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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small Métropole La Réunion}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR Métropole 6 septembre 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,55cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}  

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
{\footnotesize
Pour connaître la fréquentation d’un restaurant gastronomique, une enquête a été menée auprès
des habitants de la commune dans laquelle il se trouve. La répartition des personnes interrogées
est la suivante :

\begin{itemize}
\item 10\,\% ont moins de 30 ans,
\item 40\,\% ont entre 30 et 50 ans,
\item 50\,\% ont plus de 50 ans.
\end{itemize}

\medskip

À la question : \og avez-vous déjà mangé dans ce restaurant ? \fg,
\begin{itemize}
\item 20\,\% des moins de 30 ans ont répondu \og oui \fg,
\item 35\,\% des personnes âgées entre 30 et 50 ans ont répondu \og oui \fg,
\item 45\,\% des plus de 50 ans ont répondu \og oui \fg.
\end{itemize}
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
On prend au hasard l’une des réponses de cette enquête.

\begin{itemize}
\item On note $J$ l’évènement : la personne interrogée a moins de 30 ans.
\item On note $M$ l’évènement : la personne interrogée a un âge compris entre 30 et 50 ans.
\item On note $S$ l’évènement : la personne interrogée a plus de 50 ans.
\item On note $R$ l’évènement : la personne interrogée a déjà mangé dans ce restaurant.
\end{itemize}
}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l’énoncé, complétons l’arbre de probabilité ci-dessous :

\bigskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.75pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$J$}\taput{0,10}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{$\np{0.2}$}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\np{0.8}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$M$}\tbput{0,40}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{0,35}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\np{0.65}$}
	  }
\pstree{\TR{$S$}\tbput{$\np{0.50}$}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{$\np{0.45}$}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\np{0.55}$}
	  }

}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité de l’évènement \og la personne interrogée a moins de 30 ans et a déjà
mangé dans ce restaurant \fg{} c'est-à-dire $p(J \cap R)$.

$p(J\cap R)=p(J)\times p_J(R)=\np{0.10}\times\np{0.20}=\np{0.02}$.
\item La probabilité de l’évènement \og la personne interrogée a un âge compris entre 30 et
50 ans et a déjà mangé dans ce restaurant \fg{} est notée $p(M\cap R)$.

$p(M\cap R)=p(M)\times p_M(R)=\np{0.40}\times\np{0.35}=\np{0.140}$.
\end{enumerate}
\item  La probabilité que la personne interrogée ait déjà mangé dans ce restaurant est $p(R)$. Montrons qu'elle est égale à 0,385.

$p(R)=p(J\cap R)+p(M\cap R)+p(S\cap R)=\np{0.02}+\np{0.140}+p(S)\times p_S(R)=\np{0.160}+\np{0.50}\times\np{0.45}=\np{0.385}$.

Nous avons bien obtenu la valeur attendue.
\item La probabilité que la personne interrogée ait moins de 30 ans, sachant qu’elle a déjà
mangé dans ce restaurant est notée $p_R(J)$.

$p_R(J)=\dfrac{p(J\cap R)}{p(R)}=\dfrac{\np{0.02}}{\np{0.385}}=\np{0.0519}$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip


{\footnotesize
\emph{Rappel : l’intervalle centré $[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}]$
 est un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% utilisable pour des échantillons de taille $n\geqslant 25$
 et des proportions $p$ du caractère comprises entre 0,2 et 0,8 .}

\medskip

\np{2 000} habitants de la commune dans laquelle se trouve le restaurant gastronomique ont répondu à
l’enquête de fréquentation. 38,5\,\% des personnes interrogées déclarent avoir mangé dans ce
restaurant. Le restaurateur prétend que 40\,\% des habitants de la commune fréquentent son
restaurant.
}
\begin{enumerate}
\item  Déterminons un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% en utilisant cette proportion de 40\,\%.

