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%Tapuscrit Claire Lacaze
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
%\textheight 25.2 cm  %25.2cm
%\topmargin -2cm %Denis met - 2cm
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%
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\def\({$\displaystyle}
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l@{\extracolsep{\fill}}c@{\extracolsep{\fill}}r}
\textbf{#1}&\textbf{#2}&\textbf{#3}\\
\textbf{Calculatrice #4}
\end{tabular*}
}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{Métropole - La Réunion - Mayotte}
\rfoot{juin 2009}
\thispagestyle{empty}
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Métropole -- La Réunion -- Mayotte~\decofourright\\[7pt] juin 2009}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $A$

$A = \dfrac{8+3\times 4}{1+2\times 1,5} = \dfrac{8 + 12}{1 + 3} = \dfrac{20}{4} = 5$.

\item %Pour calculer $A$ un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :

%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%\begin{tabular}{*{15}{|c|c}}
%\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13}
%\cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}\cline{21-21}\cline{23-23}\cline{25-25}\cline{27-27}
%\cline{29-29}
%\makebox[3mm]{8}&&\makebox[3mm]{+}&&\makebox[3mm]{3}&&\makebox[3mm]{$\times$}&&\makebox[3mm]{4}&&\makebox[3mm]{$\div$}&&\makebox[3mm]{1}&&\makebox[3mm]{+}&&\makebox[3mm]{2}&&\makebox[3mm]{$\times$}&&\makebox[3mm]{1}&&\makebox[3mm]{.}&&\makebox[3mm]{5}&&\makebox[3mm]{=}\\
%\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}\cline{7-7}\cline{9-9}\cline{11-11}\cline{13-13}
%\cline{15-15}\cline{17-17}\cline{19-19}\cline{21-21}\cline{23-23}\cline{25-25}\cline{27-27}
%\end{tabular}
%
%\medskip
%
%Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.
Il manque devant le signe de division une parenthèse ouvrante et avant le égal la parenthèse fermante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }

\medskip

%Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
%
%Chacune tire au hasard une bille de son sac.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le contenu des sacs est le suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{ccc}
%Sac d'Aline :&Sac de Bernard : &Sac de Claude :\\
%\quad\\
%\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} \quad\\5 billes rouges\\\quad\\ \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c}10 billes rouges\\et\\30 billes noires  \end{tabular}}&\psframebox[fillstyle=none]{\begin{tabular}{c} 100 billes rouges\\et\\3 billes noires\\ \end{tabular}}\\
%\end{tabular}
%\end{center}

%Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
Aline n'a ques billes rouges :  sa probabilité est égale à 1.
\item %On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.

%Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?
Dans le sac de Bernard il y a trois fois plus de noires que de rouges : il faut qu'il en soit de même dans le sac d'Aline donc $3 \times 5 = 15$ billes noires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3 }

\medskip

%On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées $C_1$, $C_2$ et $C_3$.
%
%L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
%
%Une autre est la représentation graphique de la fonction $f$ telle que $f : x\mapsto - 0,4x+3$

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,dotscale=0.1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-3)(6,5)
\multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,5)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](-5,\n)(6,\n)}
\multido{\n=-5+.2}{55}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,5)}
\multido{\n=-3+.2}{40}{\psline[linewidth=0.2pt](-5,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-3)(6,5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.8}{3}{(5/3)*x}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-5}{6}{-0.4*x+3}
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-2.32}{6}{(1/12)*(x+1)*(x-2)*(x-4)}
%\multido{\n=-5+1}{12}{\rput[d](\n,-0.15){\tiny{\n}}}
%\multido{\n=-3+1}{9}{\rput[l](-0.15,\n){\tiny{\n}}}
\rput(5.4,3.5){\cyan $C_3$}
\rput(-2.5,4.2){\red $C_2$}
\rput(2.2,4.2){\blue $C_1$}
\pstGeonode[PosAngle=45,PointSymbol=x,dotscale=1](-4,4.6){B}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(6,0)
\psline{->}(0,0)(0,5)
\rput(6,0.12){\textbf{{$x$}}}
\rput(0.1,4.9){\textbf{{$y$}}}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed]{->}(-4,4.6)(-4,0)\psline{->}(-4,4.6)(0,4.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Lire graphiquement les coordonnées du point $B$.
On lit B$(-4~;~4,6)$
\item %Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_3$ avec l'axe des abscisses.
La courbe $C_3$ coupe  l'axe des abscisses aux points d'abscisse 2 et 4.
\item %Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier.
$C_1$ est la représentation d'une fonction linéaire : c'est une droite contenant l'origine.
\item %Laquelle de ces représentations est celle de la fonction $f$ ? Justifier.
La fonction $f$ est une fonction affine : sa représentation est une droite  passant par le point de coordonnées (0~;~3).
\item %Quel est l'antécédent de $1$ par la fonction $f$ ? Justifier par un calcul.
Il faut trouver $x$ tel que :

$- 0,4x+3 = 1$ d'où $3 - 1 = 0,4x$, puis $2 = 0,4x$ et $\dfrac{2}{0,4} = x = 5$.

