7t)$ où $t\in \Z$ est bien solution de (E) :
		\[
			14(u_0 +  13t) -26(v_0 + 7t ) = 14 u_0 -26 v_0 + 182 - 182 = 14 u_0 -26 v_0 = 4
		\]
		
		\item[$\bullet$] En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples \makebox{$(4 + 13t,\, 2 + 7t)$} où $t\in \Z$.
		
		\end{itemize}
		
	 \end{enumerate}
	
 \item  
 	\begin{enumerate}
		\item L'entier associé à la lettre F est $5$ et l'entier associé à la lettre $K$ est $10$ : par conséquent le reste de la 
		division euclidienne de $5a + b$ par $26$ est $10$.
		
		L'entier associé à la lettre T est $19$ et l'entier associé à la lettre $O$ est $14$ : par conséquent le reste de la 
		division euclidienne de $19a + b$ par $26$ est $14$.
		
		Ces deux résultats se traduisent par
		
\[(\T S)\qquad\left\{ \begin{array}{rcl} 5a + b & \equiv & 10\quad\text{modulo}\ \  26 \\  19a + b & \equiv& 14\quad\text{modulo}\ \  26 \end{array} \right.\]
		
		\item Par soustraction membre à membre des deux lignes du système précédent, on obtient: $14a\ \equiv \ 4$\ modulo $26$. Il existe donc un 
		entier relatif $k$ tel que
		
\[14a = 4 + 26k \iff 14a - 26k = 4.\]
		
		\item Supposons que $(a,\,b)$ est un couple solution du système (S).
		
		D'après la question {\bf 2. b}, il existe un entier relatif $k$ tel que  $(a,\,k)$ est solution de (E) 
		et d'après la question {\bf 1.} on peut écrire $a = 4 + 13 t$ où $t \in \Z$.
		
		On en déduit que si $a$ est compris entre $0$ et $25$ il ne peut valoir que $4$ ou $17$.
\begin{itemize}
		\item[$-$] Si $a = 4$, alors la première équation de (S) implique $b \equiv -10 \equiv 16$ modulo $26$.\\
		Puisque $b$ est compris entre $0$ et $25$, on en déduit $b = 16$.
		\item[$-$] Si $a = 17$, alors la première équation de (S) implique $b \equiv -75 \equiv 3$ modulo $26$.\\
		Puisque $b$ est compris entre $0$ et $25$, on en déduit $b = 3$.
		\end{itemize}
Donc les couples solutions de (S) ne peuvent être que $(4,\,16)$ ou $(17,\,3)$.
		
Pour terminer, on vérifie que chacun de ces deux couples est effectivement solution de (S).
	 \end{enumerate}
	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] G est associé à $n = 6$ et $17 \times 6 + 3 = 105 \equiv 1$ modulo $26$.\\
		Donc G est codé B
		\item[$\bullet$] A est associé à $n = 0$ et $17 \times 0 + 3 = 3 \equiv 3$ modulo $26$.\\
		Donc A est codé D
		\item[$\bullet$] U est associé à $n = 20$ et $17 \times 20 + 3 = 343 \equiv 5$ modulo $26$.\\
		Donc U est codé F
		\item[$\bullet$] S est associé à $n = 18$ et $17 \times 18 + 3 = 309 \equiv 23$ modulo $26$.\\
		Donc S est codé X.
		\end{itemize}
		
		Finalement GAUSS est codé BDFXX
		
		\item La condition $\varphi(n) = \varphi(p)$ se traduit par

\[17n + 3 \equiv 17p + 3 \quad\text{modulo}\ \ 26 \iff 17(n - p) \equiv 0  \quad\text{modulo}\ \ 26.\]

		Supposons que $n$ et $p$ sont les entiers associés à deux lettres de l'alphabet. Si le code de ces deux lettres est le même,
		alors $26$ divise le produit $17(n -p)$. Or $26$ est premier avec $17$ : d'après le théorème de Gauss, $26$ divise $n - p$.
		
		On en déduit que $| n - p|$ est un multiple de $26$. Or, puisque $n$ et $p$ sont compris entre $0$ et $25$, le nombre $| n - p|$ est un
		multiple positif de $26$ qui est strictement inférieur à $26$ : on en déduit $| n - p| = 0$ et donc $n$ = $p$.
		
