\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage[a4paper,body=140mm,textheight=235mm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Asie juin 2009}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet des collèges } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{juin 2009} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Asie juin 2009~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ %Aucune justification n'est demandée.\\ %Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.\\ %Chaque réponse exacte rapporte 1 point.\\ %Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.} % %\medskip % %Pour chacune des quatre questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte. % %\medskip % %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{6.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline %1 &$x$ désigne un nombre. Une solution de l'inéquation $2x - 5 \leqslant - 1$ est : &10 &$-1$ &3\\ \hline %2 & le PGCD des nombres 12 et 30 est égal à :& 6 &2 &1 \\ \hline %3 &$x$ désigne un nombre. La forme développée de $(3x + 7)(3x -7)$ est : &$9x^2 +49$& %$9x^2 -42x+49$ &$9x^2 - 49$\\ \hline %4 &Le nombre $\sqrt{75} - \sqrt{48}$ peut s'écrire : &$9\sqrt{3}$& $\sqrt{3}$& $\sqrt{27}$\\ \hline %\end{tabularx} %\renewcommand{\arraystretch}{1} \begin{enumerate} \item $2x - 5 \leqslant - 1$ d'où $2x \leqslant 4$ et $x \leqslant 2$. Seul $- 1$ est solution. \item $30 = 12 \times 2 + 6$ ; $12 = 6 \times 2 + 0$ : le PGCD à 12 et 30 est 6. \item $(3x + 7)(3x -7) = 9x^2 - 49$ (identité remarquable) \item $\sqrt{75} - \sqrt{48} = \sqrt{25\times 3} - \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{25}\times \sqrt{3} - \sqrt{16}\times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip %Dans un collège, une enquête a été menée sur \og le poids des cartables des élèves \fg. % %Pour cela, on a pesé le cartable de 48~élèves du collège. % %Les résultats de cette enquête sont inscrits dans le tableau ci~dessous : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Poids en kg &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline %Effectif &1 &2 &4 &2 &5 &11&8 &8 &3 &4 \\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer l'étendue de cette série statistique. L'étendue est égale à $10 - 1 = 9$. \item %Déterminer la médiane de cette série statistique. La médiane est égale à 6. \item %Déterminer, les valeurs du premier quartile et du troisième quartile de la série.% Dans le premier quartile : les poids de 1 à 5 ; dans le troisième les poids de 6 à 8. \item %Une personne affirme : Il y a $5 + 11 + 8 + 8 + 3 + 4 = 39$ élèves qui ont un cartable d'au moins 5~kg, ce qui représente $\dfrac{39}{48} = \dfrac{3\times 13}{3 \times 16} = \dfrac{13}{16} = \dfrac{3,25}{4} > \dfrac{3}{4}$. La personne a raison. %\og Plus des trois quarts des 48~élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5~kg ou plus \fg. A~t-elle raison ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip %Un train est constitué, à l'aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors 152~m de long. % %\medskip % %Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides. % %Après ces changements, le train ainsi constitué mesure 160~m de long. % %On cherche la longueur $x$ d'une locomotive et la longueur $y$ d'un wagon-citerne. \begin{enumerate} \item %Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation. Soit $x$ la longueur d'une locomotive et $y$ la longueur d'un wagon. On a donc les deux équations suivantes : $\left\{\begin{array}{l c l} 2x + 10y&=&152\\ x + 12y &=& 160\\ \end{array}\right.$. \item %Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l} x + 5y&=&76\\ x+12y &=&160\\ \end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $7y = 84$, d'où $y = 12$. En remplaçant dans la première équation : $x + 5\times 12 = 76$, soit $x = 76 - 60$ et enfin $x = 16$. \item Dans la première équation du système de la question \textbf{1.} on peut simplifier par 2 : $\left\{\begin{array}{l c l} x + 5y&=&76\\ x + 12y &=& 160\\ \end{array}\right.$ qui est le système résolu à la question \textbf{2.} Une locomotive a donc une longueur de 16~m et un wagon une longueur de 12~m. %En déduire la longueur en mètre d'une locomotive et celle d'un wagon-citerne. