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%\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~}
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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%pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane 26 juin 2023},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2024}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole  Antilles-Guyane }
\lfoot{\small 1\up{er} juillet 2024}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Métropole Guadeloupe--Guyane~\decofourright\\[7pt] 1\up{er} juillet 2024}}
	\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

%Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.
%
%On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.
%
%La bille a la même probabilité de s’arrêter sur chaque numéro.

%\begin{center}
%\includegraphics[width=7.4cm]{roulette.eps}
%\psset{unit=1cm}
%
%\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\pscircle(0,0){1.8}
%\pscircle(0,0){2.5}
%\pscircle(0,0){3.4}\pscircle(0,0){3.55}
%\pscircle[linewidth=2pt](0,0){3.75}
%\multido{\n=-2.125+19.46,\na=17.3345+19.46}{19}{\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=black]{\psline(1.8;\n)(3.4;\n)\psarc(0,0){3.4}{\n}{\na}\psline(3.4;\na)(1.8;\na)\psarc(0,0){1.8}{\na}{\n}}}
%
%\end{pspicture}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s’arrête sur le numéro 7 est $\dfrac{1}{37}$.
De 0 à 36 il y a $36 - 0 + 1 = 37$ nombres.

La bille a la même probabilité de s'arrêter sur l'une de ces 37 cases, la probabilité de chaque nombre est donc égale à $\dfrac{1}{37}$.
\item %Déterminer la probabilité que la bille s’arrête sur une case à la fois noire et paire.
Il y a 19 cases blanches donc 18 cases noires et parmi elles 2~;~4~;~6~;~8~;~10~;~20~;~22~;~24~;~26~;~28 soit 10 chances sur 37, donc la probabilité est égale à $\dfrac{10}{37}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
De 0 à 6 il y a 7 nombres donc la probabilité est égale à $\dfrac{7}{37}$
		\item %En déduire la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
La probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7 est égale à $1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{30}{37}$.
		\item %Un joueur affirme qu’on a plus de 3 chances sur 4 d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?
On a $\dfrac{30}{37} \approx 0,81 > 0,8 > 0,75 = \dfrac34$ : le joueur a raison.

\emph{Remarque} $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 10}{4 \times 10} = \dfrac{30}{40}$.

Or $37 < 40 \Rightarrow \dfrac{1}{40} < \dfrac{1}{37}$ et en multipliant chaque membre par 30 : $\dfrac{30}{40} < \dfrac{30}{37}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 20 points}}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|l|}\hline
%Programme A &Programme B\\ \hline
%\begin{itemize}
%\item Choisir un nombre.
%\item Prendre le carré du nombre choisi.
%\item Multiplier le résultat par 2.
%\item Ajouter le double du nombre
%de départ.
%\item Soustraire 4 au résultat.
%\end{itemize}&\begin{scratch}
%\setscratch{scale=0.7,num blocks=true,print,fill blocks, fill gray=0.9}
%	\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
%	\blocksensing{demander \ovalnum{Choisir un nombre}~ et attendre}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre choisi} à \ovalsensing{réponse}}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat 1} à \ovaloperator{\ovalvariable{Nombre choisi} + \ovalnum{2} }}
%	\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{Nombre choisi} - \ovalnum{1} }}
%	\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le résultat est} et \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat 1} * \ovalvariable{Résultat 2} }}}
%\end{scratch}
%\\ \hline		
%\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme A est 56.
On obtient successivement : $5 \to 5^2 = 25  \to 2 \times 25 = 50  \to 50 + 2\times 5 = 50 + 10 = 60  \to 60 - 4 = 56$.
		\item %Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $-9$ comme nombre de départ ?
Avec $- 9$ au départ on obtient $- 9 + 2 = - 7$ en résultat 1 et $- 9 - 1 = - 10$ en résultats 2.
		