Si le code de deux lettres est le même, alors ces deux lettres sont identiques.

De façon équivalente, si deux lettres sont différentes, leurs codes sont différents.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item On calcule $23\varphi(n) + 9 - n$:
		
		\[23 (17 n + 3) + 9 - n = 390 n + 78 = 26(15n + 3) \equiv 0 \quad\text{modulo} \ \ 26\]
		
		\item Pour décoder $\varphi(n)$ il suffit donc de calculer le reste de $23 \varphi(n) + 9$ modulo $26$: ce nombre est égal à $n$ d'après la remarque de la question précédente.
		\item Le message \og KTGZDO \fg. est le code de \og FERMAT \fg.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Probabilités et lois continues}

 \begin{enumerate}
 	\item  D'après l'énoncé: 
	
\begin{tabular}{*{3}{p{10em}}}
	$p\left(F_1\right) = 0{,}2$ & $p\left(F_2\right) = 0{,}5$ & $p\left(F_3\right) = 0{,}3$ \\
	$p\left(\overline{D} \mid \T F_1\right) = 0{,}97$ & $p\left(\overline{D} \mid \T F_2\right) = 0{,}98$ & $p\left(\overline{D} \mid \T F_3\right) = 0{,}95$ \\
\end{tabular}

\medskip 
	
Par application du cours, on en déduit:

\begin{tabular}{*{3}{p{10em}}}
	$p\left(D \mid \T F_1\right) = 0{,}03$ & $p\left(D \mid \T F_2\right) = 0{,}02$ & $p\left(D \mid \T F_3\right) = 0{,}05$ \\
\end{tabular}

\medskip
	
On résume les données dans un arbre de probabilités:	
	\begin{center} \begin{tikzpicture}\begin{scope}[scale=1.2]
	
	\tikzstyle {proba} = [draw = white, fill=white, pos=0.5];
	
	\node (F1) at (2, 2) {$F_1$};
	\node (D1) at (4, 2.6) {$D$};
	\node (C1) at (4, 1.4) {$\overline{D}$};
	\node (F2) at (2, 0) {$F_2$};
	\node (D2) at (4, 0.6) {$D$};
	\node (C2) at (4, -0.6) {$\overline{D}$};
	\node (F3) at (2, -2) {$F_3$};
	\node (D3) at (4, -1.4) {$D$};
	\node (C3) at (4, -2.6) {$\overline{D}$};
	
	\draw (0, 0) -- (F1) node[proba]{$0{,}2$};
	\draw (F1) --(D1) node[proba]{$0{,}03$};
	\draw (F1) --(C1) node[proba]{$0{,}07$};
	\draw (0, 0) -- (F2) node[proba]{$0{,}5$};
	\draw (F2) --(D2) node[proba]{$0{,}02$};
	\draw (F2) --(C2) node[proba]{$0{,}98$};
	\draw (0, 0) -- (F3) node[proba]{$0{,}3$};
	\draw (F3) --(D3) node[proba]{$0{,}05$};
	\draw (F3) --(C3) node[proba]{$0{,}95$};
	
	\end{scope}\end{tikzpicture} \end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Puisque les trois évènements $F_1$, $F_2$ et $F_3$ forment une partition de l’univers, on applique la formule des probabilités totales :		

\begin{eqnarray*}
			p(D) &= & p\left(D \cap F_1\right) + p\left(D \cap F_2\right) + p\left(D \cap F_3\right) \\
			& = & p\left(F_1\right)~p\left(D \mid F_1\right) +  p\left(F_2\right)~p\left(D \mid F_2\right) +  p\left(F_3\right)~p\left(D \mid F_3\right)	 \\
			& = & \dd 0 2 \times \dd 0 03 + \dd 0 5 \times \dd 0 02 + \dd 0 3 \times \dd 0 05 \\
			& = & \B{\dd 0 031}
		\end {eqnarray*} 
		
		\item On veut calculer $p\left(F_1 \mid D\right) = \dfrac{p\left(F_1 \cap D\right)}{p(D)}$.
		
