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%\author{Lucas Gastaud}
%\title{Cours de mathématiques, classe de troisième}
\newcommand{\puce}{\begin{itemize}[label=$\bullet$]}
\newcommand{\epuce}{\end{itemize}}

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\author{Lucas Gastaud}


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\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
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\begin{document}

\textbf{Corrigé Diplôme national du brevet  Asie 21 juin 2021}

\hline

\paragraph{Exercice 1 : } 

%\attention{ il y a une seule réponse correcte donc il est inutile de justifier pourquoi les autres sont fausses: gagnez du temps!}

\begin{enumerate}
\item  $126 = 6 \times 21$ réponse C.

\remarque{$256 >126$ donc $252$ ne divise pas $126$.

$126$ n'est pas divisible par $5$ donc il n'est pas divisible par $20$.}

\item $f(0) = 0^2 - 2= - 2$ réponse C.
\remarque{$f(2)= 2^2-2=4-2=2$ et $f(-2)=(-2)^2-2=4-2=2$}

\item On remplace \texttt{A1} par \texttt{B1} et donc on évalue la formule pour la valeur $ -3$$.

\begin{align*}
-5\times (-3) \times (-3)+2 \times (-3)-14&=-5 \times 9+(-6)-14\\
&=- 45 - 6-14\\
&=-65
\end{align*}

Réponse A

\item \begin{align*}
x^2&=16\\
x^2-16&=16-16\\
x^2-16&=0\\
x^2-4^2&=0\\
(x-4)(x+4)&=0
\end{align*}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul:

\begin{multicols}{2}
Soit
\begin{align*}
x-4&=0\\
x-4+4&=0+4\\
x=4
\end{align*}

\columnbreak

Soit
\begin{align*}
x+4&=0\\
x+4-4&=0-4\\
x=-4
\end{align*}

\end{multicols}

On vérifie que $4^2=(-4)^2=16$.

Réponse B.

\item \begin{align*}
2 \times 2^401&=2^1 \times 2^401\\
&=2^{1+400}\\
&=2^{401}
\end{align*}

Réponse A.

\item 


\begin{minipage}{0.5 \linewidth}
Commençons par un petit croquis:


%\includegraphics[scale=0.3]{ex1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5 \linewidth}
On a le tableau de proportionnalité:


\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
anciennes longueurs & $16 cm$ & $9 cm$ \\ 
\hline 
Nouvelles longueurs & $x$ & $54cm$ \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\begin{align*}
x&=\frac{16 \times 54}{9}\\
=96 cm
\end{align*}

Réponse B.

\end{minipage}

\remarque{On peut aussi utiliser directement la notion de ration $x$ et $54$ sont dans le ratio $16:9$ si et seulement si $\frac{x}{54}=\frac{16}{9}$.}
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 2: } 

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, l'hypoténuse est $[AC]$. D'après le théorème de Pythagore, on a:
\begin{align*}
AC^2&=AB^2+BC^2\\
&=1^2+1^2\\
&=2\\
AC=\sqrt{2} cm
\end{align*}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les longueurs sont multipliées par $2$.
\remarque{\texttt{"en doublant les longueurs", c'est écrit dans l'énoncé.}}
		\item C'est une homothétie.
\remarque{ de centre $A$ et de rapport $2$... donc les surfaces seront multipliées par $2^2=4$.}
	\end{enumerate}
\item Les longueurs du carré 3 sont celles du carrés 2 multipliées par $2$ qui elles-mêmes sont celles du carré 1 multipliées par $2$. Les longueurs du carré 3 sont donc égales à celles du carré 1 multipliées par $4$. L'affirmation est donc fausse.
\item Dans le triangle $AJB$ rectangle en $A$, $AJ=4cm$ et $AB=1cm$. On utilise la trigonométrie:

\begin{center}
C\textbf{A}H \hspace{20 pt} S\textbf{O}H \hspace{20 pt} T\textbf{O}\textbf{A}
\end{center}

\begin{align*}
\tan (\widehat{AJB})&=\frac{\texttt{côté opposé }}{côté adjacent}\\
&=\frac{AB}{AJ}\\
&=\frac{1}{4}\\
\widehat{AJB}&=\arctan\left(\frac{1}{4}\right)\\
&\simeq 14^\circ
\end{align*}

