\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} %%% Tapuscrit Denis Vergès \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage[body={13cm,23.5cm},top=3cm]{geometry} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Métropole La Réunion Mayotte juin 2008}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet des collèges} \lfoot{\small{France, La Réunion et Mayotte}} \rfoot{\small 27 juin 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges 27 juin 2008~\decofourright\\Métropole, La Réunion et Mayotte}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2} %On donne le programme de calcul suivant :&Choisir un nombre.\\ %&\textbf{a.} Multiplier ce nombre par $3$.\\ %&\textbf{b.} Ajouter le carré du nombre choisi.\\ %&\textbf{c.} Multiplier par $2$.\\ %& Écrire le résultat.\\\cline{2-2} %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que, si on choisit le nombre $10$, le résultat obtenu est $260$. $10 \to 3 \times 10 = 30 \to 30 + 10^2 = 130 \to 2 \times 130 = 260$. \item %Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] %le nombre choisi est $- 5$ ; $- 5 \to - 15 \to - 15 + 25 = 10 \to 20$ ; \item[$\bullet~$] %le nombre choisi est $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{2}{3} \to \dfrac{2}{3}\times 3 = 2 \to 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{22}{9} \to \dfrac{44}{9}$ ; \item[$\bullet~$] %le nombre choisi est $\sqrt{5}.$ $\sqrt{5} \to 3\sqrt{5} \to 3\sqrt{5} + 5 \to 6\sqrt{5} + 10$. \end{itemize} \item %Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit $0$ ? On a la suite : $x \to 3x \to 3x + x^2 \to 2\left(3x + x^2\right) = 6x + 2x^2 = 0$. Soit $2x(3 + x) = 0 $ ou $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\\ 3 + x&=&0 \end{array}\right.$, soit finalement $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\\ x&=&- 3 \end{array}\right.$ Si l'on part de $0$ ou de $- 3$, on arrive à $0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} %2 est-il solution de l'équation $2a^2 - 3a - 5 = 1$ ? Justifier. On calcule : $2 \times 2^2 - 3 \times 2 - 5 = 8 - 6 - 5 = - 3 \ne 1$. 2 n'est pas solution de l'équation $2a^2 - 3a - 5 = 1$. \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip %Trois points A, B et C d'une droite graduée ont respectivement pour abscisse : % %\[\dfrac{1}{4} \quad ; \quad \dfrac{1}{3}\quad \text{et}~~\dfrac{5}{12}.\] % %Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée ? \\Justifier. On a $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}$ ; $\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{12}$. Les distances entre les trois nombres sont les mêmes, les trois points sont régulièrement espacés sur la droite graduée. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4} \medskip %Pour 6 kilogrammes de vernis et 4 litres de cire, on paie $95$~euros. % %Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire on paie $55,50$~euros. % %Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier. Soit $v$ le prix d'un kilo de vernis et $c$ le prix d'un kilo de cire ; on a : $\left\{\begin{array}{l c l} 6v + 4c&=&95\\ 3v + 3c&=&55,50 \end{array}\right.$ ou en simplifiant par 3 dans la deuxième équation : $\left\{\begin{array}{l c l} 6v + 4c&=&95\\ v + c&=&18,50 \end{array}\right.$. De la seconde équation on déduit que $c = 18,5 - v$ et en reportant cette valeur dans la première équation : $6v + 4(18,5 - v) = 95$, soit $6v + 74 - 4v = 95$ ou $3v = 21$ et enfin $v = 7$ et par conséquent $c = 18,5 - v = 18,5 - 7 = 11,5$. Un kilo de vernis coûte 7~\euro{} et un kilo de cire coûte 11,50~\euro. \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 : QCM} %Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. % %Aucune justification n'est demandée. % %Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. % %Chaque réponse exacte rapporte 1~point. % %Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. %\medskip % %\textbf{Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} %\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Situation & Proposition 1& Proposition 2& Proposition 3\\ \hline 1&ABCD est un parallélogramme. Quelle égalité vectorielle peut-on en déduire ?&$\vect{\text{AB}}=\vect{\text{CD}}$&$\vect{\text{AC}}=\vect{\text{DB}}$&\fbox{$\vect{\text{AD}}= \vect{\text{BC}}$}\\ \hline 2&On considère un cylindre de rayon 3~cm et de hauteur 6~cm. Quel est le volume de ce cylindre, exprime en cm$^3$ ?&$18\pi$&\fbox{$54\pi$}&$36\pi$\\ \hline 3&On considère dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc. L'angle au centre mesure $34\degres$. Combien l'angle inscrit mesure-t-il ?&$34\degres$& \fbox{$17\degres$}&$68\degres$ \\ \hline 4&\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,5.5) \pspolygon(0,0)(3.3,0)(5.1,2)(2.7,4.8)%ABCSA \psline(3.3,0)(2.7,4.8)%BS \psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(1.8,2)(2.7,4.8)%ADS \psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.8,2)(5.1,2)%DC \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3.3,0){B} \uput[u](5.1,2){C} \uput[ur](1.8,2){D} \uput[u](2.7,4.8){S} \end{pspicture} & Ni rectangle, ni isocèle& \fbox{Rectangle et isocèle} & Isocèle mais non rectangle.\\ & Le dessin ci-dessus représente en perspective une pyramide à base carrée de sommet S. Quelle est en réalité la nature du triangle ABC ?