La probabilité de l'intersection a été calculée dans la question précédente.
		
On en déduit : $p\left(F_1 \mid D\right) = \dfrac{\dd 0 006}{\dd 0 031} = \dfrac 6 {31} \approx \B {\dd 0 194}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On répète 12 fois la même expérience - choisir une ampoule au hasard - en supposant les résultats indépendants.
	
On reconnaît le schéma de Bernoulli où les paramètres sont $n = 12$, $p = \dd 0 031$ et $q = \dd 0 969$.

On en déduit:
 
\[p(R) = \binom {12} 0 q^{12} + \binom {12} 1 p\, q^{11} = {\dd 0 969}^{12} + 12\times \dd 0 031 \times {\dd 0 969}^{11} \approx \B{\dd 0 948}\]
	
	\item On a en général:
	
\[p(T \leqslant x) = \int_0^x \lambda\e^{-\lambda t} \,\T d t = \left[  -\e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - \e^{-\lambda x}\]
		
On en déduit $\displaystyle p(T \geqslant x) = 1 - p(T \leqslant x)  =  \e^{-\lambda x}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Par application immédiate de la remarque précédente \B{P_1 = \e^{-1/2}}.
		
		\item De la même façon \B{P_2 = \e^{-1}}.
		
		\item L'intersection des évènements $(T \geqslant \np{25000})$ et $(T \geqslant \np{50000})$ est l'évènement $(T \geqslant \np{50000})$.
		
On a donc:

\[P_3 = p(T \geqslant \np{50000} \mid T \geqslant \np{25000}) = \frac {p(T \geqslant \np{50000})} {p(T \geqslant \np{25000})} = \frac{P_2}{P_1} =  \e^{-1 + \frac12} = \B{\e^{-1/2}}.\]
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section {Nombres complexes et triangles équilatéraux (spécialité)}

\medskip{\bf PREMIÈRE PARTIE} \medskip
 \begin{enumerate}
 \item  
 	\begin{enumerate}
		\item $j = \cos \dfrac{2\pi}3 + \ii \sin \dfrac{2\pi}3  = -\dfrac12 + \ii \dfrac{\sqrt 3} 2$.	
		\item $j^3 = \E{3 \times \frac {2\\i\pi}3} = \E{2\ii\pi} =\cos 2\pi + \ii \sin 2\pi = 1$.	
		\item $1 + j + j^2 = \dfrac {1 - j^3} {1 - j} = 0$ d'après la question précédente.	
		\item $-j^2 =  \E{\ii\pi} \E{ 2 \times \frac {2\\i\pi}3} = \E{ \frac {7\\i\pi}3}  = \E{ \frac {7\\i\pi}3 - 2\ii\pi} = \E{ \frac {\\i\pi}3}$
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle MNP est équilatéral direct si et seulement si M est l'image de P par la rotation de centre N et d'angle $\dfrac \pi 3$.
		
		La traduction complexe de cette rotation est $z \longmapsto z' = \E{\ii\frac \pi 3} (z - n) + n$.
		
		Nous avons montré dans la question {\bf 1. d} que $ \E{ \frac {\\i\pi}3} = -j^2$. Nous en déduisons que MNP est équilatéral direct lorsque :
		
		\[m = -j^2(p - n) + n \iff m - n = -j^2(n - p)\]
		
		\item La condition de la question {\bf 2. a} est équivalente à $ m + \left(-1 - j^2\right) n + j^2 p = 0$. 
		
D'après la question {\bf 1. c} : $1 + j + j^2 = 0$. Cela implique $-1 - j^2 = j$.
		
Nous pouvons donc écrire que MNP est équilatéral direct lorsque \B{m + nj + pj^2 = 0}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip{\bf DEUXIÈME PARTIE}
\medskip

On note $o, a, b, c, d, e, f, m, n\ \T{et}\ p$ les abscisses respectives des points O, A, B, C, D, E, F, M, N et P.

Par hypothèse: \quad  $m = \dfrac{b + c}2$ \qquad  $n = \dfrac{d + e}2$ \quad et \quad $p = \dfrac{f + a}2$.

