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%Merci 
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{20 juin 2024}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Polynésie 20 juin 2024~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{Exercice 1\hfill 4 points}

\medskip

%Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item 60\,\% des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision ;
%\item parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
%\end{itemize}
%
%On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item $J$ : \og la personne a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision \fg\ ;
%\item $S$ : \og la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière \fg.
%\end{itemize}
%
%On note $\overline{J}$ et $\overline{S}$ leurs évènements contraires.
%
%\smallskip
%
%\emph{Dans les questions $1$. et $2$., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
	
%\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
D'après l'énoncé $P(J) = 0,6$ et $P_J(S) = \dfrac89$.

On a donc $P(J \cap S) = P(J) \times P_J(S) = 0,6 \times \dfrac89 = \dfrac{4,8}{9} = \dfrac{3 \times 1,6}{3 \times 3} = \dfrac{1,6}{3}  = \dfrac{5 \times 1,6}{5 \times 3}  = \dfrac{8}{15}$.
\end{enumerate}

%Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
On sait que $P(S) = \dfrac23$.

On commence l'arbre de probabilités pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$J~$}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$S$} \taput{$\frac89$}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{$\frac19$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{J~}$}\tbput{0,4}}
	{\TR{$S$} \taput{$x$}
	\TR{$\overline{S}$} \tbput{$1 - x$}
	}
}
\end{center}

D'après la loi des probabilités totales :

$P(S) = P(J \cap S) + P\left(\overline{J} \cap S \right)$, soit $\dfrac23 = \dfrac{8}{15} + 
P\left(\overline{J} \cap S \right) \iff P\left(\overline{J} \cap S\right)  = \dfrac23 -  \dfrac{8}{15} =$

$\dfrac{10}{15} - \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{15}$.

La probabilité que la personne choisie n'a pas l'intention de regarder les JO à la télévision et a une activité sportive régulière est égale à $\dfrac{2}{15}$;
		\item %En déduire la probabilité de $S$ sachant $\overline{J}$ notée $P_{\overline{J}}(S)$.
		
On a  $P_{\overline{J}}(S) = \dfrac{P\left(\overline{J} \cap S\right)}{P\left(\overline{J}\right)} = \dfrac{\frac{2}{15}}{0,4} = \dfrac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}}  = \dfrac{2}{15} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac13 = x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

%\emph{Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\begin{enumerate}[resume]
\item %Dans le cadre d'une opération de promotion, $30$ personnes de plus de $15$~ans sont choisies au hasard.
	
%On assimile ce choix à un tirage avec remise.
	
%On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
Les personnes sont choisies au hasard et chacune d'elles a une pratique sportive régulière avec une probabilité de $\dfrac23$.

La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 30$ et 

$p = \dfrac23$.
		\item %Calculer la probabilité qu'exactement $16$~personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$~personnes.
		On a $P(X = 16) = \displaystyle\binom{30}{16} \left(\dfrac23\right)^{16}\times \left(1 - \dfrac23\right)^{30 - 16} = \displaystyle\binom{30}{16} \left(\dfrac23\right)^{16}\times \left(\dfrac13\right)^{14} \approx 0,0462$ soit 0,046 au millième près à la calculatrice.
		\item %La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$~personnes.
		
%Le prix d'une place s'élève à 380~\euro{} et on dispose d'un budget de \np{10000}~euros pour cette opération.
		
%Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
On a $\dfrac{\np{10000}}{380}\approx 26,3$ : on peut donc offrir 26 entrées gratuites au maximum.

La calculatrice donne $P(X \leqslant 26) \approx 0,9967$ soit environ 0,997.
La probabilité que le budget soit insuffisant est donc égale à environ $1 - 0,997$ soit environ 0,003 ou trois millièmes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2\hfill5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.\\
%Pour chacune des questions, \textbf{une seule des quatre réponses est exacte}. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'=-3y + 7$ telle que $f(0) = 1$ est la fonction définie sur $\R$ par :

\smallskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A. } $f(x) = \e^{-3x}$&\textbf{B. } $f(x) = - \dfrac43 \e^{-3x} + \dfrac73$\\
\textbf{C. } $f(x) = \e^{-3x} + \dfrac73$&\textbf{D.~} $f(x) = - \dfrac{10}{3} \e^{-3x} - \dfrac73$
\end{tabularx}
\end{center}

L'équation différentielle $y' = - 3y$ a pour solutions les fonctions $x \longmapsto f(x) = K \e^{- 3x}$, avec $K \in \R$.