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip %Sur la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, nous savons que : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] (C) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9~cm. %\item[$\bullet~$] B est un point du cercle (C) tel que : $\widehat{\text{AEB}} = 46\degres$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \parbox{0.65\linewidth}{ \begin{enumerate} \item %Faire la figure en respectant les dimensions données. Voir ci-contre. \item %Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle. ABD est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l'un de ses côtés : il est donc rectangle et ce côté [AD] est l'hypoténuse. \item %Justifier que : $\widehat{\text{ADB}} = 23$. La mesure de l'angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc : ici on a $\widehat{\text{ADB}} = \dfrac{\widehat{\text{AEB}}}{2} = \dfrac{46}{2} = 23$. \item %Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm. Dans ABD rectangle en B, on a $\sin \widehat{\text{ADB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AD}}$, d'où $\text{AB} = \text{AD} \times \sin \widehat{\text{ADB}} = 9 \times \sin 23 \approx 3,516$ soit 3,52~cm au centième de cm près. \item %On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Voir ci-contre %Elle coupe le segment [BD] au point F. \item %Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm. Les droites (EF) et (AB) étant parallèles, on a d'après la propriété de Thalès : $\dfrac{\text{DE}}{\text{DA}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{AB}}$ soit $\dfrac{4,5}{9} = \dfrac{\text{EF}}{3,52}$, d'où EF $ = \dfrac{1}{2}\times 3,52 = 1,76$~ soit 1,8~cm au dixième de centimètre près. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \pscircle(0,0){3} \SpecialCoor \pspolygon(3;70)(3;-110)(3;-64) \psline(0;0)(3;-64) \psline(0;0)(3;0)\uput[ur](1.25;0){F} \uput[dl](3;-110){A} \uput[dr](3;-64){B} \uput[ur](3;70){D} \uput[ul](0;0){E} \uput[l](-2.5,1.8){$C$} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip %\parbox{0.5\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.} % %SABC est une pyramide telle que : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] la base ABC est un triangle rectangle en B, %\item[$\bullet~$] AC = 5,2 cm et BC = 2 cm, %\item[$\bullet~$] la hauteur [SB] de la pyramide mesure 3 cm. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %On rappelle que la formule de calcul du volume d'une pyramide est : \fbox{$V = \dfrac{1}{3}B \times h$} où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée. } \hfill \parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(5,5) %\pspolygon(0,0)(6.4,1.4)(1.3,4.8) %\psline(0,0)(1.3,1.4)(1.3,4.8) \psline(1.3,1.4)(6.4,1.4) %\pspolygon(0.58,2.2)(1.3,3)(3.9,3) %\uput[dl](0,0){C} \uput[ur](6.4,1.4){A}\uput[ul](1.3,4.8){S}\uput[l](0.58,2.2){C$'$}\uput[ur](1.3,1.4){B} %\uput[ur](1.3,3){B$'$} \uput[ur](3.96,3){A$'$} %\end{pspicture} } % %\bigskip \begin{enumerate} \item ~%Construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-6)(5,4) %\psgrid \pspolygon[linestyle=dashed](0,-2)(0,0)(4.8,0) \psarc(0,-2){5.2}{0}{30} \pspolygon[linestyle=dashed](-2,0)(0,0)(0,3) \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(0,3)(4.8,0) \psarc(4.8,0){5.66}{220}{250} \psarc(0,-2){3.7417}{-80}{-20} \pspolygon[linestyle=dashed](0,-2)(2.2,-5.01)(4.8,0) \uput[ur](0,0){B}\uput[ul](0,3){S}\uput[ur](4.8,0){A} \uput[dl](0,-2){C}\uput[dr](2.2,-5.01){S}\uput[dl](-2,0){C} \end{pspicture} \end{center} \item %Montrer que : AB = 4,8~cm. Dans le triangle ABC rectangle en B le théorème de Pythagore s'écrit : $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2$, d'où $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 - \text{BC}^2 = 5,2^2 - 2^2 = 27,04 - 4 = 23,04$; d'où $\text{AB} = \sqrt{23,04} = 4,8$~cm. \item %Calculer le volume de la pyramide SABC en cm$^3$. On prend comme base le triangle ABC et comme hauteur [SB]. Donc $V_{\text{SABC}} = \dfrac{4,8 \times 2 \times frac{1}{2} \times 3}{3} = 4,8$~cm$^3$. \item %On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide SA$'$B$'$C$'$ telle que SB$'$ = 1,5 cm. %Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$ en cm$^3$. Comme $1,5$ est la moitié de 3, le coefficient de réduction est $\dfrac{1}{2}$, donc le coefficient de réduction du volume est $\left(\dfrac{1}{2} \right)^3 = \dfrac{1}{8}$ Donc $V_{\text{SA'B'C'}} = 4,8 \times \dfrac{1}{8} = 0,6$~cm$^3$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip %Sarah et Julien possèdent un téléphone portable et veulent choisir l'abonnement mensuel le plus adapté à leur besoin. Ils ont sélectionné les trois tarifs suivants : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item Tarif 1 : Le montant de la facture de téléphone en fonction du temps de communication est représenté par le graphique donné en \textbf{annexe sur la dernière page}. %\item Tarif 2 : Le montant de la facture de téléphone est proportionnel au temps de communication et une minute de communication coûte 0,55~\euro. %\item Tarif 3 : Le montant de la facture de téléphone est obtenu de la façon suivante : % %On ajoute à un abonnement mensuel de 10~\euro{} un montant proportionnel au temps de communication tel qu'une minute de communication coûte 0, 35~\euro. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %\textbf{Tous les montants des factures de téléphone seront exprimés en euros et les temps de communication en minutes.