On se propose de calculer $Z = m + nj + pj^2$ et de montrer qu'il s'annule : d'après le résultat prouvé dans la première partie, on pourra conclure que MNP est équilatéral direct.

\[2Z = (b + c) + j (d + e) + j^2 (f + a) = \left(j^2 a + b\right) + (c + jd) + \left(je + j^2f\right)\]

Le triangle BOA est équilatéral direct., ce qui implique:\quad $b + jo + j^2a = 0 \iff b + j^2 a = -jo$.

Le triangle CDO est équilatéral direct., ce qui implique:\quad  $c + jd + j^2o = 0 \iff c + j d = -j^2o$.

Le triangle OEF est équilatéral direct., ce qui implique:\quad  $o + je + j^2f = 0 \iff je + j^2 f = -o$.

Nous en déduisons $2Z = -\left(1 + j +j^2\right)o$ et d'après la question {\bf 1 c.} de la première partie, $2Z = 0$ donc $Z = 0$.

On peut finalement conclure que \fbox{ MNP est équilatéral direct}.

\newpage
%%%%%%%%%%
\section{Des nombres étranges (spécialité)}

\begin{enumerate}
  	\item Il est évident qu'un rep-unit ne peut être divisible par 2 : en effet, l'écriture décimale d'un nombre pair se termine par un chiffre pair, c'est-à-dire $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
	
	De même un rep-unit ne peut être divisible par 5 : en effet, l'écriture décimale d'un nombre divisible par $5$ se termine par $0$ ou $5$.
	
 	\item Le rep-unit $N_k$ est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$, ce qui est équivalent à $k \equiv 0$\ modulo $3$.
	
 	\item Montrons le résultat par récurrence sur $k$.
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Pour $k = 1$, on a d'une part $9N_1 = 9$ et d'autre part $10^1 - 1 = 10 - 1 = 9$.\\
		L'égalité est donc vérifiée.
		\item[$\bullet$] Supposons le résultat vérifié pour un certain entier $k \geqslant 1$ et montrons qu'il est alors vérifié pour l'entier $k + 1$.
		
On remarque que par définition $N_{k + 1} = N_k + 10^k$ et donc $9N_{k + 1} = 9N_k + 9\times10^k$.\\
		Appliquons l'hypothèse de récurrence: 
		
\[9N_{k + 1} = 10^k + 9\times10^k - 1 = 10\times10^k - 1 = 10^{k + 1} - 1.\]

Le résultat est donc vrai pour l'entier $k + 1$.
	\end{itemize}
	En conclusion, pour tout $k \geqslant 1$ : $9N_k = 10^k - 1$.
	
 	\item Soit $k \geqslant 1$ un entier naturel.
	
Posons la division euclidienne de $k$ par 6 : $ k = 6q + r$ où $0 \leqslant r \leqslant 6$. Nous en déduisons:

\[9N_k = 10^k - 1 = 10^{6q + r} - 1 = \left(10^6\right)^q  \times 10^r- 1\]

Nous savons d'après le tableau de l'énoncé que $10^6 \equiv 1$\ modulo $7$. Nous en déduisons:

\[9N_k \equiv 10^r- 1 \quad\T{modulo} \ 7\]
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Supposons que $7$ divise $N_k$. Cela implique $10^r - 1 \equiv 0$ modulo $7$ : d'après le tableau de l'énoncé, le reste de la division de $k$ par $6$ ne peut être différent de $0$. Donc $6$ divise $k$.
		\item[$\bullet$] Supposons réciproquement que $6$ divise $k$ ou encore que $r = 0$.\\
		Nous en déduisons que $9N_k \equiv 0$ modulo $7$ ou encore que $7$ divise $9N_k$. Or $7$ et $9$ sont premiers entre eux: d'après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_k$.
	\end{itemize}
	En conclusion, l'équivalence est prouvée.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section{Répétition de l'unité et carrés (spécialité)}

\begin{enumerate}
	\item Il est évident qu'un rep-unit ne peut être divisible par 2 : en effet, l'écriture décimale d'un nombre pair se termine par un chiffre pair, c'est-à-dire $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
	
