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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[4pt]novembre 2012}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize} m{5.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
%Question posée&\multicolumn{4}{|c|}{Réponses proposées}\\ \hline 
%\textbf{1.}\: \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{12}{25} \times \dfrac{7}{10}$&$\dfrac{19}{35}$&$\dfrac{41}{125}$&$\dfrac{84}{250}$&$\dfrac{175 }{250}$\\ \hline 
%\textbf{2.}\:Une mouette parcourt 4,2 kilomètres en 8 minutes. 
%Quelle distance aurait-elle parcourue en une heure, si elle gardait la même vitesse ?&
%0,526 km& 31,5 km& 42,8 km& 201,6 km\\ \hline 
%\textbf{3.}\: Quelle est la notation scientifique de $\left(4 \times 10^{-3}\right)^2$ ?& 
%$1,6 \times 10^{-5}$& $8 \times 10^{-3}$& $6 \times 10^{-1}$& $4 \times 10^{6}$\\ \hline 
%\textbf{4.}\: Un bidon contient 25 L. Si j'augmente de 2\,\% sa contenance, alors j'obtiens :& 25,2 L &25,5 L &27 L& 30 L\\ \hline 
%\textbf{4.}\: Donner la valeur médiane de la série statistique  suivante :
% 
%1 ; 2 ; 2,4 ; 3 ; 3,5 ; 3,7 ; 3,8 ; 4 ; 4,2 ; 4,2 ; 7&3,53& 3,7& 4,2& 6\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{12}{25} \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{2 \times 6 \times 7 }{25 \times 2 \times 5} = \dfrac{42}{125}$.  Réponse 3.
\item Elle parcourt donc 2,1 km en 4 minutes, 1,05 km en 2 minutes donc $30 \times 1,05 = 31,5$~km en $30 \times 2 = 60$~(min). Réponse 2.
\item $\left(4 \times 10^{-3}\right)^2 = 4^2 \times \left(10^{-3} \right)^2 = 16 \times 10^{- 6} = 1,6 \times 10^{- 5}$. Réponse 1.
\item $25 \times 1,02 = 25,5$~L. Réponse 2.
\item C'est le sixième nombre : 3,7. Réponse 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%Un concours de pêche est organisé avec 8 bateaux participants. Les organisateurs souhaitent former au hasard 4 équipes de 2 bateaux. Pour cela, un tirage au sort est organisé.
% 
%Dans une urne se trouvent 8 fanions indiscernables au toucher : 2 rouges, 2 oranges, 2 violets et 2 verts. Les bateaux ayant un fanion de même couleur seront dans la même équipe.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité de sortir un fanion rouge au premier tirage ?
Sur 8 fanions, deux sont rouges ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{2}{8}  = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
\item %Aux deux premiers tirages, un fanion vert et un fanion orange ont été sortis. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quels fanions se trouvent encore dans l'urne avant le troisième tirage ?
Il reste 2 rouges, 1 orange, 2 violets et 1 vert. 
		\item %Combien y a-t-il de fanions dans l'urne avant le troisième tirage ?
$8 - 2 = 6$. 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement A : \og un fanion d'une autre couleur que le vert ou le orange est tiré \fg.
Sur les 6 fanions restants 4 ne sont ni vert ni orange, donc $p(\text{A}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip 

%\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même inachevée, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Une société propose des sorties en mer sur un voilier. Il n'y a qu'un seul tarif adulte et qu'un seul tarif enfant.
%
%\medskip
% 
%Un premier groupe composé de 4 adultes et 6 enfants a payé au total 52 800 F.
% 
%Un deuxième groupe composé de 6 adultes et 4 enfants a payé au total 63 200 F pour la même sortie.


%$\left\{\begin{array}{l c l}
%2a + 3e&=&\np{26400}\\
%6a + 4e&=&\np{63200}
%\end{array}\right.$ et en multipliant chaque terme de la première équation par 3 :
%
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%6a + 9e&=&\np{79200}\\
%6a + 4e&=&\np{63200}
%\end{array}\right.$ d'où par différence $5e = \np{16000}$, soit $e = \np{3200}$.
%
%Comme $2a = \np{26400} - 3e = \np{26400} - \np{9600} = 16800$, d'où $a = \np{8400}$.
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Un groupe, composé de 10 adultes et 10 enfants, a un budget total de \np{120000}~F. Ils se demandent s'ils auront assez d'argent pour une sortie en voilier. Sans connaître le prix des places, Émilie a une astuce pour répondre à cette question.
 
