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%Merci à Johann Dolivet pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud 16 novembre 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{16 novembre 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\[7pt]16 novembre 2023}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\bigskip

%\begin{minipage}{7.5cm}
%On considère la figure ci-contre dans laquelle:
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~] Les points F, G et H sont alignés
%\item[$\bullet$~] (LH) est perpendiculaire à (FH)
%\item[$\bullet$~] EF $= 18$ cm ; FG $= 24$ cm ; EG $= 30$ cm ;
%
%GH = $38,4$ cm
%\item[$\bullet$~] $\widehat{\text{EGF}} = \widehat{\text{LGH}}$.
%\end{itemize}
%\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.8,4.8)
\pspolygon(0.2,3.8)(0.2,1)(7.5,1)(7.5,4.6)(3.3,1)
\pswedge*(3.3,1){0.4}{0}{39}
\pswedge*(3.3,1){0.4}{141}{180}
\psframe(7.5,1)(7.2,1.3)
\rput(3.9,0.2){\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur.}}
\uput[u](0.2,3.8){E} \uput[d](0.2,1){F} \uput[d](3.3,1){G} \uput[dr](7.5,1){H}\uput[ur](7.5,4.6){L}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le triangle EFG est rectangle en F{}.
On a EF$^2 = 18^2 = 324$ ; \quad FG$^2 = 24^2 = 576$ et EG$^2 = 30^2 = 900$.
Or $900 = 324 + 576$, soit EG$^2 =$EF$^2 + $ FG$^2$.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle EFG est rectangle en F{}.

\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EGF}}$.
Dans le triangle EFG   rectangle en F on a par exemple $\tan \widehat{\text{EGF}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{FG}} = \dfrac{18}{24} = \dfrac34 = 0,75$.

Donc d'après la calculatrice $\widehat{\text{EGF}} \approx 36,9$, soit $37\degres$ au degré près.
%Donner l'arrondi au degré près.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[start=3]
\item %Montrer que les triangles EGF et LGH sont semblables.
Les triangles EGF et LGH ont deux de leurs angles de même mesure, donc les troisièmes aussi : ils sont donc semblables
\item %Parmi les propositions suivantes, quel est le coefficient d'agrandissement qui permet de passer du triangle EFG au triangle LHG ?

%Expliquer.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%0,625 &1,28	& 1,6	&2,6\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
[GH] et [FG] sont les côtés adjacents aux angles $\widehat{\text{EGF}}$ et $\widehat{\text{LGH}}$ de même mesure.

Comme GH $ >$ FG, le coefficient d'agrandissement est égal à $\dfrac{\text{GH}}{\text{FG}} = \dfrac{38,4}{24} = 1,6$.
\item %Quel est le périmètre du triangle LGH ?
Le périmètre de EGF est égal à :

EF + FG + GE $= 18 + 24 + 30 = 72$~(cm).

D'après la question précédente le périmètre de LGH est  égal à à celui de EFG multiplié par 1,6, soit  :

$72 \times 1,6 = 115,2$~(cm).
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 21 points}

\medskip

%\begin{minipage}{8cm}
%À partir d'une feuille rectangulaire de dimension
%10 cm sur 8 cm, on coupe les quatre coins de manière
%identique.
%
%On obtient ainsi un polygone FELKJIHG et quatre triangles rectangles isocèles égaux comme représenté ci-contre.
%
%AD $= 10$ cm ; AB $= 8$ cm.
%\end{minipage} \hspace{0.5cm}
%\begin{minipage}{7.2cm}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7.2,6.5)
%\def\barbar{\psline(-0.05,-0.1)(-0.05,0.1)\psline(0.05,-0.1)(0.05,0.1)}
%\psline[linestyle=dashed](2.1,5.6)(0.3,3.8)
%\psline[linestyle=dashed](0.3,2.4)(2.1,0.6)
%\psline[linestyle=dashed](4.7,0.6)(6.5,2.4)
%\psline[linestyle=dashed](6.5,3.8)(4.7,5.6)
%\psframe[linewidth=1.5pt](0.3,0.6)(6.5,5.6)
%\rput(1.2,5.6){\barbar}\rput(5.6,5.6){\barbar}
%\rput(1.2,0.6){\barbar}\rput(5.6,0.6){\barbar}
%\rput{90}(0.3,4.7){\barbar}\rput{90}(0.3,1.5){\barbar}
%\rput{90}(6.5,4.7){\barbar}\rput{90}(6.5,1.5){\barbar}
%\rput{-45}(1.2,1.5){\Large \ding{36}}
%\uput[ul](0.3,5.6){A} \uput[dl](0.3,0.6){B} \uput[dr](6.5,0.6){C} \uput[ur](6.5,5.6){D}
%\uput[u](2.1,5.6){E} \uput[l](0.3,3.8){F} \uput[l](0.3,2.4){G} \uput[d](2.1,0.6){H}
%\uput[d](4.7,0.6){I} \uput[r](6.5,2.4){J} \uput[r](6.5,3.8){K} \uput[u](4.7,5.6){L}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\medskip
%
%\textbf{Les deux parties sont indépendantes.}
%
%\medskip