	De même un rep-unit ne peut être divisible par 5 : en effet, l'écriture décimale d'un nombre divisible par $5$ se termine par $0$ ou $5$.
	\item $N3 = 111 = 3 \times 37$\qquad $N4 = 1111 = 11 \times 101$\qquad $N5 = 11111 = 41 \times 271$
	\item 
\begin{enumerate}
		\item Il est équivalent d'affirmer que \og $u$ est le chiffre des unités de l'écriture décimale de $n$ \fg \ ou bien que \og $n \equiv u$\ modulo $10$ et $0 \leqslant u < 10$. \fg
		
		Le tableau suivant contient les restes modulo 10 de $n$ et de $n^2$: 
		
\[\begin{array}{|c|cccccccccc|}
		\hline
		n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
		\hline
		n^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 \\
		\hline
		\end{array}\]
		
Donc $n^2 \equiv 1$ \,modulo $10$ implique $n \equiv 1$ \,modulo $10$ ou bien $n \equiv 9$ \,modulo $10$.

Par conséquent, si le chiffre des unités de $n^2$ est $1$, alors le chiffre des unités de $n$ est nécessairement  $1$ ou $9$.
		\item \begin{itemize}
			\item[$\bullet$] Supposons $n \equiv 1$ \,modulo $10$. Par définition, il existe un entier $m$ tel que 
\begin{center}
$ n - 1 = 10m \iff n = 10m + 1 $
\end{center}

\medskip
		
	\item[$\bullet$] Supposons $n \equiv 9$ \,modulo $10$. Par définition, il existe un entier $m'$ tel que
			\begin{center}$ n - 9 = 10m' \iff n = 10m' + 9 = 10(m' + 1) -10 + 9 = 10(m' + 1) - 1 $
\end{center}
			\medskip
En posant $m = m' + 1$, on obtient $n = 10m - 1$.
		\end{itemize}
		
		\item 
\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] Supposons $n = 10m + 1$. Dans ce cas : 
			\begin{center}$n^2 = 100m^2 + 20m + 1 = 20 \left( 5m^2 + m\right) + 1$\end{center}\medskip
			On en déduit $n^2 \equiv 1$ \ modulo $20$.
			\medskip

		\item[$\bullet$] Supposons $n = 10m - 1$. Dans ce cas : 
			\begin{center}$n^2 = 100m^2 - 20m + 1 = 20 \left( 5m^2 - m\right) + 1$\end{center}\medskip
			On en déduit de nouveau $n^2 \equiv 1$ \ modulo $20$.
		
\end{itemize}
En conclusion, si l'écriture décimale de $n$ se termine par $1$, alors $n^2 \equiv 1$ \ modulo $20$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $k \geqslant 2$, il existe un entier $m$ tel que $N_k = 100m + 11 = 20(5m) + 11$.
		
Puisque $0 \leqslant 11 < 20$, le reste de la division euclidienne de
		$N_k$ par $20$ est $11$.
		
		\item Soit $k \geqslant 2$.  Supposons que $N_k$ est un carré.
		
L'écriture décimale de $N_k$ se termine par $1$ : d'après la question {\bf 3 c.},  
		$N_k \equiv 1$ \ modulo $20$. Puisque $0 \leqslant 1 < 20$,  le reste de la division euclidienne de  $N_k$ par $20$ est $1$.
		
Or d'après la question {\bf 4 a.},  le reste de la division euclidienne de  $N_k$ par $20$ est $11$.\\
		Nous obtenons une contradiction: $N_k$ ne peut être un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%
\section{Tétraèdre: section plane, calcul de volume }
 
{\bf Partie A}
\medskip
 
\begin{enumerate}
 	\item  \begin{enumerate}
	\item Figure.
\begin{center} 
	\begin{tikzpicture} [math3d, scale = 3] 
	
	\draw (1, 0, 0) -- (2.25, 0, 0);
	\draw  [thick, ->]  (0, 0, 0)--(1, 0, 0) ;
	\draw (0, 1, 0) -- (0, 2, 0);
	\draw  [thick, ->]  (0, 0, 0)--(0, 1, 0) ;
	\draw (0, 0, 1) -- (0, 0, 2.25);
	\draw  [thick, ->]  (0, 0, 0)--(0, 0, 1) ;
	