&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{ \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,6.5) \psline(4.8,5.9)(1.1,1.3)(6.7,0.9)(1.1,6.05) \psline(2,2.3)(5.4,2.15)%EF \uput[r](3.3,4){A} \uput[dl](1.1,1.3){B} \uput[dr](6.7,0.9){C} \uput[ul](2,2.3){E} \uput[ur](5.4,2.15){F} \uput[r](4.2,5){G} \uput[l](2.3,5){K} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.25,5)(4.1,5)(3.3,4)(2,2.3)(5.4,2.15) \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{Sur la figure ci-contre :\hspace{4cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les points K, A, F, C sont alignés ; \item[$\bullet~$] les points G, A, E, B sont alignés ; \item[$\bullet~$] (EF) et (BC) sont parallèles ; \item[$\bullet~$] AB = 5 et AC = 6,5 ; \item[$\bullet~$] AE = 3 et EF = 4,8 ; \item[$\bullet~$] AK = 2,6 et AG = 2. \end{itemize} } \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que BC = 8. Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, donc d'après la propriété de Thalès, on peut écrire : $\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BC}}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4,8}{\text{BC}}$, d'où $\text{BC} = \dfrac{4,8 \times 5}{3} = 8$. \item %Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre. Voir ci-dessus. \item %Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. On a $\dfrac{\text{AE}}{\text{AG}} = \dfrac{3}{\text{2}} = 1,5$ et $\dfrac{\text{AF}}{\text{AK}} = \dfrac{4,8}{2,6} = \dfrac{24}{13} \approx 1,8$. Donc $\dfrac{\text{AE}}{\text{AG}} \ne \dfrac{\text{AF}}{\text{AK}}$ : la réciproque de la propriété de Thalès n'est pas vérifiée donc les droites (KG) et (BC) ne sont pas parallèles. \item %Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier. $\text{BC}^2 = 8^2 = 64$ ; $\text{BA}^2 + \text{AC}^2 = 5^2 + 6,5^2 = 25 + 42,25 = 67,25$. Donc $\text{BC}^2 \ne \text{BA}^2 + \text{AC}^2$, donc la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée : le triangle ABC n'est pas rectangle (une seule vérification suffit car seul le côté le plus long aurait pu être l'hypoténuse). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \emph{Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille.} \medskip \textbf{Partie 1 :} Dans le graphique figurant en annexe on lit pour une taille comprise entre 150~cm et 200~cm ; \begin{itemize} \item[$\bullet~$] en abscisse la taille exprimée en cm. \item[$\bullet~$] en ordonnée le poids exprimé en kg. \end{itemize} À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item %Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180~cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près. On lit sur le graphique que le poids doit être compris entre 60 et 81 kg. \item %Une personne mesure 165~cm et pèse 72~kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien ? Donner la valeur arrondie au kg près. Elle dépasse son poids maximum de 4~kg. \item %Une personne de 72~kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. %Quelle peut être sa taille ? Sa taille peut aller de 169~cm à 197~cm. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II :} %Dans cette partie, $t$ représente la taille d'une personne, exprimée en cm. On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note $p$. \[p,\:\text{exprimé en kg, est donné par la formule :}\:p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}.\] \begin{enumerate} \item %Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $p_{160 \text{cm}} = 160 - 100 - \dfrac{160 - 150}{4} = 60 - 2,5 = 57,5$~kg \item[$\bullet~$] $p_{165 \text{cm}} = 165 - 100 - \dfrac{165 - 150}{4} = 65 - 3,75 = 61,25$~kg \item[$\bullet~$] $p_{180 \text{cm}} = 180 - 100 - \dfrac{180 - 150}{4} = 80 - 7,5 = 72,5$~kg \end{itemize} %Placer les points correspondants sur le graphique figurant en feuille annexe. Voir les points ci-dessous \item %Démontrer que la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite. Tracer cette droite sur le graphique figurant en feuille annexe. On a : $p = \dfrac{4t - 400 - (t - 150)}{4} = \dfrac{3t - 250}{4} = \dfrac{3}{4}t - 62,5$. On a donc $p$ fonction affine de $t$. Sa représentation est donc une droite contenant le point (0~;~62,5). Tracé ci-dessous. \item %Une personne mesure 170~cm et son poids est égal au poids idéal augmenté de 10\:\%. On a $p_{170 \text{cm}} = 170 - 100 - \dfrac{170 - 150}{4} = 70 - 5 = 65$~kg Donc augmenté de 10\,\%, son poids effectif est : $65 \times 1,10 = 71,5$~kg. Or graphiquement on voit que pour une personne de 170 cm le poids maximum est de 72,5~kg, donc la personne ne dépasse pas ce poids maximum conseillé. %Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=0.141cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(80,70) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,Ox=140,Oy=40]{->}(0,0)(80,70) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,Ox=140,Oy=40](0,0)(80,70) \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,70)} \multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,70)} \multido{\n=0+1}{71}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(80,\n)} \multido{\n=40+10}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(80,\n)} \psset{arrowsize=3pt 1} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](40,0)(40,20)(0,20) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](40,0)(40,41)(0,41) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,32)(29,32)(29,0) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,32)(57,32)(57,0) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](30,0)(30,32.5)(0,32.5) \pscurve[linecolor=blue](10,01.8)(20,07.5)(30,13.7)(40,20)(50,27)(60,34) \pscurve[linecolor=red](10,16.4)(20,24)(30,32.5)(40,41)(50,50.2)(60,60) \psframe[fillstyle=solid](8,37)(32,48) \rput(20,45){la courbe supérieure} \rput(20,42){représente le poids} \rput(20,39){maximum conseillé} \psframe[fillstyle=solid](38,1.5)(62,13) \rput(50,10){La courbe inférieure} \rput(50,7){représente le poids} \rput(50,4){minimum conseillé} \psline[linewidth=1.2mm]{->}(50,13)(50,27) \psline[linewidth=1.2mm]{->}(20,37)(20,24) \rput(75,1){taille en cm} \rput{90}(-8,35){poids en kg} \psdots(25,32)(20,17.5)(25,61.25)(40,32.5) \end{pspicture} \end{center} \end{document}