\textbf{Première partie : on suppose que AE = 3 cm.}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'aire du triangle AEF ?
L'aire du triangle AEF est égale à : $\dfrac{\text{AE} \times \text{AF}}{2} = \dfrac{3 \times 3}{2} = \dfrac92 = 4,5~\left(\text{cm}^2\right)$.
\item %En déduire l'aire du polygone FELKJIHG.
Comme l'aire du rectangle ABCD est égale à $10 \times 8 = 80$, l'aire du polygone FELKJIHG est égale à la différence :

$80 - 4 \times 4,5 = 80 - 18 = 62~\left(\text{cm}^2\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie :}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer l'aire du triangle AEF en fonction de $x$.
L'aire du triangle AEF est égale à : $\dfrac{\text{AE} \times \text{AF}}{2} = \dfrac{x \times x}{2} = \dfrac{x^2}{2}$.
		\item %Montrer que l'aire du polygone FELKJIHG, en cm$^2$, est donnée par l'expression $80 - 2x^2$.
L'aire du polygone FELKJIHG est égale à la différence :

$80 - 4 \times \dfrac{x^2}{2} = 80 - 2x^2$.
	\end{enumerate}	
\item %On considère la fonction $f : x \longmapsto ~80 - 2x^2$.

%À l'aide d'un tableur, on a produit le tableau de valeurs ci-dessous :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D & E&F& G& H&I&J\\ \hline
%1&$x$&0&0,5&1&1,5&2& 2,5&3&3,5& 4\\ \hline
%2&$f(x)$&80&79,5&78&45,5&72& 67,5& 62&55,5& 48\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Proposer une formule qui a pu être saisie en B2 avant d'être étirée vers la droite.

%Ne pas justifier.
Dans la case B2 on peut écrire : \fbox{= 80 - 2B1 * B1}
\item Voici la courbe représentative de la fonction $f$ :
\begin{center}
\psset{xunit=2.2cm,yunit=0.1cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,90)
\multido{\n=0.0+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=10]{->}(0,0)(4.5,90)
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,87){$f(x)$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.5}{80 x dup mul 2 mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](0,60)(3.162,60)(3.162,0)
\uput[ur](3.162,0){\red $\approx 3,2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %La fonction $f$ est-elle affine ?
La représentation de la fonction $f$ n'est pas une droite : la fonction $f$ n'est donc pas affine.
		\item %Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de la longueur AE permettant d'obtenir un polygone FELKJIHG d'aire égale à 60 cm$^2$.
Voir le graphique. AE $\approx 3,2$.
		\item %Trouver par le calcul la valeur exacte de cette longueur.
		Il faut résoudre l'équation :
		
$80 - 2x^2 = 60$ ou $80 - 60 = 2x^2$, ou $20 = 2x^2$ ou $10 = x^2$, soit $x = \sqrt{10}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

%\textbf{Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}
%
%\medskip
%
\begin{enumerate}
\item %On considère le tableau ci-dessous :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Nombre de baguettes &1 &2 &3 &4 \\ \hline
%Prix en \euro{}& 1,10& 2,20& 3,30& 4\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\textbf{Affirmation 1 :} \og Le prix est proportionnel au nombre de baguettes. \fg

On a bien $2,20 = 2 \times 1,10,\quad 3,30 = 3 \times 1,10$, mais $4 \ne 4 \times 1,10$. 