	\draw (0, 0, 0) node[above left] {O};
	\draw (0, 0, 2) node[ left] {A};
	\draw (1.73, 1, 0) node[right] {B};
	\draw (1.73, -1, 0) node[left] {C};
	
	\draw[dashed]  (0, 0, 0) -- (1.73, 1, 0) ;
	\draw[dashed]  (0, 0, 0) -- (1.73, -1, 0) ;
	\draw (0, 0, 2) -- (1.73, 1, 0) -- (1.73, -1, 0) -- cycle;
	
	\draw[red] (1.2, 0.67, 0) -- (1.2, 0.67, 0.67) -- (1.2, -0.67, 0.67) -- (1.2, -0.67, 0) -- cycle ;
	\draw (1.2, 0, 0) node[below right] {N};
	\draw (1.73, 0, 0) node[below right] {J};
	\draw (1.2, -0.67, 0) node[below] {R};
	\draw (1.2, -0.67, 0.67) node[left] {S};
	\draw (1.2, 0.67, 0.67) node[right] {T};
	\draw (1.2, 0.67, 0) node[below] {U};
	
	\end{tikzpicture} 
\end{center}
		
		\item On vérifie d'abord que O est équidistant des points A, B et C:
		
\[\T{OA}^2 = 2^2 = 4 \qquad \T{OB}^2 = {\sqrt 3}^2 + 1^2 = 4 \qquad \T{OB}^2 = {\left(-\sqrt 3\right)}^2 + 1^2 = 4\]

On a donc OA = OB = OC = $2$.
		
Vérifions maintenant que $\V OA$ est orthogonal à $\V OB$ et $\V OC$:

\[\V OA \cdot \V OB = 0 \times \sqrt 3 + 0 \times 1 + 2 \times 0 = 0
			\qquad\T{et}\qquad
			\V OA \cdot \V OC = 0 \times \sqrt 3 + 0 \times -1 + 2 \times 0 = 0\]
			
Les triangles OAB et OAC sont donc isocèles rectangles en O.
		
On vérifie maintenant BC = $2$ et on en déduit que OBC est équilatéral.
		
Pour finir, on vérifie:

\[ \T{AB}^2 = \T{OA}^2 + \T{OB}^2 = 8 \qquad\T{et}\qquad \T{AC}^2 = \T{OA}^2 + \T{OC}^2 = 8\]

Par conséquent le triangle ABC est isocèle en A.	
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On montre que $\v u$ est orthogonal aux vecteurs $\V AB$ et $\V AC$ :

\[\v u \cdot \V AB = 2 \times \sqrt 3 + 0 \times 1 + \sqrt 3 \times -2 = 0
			\qquad\T{et}\qquad
			\v u \cdot \V AC = 2 \times \sqrt 3 + 0 \times -1 + \sqrt 3 \times -2 = 0\]
			
Puisque $\V AB$ et $\V AC$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), $\v u$ est normal à ce plan.
		
		\item Soit M$(x~;~y~;~y ~;~z)$ un point de l'espace. Il appartient à (ABC) si et seulement si

\[\V AM \cdot \v u = 0 \iff x \times 2 + y \times 0 + (z - 2) \times \sqrt 3 = 0 \iff \B{2x + \sqrt3 z = 2\sqrt3}\]
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

{\bf Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
 	\item On calcule les coordonnée de J :

\[\T J \left(\begin{array}{rcccr} x_J & = & \dfrac {\sqrt3 + \sqrt 3} 2& = & \sqrt 3 \\ y_j & = & \dfrac {1 + -1} 2 &=& 0   \\ z_j & = & \dfrac {0 + 0} 2 &=& 0  \end{array} \right)\]
	
On en déduit OJ = $\sqrt 3$. Puisque T est un point de [OJ], on a bien :  $0 \leqslant \T{ON}  \leqslant \T{OJ}$.
	
Sachant ON = $t$ et OJ = $\sqrt 3$, on peut conclure \B{0 \leqslant t \leqslant \sqrt 3}.
	