} % %\medskip \textbf{Partie A - Étude du tarif 1 } \medskip %On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 1 a été choisi. \begin{enumerate} \item %Donner, par lecture graphique, le montant de la facture pour 20~minutes de communication. (Marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture). Voir à la fin : on lit 15~\euro. \item %Donner, par lecture graphique, la durée en minutes des communications qui correspond à une facture de 35~\euro{} (marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture). Voir à la fin : on lit 75 min soit 1 h 15 min. \item %Le montant de la facture selon le tarif 1 est-il proportionnel à la durée des communications ? La facture n'est pas proportionnelle à la durée car la représentation graphique n'est pas ue demi-droite contenant l'origine. %Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude du tarif 2 } \medskip On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 2 a été choisi. \begin{enumerate} \item %Compléter le tableau intitulé \og Étude du tarif 2 \fg{} situé dans l'annexe. Voir à la fin. \item %Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 2, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$. Pour $x$ minutes la facture s'élève à $0,55x$. \item %Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 0,55x$ ; représenter graphiquement la fonction $f$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1). Voir à la fin. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C - Étude du tarif 3} \medskip %On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 3 a été choisi. \begin{enumerate} \item %Compléter le tableau intitulé \og Étude du tarif 3 \fg{} situé dans l'annexe. Voir à la fin. \item %Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 3, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$. La facture pour une durée de $x$ minutes est $10 + 0,35x$. \item %Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 0,35x + 10$ ; représenter graphiquement la fonction $g$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1). Voir à la fin en rouge. \item %Le montant de la facture selon le tarif 3 est-il proportionnel à la durée des communications ? La facture n'est pas proportionnelle à la durée car la représentation graphique n'est pas une demi-droite contenant l'origine. %Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D - Comparaison des tarifs} \medskip \begin{enumerate} \item %Sarah a besoin de téléphoner 1~h 30~min par mois. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour elle et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture. 1 h 30 min soit 90 min. La verticale passant par les points d'abscisse 90 coupe en premier la représentation du tarif 1 soit environ 37,50~\euro. \item %Julien ne veut pas dépenser plus de 25~\euro{} par mois pour ses communications tout en souhaitant pouvoir téléphoner le plus possible. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour lui et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture. On trace l'horizontale contenant tous les points d'ordonnée 25 et la dernière représentation rencontrée est celle du tarif 2 qui donne un temps d'environ 46~min. \item %Résoudre l'inéquation $0, 55x \geqslant 0, 35x + 10$. $0,55x \geqslant 0,35x + 10$ ou $0,2x \geqslant 10$ et $x \leqslant 50$. %Interpréter cette inéquation et sa résolution en termes de comparaison de tarifs. Ceci signifie que le tarif 2 est plus cher que le tarif 3 pour une durée supérieur à 50~min. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.109cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(105,65) \multido{\n=0.0+2.5}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,65)} \multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(105,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(105,65) \uput[u](100,0){minutes} \uput[r](0,67){euros} \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(40,30)(105,39.2857) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{105}{0.55 x mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{105}{0.35 x mul 10 add} \psset{arrowsize=3pt 4} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](20,0)(20,15)(0,15) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,35)(75,35)(75,0) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](90,0)(90,37.5)(0,37.5) \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{Étude du tarif 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombres de minutes de communication &20 &40 &100\\ \hline Montant de la facture en euro selon le \textbf{tarif 2} &11 &22 &55\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \textbf{Étude du tarif 3} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombres de minutes de communication &20 &100\\ \hline Montant de la facture en euro selon le \textbf{tarif 3} &17 &45 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}