\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 3:}

\begin{enumerate}
\item $18\longrightarrow 18>10\longrightarrow 100-18 \times 4=100-72=28$
\item $14\longrightarrow 14<10\longrightarrow 2 \times (14+10)=2 \times 24=48$. On obtient $48$.
\item \begin{multicols}{2}
Appelons $x$ le premier nombre et supposons que $x>15$. On a:

\begin{align*}
100-x \times 4&=32\\
100-x \times 4-100&=32-100\\
-x \times 4 &=-68\\
\frac{-x \times 4}{-4} &=\frac{-68}{-4}\\
x &=17
\end{align*}

On vérifie que $17>15$ c'est le seul nombre strictement supérieur à quinze solution du problème.
\columnbreak

Appelons $y$ le premier nombre et supposons que $y\geq15$. On a:

\begin{align*}
2 \times (y+10)&=32\\
\frac{2 \times (y+10)}{2}&=\frac{32}{2}\\
y+10 &=16\\
y+10-10&=16-10\\
y&=6
\end{align*}

On vérifie que $6\geq 15$. C'est le seul nombre inférieur à quinze solution du problème.
\end{multicols}

Les deux nombres solutions sont donc $6$ et $17$.
\item 
\begin{enumerate}

\item Si réponse >15 alors...
\item dire 2 *(réponse+10)pendant 2 secondes
\end{enumerate}
\item Les nombres premiers compris entre $10$ et $25$ sont:
\puce
\item $11<15$ dont l'image par l'algorithme est: $2 \times (11+10)=42=4 \times 10,5$
\item $13<15$ dont l'image par l'algorithme est: $2 \times (13+10)=46=4 \times 11,5$
\item $17>15$ dont l'image par l'algorithme est: $100-4 \times 17=4 \times 25-4 \times 17=4 \times (25-17)$
\item $23>15$ dont l'image par l'algorithme est: $100-4 \times 23=4 \times (25-23)$
\epuce

Il y a donc quatre issues dont deux sont des multiples de quatre.  Il y a équiprobabilité donc la probabilité d'obtenir un multiple de quatre est: $\frac{2}{4}\left(=\frac{1}{2}\right)$
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 4:}

\begin{enumerate}

\item \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
distance  & $1000m$ & $10 \times 1000=10000m=10km$ \\ \hline 
temps & $6min$ & $60min$ \\ \hline 
\end{tabular} 

La VMA de Chloé est bien égale à $10 km/h$.
\item
\begin{enumerate}
\item Etendue=Maximum-minimum

L'étendue de la VMA des filles est $13,5-9=4,5$.

L'étendue de la VMA des garçons est $15-11=4$

L'affirmation est vraie.
\item Il y a $5$ élèves sur $24$ qui ont une VMA inférieure ou égale à $11,5 km/h$. Or,
$\frac{5}{24}\times 100\simeq 21\,\%$. 


L'affirmation est fausse.


\item La VMA de Lisa est égale à $12,5 km/h$.


Or douze élèves ont une VMA supérieure à la sienne. 


L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\paragraph{Exercice 5:}

\begin{enumerate}
\item Le premier motif comporte $1+2+3=6 cubes$. Quand on recule d'une rangée on ajoute $3 cubes$ au motif précédent. Il y a donc $6+9+12=27 cubes$. Or le pavé droit a pour volume:$3 \times 3 \times 6=54 cubes$.


Il manque donc $54-27=27 cubes$.

\remarque{ Si l'on est astucieux on peut se rendre compte que l'on a la moitié du pavé droit qui est remplie...}

\item %\includegraphics[scale=0.5]{ex5}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le volume du cube est:
\begin{align*}
6 \times 4+3=27dm^3
\end{align*}
		\item $3^3=27$ l'arête de ce grand cube mesure donc $3dm$.

\remarque{sur votre calculatrice vous pouvez utiliser $\sqrt[3]{x}$.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}