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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet  des collèges }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{juin 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Asie juin 2008~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Le barème de cet exercice est le suivant ;
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 1 point par bonne réponse.
%\item[$\bullet~$] 0,5 point par réponse fausse.
%\item[$\bullet~$] 0 point en l'absence de réponse.
%\end{itemize}
%\textbf{Trouver la bonne réponse parmi les trois proposées.\\
%Écrire la lettre A, B ou C de la bonne réponse dans la dernière case du tableau de l'annexe 1.}
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
%\multicolumn{2}{c|}{}&		A&	B &	C\\ \hline
%1 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{10}{6}$\\ \hline
%2 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à &$10^{6}$&$10^{-13}$&$10^{-1}$\\ \hline
%3 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&	Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à&$3x^2 - 12x + 4$&	$9x^2-12x+4$& 	$9x^2 - 4$\\ \hline
%4&	Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :&	25 vaches&	20 vaches &	14 vaches\\ \hline
%\end{tabularx}
Voir à la fin.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
 	 
%Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues sur 20 par une classe de 25 élèves de 3\up{e} au dernier devoir de mathématiques.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(5,0)(17.5,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=6,showorigin](6,0)(17.5,6)
%\rput(12,-1){Notes} \rput{90}(5,3){Effectifs}
%\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.3pt](6.5,\n)(17.5,\n)}
%\psframe*(6.85,0)(7.15,2)  \psframe*(7.85,0)(8.15,4)  \psframe*(8.85,0)(9.2,1)  \psframe*(9.85,0)(10.15,3)  
%\psframe*(10.85,0)(11.15,5)  \psframe*(11.85,0)(12.15,4)    \psframe*(13.85,0)(14.2,1)  
%\psframe*(14.85,0)(15.15,3)  \psframe*(15.85,0)(16.15,1)   \psframe*(16.85,0)(17.15,1)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'étendue des notes.
l'étendue des notes est égale à $17 - 7 = 10$.
\item %Compléter le tableau suivant dans l'annexe 2 :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Notes							&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17\\ \hline
%Effectifs						&	&	&	&	&5	&	&	&	&	&	&\\ \hline
%Effectifs cumulés croissants	&2 	&6	&	&	&	&	&	&20	&	&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
Voir à la fin.

\medskip

\item %Calculer la moyenne des notes.
La moyenne est égale à :

$\dfrac{2 \times 7 4 \times8 + 1 \times 9 + 3 \times 10 + 5 \times11 + 4 \times 12 + 1 \times14 + 3 \times 15 + 1 \times 16 + 1 \times 17}{25} = 11,2$.
\item %Déterminer la médiane des notes.
La 12\up{e} et la 13\up{e}valeur sont égales à 11 : la médiane est donc égale à 11.
\item %Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à $14$.
Il y a 5 élèves qui ont une moyenne supérieure à 14, donc il en reste 20 qui représentent $\dfrac{20}{25}\times 100 = 80$\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sans aucun calcul expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}}$.
Les deux termes sont pairs : on peut donc (au moins) simplifier par 2.
\item %Calculer le PGCD des nombres \np{4114} et \np{7650} avec la méthode de votre choix en détaillant les calculs.
Par l'algorithme d'Euclide :

$\np{7650} = \np{4114} \times 1 + \np{3536}$ ;

$\np{4114} = \np{3536} \times 1 + 578$ ;

$\np{3536} = 578 \times 6 + 68$ ;

$578 = 68 \times 8 + 34$ ;

$68 = 34 \times 2 + 0$.

Me PGCD à \np{4114} et \np{7650} est donc 34.

\item %Rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}}$	en précisant par quel nombre vous simplifiez.
On a $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}} = \dfrac{34 \times 121}{34 \times 225} = \dfrac{121}{225}$.
\item %En utilisant les résultats des questions précédentes, mettre l'expression A suivante sous la forme $n\sqrt{34}$, où $n$ est un entier relatif, en détaillant les calculs :

%\[ \text{A} = 5\sqrt{\np{4114}} - 4\sqrt{\np{7650}}.\]

$\text{A} = 5\sqrt{\np{4114}} - 4\sqrt{\np{7650}} =  5\sqrt{121 \times 34} - 4\sqrt{225 \times 34} =  5 \times \sqrt{121} \times \sqrt{34} - 4 \times \sqrt{225}\times \sqrt{34} = 5\times 11\times \sqrt{34} - 4 \times 15\times \sqrt{34} = 55\times \sqrt{34} - 60\times \sqrt{34} = -5\times \sqrt{34} = - 5\sqrt{34}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip
 
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,0)(7.5,3)
%\pspolygon(0,2.2)(7.1,1.7)(6.6,2.7)(1.05,0)
%\psline(1.5,2.1)(2.2,0.6)
%\uput[ul](0,2.2){A} \uput[d](1.05,0){B} \uput[u](1.5,2.1){C} \uput[dr](2.2,0.6){D} 
%\uput[u](6.6,2.7){E} \uput[d](7.1,1.7){F} \uput[d](4.7,1.8){O} 
%\end{pspicture}}
%\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{Sur la figure ci-contre, OD = 4~cm ; 
%
%OC~=~5~cm ; AC = 3~cm ; OE = 6~cm ; 
%
%OF = 7,5~cm.
%
%\emph{La représentation ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AB) et (CD) étant toutes deux perpendiculaires à la même troisième (OB) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{5}{5 + 3} = \dfrac{5}{8}$.