La fonction $x \longmapsto \alpha$, avec $\alpha \in \R$ est solution de l'équation différentielle $y' = - 3y + 7$ si et seulement si $y' = 0 = - 3\alpha + 7 \iff 3\alpha = 7 \iff \alpha = \dfrac73$.

On sait qu'alors les solutions de l'équation différentielle $y' = - 3y + 7$ sont les fonctions $x \longmapsto K \e^{- 3x} + \dfrac73$.

En particulier la fonction $f$ solution telle que $f(0) = 1 \iff K + \dfrac73 = 1 \iff K = - \dfrac43$.

La seule solution est donc la fonction définie par $f(x) = - \dfrac43\e^{-3x} + \dfrac73$ : réponse \textbf{B.}
\item La courbe d'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ est donnée ci-dessous.
	
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(6.25,4.25)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psline(1,0)(1,3)\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5}{0.00196  x 5 exp mul 0.05764 x  4 exp mul sub 0.62643 x  3 exp mul add 3.00524 x dup mul mul sub 5.43449  x mul add}\psline(5,0.4)(5,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.25,4.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6.25}{0.00196  x 5 exp mul 0.05764 x  4 exp mul sub 0.62643 x  3 exp mul add 3.00524 x dup mul mul sub 5.43449  x mul add}
\pspolygon[fillstyle=hlines](1,0)(1,3)(2,3)(2,2)(3,2)(3,0)
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,0)(1,4)(2,4)(2,3)(3,3)(3,2)(4,2)(4,1)(5,1)(5,0)
\end{pspicture}
\end{center}

%Un encadrement de l'intégrale $I = \displaystyle\int_1^5 f(x) \:\text{d}x$ est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{A. } $0 \leqslant I \leqslant 4$&\textbf{B. } $1 \leqslant I \leqslant 5$\\
%\textbf{C. } $5 \leqslant I \leqslant 10$&\textbf{D. } $10 \leqslant I \leqslant 15$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Le dessin est clair : la fonction est positive sur l'intervalle[1~;~5] ; l'intégrale est (en unités d'aire) la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$.

La surface grise contient les 5 carreaux hachurés et est inscrite dans le polygone de 10 unités en bleu. Réponse \textbf{C.}
\item %On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2 \ln \left(x^2 + 4\right) $.

%Alors $\displaystyle\int_0^2 g'(x)\:\text{d}x$ vaut, à $10^{-1}$ près :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{A. } 4,9&\textbf{B. } $8,3$\\
%\textbf{C. } $1,7$&\textbf{D. } $7,5$
%\end{tabularx}
%\end{center}	
On sait que si $g'$ est la dérivée de $g$, alors $g$ est une primitive de la fonction $g'$, donc :

$\displaystyle\int_0^2 g'(x)\:\text{d}x = \left[x^2 \ln \left(x^2 + 4\right)\right]_0^2 = 2^2\ln \left(2^2 + 2 \right) = 4\ln 4 + 4)  = 4\ln 8$ ou $4\ln 2^3 = 3 \times 4 \ln 2 = 12\ln 2 \approx 8,31$ soit 8,3 au dixième près. Réponse \textbf{B.}
	\smallskip
	
\item %Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves de terminale.
	
%Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former 
%un tel groupe de 5 élèves ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{A. } $31^5$&\textbf{B. } $31\times30\times29\times28\times27$\\
%\textbf{C. } $31+30+29+28+27$&\textbf{D. } $\dbinom{31}{5}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Le nombre de groupes de 5 élèves parmi les 31 est $\displaystyle\binom{31}{5}$. Réponse : \textbf{D.}
	\item %La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :
	
%\begin{itemize}
%	\item 10 élèves ont choisi la spécialité physique-chimie ;
%	\item 20 élèves ont choisi la spécialité SES ;
%	\item 1 élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
%\end{itemize}
%	
%Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la
%	spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
	
%\begin{center}
%\renewcommand\arraystretch{1.9}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{A. } $\displaystyle\binom{20}{3} \times \binom{11}{2}$&\textbf{B. } $\displaystyle\binom{20}{3} + \binom{11}{2}$\\
%\textbf{C. } $\displaystyle\binom{20}{3}$&\textbf{D. } $20^3 \times 11^2$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Elle choisit 3 élèves parmi les 20 faisant SES : elle a $\displaystyle\binom{20}{3}$ possibilités ; ensuite dans chacun de ces cas elle choisit 2 élèves parmi les $31 - 20 = 11$ élèves qui ne font pas SES, ce qui fait $\displaystyle\binom{20}{3} \times \binom{11}{2}$ possibilités. Réponse \textbf{A.}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3\hfill{}6 points} 