L'affirmation 1 est fausse.
\item \textbf{Affirmation 2 :} \og L'abscisse du point A est un nombre décimal. \fg
%On considère ci-dessous le point A sur une droite graduée:

%\begin{center}
%\psset{xunit=5cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(0.75,-0.25)(2.75,0.25)
%\psaxes[linewidth=2pt,ticks=x,subticks=8,xsubticksize=2,Ox=1](1,0)(0.75,0.)(2.5,0.0)
%\uput[u](2.25,0){A}
%\end{pspicture}
%\end{center}
L'unité est partagée en 8, donc  $1 = 8 \times 0,125$.

Le point A a onc pour abscisse : $2 + 2 \times 0,125 = 2 + 0,25 = 2,25$ : cette abscisse est bien décimale.

L'affirmation 2 est vraie.
\item \textbf{Affirmation 3 :}

\og Cet engrenage sera dans la même position au bout de 6 tours pour la roue A et de 4 tours pour la roue B. \fg
%\begin{minipage}{7.5cm}
%On considère cet engrenage qui est composé d'une roue A à 8 dents et d'une roue B à 12 dents.

On a bien $6 \times 8 = 4 \times 12 = 48$.

L'affirmation 3 est vraie.
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{7.5cm}
%\includegraphics[width=6cm]{engrenages}
%\end{minipage}

\item \textbf{Affirmation 4 :}

\og Pour tout nombre $x$, l'égalité suivante est vraie:
\begin{center}$(x + 8)(2x - 1) = 2x^2 -(8 - 15x)$.\fg\end{center}

On a d'une part :

$(x + 8)(2x - 1) = 2x^2 - x + 16x - 8 = 2x^2 + 15x - 8$ et d'autre part :

$2x^2 -(8 - 15x) = 2x^2 - 8 + 15x = 2x^2 + 15x - 8$.

L'affirmation 4 est vraie.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 16 points}

\medskip

%Une usine fabrique des bougies parfumées en cire de forme cylindrique.
%
%\medskip
%
%\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.8cm}|X|}\hline
%\textbf{Document 1}
%
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-2.7,0)(2.7,4.9)
%\psellipse(0,4)(0.7,0.15)
%\psellipticarc(0,0.8)(0.7,0.15){180}{0}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.8)(0.7,0.15){0}{180}
%\psline(-0.7,0.8)(-0.7,4)\psline(0.7,0.8)(0.7,4)
%\pscurve[linewidth=1.5pt](0,4)(-0.1,4.15)(0.15,4.3)
%\rput(1.,4.4){la mèche}\rput(1.9,2.35){la bougie}
%\psline{<->}(0,0.5)(0.7,0.5)
%\uput[d](0.35,0.5){\small 3 cm}
%\psline{<->}(-1,0.8)(-1,4)
%\uput[l](-1,2.4){\small 12 cm}
%\end{pspicture}
%
%Rayon du cylindre : 3 cm 
%
%Hauteur du cylindre : 12 cm&
%\textbf{Document 2}
%
%Aire d'un disque  : rayon $^2 \times \pi$
%
%Volume d'un cylindre : Aire de la base $\times$ hauteur
%%\rule{6cm}
%
%\textbf{Document 3}
%
%\begin{itemize}
%\item Une bougie est composée de cire et de parfum.
%\item Le volume de cire nécessaire à la fabrication d'une bougie correspond au $\dfrac{9}{10}$ du volume de cette bougie.
%\item 1~cm$^3$ de cire a une masse de $0,7$~g.
%\end{itemize}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le volume d'une bougie est d'environ 339 cm$^2$.
La base d'une bougie est un disque de rayon 3 et de hauteur 12 : son volume est donc égal à :
		
$\pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi \approx 339,3$, soit à l'unité près 339~cm$^3$.
		\item %Quelle est la masse de cire nécessaire pour une bougie ? On donnera une valeur approchée au gramme près.
$\dfrac{9}{10}$ de ce volume est de la cire soit $\dfrac{9}{10} \times 108\pi = 97,2\pi$~cm$^3$ et à raison 0,7~g par cm$^3$, il faut $97,2\pi \times 0,7 = 68,04\pi \approx 213,8$ soit au gramme près environ 214~g de cire pour fabriquer une bougie.
	\end{enumerate}

%\begin{minipage}{8.4cm}
\item %Au mois de novembre, l'usine a fabriqué des bougies de 4 parfums différents:

%vanille, miel, lavande et jasmin.

