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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Madagascar ~\decofourright\\juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}
 
On donne E $ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{17}{2} \times \dfrac{4}{3}\qquad$ et $\qquad \text{F} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3} \times \sqrt{16}}{\sqrt{2}}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que les nombres E et F sont égaux.
E $ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{17}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{34}{3}  = \dfrac{36}{3} = 12$.

$\text{F} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3} \times \sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2 \times 3} \times \sqrt{3} \times 4}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times 4}{\sqrt{2}} = \dfrac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12$.

Donc E = F{}.
\item  %On donne G $= \left(10^{-1}+ a\right) \times 10^2$. Calculer le nombre $a$ pour que l'égalité E =  G soit vraie.
G $= \left(10^{- 1} + a\right) \times 10^2$ = E si $\left(10^{-1} + a\right) \times 10^2 = 12 $, d'où $10^{-1} + a = 12\times 10^{- 2}$ et enfin $a = 12\times 10^{- 2} - 10^{- 1} = 0,12 - 0,1 = 0,02$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On considère les nombres suivants :

\[\text{A} = \np{1001} \times 999 - 999^2\quad 	\text{B} = 57 \times 55 - 55^2\quad 	\text{et} \quad \text{C} = (-2) \times (-4) -(- 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner les valeurs lues sur la calculatrice pour A, B et C.
		On lit A $ = \np{998}$, B $ = 110$, C $ = - 8$.
		\item  %Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux ? Justifier brièvement.
A et B ne sont pas premiers entre eux ; ils sont tous les deux pairs ; ils ont donc au moins 2 comme diviseur commun.
	\end{enumerate}
\item %On pose $D = (x + 1)(x - 1) - (x - 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item %$x$ étant un nombre entier, supérieur à 1, montrer que $D$ est un multiple de $2$.
En factorisant $(x - 1)$, \:\: $D = (x - 1)[(x + 1) - (x - 1)] = (x - 1)(x + 1 - x + 1) = 2(x - 1)$ : $D$ est donc multiple de 2.
		\item %Pour quelles valeurs de $x,~ D$ est-il un nombre négatif ou nul ?
$D = 2(x - 1) \leqslant 0$ si $x - 1 \leqslant 0$ soit si $x \leqslant 1$.		
%Représenter les valeurs trouvées sur un axe en hachurant la partie qui ne convient pas.
	\end{enumerate}
\item	%Trouver une expression E de la même forme que celle de A pour laquelle le résultat du calcul est \np{2008}.
Il faut que $2(x - 1) = \np{2008}$ ou $x - 1 = \np{1004}$ soit $x = \np{1005}$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
%L'air, dans l'environnement terrestre, est un mélange constitué
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 	de 78\,\% de diazote
%\item[$\bullet~$]	de dioxygène
%\item[$\bullet~$]	d'autres gaz (ozone, argon, vapeur d'eau, dioxyde de carbone, ...).
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %L'air contenu dans un ballon de football pèse $470,6$~g. Dans des conditions de température et de pression fixées, la masse d'un litre d'air est 1,3~g. Déterminer alors la masse, en g, puis le volume, en L, de diazote à l'intérieur du ballon.
La masse, en g,  de diazote à l'intérieur du ballon est égale à $470,6 \times \dfrac{78}{100} = 367,068$.

Il y a dans le ballon $\dfrac{470,6}{1,3} = 362$~L d'air, donc $362 \times 0,78 = 282,36$~L de diazote.
\item  %Une salle de classe de volume 30~m$^3$ contient 6,3~m$^3$ de dioxygène. Trouver le pourcentage de dioxygène et le pourcentage des gaz présents dans l'air, autres que le diazote et le dioxygène.
Le pourcentage de dioxygène dans l'air est égal à $\dfrac{6,3}{30} \times 100 = 0,21 \times 100 = 21$\,\%.