Le résultat final est $- 7 \times  (-10) = 70$.
	\end{enumerate}
\item %On choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ.
	\begin{enumerate}
		\item %Parmi les trois propositions ci-dessous, recopier l’expression qui donne le résultat obtenu par le programme B ?
		
%\[E_1 = (x + 2) - 1\qquad E_2 = (x + 2) \times (x - 1)\qquad  E_3 = x + 2 \times x - 1\]
Résultat 1 = $x + 2$ ; Résultat 2 : $x - 1$ et résultat final = $(x + 2)(x - 1)$ soit $E_2$.
		\item %Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme A.
On obtient successivement : $x  \to x^2  \to 2 \times x^2 = 2x^2  \to 2x^2 + 2x  \to 2x^2 + 2x - 4$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.
Le résultat avec le programme A est :

$2x^2 + 2x - 4 = 2 \times x^2 + 2 \times x - 2 \times 2 = 2\left(x^2 + x - 2\right)$.

Or en développant $E_2 = (x + 2)(x - 1) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
 : c'est le résultat du programme B.

Le résultat du programme A est le double du résultat du programme B.
\end{enumerate}

\medskip

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 22 points}}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, on a :

\medskip

\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ est un cercle de centre O et de rayon $4,5$~cm ;
\item $[\text{AB}]$ est un diamètre de ce cercle et D est un point du cercle ;
\item les points B, E, A sont alignés, ainsi que les points D, F{}, A ;
\item les droites (BD) et (EF) sont parallèles ;
\item BD $= 5,4$ cm ~;~ DA $= 7,2$ cm \:et\: AE $= 2,7$ cm.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4.5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){4}\uput[ur](4;50){$\mathcal{C}$}
\pspolygon(4;0)(4;100)(4;180)%ADB
\uput[r](4;0){A} \uput[l](4;180){B} \uput[ul](4;100){D}
\uput[d](1.3,0){E} \uput[ur](2.4,1.34){F} \uput[d](0,0){O}
\psline(1.3,0)(2.4,1.34)\psline(0,.1)(0,-.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.

%On sait que le triangle ABD inscrit dans un cercle admettant l'un de ces côtés comme diamètre d'un cercle est rectangle ; ce diamètre [AB] est l'hypoténuse et il est donc rectangle en D.
%Le théorème de Pythagore s'écrit alors :
%
%AB$^2 = \text{BD}^2 + \text{DA}^2 = 5,4^2 + 7,2^2 = (0,9 \times 6)^2 + (0,9 \times 8)^2 = 0,9^2 \times 6^2 + 0,9^2 \times 8^2 = 0,9^2\left(6^2 + 8^2 \right) = 0,9^2 \times (36 + 64) = 0,9^2 \times 100 = 0,9^2 \times 10^2 = (0,9 \times 10)^2 =  9^2$
%
%Conclusion AB $ = 9$~(cm).
On a AB $ = 2R = 2 \times 4,5 = 9$~(cm).
\item %Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.
On a AD$^2 = 7,2^2$ et DB$^2 = 5,4^2$, d'où AD$^2 + \text{DB}^2 = 7,2^2 + 5,4^2 = 51,84 + 29,16 = 81 = 9^2 = \text{AB}^2$.

Donc AD$^2 + \text{DB}^2  = \text{AB}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABD est rectangle en D ; [AB] est l'hypoténuse.
\item %Calculer AF{}.
Comme les points B, E, A sont alignés, ainsi que les points D, F{}, A et
que les droites (BD) et (EF) sont parallèles on est dans une situation de Thalès et on a donc les égalités :

$\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BD}}$.