	\item  Par hypothèse, $\v i$ est normal à $\cal P$ et ce plan passe par N : on en déduit que $\cal P$ a pour équation cartésienne \B{ x = t}.
	\begin{enumerate} 
		\item \begin{itemize}
		\item [$\bullet$] On sait que R est le point d'intersection de (OC) et de $\cal P$. Posons $\V OR = \lambda \V OC$, ce qui implique
		$x_R = \lambda x_C$ c'est-à-dire $t = \lambda\sqrt3$. On en déduit $\V OR = \dfrac t {\sqrt 3} \V OC$.\\
		Sachant que $U$ est le point d'intersection de (OB) et de $\cal P$, on démontre de la même façon $\V OU = \dfrac t {\sqrt 3} \V OB$.\\
		On déduit des deux relations précédentes
		 
\[\V UR = \V OR - \V OU =  \dfrac t {\sqrt 3} \left( \V OC - \V OB \right) = \dfrac t {\sqrt 3}  \V BC.\]
		
Les droites (UR) et (BC) sont donc parallèles.
		\medskip
		\item [$\bullet$] On sait que S est le point d'intersection de (AC) et de $\cal P$. Posons $\V AS = \mu \V AC$, ce qui implique
		$x_S  = \mu \sqrt 3$ c'est-à-dire $t = \mu\sqrt3$. On en déduit $\V AS = \dfrac t {\sqrt 3} \V AC$.
		
		Sachant que $T$ est le point d'intersection de (AB) et de $\cal P$, on démontre de la même façon $\V AT = \dfrac t {\sqrt 3} \V AB$.
		
On déduit des deux relations précédentes

\[\V TS = \V AS - \V AT =  \dfrac t {\sqrt 3} \left( \V AC - \V AB \right) = \dfrac t {\sqrt 3}  \VBC\]
		
Les droites (TS) et (BC) sont donc parallèles.
\end{itemize}
Nous venons de démontrer que (UR), (BC) et (TS) sont parallèles  et que $\V UR = \V TS$ : RSTU est donc un parallélogramme.
		
De plus les relations $\V OR = \dfrac t {\sqrt 3} \V OC$ et $\V AS = \dfrac t {\sqrt 3} \V AC$ impliquent

\[\V CR = \V OR - \V OC = \left( \dfrac t {\sqrt 3} - 1\right ) \V OC
			\qquad\T{et}\qquad 
			\V CS = \V AS - \V AC = \left( \dfrac t {\sqrt 3} - 1\right ) \V AC\]
			
On en déduit $\V SR = \V CR - \V CS = \left( \dfrac t {\sqrt 3} - 1\right ) \V OA$ : les droites (SR) et (OA) sont parallèles.

Or RSTU est un parallélogramme et par conséquent  (TU), (SR) et (OA) sont parallèles.
		
		\item D'après la question précédente RSTU est un parallélogramme. Les vecteurs $\V UT$ et $\V OA$ sont colinéaires et $\V OA$ est normal au plan OBC donc orthogonal à tout vecteur de ce plan, en particulier $\V UR$.
		
On en déduit $\V UT \cdot \V UR = 0$ et RSTU est un rectangle.
		
	\item Appliquons le théorème de Thalès au triangle OBJ, sachant ($\T{NU}) \ /\!\!/\   (\T{JB})$ :

\[\frac {\T{ON}} {\T{OJ}} = \frac {\T{NU}} {\T{JB}} \iff \T{NU} = \frac t{\sqrt 3} \T{JB}\]

On démontre de même dans le triangle OJC : $ \T{NR} = \dfrac t{\sqrt 3} \T{JC}$.

Ces deux résultats entraînent \B{\T{RU} = \dfrac{2t}{\sqrt 3}}.