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 

\begin{center} $u_0 = 8$ \:  et pour tout entier naturel \:\:$n,\:\:~u_{n+1} = u_n -\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
		
$\bullet~u_1 = 8 - \ln 2 \approx 7,31$ ;
		
$\bullet~u_2 = 8 - \ln 2  \ln {8 - \ln 2}{4}- \approx 6,70$.

		\item %On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous en \textsf{Python}. On admet que, pour tout réel strictement positif \texttt{a}, \texttt{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \texttt{a}.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%def mystere(k) :\\
%\qquad u = 8\\
%\qquad S = 0\\
%\qquad for i in range(k) :\\
%\qquad \qquad S = S + u\\
%\qquad \qquad u = u $-$ log( u / 4 )\\
%\qquad return S\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
	
%L'exécution de \texttt{mystere(10)} renvoie \texttt{58.44045206721732}. Que représente ce résultat ?
\texttt{mystere(10)} donne la somme des premiers termes de la suite de $u_0$ à $u_9$, soit 

$u_0 + u_1 + \ldots + u_9 = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$.
		\item %Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
Il suffit en ligne 7 de remplacer S par (S /k)
	\end{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = x - \ln\left(\dfrac{x}{4}\right).\]

%On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6.
%	
%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(6.1,6.1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.1,6.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.1,6.1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{6}{x  x 4 div ln sub}
%\uput[u](5.5,5.2){\red $\mathcal{C}_f$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
	
%Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
	
%\emph{On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.}
La fonction $f$ somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle en posant $u(x) = \dfrac x4$, d'où $u'(x) = \dfrac14$,

$f'(x) = 1 - \dfrac14 \times \dfrac{1}{\dfrac x4} = 1 - \dfrac14 \times 4 \dfrac 1x  = 1 - \dfrac 1x  = \dfrac{x - 1}{x}$

Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 1$ :

$\bullet~$ si $0< x < 1$, alors $x - 1 < 0$  : la fonction $f$ est décroissante sur $]0~;~1[$ ;

$\bullet~$ si $x > 1$, alors $x - 1 > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $–1~;~+ \infty[$

$\bullet~$si $x = 1$, alors $f'(1) = 0$ et $f(1) = 1 - \ln \dfrac14 = 1 - (-\ln 4) = 1 + \ln 4$ est le minimum de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : 

%		\[ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. \]
\emph{Initialisation} : on a vu que $u_1 \approx 7,3$ et comme $u_0 = 8$, on a donc :

\[1 \leqslant u_{1} \leqslant u_0\]
l'encadrement est vrai au rang 0.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$, tel que  $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

On sait que sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ la fonction $f$ est croissante, donc on a 

$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right)$ .

Or $f(1) = 1 - \ln \dfrac14 \approx 2,39$, donc $f(1) \geqslant 1$ et on a 

$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang 0 et s'il est vrai au rang $n \in \N$ il l'est encore au rang suivant : d'après le principe de récurrence :

pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$

	\item L'encadrement précédent montre que : pour tout naturel $n$

$\bullet~ u_{n+1} \leqslant u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ;

$\bullet~ 1 \leqslant u_n$ :  la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 1.

On sait qu'alors la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite $\ell \geqslant 1$
%		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.

%On note $\ell$ la valeur de cette limite. 
%Par continuité de la fonction $f$ (car elle est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$)
		\item %Résoudre l'équation $f(x) = x$.
$f(x) = x \iff x - \ln \left(\dfrac x4 \right) = x \iff 0 = \ln \left(\dfrac x4 \right) \iff \dfrac x4  = 1 \iff x = 4$.
		\item %En déduire la valeur de $\ell$.
Par continuité de la fonction $f$ (car elle est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$), la relation 

$u_{n+1} = u_n - \ln \left(\dfrac{u_n}{4}\right)$, donne puisque $\displaystyle\lim_{ n \to + \infty} u_n = \ell$ :

$\ell = \ell - \ln \left(\dfrac{\ell}{4}\right)$ : d'après la question précédente $\ell = 4$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4\hfill5 points}

