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%Tapuscrit : Denis Vergès  rectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Liban mai 2008~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ représentent respectivement le prix d'une boule et celui d'une guirlande. Ces prix sont exprimés en euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'opération qui consiste à appliquer une réduction de 20\,\% à un article dont le prix est $P$ se traduit par l'égalité :
		
$P - \dfrac{20\text{P}}{100} = P - 0,2P = P(1 - 0,2) = 0,8P.$

On constate que cette réduction revient à multiplier ce prix $P$ par $0,8$.
		\item L'achat du deuxième client se traduit par l'équation :
		
$5(0,8x) + 5(0,8y) = 25,6$ ou $4x+4y = 25,6$.

En simplifiant par 4 on obtient : $x + y=6,4$.
	\end{enumerate}
\item $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+y&18,4\quad (1) \\ x+y&6,4\quad (2) \\ \end{array} \right.$

De (2) on tire $y=6,4-x$, valeur que l'on porte dans (1)

$6x+6,4-x=18,4$ ou 
$5x=18,4-6,4=12$ soit $x=\dfrac{12}{5}=2,40$~\euro{} et 
$y = 6,4 - 2,4 = 4$~\euro.
\item Le prix d'une boule est 2,40~\euro. Le prix d'une guirlande est 4~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développons et réduisons $E$. 
On utilise l'identité remarquable 

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$E = x^2 - 10x + 25 + 2x^2 + x - 10x - 5 = 3x^2 -19x + 20$.

$E = 3x^2 - 19x + 20$ \quad  (1)
		\item $x = \sqrt3$ ; 

$E = 3\left(\sqrt3\right)^2- 19\sqrt3 + 20 =3\times 3- 19\sqrt3 + 20 = 29 - 19\sqrt3$.
		\item Oui  la forme développée permet de calculer plus rapidement et plus simplement $E$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $E = 0$.
		
Léa a vu que pour $x = 5, \: x - 5 = 0$, donc $E = 0$.
		\item Factorisons $E$ par $x - 5$ :
		
$E = (x - 5)[(x - 5) + (2x + 1)] = (x - 5)(3x - 4)$.
		\item $E = 0$  si $x - 5 = 0$, déjà vu ou  $3x - 4 = 0$ soit $x = \dfrac{4}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Remplaçons $x$ par $\dfrac{1}{9}$ dans (1)

$E = 3\times\dfrac{1}{9}^2- \dfrac{19}{9} + 20 = \dfrac{3}{81} - \dfrac{19}{9} + 20 = \dfrac{1}{27} - \dfrac{19}{9} + 20 = \dfrac{1}{27}-\dfrac{57}{27}+\dfrac{540}{27} = 
\dfrac{484}{27}$, fraction irréductible car 
$484 = 11^2 \times 2^2$ et $27 = 3^3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\sin \widehat{ACB} = \dfrac{\text{côté\;opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC}$ ;

$\sin \widehat{ACB} = \dfrac{3}{BC}$
d'où BC $ = \dfrac{3}{\sin 30\degres}$. Réponse C.
\item Triangle 7 (donc réponse C) car la rotation de centre B d'angle 120\degres (2 fois 60\degres) s'effectue dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\item Traçons la droite (OB).

On a alors $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}$

$\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + 2 \widehat{BDC}$
(propriété des angles inscrits)

$\widehat{AOC} = 64\degres + 40\degres = 104\degres$. Réponse B.
\item D'après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{BC}{CE}$ soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{BC}{CE}$. Réponse C.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}(note : les vecteurs ne sont plus au programme de 3\up{e} en France)

\medskip

\begin{enumerate}
\item image 4
\item Les coordonnées du milieu M de [AC] sont données par les formules suivantes :

$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{1-2}{2} = -\dfrac{1}{2}$ ;

$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{3+1}{2} = 2$.
\item $\vect{BC} = \left(x_C-x_B ; y_C-y_B\right) = \left(- 4~;~2\right)$
\item ABCE est un parallélogramme si
$\vect{AE} = \vect{BC}$ ce qui se traduit par les égalités :

$x_E- x_A = - 4$ et $y_E - y_A = 2$ ;

$x_E - 1 = - 4$ et $y_E - 3 = 2$.