Le seul antécédent de 1 par $f$ est 5.
\item %$A$ est le point de coordonnées $(4,6~;~1,2)$. $A$ appartient-il à $C_2$ ? Justifier par un calcul.
$A(4,6~;~1,2)$ appartient-il à $C_2$ si $1,2 = - 0,4 \times 4,6 + 3$ ou $1,2 = -1,84 + 3$ ou $1,2 = 1,16$. L'égalité est fausse, donc $A$ n'appartient pas à  $C_2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

%L'unité de longueur est le centimètre.
%
%$ABC$ est un triangle tel que : $AB=16$ cm, $AC=14$ cm et $BC=8$ cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Tracer en vraie grandeur le triangle $ABC$ sur la copie.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(17,10)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(16.5,0.5)(12.62,7.5)
\uput[l](0.5,0.5){A} \uput[r](16.5,0.5){B} \uput[u](12.62,7.5){C} 
\psarc(0.5,0.5){14}{20}{40}
\psarc(16.5,0.5){8}{110}{140}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.
On a $\text{AB}^2 = 16^2 = 256$.

$\text{AC}^2 + \text{CB}^2 = 14^2 + 8^2 = 196 + 64 = 260$.

Donc $\text{AB}^2 \ne \text{AC}^2 + \text{CB}^2$ : la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle ABC n'est pas rectangle.		
	\end{enumerate}
\item %Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1\up{er} siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire  d'un triangle : en notant $a$, $b$, $c$ les longueurs des trois côtés et $p$ son périmètre, l'aire $\mathcal{A}$ du triangle est donnée par la formule :

%\[\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{p}{2}\left(\dfrac{p}{2}-a\right)\left(\dfrac{p}{2}-b\right)\left(\dfrac{p}{2}-c\right)}.\]

%Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle $ABC$.

%Donner le résultat arrondi au cm$^2$ près.
Avec $p = 16 + 14 + 8 = 38$. On a donc $\mathcal{A} = \sqrt{\dfrac{38}{2}\left(\dfrac{38}{2}-16\right)\left(\dfrac{38}{2}- 14\right)\left(\dfrac{38}{2} - 8\right)} =$

$ \sqrt{19 \times 3 \times 5 \times 11} \approx 55,99$~cm$^2$ soit environ 56~cm$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
\begin{minipage}[c]{0.48\linewidth}
 Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre où :\\
\begin{itemize} \item[$\bullet$] $ABC$ est un triangle isocèle tel que \\ $AB=AC=4$ cm\\
\item[$\bullet$] $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
\end{itemize} \end{minipage}&\begin{minipage}[c]{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,3.4)
\pscircle(1.7,1.2){2.1}
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=+](1.7,1.2){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointSymbol=+](3.4,0){C}
\pstMarkAngle[MarkAngleRadius=.5]{c}{B}{A}{}

\pstHomO[HomCoef=-1,PosAngle=90,PointSymbol=+]{A}{B}[E]
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{A}{E}
\pstLineAB{C}{A}
\psset{linewidth=0.3pt}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{E}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHash]{A}{C}
\end{pspicture}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}\\

\medskip

\textbf{Partie 1 :} On se place dans le cas particulier où la mesure de $\widehat{ABC}$ est 43 \degres.
\begin{enumerate}
\item %Construire la figure en vraie grandeur.
Voir ci-dessus.
\item %Quelle est la nature du triangle $BCE$ ? Justifier.
On a AB = AC = AE = 4 : les trois points B, C, E appartiennent au cercle de centre A de rayon 4 et [BE] est un diamètre du cercle. Le triangle BCE est donc rectangle en C.
\item %Prouver que l'angle $\widehat{EAC}$ mesure 86 °.
Dans le triangle ABC isocèle en A,  $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 43\degres$, donc par complément à 180\degres, 

$\widehat{BAC} = 180 - 2\times 43 = 180 - 86 = 94$\degres.

Donc $\widehat{EAC} = 180 - 94 = 86$\degres.

$\bullet~~$ Autre méthode : l'angle au centre $\widehat{EAC}$ intercepte le même arc que l'angle inscrit $\widehat{EBC}$ ; sa mesure est le double soit $2 \times 43 = 86$\degres.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de $\widehat{ABC}$ n'est pas donnée.

%Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de $\widehat{ABC}$, on a : $\widehat{EAC}=2\widehat{ABC}$.

%Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.\\
On reprend les calculs précédents avec $\widehat{ABC} = x$.

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = x\degres$, donc par complément à $180\degres$, $\widehat{BAC} = 180 - 2\times x $\degres.

Donc $\widehat{EAC} = 180 - (180 - 2\times x) = 180 - 180 + 2x = 2x\degres$.

Jean a raison.

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} 12 points}

\medskip

%On considère un triangle $ABC$ tel que  : $AB = 17,5$ cm ; $BC = 14$ cm ; $AC = 10,5$ cm.

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
On a $\text{BA}^2 = 17,5^2 = 306,25$.

