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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration  ~\decofourright\\[5pt] Métropole--La Réunion 19 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}  

\vspace{0.25cm}
{\footnotesize
\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

Un salon de thé propose deux types de desserts : des gaufres et des parts de tarte maison.

La gérante a remarqué que :
\begin{itemize}
\item 70\,\% des clients prennent une boisson chaude, les autres prennent une boisson froide.
\item Parmi les clients prenant une boisson chaude, 50\,\% prennent une gaufre, 30\,\% une
part de tarte et les autres ne prennent pas de dessert.
\item Parmi les clients prenant une boisson froide, 70\,\% prennent une gaufre, 

20\,\% une part de tarte et les autres ne prennent pas de dessert.
\item Aucun client ne prend plusieurs desserts.
\end{itemize}

On interroge au hasard un client de ce salon de thé.

On considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item[] $H$ : le client prend une boisson chaude,
\item[] $G$ : le client prend une gaufre,
\item[] $T$ : le client prend une part de tarte,
\item[] $S$ : le client ne prend pas de dessert.
\end{description}
}
\begin{enumerate}
\item  Complétons l’arbre ci-dessous :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,70}}
	{
	\TR{$G$}\taput{$\np{0.50}$}
	\TR{$T$}\tbput{$\np{0.30}$}
	\TR{$S$}\tbput{$\np{0.20}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{H}$~}\tbput{$\np{0.30}$}}
	{\TR{$G$}\taput{$\np{0.70}$}
	\TR{$T$}\tbput{$\np{0.20}$}
	\TR{$S$}\tbput{$\np{0.10}$}
}
}
\end{center} 

\item   $H \cap G$ est l’évènement : \og le client prend une boisson chaude et une gaufre\fg.

 Calculons sa probabilité. $p(H\cap G)=p(H)\times p_{H}(G)=\np{0.70}\times \np{0.50}=\np{0.35}$.
\item Montrons que la probabilité que le client prenne une gaufre est égale à 0,56.

$p(G)=p(H\cap G)+p(\overline{H}\cap G)=\np{0.35}+p_{\overline{H}}(G)=\np{0.35}+\np{0.3}\times \np{0.7}=\np{0.35}+\np{0.21}=\np{0.56}$.

\item  Sachant que le client prend une gaufre, la probabilité qu’il prenne une boisson chaude est notée $p_{G}(H)$.

$p_{G}(H)=\dfrac{p(H\cap G)}{p(G)}=\dfrac{\np{0.35}}{\np{0.56}}\approx \np{0.625}$
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une machine se charge de remplir automatiquement les gaufriers.

La masse de chaque gaufre, exprimée en grammes, est modélisée par une variable aléatoire M
qui suit la loi normale d’espérance \textmu = 80 et d’écart-type $\sigma= 7$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminons la probabilité que la masse d’une gaufre soit comprise entre \np[g]{70} et \np[g]{90}.

À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $p(70\leqslant X\leqslant 90)\approx \np{0.847}$
\item On ne souhaite commercialiser une gaufre que si sa masse est supérieure à \np[g]{75}.

Déterminons la probabilité qu’une gaufre soit commercialisable. Pour ce faire, calculons 

$p(X\geqslant 75)$.

À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $p(X\geqslant75)\approx \np{0.762}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le salon de thé est ouvert de \np[h]{9} à \np[h]{19}.

Le nombre de clients présents dans le salon est modélisé par la fonction $f$ définie sur [0 ; 10]
par :
\[f(t)= -0,5t^3 + 6,75t^2 - 21t+ 35,\]

où $t$ désigne le temps en heures écoulé depuis \np[h]{9}.
\begin{enumerate}
\item   $f(0)=-0,5\times 0^3 + 6,75\times 0^2 - 21\times 0+ 35=35$. 

 Le nombre de personnes dans le salon à l'ouverture c'est-à-dire \np[h]{9} est 35. 
\item Montrons que $f'(t) = (3 - 1,5t)(t- 7)$. Calculons d'abord $f'(t)$. 