Il reste pour les autres gaz : $100 - (78 + 21) = 100 - 99 = 1$\,\%.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip 

%\emph{Dans les deux exercices, les figures ne sont pas en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire mais elles peuvent constituer une aide pour les démonstrations demandées.}
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip
 
%\parbox{0.55\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en C tel que
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] le segment [AC] mesure 8~cm ;
%\item[$\bullet~$] le segment [BC] mesure 6~cm;
%\item[$\bullet~$] le milieu du segment [AC] est noté I.
%\end{itemize}} \hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
%\psframe(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
%\pspolygon(0,0)(4,0)(4,3)
%\uput[l](0,0){A} \uput[u](4,3){B} \uput[r](4,0){C} 
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
%
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que AB = 10 cm.
Dans le triangle rectangle ABC la relation de Pythagore s'écrit :

$\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$, donc $\text{AB} = 10$.
\item  %Préciser la position du point O centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Justifier.
Le triangle est inscrit dans le cercle qui admet pour diamètre l'hypoténuse [AB] ; donc le centre O de ce cercle est le milieu de [AB].
\item  %Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie la ligne de la question et recopier \textbf{la} réponse exacte. On ne demande pas de justification.
La bonne réponse est entourée.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&Questions &\multicolumn{3}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline
L1	& Que représente la droite (OI) ?&	Une médiane du triangle&	Une hauteur du triangle &	\fbox{La médiatrice} \fbox{de [AC]}\\ \hline
L2	&Que vaut la longueur du segment [OI] ?&2 cm&\fbox{3 cm}&5 cm\\ \hline
L3	&Quel est l'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IAO}}$ ?&53\degres&36\degres&\fbox{37 \degres}\\ \hline
L4	&Que vaut l'aire du quadrilatère OICB ?&\fbox{18 cm$^2$}&	6 cm$^2$& 	12 cm$^2$\\ \hline
L5	&Quelle est la nature du triangle OBC ?&Un triangle équilatéral&	Un triangle quelconque&\fbox{Un triangle} \fbox{isocèle}\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%(O~;~I,\:J) est un repère orthogonal donné.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.35\linewidth}{\begin{enumerate}
%\item  Lire les coordonnées des points	L, U, N  et E.
%
%\item  Démontrer que le quadrilatère LUNE est un parallélogramme.
%
%Préciser son centre de symétrie.
%
%\item   Le point A est défini par
%$\vect{\text{LA}} =  \vect{\text{LU}} + \vect{\text{LN}}$.
%
%Prouver que N est le milieu du segment [AE].
%
%\item   Les droites (OA) et (UN) se coupent au point H. Montrer que la droite (EH) est une médiane du triangle UEA.
%\end{enumerate}} \hfill 
%\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.72cm}
%\begin{pspicture}(-3,-5)(7,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-5)(7,4)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-5)(7,4)
%\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,3)(1,2)(2,-3)(-1,-2)
%\uput[ul](-2,3){L}  \uput[ur](1,2){U}  \uput[dr](2,-3){N}  
%\uput[dl](-1,-2){E}  \uput[dl](0,0){O}  \uput[dr](1,0){I}  \uput[ul](0,1){J}
%\pspolygon(-1,-2)(1,2)(5,-4)  
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item L$(- 2~;~3)$ ; U$(1~;~2)$ ; N$(2~;~- 3)$ ; E$(- 1~;~- 2)$.
\item Le milieu de [LN] a pour coordonnées (0~;~0) donc est le point O et le milieu de [UE] aussi.

Le quadrilatère LUNE a ses diagonales qui ont le même milieu : c'est un parallélogramme.
\item $\vect{\text{LU}}(3~;~- 1)$ et $\vect{\text{LN}}(4~;~-6)$ donc $\vect{\text{LA}}(7~;- 7)$.

Donc A a pour coordonnées $(- 2  + 7~;~3  - 7) = (5~;~- 4)$.

