\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{pdflscape} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur et Christelle Tomasini %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,graphicx,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Amérique du Sud juin 2011}, allbordercolors = white} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet des collèges} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{DurŽée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\novembre 2012}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip %Cet exercice est un exercice à  choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera $1$ point. % %L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. % %Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse. % %\begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée} \end{center} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} %\hline % & Questions & Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline %1 &\rule[-2mm]{0mm}{7mm} $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}=\cdots$ & $-3\sqrt{2}$ & $-4,243$ & $-5\sqrt{10}$\\ \hline %2 & Un carré de côté $3\sqrt{2}$ a pour aire : & $6$ & $12\sqrt{2}$ & $18$\\ \hline %3 & L'expression factorisée de $x^2-16$ &n'existe pas & est $(x-4)(x+4)$ & est $(x-4)^2$ \\ \hline %4 & Les solutions de l'inéquation $-2x-1<3$ sont les nombres $x$ tels que : & $x<-2$& $x>-2$ & $x>-1$ \\ \hline %\end{tabularx} \begin{enumerate} \item $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}= -5\sqrt{2}+\sqrt{4 \times 2}= 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = - 3\sqrt{2}$. Réponse A. \item L’aire est égale à : $\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \times 2 = 18$. Réponse C. \item $x^2-16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$. Réponse B. \item $- 2x - 1 < 3$ ou $- 1 - 3 < 2x$ ou $- 4 < 2x$ et enfin $- 2 < x$. Réponse B. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip %On propose deux programmes de calcul : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|} %\hline %\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c|}{Programme B}\\ %\hline %\begin{itemize} %\item Choisir un nombre. %\item Ajouter $3$. %\item Calculer le carré du résultat obtenu. %\end{itemize} %& %\begin{itemize} %\item Choisir un nombre. %\item Soustraire $5$. %\item Calculer le carré du résultat obtenu. %\end{itemize}\\ %\hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %On choisit $1$ comme nombre de départ. \begin{enumerate} \item %Quel résultat obtient-on avec le programme A ? $1 \to 1 + 3 = 4 \to 4^2 = 16$. \item %Quel résultat obtient-on avec le programme B ? $1 \to 1 - 5 = - 4 \to (- 4)^2 = 16$. \item %Peut-on en déduire que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier. Une hirondelle ne fait pas le printemps. En partant de 2 le programme A conduit à 25 et le programme B à 9. \end{enumerate} \item %Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ? 0 est le carré de 0,et $0 - 3 = - 3$ : il faut partir de $- 3$. %\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} %Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ? 9 est le carré de 3 et $3 + 5 = 8$/ Mais 9 est aussi le carré de $- 3$ et $- 3 + 5 = 2$. On peut aussi partir de $2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip %Un sac contient $6$ jetons rouges et $2$ jetons jaunes. On tire au hasard, chacun des jetons ayant la même probabilité d'être tiré.\\ \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge. Il y a 6 rouges sur 8 jetons ; la probabilité est égale à $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$. \item %Calculer la probabilité de tirer un jeton jaune. Il y a 2 jaunes parmi les 8 jetons ; la probabilité est égale à $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$. \item %On ajoute dans ce sac des jetons verts. Le sac contient alors $6$ jetons rouges, $2$ jetons jaunes et les jetons verts. On tire un jeton au hasard. %Sachant que la probabilité de tirer un jeton vert est égale à  $\dfrac{1}{2}$, calculer le nombre de jetons verts. Soit $v$ le nombre de jetons verts. La probabilité de tirer un jeton vert est égale à ; $\dfrac{v}{6 + 2 + v} = \dfrac{1}{2}$, soit $2v = 8 + v $ ou encore $v = 8$. On pouvait aussi dire que pour avoir une chance sur deux de tirer un jeton vert, il fallait qu'il y ait autant de verts que de toutes les autres couleurs, soit $6 + 2 = 8$ jetons. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\ %Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.\\ %Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.\\ %Pour chacune des $3$ questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.