%Donner sa réponse et expliquer son raisonnement. 
Si $a$ est le tarif adulte et $e$ le tarif enfant, on a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
4a + 6e&=&\np{52800}\\
6a + 4e&=&\np{63200}
\end{array}\right.$ 

On constate qu'en ajoutant membre à membre, on obtient :

$10a + 10e = \np{116000}$ soit moins de \np{120000}~F. Le groupe pourra faire la sortie.
\item %Le petit frère d'Émilie affirme qu'une place adulte coûte \np{7000}~F et qu'une place enfant coûte \np{2500}~F. 

%A-t-il raison ? Justifier.
On a $2a + 3e = \np{14000} + \np{7500} = \np{21500} \ne  \np{26400}$. Donc le petit frère d'Émilie se trompe.
\item %Pour cette sortie, combien payera un adulte accompagné d'un enfant ?
On a vu à la question \textbf{1.} que $10a + 10e = \np{116000}$, donc en simplifiant par 10 : $a + e = \np{11600}$~(F).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
%Le niveau de la mer monte et descend suivant le cycle des marées. Les deux schémas ci-dessous représentent la même plage parfaitement lisse, à deux instants de la journée. 
%
%\medskip
%
%On a : HT = 2 m, HBT= 10\,\degres{} et (HT) $\perp$ (BT). 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(0,-1)(12,4)
%\def\vague{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.5,0){0.5}{90}{180}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](0.55,0.25){0.25}{0}{360}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.75,0){0.5}{0}{33}}
%\multido{\n=0+1}{10}{\rput(\n,1){\vague}}
%\pspolygon*(0,0)(1.2,0)(10,1)(0,1)
%\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(10,0)(10,1)
%\psarc(1.2,0){2}{0}{8}\psarc(1.2,0){2.1}{0}{8}
%\uput[d](1.2,0){B}\uput[d](9.8,0){T}\uput[u](9.8,1){H}
%\psframe(10,0)(9.8,0.2)\psframe(10,2)(9.8,2.2)
%\psline[linestyle=dashed](0,2)(10,2)(10,3)
%\rput(0,2){\vague}\uput[d](1.2,2){B}\uput[d](9.8,2){T}\uput[u](9.8,3){H}
%\psline(0,2)(10,3)
%\psarc(1.2,2){2}{0}{8}\psarc(1.2,2){2.1}{0}{8}
%\psline{<->}(10.5,0)(10.5,1)\psline{<->}(10.5,2)(10.5,3)
%\uput[u](5,1.5){Marée haute}\uput[u](5,3){Marée basse}
%\rput(5,0.25){10\,\degres}\rput(5,2.25){10\,\degres}
%\uput[r](10.5,0.5){2 m}\uput[r](10.5,2.5){2 m}
%\rput(6,2.8){Plage}\rput(8,2.2){Sable}\rput(8,0.2){Sable}
%\end{pspicture*} 
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur BH, en mètres, de plage recouverte par la mer à marée haute. Donner l'arrondi au dixième près. 
Dans le triangle BHT rectangle en T, on a $\tan \widehat{\textbf{TBH}} = \dfrac{\text{HT}}{\text{BT}}$, soit BT $ = \dfrac{\text{HT}}{\tan \widehat{\textbf{TBH}}} = \dfrac{2}{\tan \widehat{\textbf{TBH}}} \approx 11,34$ soit environ 11,3~m au dixième près.
\item %Sur une autre plage de pente différente (mais toujours parfaitement lisse), la mer a recouvert la plage jusqu'au point L. Deux heures plus tard, la mer s'est retirée et se situe désormais au point A. 

%Sur le schéma, les points S, B et E sont alignés. Ils correspondent au niveau horizontal.
%
%On a : SL = 9 m ; AL = 2,25 m ; (AB) $\perp$ (SE) ; (LE) $\perp$ (SE).
% 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(0,-1)(12,3)
%\def\vague{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.5,0){0.5}{90}{180}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](0.55,0.25){0.25}{0}{360}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0.75,0){0.5}{0}{33}}
%\multido{\n=0+1}{7}{\rput(\n,1){\vague}}
%\pspolygon*(0,0)(1.2,0)(8,1)(0,1)
%\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(11,0)\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,1)
%\uput[d](1.2,0){S}\uput[d](10,0){E}\uput[u](10,1.294){L}
%\psframe(10,0)(9.8,0.2)\psframe(8,0)(7.8,0.2)
%\psline(8,1)(10,1.294)\psline[linestyle=dashed](10,1.294)(10,0)
%\psline{<->}(10.5,0)(10.5,1.294)\uput[d](8,0){B}\uput[u](8,1){A}
%\uput[r](10.5,0.647){2 m}
%\end{pspicture*} 
%\end{center} 
%Démontrer que les droites (AB) et (LE) sont parallèles.
Les droites (AB) et (LE) sont parallèles car perpendiculaires à (SE). 
%Calculer la longueur AB, en mètres, du niveau vertical actuel de la mer.
Les points S, A, L d'une part, S, B, E de l'autre sont alignés dans cet ordre. Le théorème de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{AB}}{\text{LE}} = \dfrac{\text{SA}}{\text{SL}}$ soit AB $ = \dfrac{\text{SA}\times \text{LE}}{\text{SL}}$.