$\text{BC}^2 + \text{CA}^2 = 14^2 + 10,5^2 = 196 + 110,25 = 306,25$.

On a donc : $\text{BA}^2 = \text{BC}^2 + \text{CA}^2$ ce qui par la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle ABC est rectangle en C.
\item %Soit $P$ un point du segment $[BC]$.

%La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$.
%
%La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$.
%
%Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle.
Les droites (PR) et (CA) sont parallèles et les droites (RS) et (BC) sont parallèles ; le quadrilatère PRSC est donc un parallélogramme et comme il a un angle droit, tous ses angles sont droits : c'est un rectangle.

\medskip

\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-6,-1)(4.5,5)
\pstGeonode[PosAngle=-180,](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-30,](3,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=90](3,4){B}
\pstGeonode[PosAngle=-135,](1.88,0){S}
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{C}{B}{S}[r]
\pstInterLL[PosAngle=135]{S}{r}{A}{B}{R}
\pstTranslation[PointName=none,PointSymbol=none]{A}{C}{R}[p]
\pstInterLL[PosAngle=45]{R}{p}{C}{B}{P}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB[nodesepA=-.6,nodesepB=-.6]{R}{P}
\pstLineAB{C}{A}
\pstLineAB[nodesepA=-.3,nodesepB=-.2]{S}{R}
\rput[d](1.5,-1){\scriptsize{\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur}}}
\end{pspicture}

\medskip

\item %Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à 5~cm du point $B$.
	\begin{enumerate}[a)]
		\item %Calculer la longueur $PR$.
Avec les parallèles (PR) et (AC), la propriété de Thalès permet d'écrire :
		
$\dfrac{\text{BP}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{PR}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{5}{14} = \dfrac{\text{PR}}{10,5}$, d'où $\text{PR} = \dfrac{5 \times 10,5}{14} = 3,75$~cm.		
		\item %Calculer l'aire du rectangle $PRSC$.
		La longueur du rectangle est égale à $\text{PC}  = \text{BC} - \text{BP} = 14 - 5 = 9$.
		
		Donc l'aire du rectangle PRSC est égale à :
		
		$\text{PR} \times \text{PC} = 3,75 \times 9 = 33,75$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

%On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l'aire du rectangle $PRSC$ est maximale.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur $BP$ en cm		&0	&1		&3		&5		&8	&10	&12	&14\\\hline
Aire de $PRSC$ en cm$^2$&0	&9,75	&24,75	&33,75	&36	&30	&18	&0\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

%Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.

%Justifier par un calcul la valeur trouvée pour $BP = 10$ cm.
En reprenant la relation de Thalès :

$\dfrac{\text{BP}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{PR}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{10}{14} = \dfrac{\text{PR}}{10,5}$ on trouve $\text{PR} = \dfrac{10 \times 10,5}{14} = 7,5$.

Comme $\text{PC} = \text{BC} - \text{BP} = 14 - 10 = 4$, l'aire du rectangle est égale à $4 \times 7,5 = 30$~cm$^2$.

\newpage
\item %Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :

\begin{center}

\textbf{Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP}

\medskip

\psframebox[fillstyle=none]{\psset{xunit=0.95cm,yunit=0.21cm,dotscale=0.1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-4)(15.6,42)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-.1)(\n,40)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](-.2,\n)(15,\n)}
\multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.3pt](-0,\n)(15,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{14}{-.75*x*(x-14)}
\multido{\n=0+1}{16}{\rput[d](\n,-2){\n}}
\multido{\n=0+5}{9}{\rput[r](-0.5,\n){\n}}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,18)(2,18)(2,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,18)(12,18)(12,0)
\end{pspicture}}
\end{center}

%À l'aide d'une lecture graphique, donner :
	\begin{enumerate}[a)]
		\item %Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de 18~cm$^2$.
On lit $x = 2$ et $x = 12$.
		\item %La valeur de $BP$ pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
L'aire semble maximale pour $x = 7$.
		\item %Un encadrement à 1~cm$^2$ près de l'aire  maximale du rectangle $PRSC$.
On lit $36 < \mathcal{A}_{\text{PRSC}} < 37$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $PC$ en fonction de $BP$.
On a $\text{PC} = 14 - \text{BP}$.
\item %Démontrer que $PR$ est égale à $0,75\times BP$.
Toujours d'après Thalès :

$\dfrac{\text{BP}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{PR}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{\text{BP}}{14} = \dfrac{\text{PR}}{10,5}$, d'où $\text{PR} = \dfrac{\text{BP}\times 10,5}{14}$ ou $\text{PR} = \dfrac{\text{BP}\times 3}{4}$ , donc $\text{PR} = 0,75\text{BP}$.
\item %Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ?
Le rectangle est un carré si PC = PR, ou $14 - \text{BP} = 0,75\text{BP}$, puis $14 = 0,75\text{BP} + \text{BP}$ donc $14 = 1,75\text{BP}$ et $\text{BP} = \dfrac{14}{1,75} = 8$.

Le rectangle PRSC est un carré lorsque $\text{BP} = 8$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}