\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} % Sujet aimablement fourni par Arnaud Crouzet % Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage[a4paper,body=150mm,textheight=235mm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Asie juin 2011}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet des collèges} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{23 juin 2011} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Asie 23 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill } \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\ %Une réponse correcte rapportera $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ %Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %N° &Questions &Réponse A &RéponseB &Réponse C\\ \hline %\textbf{1.} &Le PGCD de 170 et 238 est: &17 &2 &34\\ \hline %\textbf{2.} &Si une quantité est diminuée de 5\,\%, elle est multipliée par :&0,95 &0,05 &$-0,05$\\ \hline %\textbf{3.} &$3^{-2} \times 3^3 - 3 = $&0 &$3^0$ &$3^{-5}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline %\textbf{4.} &L'équation $x^2 - 4 = 0$ admet pour solution(s) : &$- 4$ et 4 &2 &$-2$ et $2$\\ \hline %\end{tabularx} \begin{enumerate} \item $238 = 170 \times 1 + 68$ ; $170 = 68 \times 2 + 34$ ; $68 = 34 \times + 0$. Le PGCD de 170 et 238 est donc $34$. Réponse C. \item Diminuer de 5\,\% c'est enlever 0,05 de la quantité initiale c'est donc multiplier par 0,95. Réponse A. \item $3^{-2} \times 3^3 - 3 = 3^{-2+3} - 3 = 3^1 - 3 = 3 - 3 = 0$. Réponse A. \item $x^2 - 4 = 0$ ou $(x + 2)(x - 2) = 0$ d'où $x = 2 = 0$ ou $x - 2 = 0$. Deux solutions $- 2$ et $2$. Réponse C. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 } \medskip %Les quatre couleurs d'un jeu de cartes sont : C{\oe}ur, Carreau, Trèfle et Pique. % %Le joueur A pioche dans un jeu de 32 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As). % %Le joueur B pioche dans un jeu de 52 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As). % %\smallskip % %Chaque joueur tire une carte au hasard. % %\smallskip \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité qu'a chaque joueur de tirer le 5 de Carreau. Il y a un 5 de carreau dans le jeu de 52 cartes mais pas dans celui de 32 cartes. La probabilité pour le joueur A est donc nulle et pour le joueur B $\dfrac{1}{52}$. \item %Chaque joueur a-t-il la même probabilité de tirer un C{\oe}ur ? Justifier. Chaque couleur a la même probabilité d'être tirée dans chaque jeu ; dans le jeu de 32, $\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$ et dans le jeu de 52, $\dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$. \item %Qui a la plus grande probabilité de tirer une Dame ? Justifier. Dans le jeu de 32 il y a 4 dames : probabilité : $\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$. Dans le jeu de 52 il y a 4 dames : probabilité : $\dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$. Il y a plus de chances de tirer une dame dans le jeu de 32 que dans le jeu de 52. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip %On donne le programme de calcul suivant : % %\setlength\parindent{10mm} %\begin{itemize} %\item Choisir un nombre. %\item Ajouter 1. %\item Calculer le carré du résultat obtenu. %\item Soustraire le carré du nombre de départ. %\item Soustraire 1. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $10$ et montrer qu'on obtient $20$. $10 \to 10 + 1 = 11 \to 11^2 = 121 \to 121 - 10^2 = 121 - 100 = 21 \to 21 - 1 = 20$. \item %Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $- 3$ et montrer qu'on obtient $- 6$. $- 3 \to - 3 + 1 = - 2 \to (- 2)^2 = 4 \to 4 - (- 3)^2 = 4 - 9 = - 5 \to - 5 - 1 = - 6$. \item %Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $1,5$. $1,5 \to 1,5 + 1 = 2,5 \to 2,5^2 = 6,25 \to 6,25 - 1,5^2 = 6,25 - 2,25 =4 \to 4 - 1 = 3$. \end{enumerate} %\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %\smallskip % %Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ? Démontrer cette conjecture. On peut conjecturer que le résultat final est le double du nombre initial : démonstration $n \to n + 1 \to (n + 1)^2 \to (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 \to 2n + 1 - 1 = 2n$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill } \medskip %Un propriétaire souhaite aménager le grenier de sa ferme. Voici le croquis de son grenier. % %\medskip % %\psset{unit=0.7cm} % %\begin{center} %\begin{pspicture}(17,5) %\pspolygon(1,1)(8.3,1)(4.7,4) %\pspolygon(1.8,1.2)(7.5,1.2)(4.7,3.6) %\pspolygon(1.6,1.2)(7.7,1.2)(4.7,3.7) %\pspolygon(1.4,1.2)(7.9,1.2)(4.7,3.8) %\pspolygon(3.2,2.3)(6.2,2.3)(6,2.45)(3.4,2.45) %\pspolygon(4.6,3.5)(4.6,1.2)(4.8,1.2)(4.8,3.5) %\pspolygon(9.7,1)(16.6,1)(13,5)%BCA %\psline(13,1)(13,5)%IA %\psline(12,3.8)(14.1,3.8)%KM %\psframe(13,3.8)(12.8,4)\psframe(13,1)(12.8,1.2) %\rput(9.4,4){Schéma simplifié} %\psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(9.7,0.6)(16.6,0.6)\uput[d](13.35,0.6){7,2~m} %\psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(12,3.6)(14.1,3.6) %\uput[d](13,3.6){2~m} %\uput[u](13,5){A} \uput[dl](9.7,1){B} \uput[dr](16.6,1){C} \uput[ur](13,1){I} \uput[ur](13,3.8){J} \uput[ul](12,3.8){K} \uput[ur](14.1,3.8){M} %\psarc(9.7,1){4mm}{0}{48}\rput(10.58,1.4){48\degres} %\end{pspicture} %\end{center} % %\medskip % %Ce propriétaire mesurant 1,75~m souhaite savoir s'il peut rester debout sans se cogner la tête sur une des poutres représentée par le segment [KM]. I est le milieu du segment [BC]. \begin{enumerate} \item %Calculer la longueur du segment [AI]. On donnera une valeur approchée par défaut au centimètre près. Dans le triangle ABI rectangle en I on a : $\tan \widehat{\text{ABI}} = \dfrac{\text{AI}}{\text{BI}}$ d’où AI $ = \text{BI}\tan \widehat{\text{ABI}} = 3,6\tan 48 \approx 3,998$ soit 3,99~m au centimètre près. \item %Calculer la longueur du segment [AJ]. On donnera une valeur approchée par excès au centimètre près. De la même façon on a AJ $ = \text{KJ}\tan \widehat{\text{ABI}} = 2 \times \tan 48 \approx 2,221$ soit 2,23~m au centimètre près. \item %e propriétaire peut-il se tenir debout sans se cogner la tête? On a donc IJ = AI $-$ AJ $\approx 3,99 - 2,23$, donc $\text{AJ} \approx 1,76$~m. Le propriétaire pourra se tenir debout (juste). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill } \medskip %Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC un triangle isocèle en A tel que AB = 5~cm et $\widehat{\text{ABC}} = 75$\degres{} et le triangle ACE est équilatéral. % %\smallskip % %\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.} % %\smallskip %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(5,5) %\pspolygon(2.7,1.4)(0.8,0.7)(0.5,4.7)(2.7,1.4)(4.3,5)(0.5,4.7)%CBACEA %\uput[ul](0.5,4.7){A} \uput[dl](0.8,0.7){B} \uput[dr](2.7,1.4){C} \uput[dr](4.3,5){E} %\end{pspicture} %\end{center} %\medskip \begin{enumerate} \item ~ %Construire la figure en vraie grandeur. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \pspolygon(2.7,1.4)(0.8,0.7)(0.5,4.7)(2.7,1.4)(4.3,5)(0.5,4.7)%CBACEA \uput[ul](0.5,4.7){A} \uput[dl](0.8,0.7){B} \uput[dr](2.7,1.4){C} \uput[dr](4.3,5){E} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Puisque ABC est isocèle en A, $\widehat{\text{ABC}}= \widehat{\text{ACB}} = 75$\degres. On en déduit que $\widehat{\text{BAC}} = 180 - (75 + 75) = 180 - 150 = 30$\degres. \item %Quelle est la nature du triangle ABE ? Lez triangle ACE est équilatéral, donc $\widehat{\text{CAE}} = 60$\degres. Donc $\widehat{\text{BAE}} = 30 + 60 = 90$\degres. le triangle ABE est donc rectangle en A. Or ABC est isocèle, donc AB = AC et ACE est équilatéral donc AC = AE, donc finalement AB = AE : le triangle ABE est donc rectangle isocèle en A. \end{enumerate} \item %Calculer la longueur exacte du segment [BE]. Donner la valeur arrondie au millimètre près. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABE donne : $\text{BE}^2 = 5^2 + 5^2 = 50$, donc B7,07E $ = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07$ soit 7,1~cm au millimètre près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill } \medskip %\emph{La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire} % % %\medskip %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(9,5) %\pspolygon(0,1)(8.4,1)(7.9,0.2)(2.3,4.5)%GYPT %\uput[ul](0,1){G} \uput[ur](8.4,1){Y} \uput[u](2.3,4.5){P} \uput[d](7.9,0.2){T} \uput[ur](6.9,1){I} %\end{pspicture} %\end{center} %\medskip % %Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I. % %On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ; IY = 1,4 cm ; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm. \begin{enumerate} \item %Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles. $\dfrac{\text{IT}}{\text{IP}} = \dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{\text{IY}}{\text{IG}} = \dfrac{1,4}{7} = \dfrac{14}{70} = \dfrac{1}{5}$. O a donc $\dfrac{\text{IT}}{\text{IP}} = \dfrac{\text{IY}}{\text{IG}}$, donc d’après la réciproque de la propriété de Thalès les droites (YT) et (GP) sont parallèles. \item %Calculer le périmètre du triangle IGP. On a aussi $\dfrac{\text{IT}}{\text{IP}} = \dfrac{\text{YT}}{\text{PG}}$ soit $\dfrac{1}{5} = \dfrac{0,8}{\text{PG}}$ d’où PG $ = 5 \times 0,8 = 4$~cm. Le périmètre du triangle IGP est donc égal à : $4 + 7 + 5 = 16$~cm. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %\emph{En physique, la tension \emph{U} aux bornes d'une \og résistance \fg{} est proportionnelle à l'intensité \emph{I} du courant qui la traverse, c'est-à-dire : $\emph{U} = \emph{R} \, \times \,\emph{I}$, où \emph{R} (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité.} % %\emph{On rappelle que l'unité d'intensité est l'ampère et que l'unité de tension est le volt.} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %L'intensité I (en ampères) &0,02 &0,03 &0,04 &0,08\\ \hline %Tension U (en volts) &3 &4,5 &6 &12\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. On a $0,02 \times 150 = 3$ ; $0,03 \times 150 = 4,5$ ; $0,04 \times 150 = 6$ ; $0,08 \times 150 = 12$. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient $150$. \item %Quel est le coefficient de proportionnalité ? Voir la réponse précédente. \item %Calculer la tension U si l'intensité I vaut 0,07 ampère. On a $\text{U} = 150\text{I} = 150 \times 0,07 = 10,5$~(V). %\smallskip % %On nomme $f$ la fonction qui donne la tension U en fonction de l'intensité I. \smallskip \end{enumerate} \item %Préciser la nature de la fonction $f$ et donner l'expression algébrique de $f(\text{I})$. On a $f(\text{I}) = 150\text{I}$. $f$ est une fonction linéaire. \item %Dans le repère en annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $f$. \item %Lire graphiquement l'intensité quand U = 10~volts (donner une valeur approchée avec la précision permise par le graphique). Voir à la fin. %Déterminer par un calcul la valeur exacte de l'intensité quand U = 10 volts. On a $150\text{I} = 10$ d’où I $ = \dfrac{1}{15}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %\emph{En physique, la puissance \emph{P} de la \og résistance \fg{} est le produit de la tension \text{U} à ses bornes et de l'intensité \text{I} qui la traverse, c'est à dire $\emph{P} = \emph{U} \,\times$\, \emph{I}.\\ % On rappelle que l'unité de puissance est le watt.} \begin{enumerate} \item %En utilisant l'expression obtenue à la question 3 de la partie A, justifier que : %\[\text{P} = 150 \times \text{I}^2\] %On nomme $g$ la fonction qui donne la puissance P en fonction de l'intensité I. De U $ = 150 \text{I}$ et P $ = \text{U}\times \text{I}$, on déduit que $\text{P} = 150 \times \text{I}^2$. \smallskip \item %Calculer l'image de 7,5 par la fonction $g$. On a donc $g(\text{I}) = 150 \times \text{I}^2$. Donc $g(7,5) = 150 \times 7,5^2 = \np{8437,5}$ \smallskip %En annexe, on donne la courbe représentative de la fonction $g$. \item %Lire graphiquement la puissance P quand I = 5 ampères (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture). Voir à la fin. On lit à peu près \np{3750}. \item %Lire graphiquement un antécédent de \np{2500} par la fonction $g$ (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture). Voir à la fin. On lit un peu moins de 4,1. \item %La puissance P est-elle proportionnelle à l'intensité I ? Justifier la réponse. La représentation graphique de la fonction $g$ n’est pas une droite qui contient l’origine. La puissance P n’est pas proportionnelle à l’intensité. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Partie A : représentation de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=110cm,yunit=0.275cm} \begin{pspicture}(-0.002,-1)(0.102,17) \multido{\n=0.0000+0.0025}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,17)} \multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0.000,\n)(0.102,\n)}\uput[u](0.102,0){I} \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,Ox=0,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.002,-0.99)(0.102,17) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.002,-0.99)(0.102,17)\uput[r](0,17){U}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.1}{x 150 mul} \psline[ArrowInside=->](0,10)(0.0666,10)(0.0666,0) \end{pspicture} \vspace{3cm} \textbf{Partie B : représentation de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0006cm} \begin{pspicture}(-0.5,-500)(10.25,9000) \multido{\n=0+0.25}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)} \multido{\n=0+500}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000]{->}(0,0)(10.25,9000) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000](0,0)(10.25,9000) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{x dup mul 150 mul} \uput[u](10.25,0){I} \uput[r](0,9000){P} \multido{\n=0+1000}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psline[ArrowInside=->](5,0)(5,3750)(0,3750) \psline[ArrowInside=->](0,2500)(4.06,2500)(4.06,0) \end{pspicture} \end{center} \end{document}