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%Tapuscrit : Mathieu Drillet
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\newcommand{\arc}[1]{\widehat{#1}}
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pdftitle = {Année 2026},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small L'année 2026}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small 3 juin 2026}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé national du brevet Amérique du Nord~\decofourright\\[7pt] 3 juin 2026}}
\end{center}


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Partie 1 — automatismes &6 points\\ \hline
20 min (\textbf{calculatrice interdite})& \\ \hline
Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes& 14 points\\ \hline
1 h 40 (\textbf{calculatrice autorisée})&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\section*{Partie 1 – Automatismes – 6 points – 20 minutes}

%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse
%correspondante.}\\
%\textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée.}\\
%\textbf{Pour les questions a choix multiple, une seule réponse est exacte.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

$A=\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{17}{12}$
\medskip

\textbf{Question 2}

$45-45\times 0,10=45-4,5=40,5$ \euro{}
\medskip

\textbf{Question 3}

Les diagonales se coupent en leur milieux et sont de même longueur, donc \\
\ Réponse B : c'est un rectangle.

\medskip

\textbf{Question 4}

\begin{align*}
5x-15&=20\\
5x&=20+15\\
x&=\dfrac{35}{5}\\
x&=7
\end{align*}
\medskip

\textbf{Question 5}

L'abscisse du point $A$ est -2.\\
Les coordonnées du point $B$ sont (-2;-1).
\medskip

\textbf{Question 6}
1 ; 3 ; 3 ; 8 ; \fbox{11} ; 12 ; 12 ; 19 ; 25 

La médiane est 11.
\medskip

\textbf{Question 7}

$5\times\cos(60)$

\textbf{Question 8}

$3+8+7=18$ donc 387 est divisible par 3 et par 9. 
\medskip



\newpage

%%%%%% Partie avec calculatrice
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes 14 points 1 h 40}

\medskip



\bigskip

%-------------------------------------------------------------
\subsection*{Exercice 1 \normalfont(2,5 points)}
%-------------------------------------------------------------

\medskip

\begin{enumerate}
	\item D'une part $AD^2=7,3^2=53,29$.\\
	D'autre part $AE^2+ED^2=5,5^2+4,8^2=53,29$\\
	Donc $AD^2=AE^2+ED^2$\\
	D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on conclut que le triangle AED est rectangle en E.
	\item $\mathcal{A}_{AED}=\dfrac{5,5\times 4,8}{2}=13,2$ cm\up{2}.
	\item Les droites $(CB)$ et $(ED)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite $(BE)$ donc elles sont parallèles entre elles.
	\item On sait que : \begin{itemize}
							\item $(CB)\perp (ED)$ ; 
							\item les points $E,~A,~B$ et $D,~A,~C$ sont alignés dans le même ordre.
						\end{itemize}	  
						D'après le théorème de Thalès, on a :
						\begin{align*}
						\dfrac{AE}{AB}&=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}\\
						\dfrac{5,5}{AB}&=\left(\dfrac{7,3}{AC}\right)=\dfrac{4,8}{7,2}\\
						AB&=\dfrac{7,2\times 5,5}{4,8}\\
						AB&=\dfrac{33}{4}=8,25 \text{ cm}
						\end{align*}
	\item Les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $AED$ sont proportionnelles donc les triangles sont semblables. Donc leurs angles sont deux à deux de même mesure. Ainsi $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\approx 49^\circ$.
\end{enumerate}

\bigskip

%-------------------------------------------------------------
\subsection*{Exercice 2 \normalfont(3,5 points)}
%-------------------------------------------------------------

\medskip
\begin{enumerate}
	\item $f(-4)=(-4-1)(-4+3)=5$.
	\item On cherche à résoudre l'équation :
	\begin{align*}
	g(x)&=2\\
	2x+1&=2\\
	2x&=2-1\\
	x&=\dfrac{1}{2}
	\end{align*}
	L'antécédent de 2 par la fonction $g$ est $\dfrac{1}{2}$.
	\item \begin{enumerate}
				\item On doit saisir \og =2*B1+1 \fg{}.
				\item Pour $x=2$, on a $f(x)=g(x)$.
			\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
				\item la fonction $g$ est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite, ainsi $\mathcal{C}_2$ est la courbe représentative de la fonction $g$ et $\mathcal{C}_1$ est la courbe représentative de la fonction $f$.
				\item Par lecture graphique (on regarde les abscisses des points d'intersection des deux courbes), on trouve $x=-2$ et $x=2$.
			\end{enumerate}
	\item Résolvons l'équation :
	\begin{align*}
	f(x)&=g(x)\\
	(x-1)(x+3)&=2x+1 \text{ \textit{On développe le membre de gauche.}}\\
	x^2+2x-3&=2x+1\\
	x^2+2x-3-2x-1&=0
	x^2-4&=0 
	\end{align*}
	Donc l'équation $f(x)=g(x)$ à les mêmes solutions que l'équation $x^2-4=0$.\\
	