Le milieu de [AE] a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{5 - 1}{2}~;~\dfrac{- 4 - 2}{2}\right) = \left(2~;~- 3 \right)$ soit le point N.
\item On sait que O est le milieu de [EU] et on vient de démontrer que N est le milieu de [EA] ; donc [OA] et [UN] sont deux médianes du triangle EUA sécantes en H centre de gravité du triangle. Donc [EH] est la troisième médiane du triangle UEA.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. On a relevé, ci-dessous, le diamètre de 30 tomates (en millimètres).

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-1)(7,1.25)
%\rput(3.5,1){49 - 52 - 59 - 57 - 51 - 55 - 50 - 56 - 49 - 48}
%\rput(3.5,0.25){58 - 49 - 52 - 51 - 53 - 56 - 49 - 56 - 55 - 50}
%\rput(3.5,-0.5){52 - 56 - 57 - 54 - 53 - 49 - 51 - 55 - 56 - 59}
%\psframe(0,-1)(7,1.25)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètres			&[48 ; 51[	&[51 ; 54[	&[54 ; 57[	&[57 ; 60[\\ \hline
Effectif			&8			&8			&9			&5 \\ \hline
Centre des classes	&49,5		&52,5		&55,5		&58,5\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\item  %À partir de ce tableau des effectifs, vérifier que le diamètre moyen d'une tomate, arrondi à l'unité, est 54~mm. Déterminer le volume, en mm$^3$, d'une tomate de diamètre moyen, modélisée comme une boule. Arrondir à l'unité.
À partir de ce tableau des effectifs, on calcule le diamètre moyen :

$\dfrac{8 \times 49,5 + 8 \times 52,5 + 9\times 55,5 + 5 \times 58,5}{30} = 53,6 \approx 54$~(mm) au millimètre près.

Une tomate moyenne a un volume de $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 54^3
\medskip

%\emph{On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est} $\dfrac{4}{3}\pi R^3 \approx \np{659584}$~cm$^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%Les caissettes de 15~tomates sont vendues et livrées à partir de la coopérative. L'acheminement s'effectue selon deux possibilités.
%
%Possibilité \no 1 :  La caissette est vendue 7~\euro{} pour une livraison inférieure ou égale à 90~km de la coopérative.
%
%Possibilité \no 2 : La caissette est vendue 6,50~\euro{} pour une livraison supérieure ou égale à 90~km avec des frais de transport de 50~\euro.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Comparer les deux tarifs pour un achat de 100 caissettes.
Possibilité \no 1 : $100 \times 7 = 700$~\euro.

Possibilité \no 2 : $50 + 100 \times 6,5 = 700$~\euro.

\item  %Une entreprise située à $200$~km de la coopérative achète $x$ caissettes Quel sera le prix $P(x)$ à payer à la coopérative ?
$P(x) = 50 + 6,5x$.
\item  %Une autre entreprise située à $50$~km de la coopérative achète r caissettes. Quel sera le prix $S(x)$ à payer à la coopérative ?
$S(x) = 7x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
%\textbf{Une feuille de papier millimétré est nécessaire}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Dans un même repère orthogonal, représenter graphiquement les deux fonctions $S$ et $P$. On prendra sur l'axe des abscisses 1~cm pour $10$~caissettes et sur l'axe des ordonnées 1~cm pour $50$~\euro.
\begin{center}
\psset{xunit=0.09cm,yunit=0.018cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(110,800)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(110,800)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100](0,0)(110,800)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{110}{7 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{110}{6.5 x mul 50 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,700)(100,700)(100,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Une troisième entreprise se situe exactement à 90~km de la coopérative. On suppose qu'elle a le choix entre les deux tarifs proposés. Déterminer à l'aide du graphique, le tarif de vente le plus avantageux selon le nombre $x$ de cassettes qu'elle souhaite acheter.
Graphiquement on voit que pour $0 < x < 100$, le tarif 1 est le plus intéressant, que pour $x = 100$ comme on l'a vu les tarifs sont équivalents et au dessus de 100 caissettes c'est le tarif 2 qui est le plus intéressant. 
\end{enumerate}
\end{document}