$f'(t)=-0,5 \times (3t^2)+6,75  \times (2t)-21 \times 1=-1,5t^2+13,50 t-21$.

Développons maintenant $(3-1,5t)(t-7)$. 

$(3-1,5t)(t-7)=3t-21 -1,5t^2+10,5t=-1,5t^2+13,50t-21=f'(t)$.

\item Étudions le signe de $f'(t)$.

Sur $\R,\ 3-1,5t>0 \iff t<2 \ \text{et }\  t-7>0 \iff t>7$.
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|c|*{7}{c}|}
\hline
$t$&0&&2&&7&&10\\\hline
signe de $\ 3-1,5t$&&+&0&$-$&&$-$&\\\hline
signe de $t-7$&&$-$&&$-$&0&+&\\\hline
signe de $f'(t)$ &&$-$&0&+&0&$-$&\\\hline
\end{tabular}

\end{center}

Étudions maintenant la variation de $f$

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~2[$ et sur $]7~;~10],\ f'(t))<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]2~;~7[,\: f'(t)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur [0 ; 10].
 
 

	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](3.15,2.45){$2$} \uput[u](5.75,2.45){$7$} \uput[u](7.75,2.45){$10$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[ur](1,1.5){$35$}\uput[d](3.115,0.55){$16$}\uput[u](5.75,1.5){$\approx 47$}\uput[d](7.62,0.55){$0$}
\psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.85,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Le nombre de clients attendus dans le salon est maximal lorsque $f$ admet un maximum. D'après le tableau de variation, $f$ admet un maximum pour $t=7$ ce qui correspond à \np[h]{16}. Une estimation du nombre maximal de clients attendus est 47, valeur arrondie à l'unité.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize 
Pour la France, les dépenses touristiques intérieures annuelles effectuées dans les restaurants
et cafés entre les années 2011 et 2015 sont données dans le tableau suivant :

\smallskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{5.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 									&2011 	&2012	&2013	& 2014	&2015\\\hline
Dépense touristique intérieure dans
 les restaurants et cafés (en milliards
  d’euros).								&19,1	&19,4 	&19,9	&20,4	&20,5\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : Insee, DGE, compte satellite du tourisme-base 2010.}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
}
\begin{enumerate}
\item  Montrons que le taux d’évolution annuel moyen des dépenses touristiques intérieures dans
les restaurants et cafés entre 2011 et 2015, arrondi au centième, est égal à 1,78\,\%.


En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^4$ puisque la dépense touristique a subi 4 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^4=\dfrac{\np{20.5}}{\np{19.1}}\approx\np{1.073298}$ par conséquent $t_m=\np{1.073298}^{\tfrac{1}{4}}-1\approx \np{0.017841}$.

Le taux annuel moyen d'évolution des dépenses touristiques intérieures entre 2011 et 2015, arrondi à 0,01\,\%, est bien  égal à 1,78\,\%. 
\end{enumerate}
{\footnotesize Pour prévoir les dépenses touristiques intérieures effectuées dans les restaurants et cafés, on
modélise la situation par une suite $\left( u_n\right)$ où $u_n$ est la dépense en $2015 + n $ exprimée en
milliards d’euros. On a donc $u_0 = 20,5$. On admet pour la suite de l’exercice que la dépense
touristique intérieure augmentera de 2\,\% par an à partir de 2015.}
\begin{enumerate}[resume] 
\item 
À une augmentation de 2\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,02.

 $u_1 =u_0\times 1,02 \quad u_1= \np{20.5}\times \np{1.02}=\np{20.91}$ et $u_2=u_1\times \np{1.02}\quad u_2=\np{20.91}\times \np{1.02}\approx \np{21.33}$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{1.02}u_n$. La suite $\left( u_n\right)$
est une suite géométrique puisque chaque terme sauf le premier se déduit du précédent en le multipliant par le même nombre. La raison de la suite est \np{1.02} et son premier terme $u_0=\np{20.5}$.
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$.