	En factorisant $x^2-4$, on obtient $(x+2)(x-2)$	
	Résolvons $(x+2)(x-2)=0$
	Or, si un produit est nul alors l'un de ses facteurs est nul, donc :
	Soit $x+2=0$ ou $x-2=0$, donc
	$x=-2$ ou $x=2$.\\
	Ainsi on retrouve les solutions de la questions 4)b).
\end{enumerate}


\bigskip

%-------------------------------------------------------------
\subsection*{Exercice 3 \normalfont(4 points)}
%-------------------------------------------------------------
%Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

%Une entreprise développe une intelligence artificielle (IA) capable de reconnaître des objets sur des images.

\subsubsection*{Partie A}

%On entraîne l'IA à partir d'une base de données de \np{50000} images réparties en 4 catégories : \og Objets du quotidien \fg, \og Animaux \fg, \og Véhicules \fg, \og Autres \fg.

%L'intelligence artificielle est testée pour mesurer sa précision et son efficacité. Les images sont réparties comme suit :

%\vspace{6pt}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\columncolor{gris}}c|l|c|}\hline
%\rowcolor{gris}
%& \textbf{Type d'image} & \textbf{Nombre d'images} \\\hline
%2 & Objets du quotidien & 28\,000 \\\hline
%3 & Animaux & \np{12000} \\\hline
%4 & Véhicules & \np{8000} \\\hline
%5 & Autres & ? \\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
	\item $\np{50000}-(\np{28 000}+\np{12000}+\np{8000}=\np{2000}$ \\
	Il y a $\np{2000}$ images dans la catégorie \og Autres \fg{}.
	\item $\dfrac{90}{100}\times \np{28000}=\np{25200}$

	Il y a $\np{25200}$ images reconnues correctement dans cette catégorie.
	\item $\dfrac{\np{5600}}{\np{8000}}\times 100=70$.

	Donc 70\% des images dans la catégorie \og Véhicules \fg{} sont reconnues correctement. 
	\item $\dfrac{\np{28000}}{\np{50000}}=0,56$.
	
	La probabilité que l'image tirée soit l'image d'un \og Objet du quotidien \fg{} est 0,56.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%L'intelligence artificielle, très utilisée dans le monde entier, nécessite une quantité importante d'électricité. L'énergie consommée peut s'exprimer en wattheures (Wh).
%
%En 2024, sa consommation annuelle est estimée à 82\,000 Gigawattheures (GWh).
%
%En comparaison, un collège consomme en moyenne 200\,000 kilowattheures (kWh) par an.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Rappels :}\\
%-- 1\,kWh $= 10^3$\,Wh\\
%-- 1\,GWh $= 10^9$\,Wh\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}[resume]
	\item IA : $8,2\times 10^{13}$ Wh\\
	Collège : $2\times 10^8$ Wh
	\item $\dfrac{8,2\times 10^{13}}{2\times 10^8}=4,1\times 10 ^5$
	
	On pourrait alimenter \np{410000} collèges pendant un an avec la consommation électrique de l'intelligence artificielle.
	\item $\dfrac{\np{410000}}{\np{7100}}=\dfrac{4100}{71}\approx 57,74$

	On pourrait alimenter tous les collèges français avec la consommation électrique annuelle de cette intelligence artificielle pendant près de 58 ans.
\end{enumerate}

%\newpage

%-------------------------------------------------------------
\subsection*{Exercice 4 \normalfont(2 points)}
%-------------------------------------------------------------

%Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.
%
%Un élève souhaite réaliser une figure constituée de carrés et de triangles équilatéraux, à l'aide d'un logiciel de programmation. Pour cela, il crée les trois blocs ci-dessous :
%
%\vspace{10pt}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Bloc 1}} &
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Bloc 2}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Bloc 3}}\\ \hline
%\smallskip
%\begin{scratch}[scale=0.86]
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Initialisation}}
%\blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}}
%\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockpen{stylo en position d'écriture}
%\end{scratch}
%&
%\smallskip
%\begin{scratch}[scale=0.86]
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{carré}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{A}} fois}
%{
%\blockmove{avancer de 50 pas}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\textbf{B}} degrés}
%}
%\end{scratch}
%&
%\smallskip
%\begin{scratch}[scale=0.86]
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{triangle équilatéral}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{C}} fois}
%{
%\blockmove{avancer de 50 pas}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{\textbf{D}} degrés}
%}
%\end{scratch}
%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%
%L'instruction \og s'orienter à 90 \fg{} signifie que le lutin se dirige vers la droite.

\begin{enumerate}
	\item Après l'exécution du Bloc 1, les coordonnées du lutin sont $(0;0)$.
	\item  \textbf{A}=4, \textbf{B}=90, \textbf{C}=3 et \textbf{D}=120.