$n=\np{2000}\geqslant 25$. 
En appelant $I$ cet intervalle, $I=\left[\np{0.4}-\dfrac{1}{\np{2000}}~;~\np{0.4}+\dfrac{1}{\np{2000}}\right]=[\np{0.378}~;~\np{0.422}]$.
\item Le propos du restaurateur ne peut être mis en cause au risque de 5\,\% car \np{0.385} appartient à~$I$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,55cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}  

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

{\footnotesize

Un restaurant a produit \np[kg]{2200}  de déchets non recyclables en 2016. Le gérant du restaurant met
en œuvre des mesures pour réduire ces déchets comme le demande la réglementation.
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le gérant du restaurant a réduit de \np[kg]{110}  la masse des déchets non recyclables en 2017.
Le pourcentage de réduction annuelle  ainsi réalisé est de $\dfrac{110}{\np{2200}}=\np{0.05}=5\,\%$


\item Dans un premier modèle, on suppose que le gérant réduira de 5\,\% exactement la masse de
déchets non recyclables chaque année à compter de 2017.
\smallskip

 Pour tout entier naturel $n$, on note $D_n$ la masse de déchets non recyclables l’année $2016 +n$, ainsi $D_0 =\np{2 200}$.
 
 \begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution $t$  correspond un coefficient multiplicateur $1+t$. À une baisse de 5\,\%{} correspond un coefficient multiplicateur de \np{0.95}.

  $D_1=\np{2200}\times\np{0.95}=\np{2090}$ et $D_2=\np{2090}\times\np{0.95}=\np{1985.5}$.
\item Chaque terme se déduisant du précédant en le multipliant par le même nombre \np{0.95}, la suite $\left(D_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme \np{2200} et de raison \np{0.95}.
\end{enumerate}
\item  Complétons l’algorithme suivant pour qu’à la fin de son exécution la variable $D$
contienne le terme de rang $N$ de la suite $\left(D_n\right)$ :

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|lr|}
\hline
$D \leftarrow \np{2200}$&\\
Pour $i$ allant de 1 à $N$&\\
\phantom{xxx}$D\leftarrow \np{0.95}\times D$&\\
Fin Pour&\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Le modèle précédent ne correspond pas à l’évolution prévisible de la masse de déchets non
recyclables. On étudie un second modèle plus réaliste : l’évolution de la masse de déchets non
recyclables entre les années 2017 et 2028 est maintenant modélisée par la fonction $f$ définie sur
l’intervalle [1~;~12] et représentée ci-dessous.

On note $x$ le nombre d’années écoulées à partir de l’année 2016 et $f(x)$ la masse, en kilogrammes,
de déchets non recyclables produits par le restaurant. Ainsi,$f(1)$ est la masse en kilogrammes de
déchets non recyclables produits en 2017.
}

\scalebox{0.7}{\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.00625cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-5.25,-130)(20,1100)
\multido{\n=0+0.2}{66}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-50)(\n,1000)}
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](\n,-50)(\n,1000)}
\multido{\n=0+40}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(13,\n)}
\multido{\n=0+200}{6}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](-0.15,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=1200,Dy=200,]{->}(0,0)(13.3,1050)
\uput[ur](0,1010){\footnotesize Masse en kg}
\uput[u](12,-3){\footnotesize Rang de l'année}
\psset {arrowscale=2}
\def\Func{800 x div 100 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{12}{\Func}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=orange,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 8 def \Func)(!8 /x 8 def \Func)(8,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 2.6667 def \Func)(!2.6667 /x 2.6667 def \Func)(2.6667,0)
\end{pspicture}
\end{center}
}


\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique ci-dessus :
	\begin{enumerate}
		\item  Une valeur approchée de $f(8)$ est \np{1400}. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 8.  Au bout de huit ans, la masse de déchets non recyclables sera de \np[kg]{1400}.%  et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
		\item À partir de 2019 (2016+3) le restaurant produira une masse de déchets non recyclables
inférieure à \np[kg]{1600}. Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée \np{1600}. Cela donne la durée à ajouter à 2016. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l’intervalle [1~;~12] , on admet que :
\[ f(x)=\dfrac{800}{x}+\np{1300}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout $x\in[1~;~12],\  f'(x)=-\dfrac{800}{x^2}$.
		\item Pour tout $x\in[1~;~12],\  f'(x)<0$ comme l'opposé d'un nombre strictement positif.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $]1~;~12],\:f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1~;~12]$.