Il en résulte que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20,5\times 1,02^n$.
\item Avec ce modèle, déterminons le montant prévisible pour la dépense touristique intérieure dans
les restaurants et cafés en 2023.  En 2023 nous avons $n=8$ car 2023=2015+8. Remplaçons alors $n$ par 8 dans l'expression de $u_n$.

$u_8=\np{20.5}\times\left(\np{1.02}\right)^8\approx \np{24.0190}$.

Les dépenses touristiques intérieures effectuées dans les restaurants et cafés en 2023 pourraient s'élever à environ 24 milliards.

%On arrondira le résultat au milliard d’euros.
\item  Complétons l’algorithme suivant pour qu’à la fin de son exécution, la variable $U$
soit égale à la dépense touristique intérieure dans les restaurants et cafés de l’année $2015 + n$
pour un entier naturel $n$ donné.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
 $U\longleftarrow$ \textcolor{violet}{\np{20.5}}\\
 \hline\\
Pour $I$ variant de 1 à $n$\\
 \hspace{2em}$U \longleftarrow $ \textcolor{violet}{\np{1.02}U}\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Pour déterminer à partir de quelle année la dépense
touristique intérieure dans les restaurants et cafés dépassera 26 milliards d’euros, résolvons $u_n>26$.

\vspace{-0.5cm}

\begin{minipage}{7 cm}
\begin{align*}
\np{20.5}\times \np{1.02}^n&>26 \\
\np{1.02}^n &>\dfrac{26}{\np{20.5}}\\
\np{1.02}^n &>\np{1.2682927}\\
\log \np{1.02}^n &>\log\np{1.2682927}\\
 \end{align*}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[]{7cm}
\begin{align*}
n \log \np{1.02} &>\log \np{1.2682927}\\
n&>\dfrac{\log \np{1.2682927}}{\log \np{1.02}}\\
n&>\np{12.002}\\
\end{align*}
\end{minipage}

Les dépenses touristiques intérieures effectuées dans les restaurants et cafés dépasseront les 26 milliards en 2015+13 soit 2028.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}


Voici le tableau décrivant les différentes tâches pour la préparation d’une tarte à la rhubarbe
meringuée.

Pour réaliser cette recette, on part du principe que certaines tâches peuvent être réalisées
simultanément par plusieurs personnes.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Tâche& Description de la tâche & Temps en minutes&Tâches à réaliser auparavant\\
\hline 
A& Éplucher et découper la rhubarbe en dés& 8&\\\hline
B &Mettre la rhubarbe dans un plat et verser le sucre &2& A\\\hline
C &Préchauffer le four à 180°C (thermostat 6)& 8&\\\hline
D &Préparer la pâte& 8&\\\hline
E &Laisser reposer la pâte &15 &D\\\hline
F& Étaler la pâte dans le moule beurré et saupoudrer de farine& 4& E\\\hline
G& Égoutter la rhubarbe et la verser sur la pâte& 5& B et F\\\hline
H& Enfourner &20& C et G\\\hline
I& Préparer la garniture &4&\\\hline
J& Sortir du four et ajouter la garniture sur la tarte&1 & I et H\\\hline
K& Enfourner à nouveau& 10& J\\\hline
L& Monter les blancs en neige& 5 &I\\\hline
M& Incorporer aux blancs le sucre& 2& L\\\hline
N& Sortir du four et étaler le mélange sur la tarte &2& M et K\\\hline
O& Mettre sous le grill& 5& N\\\hline
P& Sortir du four et laisser refroidir& 30& O\\\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item Complétons le graphe donné en annexe pour respecter l'ordonnancement des tâches de cette
recette et indiquons près  de chaque flèche le temps nécessaire à l'exécution de la tâche
d'origine.

Par exemple, sur le graphe donné en annexe, la flèche allant de A vers B et pondérée par le
nombre 8 indique que la tâche A dure 8 minutes et qu’elle doit se faire obligatoirement avant
la tâche B.
\item Calculons le temps minimum pour réaliser cette recette. 