Appliquons le théorème de Thalès au triangle BAO, sachant ($\T{TU}) \ /\!\!/\   (\T{OA})$ :

\[\frac {\T{BU}} {\T{BO}} = \frac {\T{UT}} {\T{OA}} \iff \T{UT} = 2\  \frac {\T{BU}} {\T{BO}}\]

Nous en déduisons : $\T{TU} = 2\left( 1 - \dfrac {\T{OU}} {\T{OB}}\right) = \B{2 \left( 1 - \dfrac t {\sqrt3}  \right)}$.
\end{enumerate}
	\item  
	\begin{enumerate}
		\item Puisque RSTU est un rectangle, on peut écrire:
		
\[S(t) = \T{RU} \times \T{TU} =  \dfrac{2t}{\sqrt 3} \ 2 \left( 1 - \dfrac t {\sqrt3} \right) = \B{ \frac {4t \left(\sqrt3 - t\right)} {3} }\]
		
	\item $S$ est une fonction polynôme. Elle est donc dérivable et pour tout $t \in [0, \sqrt3]$ :

\[S'(t) = \frac43\left( -2t + \sqrt 3  \right) = \frac83 \left(  \frac{\sqrt3}2 - t \right)\]

On en déduit le tableau de variations de $S$ :
		
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\psframe(8,3.25)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3.25)
\uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.1,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}\uput[u](7.7,2.4){$\sqrt{3}$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3.5,1.9){$+$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.5,1.9){$-$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)\rput(1,1){$f$}
\uput[u](2.15,0){0}\uput[d](5,2){1}\uput[u](7.85,0){0}
\end{pspicture}
%		\begin{tikzpicture}
%			\tkzTabInit{ $t$ / 1 , $S'(t)$ / 1 , $S(t)$ / 2 } { $0$ , ${\sqrt 3} / 2$ , $\sqrt 3$ }
%			\tkzTabLine{ , + , z , -}
%			\tkzTabVar {- / $0$, + / $1$ , - / $0$  }
%		\end{tikzpicture}
\end{center}
		
		\item La fonction $S$ atteint son maximum pour \B{t = \dfrac{\sqrt 3}2}.\\
		Dans ce cas RU = TU = 1 et RSTU est un carré.
		
	 \end{enumerate}

	\item  
	\begin{enumerate}
		\item Premier calcul du volume :
		
\[{\cal V} = \dfrac43 \int_0^{\sqrt3} \left(t\sqrt3 - t^2\right)\ \T d t = \dfrac43 \left[  \dfrac{t^2\sqrt3}2 - \dfrac{t^3}3 \right]_0^{\sqrt3} 
			= \dfrac43 \left(  \dfrac{3\sqrt3}2 - \dfrac{3\sqrt3}3 \right) = \B{ \dfrac {2\sqrt3} 3}\]
		
		\item Second calcul du volume : on choisit le triangle OBC pour base et [OA] pour hauteur.
		
		\begin{itemize}
			\item[$-$] l'aire de OBC est ${\cal A} = \dfrac { \T {OJ} \times \T{BC} } 2 = \sqrt 3$.
			\item[$-$] la hauteur correspondante est $h = OA = 2$
		\end{itemize}		
Le volume du tétraèdre est donc ${\cal V}  = \dfrac { {\cal A} \ h} 3 = \B{\dfrac {2\sqrt3}3}$.
		
		\item On trouve effectivement le même résultat par les deux méthodes.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%
\end{document}

Notes
====

Exercice n°3
-----------------
	Dans la première question, la deuxième proposition est  -8/3 -2i au lieu de 8/3 -2i
	Dans la quatrième question, la deuxième proposition est 2 + i√2 au leu de 2 + i√2i

Exercice n°5
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	Pour les tableaux de variations, on peut utiliser l'environnement "tkz-tab" ou l'environnement "tablvar" avec l'option "tikz"
	La deuxième solution est utilisée. Elle a un inconvénient: il faut compiler deux fois pour que les flèches soient correctement placées.

Exercice n°6
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	Dans la quatrième question, l'énoncé est  "... de façon à visualiser les résultats ..." au lieu de "..de faon visualiser les résultats..."
	
Exercice n°12
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	Dans la quatrième question, l'énoncé est  "... une valeur approché de alpha à 10^-3 près ..." au lieu de ".. une valeur approché de alpha 10^-3 près..."

Exercice n°13
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	Dans le préambule, l'énoncé est  "... partage ∆ en deux régions de même aire..." au lieu de "... partage ∆ en deux régions de mme aire..."