	\item \textbf{Programme 1}$\to$ \textbf{Figure B}.\\
	\textbf{Programme 2}$\to$ \textbf{Figure C}.\\
	\textbf{Programme 3}$\to$ \textbf{Figure A}.
\end{enumerate}

%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme 1}} &
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme 2}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme 3}}\\ \hline
%\begin{scratch}[scale=0.9]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmoreblocks{Initialisation}
%\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{3}} fois}
%{
%\blockmoreblocks{carré}
%\blockmove{avancer de 50 pas}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{\textbf{120}} degrés}
%}
%\end{scratch}
%&
%\begin{scratch}[scale=0.9]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmoreblocks{Initialisation}
%\blockmoreblocks{carré}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{4}} fois}
%{
%\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
%\blockmove{avancer de 50 pas}
%\blockmove{\turnleft{} de \ovalnum{\textbf{90}} degrés}
%}
%\end{scratch}
%&
%\begin{scratch}[scale=0.9]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockmoreblocks{Initialisation}
%\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{3}} fois}
%{
%\blockmove{avancer de 50 pas}
%\blockmove{tourner \turnright{} \ovalnum{\textbf{60}} degrés}
%\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
%\blockmove{tourner \turnright{} \ovalnum{\textbf{60}} degrés}
%}
%\end{scratch}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\vspace{14pt}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Figure A} & \textbf{Figure B} &\textbf{Figure C}\\ \hline
%\begin{center}
%%%début Tikz
%%\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
%%% Triangle du bas
%%\draw[thick] (0,0) -- (2,0) -- (1,1.732) -- cycle;
%%% Triangle gauche
%%\draw[thick] (0,0) -- (-2,0) -- (-1,1.732) -- cycle;
%%% Triangle droit
%%\draw[thick] (2,0) -- (4,0) -- (3,1.732) -- cycle;
%%% Triangle du bas central inversé (ligne commune)
%%% Petit triangle central pointe en bas
%%\draw[thick] (0,1.732) -- (2,1.732) -- (1,0) -- cycle;
%%\end{tikzpicture}
%%Fin Tikz
%%PSTricks
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
%\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)
%\pspolygon(0.5;30)(0.5;150)(0.5;270)
%\end{pspicture}
%%fin PSTricks
%\end{center}
%\vspace{4pt}
%&
%\vspace{6pt}
%\begin{center}
%%%début Tikz
%%\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
%%% Figure B : carré + triangles sur chaque côté, répété 4 fois (style losange)
%%\draw[thick] (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
%%\draw[thick] (0,0) -- (-1,-1.732) -- (1,-1.732) -- (2,0);
%%\draw[thick] (2,0) -- (3.732,1) -- (2.732,2.732) -- (2,2);
%%\end{tikzpicture}
%%Fin Tikz
%%PSTricks
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
%%\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)
%\pspolygon(0.45;30)(0.45;150)(0.45;270)
%\def\car{\psframe(-0.42,-0.42)(0.42,0.4)}
%\multido{\n=90+120}{3}{\rput{\n}(0.66;\n){\car}}
%\end{pspicture}
%%fin PSTricks
%\end{center}
%\vspace{4pt}
%&
%\vspace{6pt}
%\begin{center}
%%%début Tikz
%%\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
%%% Figure C : deux triangles se croisant (étoile)
%%\draw[thick] (-1.5,0) -- (1.5,0) -- (0,2.6) -- cycle;
%%\draw[thick] (-1.5,1.3) -- (1.5,1.3) -- (0,-1.3) -- cycle;
%%\end{tikzpicture}
%%Fin Tikz
%%PSTricks
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
%%\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)
%\def\tri{\pspolygon(0.57;-30)(0.57;90)(0.57;210)}
%%\def\car{\psframe(-0.42,-0.42)(0.42,0.4)}
%\psframe(-0.49,-0.49)(0.49,0.49)
%%\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(0.66;\n){\tri}}
%\rput(0,0.768){\tri}\rput{90}(-0.768,0){\tri}
%\rput{180}(0,-0.768){\tri}\rput{-90}(0.768,0){\tri}
%\end{pspicture}
%%fin PSTricks
%\end{center}
%\vspace{6pt}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{document}