$\dfrac{\text{OD}}{\text{OB}} = \dfrac{4}{5 + 3} = \dfrac{5}{8}$
\item  %Calculer OB.
Les droites (AB) et (CD) étant parallèles, la propriété de Thalès permet d'écrire que :

$\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OB}}$ soit $\dfrac{5}{5 + 3} = \dfrac{4}{\text{OB}}$ ou $\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{\text{OB}}$, d'où on obtient $\text{OB} \dfrac{4 \times 8}{5} = 6,4$~(cm).
\item  %Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles.
$\dfrac{\text{OE}}{\text{OD}} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.

$\dfrac{\text{OF}}{\text{OC}} = \dfrac{7,5}{5} = \dfrac{3}{2}$.

On a donc $\dfrac{\text{OE}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{OF}}{\text{OC}}$, ce qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (EF) et (CD) sont parallèles.
\item  %Quelle est la nature du triangle OEF ? Justifier.
D'après la question précédente (OE) perpendiculaire à (CD) est aussi perpendiculaire à (EF) : le triangle OEF est donc rectangle en E.
\item  %Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$.
Dans le triangle rectangle OCD, $\sin \widehat{\text{OCD}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OC}} = \dfrac{4}{5} = 0,8$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{OCD}} \approx 53,1$ soit 53\degres au degré près.
\item  %Quelle est la mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{EFO}}$ ?
Les angles $\widehat{\text{OCD}}$ et $\widehat{\text{EFO}}$ sont alternes-internes : ils ont la même mesure soit à peu près 53\degres.
\end{enumerate}
%}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}
 
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6.5,6)
%\pspolygon(0.3,0.6)(4.3,0.6)(3.1,5.15)%BCS
%\psline(4.3,0.6)(5.9,2.1)(3.1,5.15)%CDS
%\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.9,2.1)(5.9,2.1)%BADB
%\psline[linestyle=dashed](4.3,0.6)(1.9,2.1)(3.1,5.15)%CAS
%\psline[linestyle=dashed](3.1,5.15)(3.1,1.3)
%\uput[u](3.1,5.15){S} \uput[ul](1.9,2.1){A} \uput[dl](0.3,0.6){B} 
%\uput[dr](4.3,0.6){C} \uput[r](5.9,2.1){D} \uput[d](3.1,1.3){H}
%\psline(3.1,1.6)(3.3,1.42)(3.3,1.17) 
%\psline(3.1,1.6)(2.8,1.5)(2.8,1.28)
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{
%Sur la pyramide SABCD à base \textbf{rectangulaire} ci contre,
%H est le centre du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à la base ABCD.
%
%\emph{La représentation ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}
%
%De plus, on a : SA = SB = SC =  SD =  8,5~cm, CD = 12~cm et BC =  9~cm.
\begin{enumerate}
\item  %Tracer en vraie grandeur la face ABCD.
Aucune difficulté.
\item % Vérifier par le calcul que HD =  7,5~cm.
ABCD est un rectangle donc BCD est un triangle rectangle et d'après le théorème de Pythagore :

$\text{BD}^2 = \text{BC}^2 + \text{CD}^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$, donc $\text{BD} = 15$.

Or ABCD est un rectangle donc H son centre est le milieu des diagonales donc $\text{HD} \dfrac{\text{BD}}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5$~(cm).
\item  %Tracer en vraie grandeur le triangle SBD et placer le point H.
Aucune difficulté ; SBD est un triangle isocèle.
\item  %Calculer SH.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle SHD s'écrit :