On obtient $x_E = - 3$ et $y_E = 5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D est le centre du triangle équilatéral. Donc $DB = DG = DF$.
		
On trace le cercle de centre $D$ et de rayon $[DB]$. On construit un angle au centre $BDx$ de 120\degres ; $Dx$ coupe le cercle en F. 

Même raisonnement pour la construction de G.
		\item $BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2+(y_D - yB)^2}  = \sqrt{(4 - 2)^2+(-2 + 1)^2} = \sqrt{(4+1)} = \sqrt5 \approx  2,24$cm soit environ  22~mm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La longueur maximale de l'arête du paquet est donnée par le PGCD$(156~;~96)$.

Calculons le PGCD en utilisant l'algorithme d'Euclide :

$156 = 96 \times 1+60$

$96 = 60 \times 1+36$

$60 = 36 \times 1+24$

3$6 = 24 \times 1+12$

$24 = 12 \times 2+0$

Le dernier reste non nul constitue le PGCD, soit $12$.
\item le nombre de paquets que l'on peut disposer :

sur la largeur : $\dfrac{96}{12} = 8$, sur la longueur: $\dfrac{156}{12} = 13$.

Au total : $8 \times 13 = 104$ paquets.
\item Sur la hauteur: $\dfrac{144}{12} = 12$,  la caisse pourra contenir : $104 \times 12 = \np{1248}$ paquets.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~
		\medskip
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Volume de lessive $\left(\text{en cm}^3\right)$	&400&800&\np{1600}	&$x$\\ \hline
Masse de lessive (en g)							&600	&\np{1200}	&\np{2400}			&$1,5x$\\ \hline
Masse totale d'un paquet de lessive (en g)		&800	&\np{1400}	&\np{2600}			&$1,5x + 200$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
		
		\item Masse totale = Masse de lessive + Masse du paquet vide
		
\np{2300} = Masse de lessive $+ 200$  soit masse de lessive $= \np{2300} - 200 = \np{2100}$~g.

Les \np{2100} g correspondent à un volume de $\dfrac{\np{2100}}{1,5} = \np{1400}$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite passant par les points de coordonnées (0~;~200) et (800~;~1400).
		
[Pour $x = 0, \, f(0) = 200$ et pour $x = 800, \, f(800) = 1400$]
		\item Voir le tracé vert sur le graphique ci-dessous.
		
\begin{center}
\psset{unit=0.003cm}
\begin{pspicture}(-100,-100)(2000,2500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-1)(2000,2500)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1500}{1.5 x mul 200 add}
\psline[linecolor=green,ArrowInside=->]{->}(0,2300)(1400,2300)(1400,0)
\uput[l](0,2300){\green \footnotesize2300}
\end{pspicture}
		
\end{center}
Le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de \np{2300} g est de \np{1400} cm3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'échelle $\dfrac{1}{4}$, les dimensions des côtés de la face BFGC qui est un carré sont les suivantes :

CG = BF = 3 cm ; GK =  BL = CJ = 1 cm

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(3.3,3.3)
\psframe(0,0)(3,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1)(3,2)(3,3)(0,2)
\uput[dl](0,0){B} \uput[ul](0,3){C} \uput[ur](3,3){G} 
\uput[dr](3,0){F} \uput[l](0,2){J} \uput[r](3,2){K} 
\uput[l](0,1){L}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.5)(0,1.5)(0,2.5)(3,0.5)(3,1.5)(3,2.5)
\psline[linecolor=blue](0,2)(3,2) 
\end{pspicture}

\end{center}
\item On constate que l'aire de la bande LKGJ est égale à l'aire de la bande IALJ.

L'aire de la bande LKGJ est la somme des aires de deux triangles rectangles de même aire de côtés 1 et 3. L'aire de cette bande est donc égale à $1 \times 3 = 3$~cm$^2$.

En réalité l'aire est égale à $3 \times 4 \times 4 = 48$~cm$^3$.
\end{enumerate}
\end{document}