%Le diagramme circulaire codé ci-contre donne la répartition, pour le mois de novembre, du nombre de bougies fabriquées en fonction de leur parfum.

%Les bougies au miel représentent 22\,\% de la production du mois de novembre.

%Quel est le pourcentage de bougies à la lavande fabriquées au mois de novembre ?
%\end{minipage}\hspace{0.4cm}
%\begin{minipage}{4.8cm}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-2.9,-2.9)(2.9,2.9)
%\pscircle(0,0){2.9}
%\psline(2.9;180)(0,0)(2.9;-90)
%\psline(2.9;5.4) \psline(2.9;84.6)
%\rput(1.45;46){Miel}\rput(1.45;135){Lavande}
%\rput(1.45;225){Vanille}\rput(1.45;-45){Jasmin}
%\psframe(0,0)(-0.3,-0.3)
%\psarc(0,0){0.5}{5.4}{84.6}\psarc(0,0){0.6}{5.4}{84.6}
%\psarc(0,0){0.4}{84.6}{180}\psarc(0,0){0.4}{270}{5.4}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
Les bougies à la vanille sont représentées par un secteur dont l'angle au centre a pour mesure $90\degres$ ; comme $90 = \dfrac{360}{4}$ elles représentent le $\dfrac14$ de la production soit $25\,\%$.

Come il y autant de bougies à la lavande que de bougies au jasmin, le pourcentage de bougies à la lavande (ou au jasmin) est égal à :

$\dfrac{100 - (22 + 25)}{2} = \dfrac{100 - 47}{2} = \dfrac{53}{2} = 26,5$~(\,\%).
\item %Durant les trois premiers mois de l'année suivante, l'entreprise se donne pour objectif de produire en moyenne \np{7900} bougies par mois.

%En janvier, elle fabrique \np{6500} bougies et \np{8000} en février.

%Quel est le nombre de bougies à produire en mars pour atteindre l'objectif ?
Si $m$ est le nombre de bougies à produire en mars on doit avoir comme moyenne : 

$\np{7900} = \dfrac{\np{6500} + \np{8000} + m}{3}$, soit $3\times \np{7900} = \np{14500} + m$ ou encore $m = \np{23700} - \np{14500} = \np{9200}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 23 points}

\medskip

%On dispose d'une roue dont les 4 secteurs ont tous la même aire et sont numérotés : 
%
%1 ; 2 ; 3 ;~4.
%
%On dispose également d'une urne contenant 3 boules numérotées: 2 ; 3 et 4.
%
%Les boules sont indiscernables au toucher.
%
%On considère l'expérience aléatoire suivante : 
%
%\og On fait tourner la roue puis on tire au hasard une boule dans l'urne. On forme alors un nombre entier à deux chiffres tel que :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]Le chiffre des dizaines est le numéro indiqué par la flèche sur la roue.
%\item[$\bullet~~$]Le chiffre des unités est le numéro de la boule tirée dans l'urne. \fg
%\end{itemize}
%
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(13.5,4)
%%\psgrid
%\pscircle(4.5,2.2){1.3}
%\rput(3.9,3){1} \rput(3.9,3){1} \rput(5.2,3){4} \rput(5.2,1.5){3} \rput(3.9,1.5){2}
%\rput(4.5,0.4){La roue: chiffre des dizaines}
%\psline[linewidth=2.5pt]{->}(3,4)(3.7,3.22)
%\pspolygon(10,0.8)(12.6,0.8)(12.1,3.3)(10.5,3.3)
%\rput(11.4,0.4){L'urne: chiffre des unités}
%\pscircle(10.8,1.6){0.4} \pscircle(11.8,1.6){0.4}\pscircle(11.4,2.6){0.4}
%\rput(10.8,1.6){2} \rput(11.8,1.6){4} \rput(11.4,2.6){3}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\emph{Exemple} : Si la flèche indique le numéro 1 sur la roue et que la boule tirée dans l'urne porte le numéro 3, on forme le nombre 13.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Écrire la liste des 12 issues possibles.
Il y a 4 possibilités pour le chiffre des dizaines et 3 pour le chiffre des unités soit 