Or SA = $\text{SL} - \text{SL} = 9 - 2,25 = 6,75$~m.

Donc AB $ = \dfrac{6,75 \times 2}{9} = \dfrac{13,5}{9} = \dfrac{9 \times 1,5}{9} = 1,5$~m.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip
 
%La figure ci-dessous est un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle $C$. 
%
%Cette figure \textbf{n'est pas en vraie grandeur}.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2.5}
\psline(2.5;0)(2.5;180)
\psline(2.5;60)(2.5;240)
\psline(2.5;120)(2.5;300)
\psline(2.5;0)(2.5;60)(2.5;120)(2.5;180)(2.5;240)(2.5;300)(2.5;360)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](1.25;0)(1.25;60)(1.25;120)(1.25;180)(1.25;240)(1.25;300)(1.25;360)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](2.165;30)(2.165;90)(2.165;150)(2.165;210)(2.165;270)(2.165;330)(2.165;390)
\uput[r](2.5;0){C} \uput[ur](2.5;60){D} \uput[ul](2.5;120){E} \uput[l](2.5;180){F} \uput[dl](2.5;240){A} \uput[dr](2.5;300){B} \uput[u](0;360){O}
\uput[ul](2.65;140){$C$}
\multido{\n=0+60,\na=10+60,\nb=110+60,\nc=130+60}{6}{\psarc(2.5;\n){2.5}{\nb}{\nc}} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire un hexagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon 3~cm.
Voir ci-dessus. On est parti d'un point C par exemple et on a reporté sur le cercle 6 fois le rayon pour obtenir les cinq autres sommets de l'hexagone. 
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{COE}}$.
L'hexagone est composé de six triangles équilatéraux donc chaque angle mesure 60\degres. On a donc  $\widehat{\text{COE}} = 120\degres$.
\item %Montrer que l'angle $\widehat{\text{CAE}}$ mesure 60\,\degres.
$\widehat{\text{CAE}}$ a une mesure moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc : $\widehat{\text{AOE}}$ qui a pour mesure 20\degres{} d'après la question précédente. On a bien   $\widehat{\text{CAE}} = 60\degres$.
\item %Quelle est la nature du triangle CAE ? Justifier.
On voit comme à la question précédente que chaque angle de ce triangle a pour mesure 60\degres : c'est donc un triangle équilatéral. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip
 
%Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire l'Aquarium du Pacifique. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l'entrée, dont la vitre a une forme sphérique. 
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure \textbf{n'est pas en vraie grandeur}. 

\begin{center}
\newgray{legergris}{0.85}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5.2)
\psline(1,2.8)(0.6,2.8)(0,0)(8,0)(6.6,2.8)(5,2.8)
\psline[linestyle=dashed](5,2.8)(1,2.8)
\psarc(3,3){2}{-30}{210}
\psarc[linestyle=dashed](3,3){2}{210}{-30}
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=legergris](3,1.82)(1.6,0.45)
\psline[linestyle=dashed](3,5)(3,3)(4.5,1.82)(3,1.82)
\psline(3,1.82)(3,3)
\uput[u](5.5,0){Partie enfouie}
\uput[d](6,5){Partie visible}\uput[d](6,4.5){(calotte sphérique)}
\rput(5.8,1.8){Sol}
\psline{->}(4.4,0.4)(4,1.26)\psline{->}(5,4.6)(4.4,4.4)
\uput[u](3,5){T}\uput[l](3,3){O}\uput[l](3,1.82){H}\uput[r](4.5,1.82){R}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le volume en m$^3$ d'une boule de rayon 5~m. Donner l'arrondi à l'unité près. 
 
%On rappelle la formule du \emph{volume d'une boule de rayon} $R$ : \fbox{$V_{\text{boule}} = \dfrac{4 \times \pi \times R^3}{3}$}
Le volume de la boule est égal à : $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523,599$ soit 524~m$^3$ à l'unité près.
\item %En réalité, l'aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible aux visiteurs) est une \og calotte sphérique \fg. La partie inférieure (enfouie) abrite les machines. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l'aquarium (la partie grisée sur la figure) ?
La section grise est un disque de rayon HR. 
		\item %Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes : 

%OH = 3 m ; RO = 5 m ; HR = 4 m, où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure. 

%Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifier.
On a RO$^2 = 5^2 = 25$ et $\text{OH}^2 + \text{HR}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

On a donc $\text{OH}^2 + \text{HR}^2 = \text{RO}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HOR est rectangle en H.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %T est un point de la sphère tel que les points T, O, H soient alignés comme sur la figure. 

%Calculer la hauteur HT de la partie visible de l'aquarium. 
[OT] est un rayon, donc HT $ = \text{HO} + \text{OT} = 2 + 5 = 8$~(m).
		\item %\emph{Le volume d'une calotte sphérique de rayon $5$ m est donné par la formule} : \fbox{$V_{\text{calotte}} = \dfrac{\pi \times h^2}{3}\times (15 - h)$} \emph{où $h$ désigne sa hauteur (correspondant à la longueur \emph{HT} sur la figure}). 

%Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique.
On a $V_{\text{calotte}} = \dfrac{\pi \times 8^2}{3}\times (15 - 8) = \dfrac{64 \times 7\pi}{3} = \dfrac{448\pi}{3} \approx 469,145$~m$^3$ soit \np{469145}~dm$^3$ ou \np{469145}~litres. 
		\item %Pour cette question, on prendra comme volume de l'aquarium \np{469000}~litres. 

%Des pompes délivrent à débit constant de l'eau de mer pour remplir l'aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y injectent \np{14000}~litres d'eau de mer. 

%Au bout de combien d'heures de fonctionnement, les pompes auront-elles rempli l'aquarium ?
En une heure les pompent déversent \np{7000}~litres. Pour remplir un volume de \np{469000} il faudra donc :

$\dfrac{469000}{\np{7000}} 67$~(h). (2 jours et 19 h)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%Voici un extrait d'article trouvé dans une revue scientifique : \og Si l'Homme ne change pas son comportement de pollueur, il n'y aura plus aucun poisson à l'état sauvage dans les océans. \fg 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0085cm}
%\begin{pspicture}(0,-15)(104,935)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1950,Dx=26,Dy=170](0,0)(104,935)
%\multido{\n=0+13}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,935)}
%\multido{\n=0+85}{12}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(104,\n)}
%\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,850)(13,830)(26,765)(39,680)(44,678)(45.5,680)(52,595)(65,525)(78,425)(91,170)(98,0)
%\rput(110,25){Années}\uput[u](21,935){Nombre d'espèces de poissons de pêche}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Le graphique ci-dessus donne la courbe représentative d'une fonction $f$ qui prévoit l'évolution des espèces restantes de poissons trouvées en mer. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique :
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre d'espèces restantes de poissons en 2028.
Il restera 425 espèces. 
		\item %En quelle année restait-il $595$ espèces de poissons ?
En 2002. 
		\item %Donner une estimation de l'année de disparition prévue de toutes les espèces de poissons de pêche.
		En 2046 il devrait ne plus rester de poisson.
	\end{enumerate} 
\item %La biologiste de l'Aquarium du Pacifique aménage une salle dédiée à trois espèces de petits poissons notées A, B et C. Voici le tableau donnant le nombre de poissons de chaque espèce dont elle dispose :

%\medskip
%\renewcommand\arraystretch{1.4}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Espèce de petits poissons&A &B &C \\ \hline
%Effectif& 154& 105& 126 \\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip 

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le PGCD des nombres 154 et 105, par l'algorithme de votre choix et en détaillant les étapes.
Avec l'algorithme d'Euclide :
		
$154 = 105 \times 1 + 49$ ;

$105 = 49 \times 2 + 7$ ;

$49 = 7 \times 7 + 0$.

Le PGCD des nombres 154 et 105 est donc égal à 7 : 

$154 = 7 \times 22$ et $105 = 7 \times 15$.	 
		\item %Combien faudrait-il de bassins \textbf{au minimum} pour qu'ils contiennent exactement le même nombre de poissons de chacune des espèces A, B et C ?
On a aussi $126 = 7 \times 18$ et il n'y a pas de diviseur commun aux nombres 22, 15 et 18.

Donc 7 est aussi le PGCD aux nombres 154, 105 et 126. 
		\item %Donner pour chaque espèce, le nombre de poissons qu'il y aurait alors dans un bassin.
Chaque bassin contiendra 22 poissons de l'espèce A, 15 poissons de l'espèce B et 18 poissons de l'espèce C. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}