En particulier $\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AD}}$ ou $\dfrac{2,7}{9} = \dfrac{\text{AF}}{7,2}$ soit $0,3 = \dfrac{\text{AF}}{7,2}$, d'où AF $ = 0,3 \times 7,2 = 2,16$~(cm).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l’aire du triangle ABD est égale à $19,44~\text{cm}^2$.
		Si $\mathcal{A}$ est l'aire du triangle ABD, on sait que $\mathcal{A} = \dfrac{\text{BD} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{5,4 \times 7,2}{2} = 5,4 \times 3,6 = 19,44~\text{cm}^2$.
		\item %Calculer l’aire du disque, arrondie au centième.
		
L'aire du disque est égale à $\pi \times R^2 = \pi \times 4,5^2 = \left(\dfrac92 \right)^2 \times \pi  = \dfrac{81}{4}\pi \approx 63,617$, soit 63,62 au centième de cm$^2$.
	\end{enumerate}
	
%\emph{Rappel} : l’aire du disque est égale à $\pi \times R^2$, où $R$ est le rayon du disque. 
\item Quel pourcentage de l’aire du disque représente l’aire du triangle ABD ?
L'aire du triangle ABD représente pour l'aire du disque un pourcentage égal à environ :

$\dfrac{19,44}{63,62} \times 100$ soit environ 30,6\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
%Pour chaque question, trois réponses ({\rm A, B} ou {\rm C}) sont proposées.\\
%Une seule réponse est exacte.\\
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.\\
%Aucune justification n’est demandée.}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{8.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Question}&\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B} &\textbf{Réponse C}\\ \hline
%\textbf{1.~}
%On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 2$.
%
%Quelle est l’image de $-4$ par cette fonction ?&$-14$&$-10$&$-3$\\ \hline
%\textbf{2.~}
%Combien vaut $(-5)^3$ ?&$-125$ &$-15$ &125\\ \hline
%\textbf{3.~}
%Quelle est l’image du point J par la translation qui transforme C en A ?
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(3.1,2.2)
%\psdots(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)
%\uput[ur](0,1){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ur](1,2){C} \uput[ur](1,1){D}
%\uput[ur](1,0){E} \uput[ur](0,0){F} \uput[ur](2,2){G} \uput[ur](3,2){H}
%\uput[ur](3,1){I} \uput[ur](2,1){J} \uput[ur](3,0){K} \uput[ur](2,0){L}
%\end{pspicture}
%\end{center}&H&E&D\\ \hline
%\textbf{4.~}
%
%\begin{minipage}{2.5cm}Quel est l’antécédent de 3 par la fonction $f$ ?
%\end{minipage} \hfill
%\begin{minipage}{4cm}
%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture*}(-1,-3.5)(4,4)
%\psgrid[gridlabels=times =0.15pt,subgriddiv=1]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3)(4,4)
%\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{3 2 x mul sub}
%\uput[ur](1,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\end{pspicture*}
%\end{minipage}&3&$- 3$&0\\ \hline
%\textbf{5.~}
%On a mesuré les tailles, en m, de sept élèves :
%
%\[1,46~;~1,65~;~1,6~;~1,72~;~1,7~;~1,67~;~1,75\]
%
%Quelle est la médiane, en m, de ces tailles ?&1,72&1,67&1,65\\ \hline
%\\ \hline
%\begin{minipage}{4cm}
%\textbf{6.~} {\small Dans le triangle ABC rectangle en A ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur, quelle est la valeur de $\cos \alpha$ ?}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{4cm}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(5.8,2.4)
%\pspolygon(0.6,0.3)(5.1,0.3)(0.6,2.1)%ABC
%\uput[dl](0.6,0.3){A} \uput[dr](5.1,0.3){B} \uput[ul](0.6,2.1){C}
%\uput[l](0.6,1.2){3} \uput[d](2.85,0.3){4} \uput[ur](2.85,1.2){5} \uput[ul](4.6,0.18){\small $\alpha$}
%\psframe(0.6,0.3)(0.8,0.5)\psarc(5.1,0.3){0.5}{160}{180}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}&0,8&0,75&0,6\\ \hline
%\end{tabularx}
%%\end{enumerate}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 3x - 2$, donc $f(-4) = 3 \times (- 4) - 2 = -12 - 2 = - 14$. (réponse A)
\item $(- 5)^3 = (- 5) \times (- 5) \times (- 5) = - 125$. (réponse A)
\item Si C a pour image A par $t_{\vect{\text{CA}}}$, alors J a pour image E. (réponse B)
\item L'antécédent de 3 est 0 :\: $f(0) = 3$. (réponse C)
\item On a dans l'ordre croissant : 1,46~;~1,6~;~1,65~;~ {\red 1,67}~;~1,7~;~ 1,72~;~1,75