En ajoutant les différents temps pour parcourir les différents chemins puisque 
certaines tâches peuvent être effectuer par un autre ou simultanément 

 Pour D-E 8+15+4+5+20+1+10+2+5+30=100
 
 A-B 8+2+5+20+1+10+2+5+30=83
 
 C-H 8+20+1+10+2+5+30=76
 
 I-J 4+1+10+2+5+30=52
 
 I-L 4+5+2+2+5+30=48
 
 Il faudra au minimum \np[min]{100} soit 1 h 40 pour réaliser la recette.
 
\end{enumerate}
\newpage


\framebox[14.5cm]{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe exercice 3\\
Cette page est à rendre avec la copie d'examen}
\end{center}
\end{minipage}}

%\begin{center}
\psset{shortput=tablr,labelsep=0.2pt}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-3)(0,8)
\Cnode[radius=0.3cm](0,3){Z}\rput(0,3){\tiny Début}
\Cnode[radius=0.3cm](3,4.5){B}\rput(3,4.5){\large B}
 \Cnode[radius=0.3cm](3,3){E}\rput(3,3){{\textcolor{violet}{\large E}}}
\Cnode[radius=0.3cm](4.5,3){F}\rput(4.5,3){{\textcolor{violet}{\large F}}}
 \Cnode[radius=0.3cm](6,3){G}\rput(6,3){{\textcolor{violet}{\large G}}}
 \Cnode[radius=0.3cm](7.5,3){H}\rput(7.5,3){\large H}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,6){C}\rput(1.5,6){\large C}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,4.5){A}\rput(1.5,4.5){\large A}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,3){D}\rput(1.5,3){\large D}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,1.5){I}\rput(1.5,1.5){\large I}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,0){L}\rput(1.5,0){{\textcolor{violet}{{\textcolor{violet}{\large L}}}}}
\Cnode[radius=0.3cm](6,0){M}\rput(6,0){\large M}
\Cnode[radius=0.3cm](7.5,1.5){J}\rput(7.5,1.5){{\textcolor{violet}{\large J}}}
\Cnode[radius=0.3cm](9,1.5){K}\rput(9,1.5){{\textcolor{violet}{\large K}}}
\Cnode[radius=0.3cm](10.5,1.5){N}\rput(10.5,1.5){{\textcolor{violet}{\large N}}}
\Cnode[radius=0.3cm](12,1.5){O}\rput(12,1.5){\large O}
\Cnode[radius=0.3cm](13.5,1.5){P}\rput(13.5,1.5){\large P}
\Cnode[radius=0.3cm](15,1.5){Y}\rput(15,1.5){Fin}
\ncline{->}{Z}{D}\ncline{->}{A}{B}^8\ncline{->}{D}{E}^{\textcolor{violet}{8}}\ncline{->}{E}{F}^{\textcolor{violet}{15}}\ncline{->}{F}{G}_{\textcolor{violet}{4}}\ncline{->}{G}{H}_{\textcolor{violet}{5}}\ncline{->}{B}{G}^{\textcolor{violet}{2}}\ncline{->}{C}{H}^{\textcolor{violet}{8}}
\ncline{->}{Z}{A} \ncline{->}{Z}{C}\ncline{->}{Z}{I} \ncline{->}{Z}{L}
\ncline{->}{I}{J}^{\textcolor{violet}{4}}\ncline{->}{J}{K}^{\textcolor{violet}{1}}\ncline{->}{K}{N}^{\textcolor{violet}{10}}\ncline{->}{N}{O}^{\textcolor{violet}{2}}\ncline{->}{O}{P}^5\ncline{->}{P}{Y}^{30}
\ncline{->}{H}{J}>{20}\ncline{->}{I}{L}>{\textcolor{violet}{4}}\ncline{->}{L}{M}^{\textcolor{violet}{5}}\ncline{->}{M}{N}_2
\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}