}\\ % %Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous :\\ % %\begin{center} %\psset{unit=0.6cm} %\begin{pspicture}(18.5,6.2) %\psline(7.6,0.4)(3.4,0)(0,1.8)(6.2,2.3) %\psline(11,0.7)(18.3,1.3)(14.8,3.1)(12.1,2.9) %\psarc(9.1,3){2.85}{-25}{217} %\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{217}{254} %\psarc(9.1,3){2.85}{254}{304} %\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{304}{336} %\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.5,0.35){180}{0}} %\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.35){0}{180}} %\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.85,0.4){180}{0}} %\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.85,0.4){0}{180}} %\psline[linestyle=dashed](8.9,6.)(9.3,0.1) %\psdots[dotscale=0.75](9.1,3)(9.15,2.3)(9.2,1.6)(11.2,2) %\psline[linestyle=dashed](9.2,1.6)(11.2,2)(9.1,3) %\uput[r](9.1,3){\footnotesize O} \uput[r](9.15,2.3){\footnotesize R} \uput[r](9.2,1.6){\footnotesize H} \uput[ur](11.2,2){\footnotesize M} %\rput(3.5,0.6){$\mathcal{P}$} %\end{pspicture} %\end{center} %\begin{itemize} %\item O est le centre de la sphère, %\item le plan ${\cal P}$ coupe la sphère suivant un cercle de centre H, %\item M est un point de ce cercle, %\item R est le milieu de [OH].\\ %\end{itemize} % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} % %\hline %\textbf{1.} & Le point R appartient ... & à  la sphère de centre O et de rayon OM. & à  la boule de centre $O$ et de rayon OM. & au plan ${\cal P}$.\\ %\hline %\textbf{2.} & La distance du point O au plan ${\cal P}$ est ... & OM & OR & OH %\\ \hline %\textbf{3.} & Si OM = 11,7~cm et HM = 10,8~cm, alors OH = $\cdots$ & %4,5~cm & 1,2~cm & 20,25~cm \\ %\hline % %\end{tabularx} \begin{enumerate} \item Le point R appartient à la boule de centre O et de rayon OM. \item La distance du point O au plan ${\cal P}$ est OH. \item Le triangle OHM est rectangle en H. Le théorème de Pythagore donne : $\text{OM}^2 = \text{OH}^2 + \text{HM}^2$, soit $\text{OH}^2 = \text{OM}^2 - \text{HM}^2 = 11,7^2 - 10,8^2 =$ $(11,7 + 10,8)(11,7 - 10,8) = 22,5 \times 0,9 = 20,25 = 4,5^2$. Donc OH = 4,5~cm. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip %ABC est un triangle rectangle en A tel que CB = 7~cm et AB = 3~cm. % %On appelle I le milieu du segment [CB]. % %\medskip \begin{enumerate} \item ~%Réaliser une figure en vraie grandeur. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3.8) %\psgrid \pspolygon(0.5,0.5)(7.5,0.5)(6.22,3.21)%CBA \uput[l](0.5,0.5){C}\uput[r](7.5,0.5){B}\uput[ur](6.22,3.21){A} \uput[d](4,0.5){I}\psdots(4,0.5) \psarc(4,0.5){3.5}{0}{180} \psarc(7.5,0.5){3}{100}{130} \psline(4,0.5)(6.22,3.21) \end{pspicture} \end{center} \item %Calculer la longueur exacte du segment [AC]. En donner la valeur arrondie au millimètre près. Le théorème de Pythagore donne dans ce triangle rectangle en A : $\text{CB}^2 = \text{CA}^2 + \text{AB}^2$, soit $\text{CA}^2 = \text{CB}^2 - \text{AB}^2 = 7^2 - 3^2 = 40$, donc AC $= \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{4} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$, soit environ 6,3~cm au millimètre près. \item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ arrondie à  $0,1\,\degres$ près. On a $\sin \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{CB}} = \dfrac{3}{7}$. La calculatrice donne $\widehat{\text{ACB}} \approx 25,3769$, soit 25,4\degres{} au dixième de degré près. \item %Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. En préciser le centre et le rayon. Le triangle ABC étant rectangle en A a pour hypoténuse[BC] : il est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], donc de centre I et de rayon 3,5~cm. \item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ au degré près. L'angle au centre $\widehat{\text{AIB}}$ a pour mesure le double de la mesure d' angle inscrit $\widehat{\text{ACB}}$ qui intercepte le même arc ; donc $\widehat{\text{AIB}} \approx 50,7538$ soit 51\degres{} au degré près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip %\parbox{0.4\linewidth}{ %On considère la figure ci-contre sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées. % %On ne demande pas de reproduire la figure. L'unité de longueur est le centimètre. % %Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E. % %AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; % %DB = 8,4 ; BE = 10,5.}\hfill %\parbox{0.55\linewidth}{\begin{center} %\psset{unit=0.7cm} %\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,3) %\pspolygon(0,0)(7.5,0)(7.5,2.3)(0,-3.3) %\uput[ul](0,0){A} \uput[ul](4.5,0){B} \uput[dl](0,-3.3){C} \uput[dr](7.5,0){D} \uput[ur](7.5,2.3){E} %\uput[u](2.25,0){12} \uput[d](6,0){8,4}\rput{40}(6,1.45){10,5} %\rput{40}(2.25,-1.95){15}\uput[l](0,-1.65){9} %\end{pspicture} %\end{center}} \begin{enumerate} \item %Montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles. On a $\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}} = \dfrac{8,4}{12} = 0,7$ et $\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}} = \dfrac{10,5}{15} = 0,7. Donc $\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}$ et d'après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (AC) et (ED) sont parallèles. \item %Calculer la longueur du segment [ED]. On a également $\dfrac{\text{ED}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{9}} = 0,7$, d'où on obtient ED $ = 0,7 \times 9 = 6,3$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip %De façon à  récupérer l'eau de pluie de son toit, Lucas décide d'installer un récupérateur d'eau dans le sol de son jardin. La profondeur dont il dispose est de $2,5~m$. % %Un fabricant lui propose alors les deux modèles de réservoirs schématisés ci-dessous. % %Les dimensions sont en mètres. % %Le premier modèle a la forme d'un pavé droit, le deuxième est de forme cylindrique : dans chaque cas, $x$ peut varier entre 0,5~m et 1,5~m. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{XX} %\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4) %\psframe(0,0)(5,2.6) %\psline(5,0)(6.8,0.9)(6.8,3.5)(5,2.6) %\psline(6.8,3.5)(1.8,3.5)(0,2.6) %\uput[r](6.8,2.2){2,5}\uput[u](4.3,3.5){3}\uput[ul](0.9,3.05){$x$} %\rput(3.4,-0.5){Réservoir $R_1$} %\end{pspicture}&\psset{unit=0.8cm} %\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4) %\psline(0,0.4)(0,2.7)\psline(5.2,0.4)(5.2,2.7) %\psellipse(2.6,2.7)(2.6,0.525) %\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,0.525){0}{180} %\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.6,0.4)(2.6,0.525){180}{0} %\uput[r](5.28,1.45){2,5} %\psline(2.6,2.7)(4.5,3.05) %\uput[u](3.55,2.8){$x$} \rput(2.5,-1){Réservoir $R_2$} %\end{pspicture}\\ %\end{tabularx} % %\bigskip \begin{enumerate} \item %Compléter le tableau fourni en annexe. \emph{Les détails des calculs des valeurs exactes devront figurer sur votre copie.} Volume du pavé : avec $x = 0,5,\:R_{0,5} = 3 \times 2,5 \times 0,5 = 3,75$~m$^3$. Avec $x = 1,2,\:R{1,2} = 3 \times 2,5 \times 1,2 = 9$~m$^3$ Volume du cylindre : avec $x = 0,5,\:R'_{0,5} = \pix^2 \times 2,5 = \pi \times 0,5^2 \times 2,5 = 0,625\pi \approx 1,96$ soit environ 2~m$^3$. Avec $x = 1,2,\:R'_{1,2} = \pi \times 1,2^2 \times 2,5 = 3,6\pi \approx 11,30$, soit environ 11,3~m$^3$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_1$ est : $7,5x$. $V_{R_1} = 3 \times 2,5 \times x = 7,5x$. \item %Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_2$ est : $2,5\pi x^2$. $V_{R_2} = \pi \times x^2 \times 2,5 = 2,5\pi x^2$. \end{enumerate} \item %On considère la fonction $ f_1~:~x \longmapsto 7,5x$. Préciser la nature de cette fonction. La fonction $f_1$ est une fonction linéaire. \item %Pour les valeurs de $x$ comprises entre $0,5$ et $1,5$, la fonction $ f_2~:~x \longmapsto 2,5\pi x^2$ est déjà  représentée sur le graphique fourni en annexe. %Sur ce même graphique, représenter la fonction $f_1$. Voir à la fin. \item %Répondre aux questions suivantes à  l'aide du graphique. %\emph{On répondra par des valeurs approchées et on fera apparaître les traits de construction permettant la lecture sur le graphique.} \begin{enumerate} \item %Quel est la valeur du réservoir $R_2$ pour $x = 0,8$~m ? On lit à peu près 5~m$^3$. \item %Quel est le rayon du réservoir $R_2$ pour qu'il ait une contenance de $10~\text{m}^3$ ? On lit à peu près $x \approx 1,13$. \item %Quel est l'antécédent de $9$ par la fonction $f_1$ ? Interpréter concrètement ce nombre. 9 est l'image du nombre $x$ tel que $7,5x = 9$ soit $x = \dfrac{9}{7,5} = 1,2$. C'est ce que l'on avait trouvé dans le tableau, soit le volume du pavé lorsque $x = 1,2$. \item %Pour quelle valeur de $x$ les volumes des deux réservoirs sont-ils égaux ? On voit que les volumes sont égaux pour $x \approx 0,95$. \item %Pour quelles valeurs de $x$ le volume de $R_1$ est-il supérieur à  celui de $R_2$ ? On voit que le volume du pavé est supérieur à celui du cylindre lorsque $0,5\leqslant x < 0,95$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ATTENTION : CETTE FEUILLE EST À€ RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} Problème-Question 1 \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|m{3.75cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{2}{|l|}{Longueur $x$ (en $m$)} & $0,5$ & $1,2$ \\ \hline \multicolumn{2}{|l|}{Volume du réservoir $R_1$ (en m$^3$)} &3,75 &9 \\ \hline Volume du réservoir & Valeur exacte &$0,625\pi$ &$3,6\pi$ \\ \cline{2-4} $R_2$ (en m$^3$) & Valeur arrondie à  $0,1~m^3$ &2 &11,3 \\ \hline \end{tabularx} \vspace{2cm} \psset{xunit=7cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.6,18) \multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,18)} \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.6,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.6,18) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1.6,18) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.5}{1.5}{x dup mul 2.5 mul 3.1412596 mul} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{1.5}{x 7.5 mul } \psset{arrowsize=3pt 4} \psline[ArrowInside=->,linestyle=dashed](0.8,0)(0.8,5.03)(0,5.03) \psline[ArrowInside=->,linestyle=dashed](0,10)(1.13,10)(1.13,0) \psline[ArrowInside=->,linestyle=dashed](0.95,7.1)(0.95,0) \end{pspicture} \end{document}