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,3.5)
%\psgrid
\psframe(9,3)
\psline(0,1.5)(9,1.5)\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.45){$x$} \uput[u](3.7,2.415){$1$}\uput[ul](9,2.45){$12$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variation de $f$}
\uput[u](6.4,1.75){$-$} 
\psline{->}(4.4,1.15)(8.58,0.65)
\uput[dl](4.3,1.5){\small $\np{2100}$} 
\uput[ul](9,0){$\np{1366.7}$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Le restaurateur souhaite diminuer à terme de moitié la masse de déchets non recyclables
produits en 2017. À terme la masse de déchets devrait être de $\dfrac{2100}{2}$ soit \np[kg]{1050}. Selon ce modèle, il n' y parviendra jamais  car la masse de déchets non recyclables restera supérieure à \np[kg]{1300}.
\end{enumerate}

\vspace{0,55cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}  

\medskip



Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
donnée.

\begin{enumerate}
\item  Le tableau suivant donne les montants du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de
Croissance) brut en euros au 1er janvier de chaque année de 2010 à 2017 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.65cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année	& 2010 		&2011	& 2012	&2013	&2014 	&2015	&2016	&2017\\\hline
Rang 	&0			&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\\hline
Montant du SMIC
 en euros &\np{1344}&\np{1394}	&\np{1398} 	&\np{1430}&\np{1445} &\np{1458}&\np{1467} &\np{1480}\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE}}
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Affirmation 1}

La droite d’équation $y = -15x + \np{1344}$ réalise un ajustement linéaire satisfaisant du montant du
SMIC en fonction du rang des années.

\textbf{affirmation fausse~:~}le coefficient directeur de la droite est négatif alors que les valeurs augmentent  nous aurions dû avoir un coefficient directeur positif.

\begin{minipage}{8cm}\item Dans le graphe ci-contre, le nombre qui figure sur
une arête indique la distance entre les deux sommets
reliés par cette arête.

\textbf{Affirmation 2}
Le trajet le plus court partant de A et se terminant
en F est ACEF.
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\psset{unit=1.35cm,shortput=tablr,labelsep=0.2pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,7)
\Cnode[radius=0.3cm](0,3){D}\rput(0,3){\large D}
\Cnode[radius=0.3cm](2.6,3){E}\rput(2.6,3){\large E}
 \Cnode[radius=0.3cm](2.5,6){B}\rput(2.5,6){B}
 \Cnode[radius=0.3cm](1.5,1.5){F}\rput(1.5,1.5){F}
\Cnode[radius=0.3cm](0,6){A}\rput(0,6){\large A}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,4.5){C}\rput(1.5,4.5){\large C}
 \ncline{-}{A}{B}^{36} \ncline{-}{A}{C}>{64}\ncline{-}{A}{D}<{90}\ncline{-}{B}{C}>{22}\ncline{-}{C}{D}>{12} \ncline{-}{C}{E}>{50}
 \ncline{-}{D}{F}\ncline{-}{D}{E}^{24}\ncline{-}{D}{F}<{54}\ncline{-}{E}{F}>{28}  
\end{pspicture}
\end{minipage}\vspace{-3cm}
\textbf{affirmation fausse~:~}  le parcours ABC (36+22=58) est plus court que le parcours AC (64)
\item À la suite d’une enquête de satisfaction menée auprès des clients d’un hôtel, on modélise le taux
de satisfaction par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance \textmu = 0,38 et d’écart type
\textsigma= 0,05.

\textbf{Affirmation 3}

En arrondissant à 0,01, la probabilité que le taux de satisfaction soit supérieur à 40\,\% est égale
à 0,52.

\textbf{affirmation fausse~:~} $P(X\geqslant \np{0.4})=1-P(X\leqslant \np{0.4})$  or 0,4 est supérieur à 0,38  par conséquent $p(X\leqslant 0,4)$ est supérieure à 0,5. Il en résulte alors que $p(X\geqslant 0,4)$ est inférieure à \np{0.5}. Elle ne peut donc être égale à \np{0.52}.

\end{enumerate} 
\end{document}