$4 \times 3 = 12$ issues :

12, \quad 13, \quad 14, \quad 22, \quad 23, \quad 24 ;

32, \quad 33, \quad 34, \quad 42, \quad 43, \quad 44.

\item %Déterminer la probabilité de l'évènement: \og Obtenir un nombre impair \fg.
4 issues sont des nombres impairs soit une probabilité de $\dfrac{4}{12} = \dfrac{4 \times 1}{4 \times 3} = \dfrac13$.
\item On considère l'évènement $A$ : \og Le nombre formé est un nombre premier et inférieur à 30 \fg.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ ?
		Les nombres issues et premiers sont 13 et 23 \:;\: on a donc $p(A) = \dfrac{2}{12} = \dfrac16$.
		\item %Quelle est la probabilité de son évènement contraire ?
		La probabilité de ne pas obtenir de nombre premier inférieur à 30 est égale à $1 - \dfrac16 = \dfrac56$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%À l'aide de cette expérience aléatoire, on crée un jeu de hasard.
%
%Le joueur gagne s'il obtient un multiple de 11.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Montrer que la probabilité d'obtenir un multiple de 11 est égale à $0,25$.
Les issues multiples de 11 sont :

$22 \:(22 = 2 \times 11) \:;\quad 33\: (33 = 3 \times 11)$ et $44\: (44 = 4 \times 11)$.

La probabilité d'obtenir un multiple de 11 est donc égale à $\dfrac{3}{12} = \dfrac14 = 0,25$.
\item %On souhaite simuler ce jeu à l'aide d'un logiciel de programmation.

%On a rédigé le script ci-dessous:
%
%\begin{center}
%\setscratch{scale=.8}
%\begin{scratch}[num blocks]
%\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%\blockvariable{mettre \ovalcontrol*{Gagné} à \ovalnum{0}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{100} fois}
%{%% début repeat
%\blockvariable{mettre \ovalcontrol*{Chiffre des dizaines} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{4}}}
%\blockvariable{mettre \ovalcontrol*{Chiffre des unités} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{...} et \ovalnum{...}}}
%\blockif{si \ovalnum{....................} = \ovalnum{....................} alors}
%{%% début if
%\blockvariable{ajouter \ovalnum{1} à \ovalnum{Gagné}}
%}%% fin if
%}%% fin repeat
%\blockstop{dire  regrouper \ovalnum{La fréquence d'apparition d'un multiple de 11 est de :} et \ovalcontrol{Gagné} / \ovalnum{100} pendant \ovalnum{2} secondes}
%\end{scratch}
%\end{center}
%
%Information:
%
%\ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{4}} renvoie au hasard un nombre parmi 1, 2, 3, 4.
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire sur la copie comment compléter les deux cases vides de la ligne 5.
Ligne 5 il faut compléter par les nombres 2 et 4.
%\emph{Ne pas justifier}.
		\item %Écrire sur la copie comment compléter les deux cases vides de la ligne 6.
Ligne 6 : il faut écrire :

Si chiffre des dizaines = chiffre des unités.
%\emph{Ne pas justifier}.
		\item %On a cliqué sur le drapeau et voici le résultat du programme :

%\og La fréquence d'apparition d'un multiple de $11$ est $0,23$. \fg

%Pourquoi le résultat est-il différent de celui obtenu dans la question 4 ?
Le résultat correspond à 100 tirages pour lesquels 23 nombres obtenus sont des multiples de 11.

Plus le nombre de tirages augmente et plus la proportion de multiples de 11  se rapproche de 0,25.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}