\medskip

%Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un
%spectacle de drones lumineux.
%
%\smallskip
%
%Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} dont l'unité est la centaine de mètres.
%
%\smallskip
%
%La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ D de coordonnées $(2~;~5~;~1)$.
%
%\smallskip
%
%On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.
%
%\smallskip
%
%Trois drones sont positionnés aux points A$(-1~;~-1~;~17)$, B$(4~;~-2~;~4)$ et C$(1~;~-3~;~7)$.

\begin{enumerate}
	\item %Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}5\\-1\\- 13\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\-2\\- 10\end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C  sont distincts et non alignés : ils définissent le plan $\mathcal{P} = $ (ABC).
\end{enumerate}

Dans la suite, on considère le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $\vect{n}$ est normal au plan (ABC).
On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 10  + 3 - 13 = 0$ et  $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 4  + 6 - 10 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est normal à ce plan
		\item %Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x - 3y + z - 18 = 0$.
On sait qu'alors :
		
$M(x~;~y~;~z) \in  (\text{ABC}) \iff 2x - 3y + 1z + d = 0, \: d \in \R$.
		
Par exemple A$(-1~;~-1~;~17)\in (\text{ABC}) \iff - 2 + 3 + 17 + d = 0 \iff d = -18$, donc 

$M(x~;~y~;~z) \in  (\text{ABC}) \iff 2x - 3y + z - 18 = 0$.
\end{enumerate}
	\item %Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par 

\[ d~:~\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t+2\\y&=&\phantom{3}t+5\\z&=&4t+1\end{array}\right.\text{, avec } t \in \R. \]
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
On sait que les coordonnées d'un vecteur directeur $\vect{d}$ de $d$ sont les coefficients de $t$, soit $\vect{d}\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$
		\item %Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
		Les coordonnées de E commun à $d$ et au plan (ABC) vérifient les équations paramétriques de $d$ et l'équation cartésienne de (ABC) soit le système
		
		$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t+2\\y&=&\phantom{3}t+5\\z&=&4t+1\\
2x - 3y + 1z - 18 &=& 0
\end{array}\right.\text{, avec } t \in \R.$

En remplaçant $x, \:y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation on obtient :

$2(3t + 2)- 3(t + 5) + 4t + 1 - 18 = 0 \iff 6t + 4 - 3y - 15 + 4t + 1 - 18 = 0\iff $

$7t - 28 = 0 \iff 7t = 28 \iff t = 4$.

D'où les coordonnées de E en remplaçant $t$ par dans les équations de $d$ : E(14~;~9~;~17)
	\end{enumerate}
	\item %Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point F$(6~;~-1~;~3)$ correspond à cet emplacement.
La droite $\Delta$ contient D et a pour vecteur directeur un vecteur normal au plan (ABC) soit le vecteur $\vect{n}$.

Une équation de $\Delta$ est donc $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t+2\\y&=&-3t+5\\z&=&t+1\\
2x - 3y + 1z - 18 &=& 0
\end{array}\right.\text{, avec } t \in \R.$

En résolvant le système obtenu en rajoutant l'équation de $\mathcal{P}$ permet d'obtenir $t = 2$, d'où F$(6~;~-1~;~3)$.

Puisque la droite (DF) est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$, la distance DF est la (plus courte) distance du point au plan $\mathcal{P}$.

Or $\vect{\text{DF}}\begin{pmatrix}4\\-6\\2\end{pmatrix}$, d'où $\left\|\vect{\text{DF}}\right\|^2 = \text{DF}^2 = 4^2 + (-6)^2 + 2^2 = 16 + 36 + 4 = 56 = 4 \times 14$.

On a donc DF $ = \sqrt{4 \times 14} = \sqrt 4 \times \sqrt{14} = 2\sqrt{14}$ (en centaines de metres).
	
%Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
	\item %L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point D.
	
%Sachant qu'il reste $40$~secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à 18,6~$\text{m.s}^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?
La plus petite distance du point de lancer au plan (ABC) est égale à $2\sqrt{14}$ centaines de mètres : il faut donc calculer le temps mis à la vitesse de 18,6~$\text{m.s}^{-1}$ par un drone pour effectuer ce parcours de D à F.

On sait que $v = \dfrac{d}{t}$, ou $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{\text{DF}}{v} = \dfrac{2\sqrt{14} \times 100}{18,6} \approx 40,23$ (secondes).

Conclusion : le drone n'arrivera pas à temps.
\end{enumerate}

\end{document}