Il y a autant de tailles inférieures à 1,67 que de tailles supérieures à 1,67 : 1,67 est la médiane. (réponse B)
\item On a par définition : $\cos \alpha = \dfrac{\text{long. côté adjacent à }\alpha}{\text{long. hypoténuse}} = \dfrac45 = \dfrac{8}{10} = 0,8$. (réponse A)
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}}

\medskip

%Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants. 
%
%\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

%La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des autocollants et des drapeaux avec le logo du club. Elle a acheté 330 autocollants et 132 drapeaux et veut tous les utiliser. Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre d’autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pourquoi n’est-il pas possible de faire 15 sachets ?
On a $\dfrac{330}{15} = \dfrac{66}{3} = 22$, mais $\dfrac{132}{15} = \dfrac{3 \times 44}{3 \times 5} = \dfrac{44}{5} = 8,8$ qui n'est pas entier.

On ne peut donc pas faire 15 sachets car 132 n'est pas un multiple de 15.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.
On a $330 = 33 \times 10 = 3 \times 11 \times 2 \times 5 = 2 \times 3\times 5\times 11$ et 

$132 = 6 \times 22 = 2 \times 3 \times  2  \times 11 = 2^2 \times 3\times 11$.

		\item On constate que 330 et 132 ont en commun dans leur écriture sous forme de produits de nombres premiers un facteur 2, un facteur 3 et un facteur 11 : ils sont donc tous les deux multiples de $2 \times 3\times 11 = 6 \times 11 = 66$.
%En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.

La présidente pourra donc faire 66 sachets. 
		\item %Dans ce cas, combien mettra-t-elle d’autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
Comme $330 = 66 \times 5$ et $132 = 66 \times 2$, chaque sachet contiendra 5 autocollants et 2 drapeaux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

%La piscine a la forme d’un pavé droit représenté ci-dessous.
%
%\begin{minipage}{7cm}
%Elle est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ du volume.
%
%1 m$^3$ d’eau coûte 4,14~\euro.
%
%Combien coûte le remplissage de la piscine ?
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{7cm}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(6,4.4)
%%\psgrid
%\psframe(2,0.5)(5.5,2.1)%face avant
%\psline(5.5,2.1)(4,3.9)(0.8,3.9)(2,2.1)%haut
%\psline(2,0.5)(0.8,2.3)(0.8,3.9)(2,2.1)%gauche
%\psline[linestyle=dashed](0.8,2.3)(4,2.3)(4,3.9)
%\psline[linestyle=dashed](4,2.3)(5.5,0.5)
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(2,0.4)(5.5,0.4)\uput[d](3.75,0.4){15 m}
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.6,0.5)(5.6,2.1)\uput[r](5.6,1.3){2 m}
%\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.9,0.4)(0.7,2.2)\uput[dl](1.3,1.3){25 m}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
Le volume de la piscine est $V = 25 \times 15 \times 2 = 25 \times 2 \times 15 = 50 \times 15 = 750~\left(\text{m}^3\right)$.

On met dans cette piscine : $750 \times \dfrac{9}{10} = 75 \times 9 = 675~\left(\text{m}^3\right)$ d'eau.

Remplir la piscine coûtera donc : $675 \times 4,14 = \np{2794,50}$~\euro.
\end{document}