$\text{SD}^2 = \text{SH}^2 + \text{HD}^2$, soit $8,5^2 = \text{SH}^2 + 7,5^2$, d'où $\text{SH}^2 = 8,5^2 - 7,5^2 = (8,5 + 7,5)\times (8,5 - 7,5) = 16 \times 1 = 16$~(cm).
\item  %Calculer le volume de la pyramide SABCD.
On a $V_{\text{SABCD}} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{ABCD}} \times \text{SH} = \dfrac{1}{3} \times (12 \times 9) \times 16 = 36 \times 16 = 576$~cm$^3$.
\end{enumerate}
%}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
%Une entreprise construit des boîtiers électriques qui servent à distribuer le courant électrique dans les appartements.
%
%Trois salariés Félix, Gaëlle et Henry fabriquent chaque mois le même nombre de boîtiers.
% 
%Leur salaire mensuel en euro (le symbole de l'euro est \euro) est calculé de la façon suivante :
%
%\medskip
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Félix a un salaire fixe de \np{1500} \euro. 
%\item[$\bullet~$] Gaëlle a un salaire de \np{1000}~\euro{} augmenté de 2~\euro{} par boîtier fabriqué. 
%\item[$\bullet~$] Henry a un salaire de 7~\euro{} par boîtier fabriqué.
%\end{itemize} 
%
%Chaque salarié a fabriqué $260$ boîtiers au mois de janvier, 180~boîtiers en février et 200~boîtiers en mars.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Compléter le tableau suivant dans l'annexe 3 :
Voir à la fin.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Salaire de  Félix	&Salaire de Gaëlle	&Salaire de Henry\\ \hline
%Mois de Janvier	&		&		&\\ \hline
%Mois de Février	&		&		&\\ \hline
%Mois de Mars		&		&		&\\ \hline
%\end{tabularx}

\item %Soit $x$ le nombre de boîtiers fabriqués pendant un mois.\\
%Exprimer en fonction de $x$ les salaires de Félix, Gaëlle et Henry.
Salaire de Félix : \np{1500}~\euro.

Salaire de Gaëlle : $\np{1000} + 2x$~\euro.

Salaire d'Henry : $7x$.
\item ~%Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : 

%\begin{itemize}
%\item[] $f(x) =  \np{1500}$
%\item[] $g(x) =\np{1000} + 2x$
%\item[] $h(x) =  7x$ 
%\end{itemize}
%
%On choisira comme unités :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 1 cm pour 20 boîtiers sur l'axe des abscisses.
%\item[$\bullet~$] 1 cm pour 100~\euro{} sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
\begin{center}
\psset{xunit=0.03cm,yunit=0.006cm}
\begin{pspicture}(-10,-100)(300,1600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=200]{->}(0,0)(300,1600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=200](0,0)(300,1600)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{300}{1500}\uput[u](10,1500){\blue $f$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{300}{1000 2 x mul add}\uput[u](10,1030){\red $g$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{240}{7 x mul}
\uput[u](10,80){\green $h$}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](200,1400)(200,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](200,1400)(0,1400)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](250,1500)(250,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Par lecture graphique, préciser à partir de combien de boîtiers fabriqués en un mois on peut dire qu'Henry aura un salaire supérieur ou égal à celui de Gaëlle (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
Gaëlle et Henry ont le même salaire pour 200 boîtiers fabriqués. Pour un nombre de boîtiers fabriqués supérieur Henry gagne plus que Gaëlle.
\item %En avril, Félix et Gaëlle ont eu le même salaire. Combien de boîtiers Félix a-t-il fabriqué ? Justifier votre réponse par un calcul.
Les représentations de $f$ et $g$ sont sécantes au point de coordonnées (250~;~\np{1500}).
Donc Félix a fabriqué 250 boîtiers.

Par le calcul : $f(x) = g(x)$ si $\np{1500} = \np{1000} + 2x$ soit $500 = 2x$ et $x = 250$.
\item %Les trois salariés pourront-ils toucher le même salaire mensuel ?
Les trois salariés ne gagneront jamais le même salaire : il n'y a pas de point commun aux trois représentations graphiques.
%Expliquer la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille Annexe (à rendre avec la copie)}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 1} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\footnotesize}c|}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&		A&	B &	C&Réponse\\ \hline
1 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{10}{6}$&B\\ \hline
2 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à &$10^{6}$&$10^{-13}$&$10^{-1}$&C\\ \hline
3 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&	Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à&\scriptsize $3x^2 - 12x + 4$&\scriptsize $9x^2-12x+4$&\scriptsize $9x^2 - 4$&B\\ \hline
4&	Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :&	25 vaches&	20 vaches &	14 vaches&C\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 2} \end{flushleft}

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes				&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17\\ \hline
Effectifs			&2	&4	&1	&3	&5	&4	&0	&1	&3	&1	&1\\ \hline
Effectifs cumulés
croissants			&2 	&6	&7	&10	&15	&19	&19	&20	&23	&24	&25\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Annexe 3} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Salaire de  Félix	&Salaire de Gaëlle	&Salaire de Henry\\ \hline
Mois de Janvier		&\np{1500}			&\np{1520}			&\np{1820}\\ \hline
Mois de Février		&\np{1500}			&\np{1360}			&\np{1260}\\ \hline
Mois de Mars		&\np{1500}			&\np{1400}			&\np{1400}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}