\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges}, pdftitle = {Polynésie juin 2009}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet des collèges} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Polynésie juin 2009 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip %\emph{Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées.} \textbf{Aucune justification n'est demandée. } % %\medskip % %\renewcommand{\arraystretch}{2} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %\textbf{1.~~} $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2}$ est égal à : &$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline %\textbf{2.~~} Le nombre décimal $0,246$ s'écrit aussi : &$2,46 \times 10^{-1}$& $24,6 \times 10^1$&$2,46 \times 10^1$\\ \hline %\textbf{3.~~} Quand $x= - 2$, l'expression \mbox{$2x^2 - 5x+3$} est égale à :&$-15$& $1$& $21$\\ \hline % \textbf{4.~~} L'expression réduite de \mbox{$2x - (5x - 3)$} est : &$-3x-3$ &$-3x+3$ &$7x+3$\\ \hline %\textbf{5.~~} Un randonneur parcourt 5~km en 1~ h 15~min. Sa vitesse moyenne est : &4~km/h& %4,3~km/h &5,75~km/h.\\ \hline %\end{tabularx} %\renewcommand{\arraystretch}{1} \begin{enumerate} \item $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{1}{8}$. \item $0,246 = 2,46 \times 10^{-1}$. \item $2 \times (- 2)^2 - 5 \times (- 2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$. \item $2x - (5x - 3) = 2x - 5x + 3 = - 3x + 3$. \item Il parcourt 5~km en 75 min, soit 1 km en 15 min et donc 4 km en 60 min. Sa vitesse moyenne est donc de 4~km/h. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip %A un stand du \og Heiva \fg, on fait tourner la roue de loterie ci-dessous. % %\parbox{0.6\linewidth}{On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné. % %On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] A : \og on gagne un autocollant» ; %\item[$\bullet~$] T : \og on gagne un tee-shirt » ; %\item[$\bullet~$] M : \og on gagne un tour de manège ». %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm}} \hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5) %\psline[linewidth=2pt]{->}(0.75,2.3)(0.75,1.3) %\SpecialCoor %\pscircle(0;0){2} %\psline(2;180)(2;0) \psline(2;90)(2;-90) \psline(2;45)(2;-135) \psline(2;135)(2;-45) %\rput(1.25;22.5){M} \rput(1.25;67.5){T}\rput(1.25;112.5){A}\rput(1.25;157.5){T} %\rput(1.25;202.5){M}\rput(1.25;247.5){T}\rput(1.25;292.5){M}\rput(1.25;-22.5){T} %\end{pspicture}} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité de l'évènement A ? Il y a 1 secteur A sur 8 : probabilité : $\dfrac{1}{8}$. \item %Quelle est la probabilité de l'évènement T ? Il y a 4 secteurs T sur 8 : probabilité : $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$. \item %Quelle est la probabilité de l'évènement M ? Il y a 3 secteurs M sur 8 : probabilité : $\dfrac{3}{8}$. Ou bien : il reste pour M la probabilité : $1 - \left(\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} \right) = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$. \item %Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité. non A désigne l'évènement : \og on ne gagne pas d'autocollant \fg. Sa probabilité est : $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip %Dans cet exercice, écrire toutes les étapes des calculs permettant d'expliquer votre %démarche. % %\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} % %\medskip % %Pour offrir un cadeau à l'un d'eux, les élèves d'une classe ont collecté 500~F en pièces de 20~F et de 5~F, soit 43~pièces en tout. % %Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte. Soit $v$ le nombre de pièces de 20~F{}. Le nombre de pièces de 5~F est donc $43 - v$. La somme représentée par toutes ces pièces est donc égale à : $ 500 = v \times 20 + (43 - v) \times 5$, soit $500 = 20v + 215 - 5v$ ou encore $500 - 215 = 15v$ soit $285 = 15v$ et $19 = v$, d'où $43 - 19 = 24$ pièces de 5~F. Vérification : $19 \times 20 + 24 \times 5 = 380 + 120 = 500$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \begin{center} \textbf{Dans toute cette partie, l'unité de longueur est le centimètre.} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip %Sur la figure ci-dessous qui \textbf{n'est pas en vraie grandeur}, % %\bigskip % %\parbox{0.55\linewidth}{ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC]. % %On donne : AB = 5 ; \quad AD = 4,8 ; \quad BC = 6.}\hfill %\parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,3) %\psframe(0,0)(3,2)\psline(3,0)(4,0)(3,2) %\uput[ul](0,2){A} \uput[ur](3,2){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[d](3,0){H} %\end{pspicture}} % %\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate} %\item Construire cette figure sur la feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille). %\item Montrer que la longueur HC est égale à 3,6. %\item Calculer le périmètre du trapèze ABCD. %\item Calculer l'aire du trapèze ABCD. %\item Compléter la figure de la question 1) pour obtenir le patron du prisme droit ci-contre dont une base est le triangle SHC. % %Le prisme droit ci-contre n'est pas en vraie grandeur. %\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,1)(5.5,10) % %\psframe(0.8,2)(5,8) \psline(5,8)(2.4,9.6)(0.8,8) \psline[linestyle=dashed](5,2)(2.4,3.6)(0.8,2) %\psline[linestyle=dashed](2.4,3.6)(2.4,9.6) %\uput[ur](5,8){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](0.8,2){C} %\uput[u](2.4,9.6){D} \uput[ul](0.8,8){E} \uput[ur](2.4,3.6){H} %\end{pspicture}} \begin{enumerate} \item ~ \begin{center} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-5,-5.5)(10,5) %\psgrid \psframe(5,4.8)\psline(5,4.8)(8.6,0)(5,0) \uput[ul](0,4.8){A} \uput[ur](5,4.8){B} \uput[dr](8.6,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[dl](5,0){H} %\psarc(0,4.8){3.6}{180}{260} %\psarc(0,0){6}{120}{170} \uput[u](-3.6,4.8){H} \psline(0,4.8)(-3.6,4.8)(0,0) \psframe(0,4.8)(0.3,4.5)\psframe(0,0)(0.3,0.3)\psframe(4.98,0)(5.3,0.3) \psline(8.6,0)(8.6,-5)(5,-5)(5,0)\uput[dl](5,-5){D}\uput[dr](8.6,-5){E} \end{pspicture} \end{center} \item ABHD a trois angles droits : c'est un rectangle donc BH = AD = 4,8. Dans le triangle BHC rectangle en H on a d'après le théorème de Pythagore : $\text{BC}^2 = \text{BH}^2 + \text{HC}^2$ d'où $\text{HC}^2 = \text{BC}^2 - \text{BH}^2 = 6^2 - 4,8^2 = 36 - 23,04 = 12,96$, d'où HC $ = \sqrt{12,96} = 3,6$~(cm). \item Le périmètre du trapèze est égal à : AB + BC + CH + HD + DA $ = 5 + 6 + 3,6 + 5 + 4,8 = 24,4$~cm. \item L'aire du trapèze est égale à l'aire du rectangle ABHD plus l'aire du triangle BCH soit : $5 \times 4,8 + \dfrac{4,8 \times 3,6}{2} = 24 + 8,64 = 32,64$~cm$^2$. \item Voir ci-dessus le patron. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip %\textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.} % %\medskip % %Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF. % %Ce verre est représenté ci-dessous en coupe. % %Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G. % %On donne: RS = 3 ; FG = 7,5 et IF = 8. % %\medskip % %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(10,6.5) %\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.1,0)(6.9,0)(6,0.6) %\psline(6,0.6)(6,1.6) %\pspolygon(6,1.6)(8.9,5.8)(3.1,5.8) %\psline[linewidth=0.2pt](6,1.6)(6,5.8) %\psline[linestyle=dashed](8.3,4.9)(3.7,4.9) %\psline[linestyle=dashed](7.1,3.2)(4.9,3.2) %\uput[dr](6,1.6){I} \uput[dr](6,3.2){R} \uput[dr](6,4.9){F} \uput[dr](7.1,3.2){S} \uput[dr](8.3,4.9){G} %\psframe(6,3.2)(5.8,3) \psframe(6,4.9)(5.8,4.7) %\rput(1.5,4.9){Niveau de l'eau} \rput(1.5,3.2){Niveau du sirop de menthe} %\psline{->}(2.8,4.9)(3.4,4.9) \psline{->}(3.7,3.2)(4.6,3.2) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate} \item %Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et recopier la propriété sur votre copie. % \begin{enumerate} % \item Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles. % \item Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. % \item Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. % \item La réciproque du théorème de Thalès. % \end{enumerate} Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. \item %Calculer IR. D'après la propriété de Thalès, on peut écrire : $\dfrac{\text{IR}}{\text{IF}} = \dfrac{\text{RS}}{\text{FG}}$, d'où $\text{IR} = \dfrac{\text{RS} \times \text{IF}}{\text{FG}} = \dfrac{3 \times 8}{7,5} = 3,2$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip %Pour la fête du cinéma, des prix spéciaux sont proposés au public. % %\medskip \textbf{Première partie} \medskip %Le tableau ci-dessous donne la répartition du nombre de spectateurs à la séance de midi, dans une salle de 325~places pendant la semaine du cinéma. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline %Jour &\footnotesize lundi &\footnotesize mardi &\footnotesize mercredi &\footnotesize jeudi &\footnotesize vendredi &\footnotesize samedi &\footnotesize dimanche\\ \hline %\hspace{-0.2cm}\begin{tabular}{l}nombre de\\ %spectateurs \\ %\end{tabular} &164 &239 &312 &285 &310 &308 &321 \\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma. Le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma est : $\dfrac{164 + 239 + 312 + 285 + 310 + +08 + 321}{7} = \dfrac{\np{1939}}{7} = 277$. \item %Quel pourcentage du nombre total de places de la salle représentent les places occupées le mercredi ? Le nombre de spectateurs le mercredi représente : $\dfrac{312}{\np{1939}} \times 100 \approx 16,09$ soit environ 16\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip %Un billet de cinéma au tarif normal coûte 850~F. On propose deux tarifs réduits au public : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item Tarif A : On fait une réduction de 8\:\% sur le prix total des billets achetés, %\item Tarif B : On paie une carte d'abonnement de \np{1000}~F et 600~F un billet. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Montrer qu'un billet vendu au tarif A coûte 782~F. Le prix du billet après réduction est : $850 \times \left(1 - \frac{8}{100}\right) = 850 \times \dfrac{92}{100} = 782$~F. \item %Compléter le tableau de proportionnalité suivant et expliquer votre démarche. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Prix au tarif normal&850 &\np{2550} &\np{7650} &\np{4250} &\np{3400} \\ \hline Prix au tarif A &782 &\np{2346} &\np{7038} &\np{3910} &\np{9384}\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1.} \medskip De la colonne 1 à la 2 : table de 3 ; De la colonne 2 à la 3 : table de 3 ; De la colonne 1 à la 4 : table de 5 ; De la colonne 2 à la 5 : table de 4. \item %Soit M le montant total à payer au tarif normal par un client pour un certain nombre de billets. Exprimer en fonction de M le prix total payé au tarif A pour le même nombre de billets. On a vu que retrancher 8\,\% c'est multiplier par 0,92. Donc le prix à payer au tarif A est 0,92M. \item %Calculer le prix de 5~billets au tarif B. Prix de 5 billets au tarif B : $\np{1000} + 5\times 600 = \np{1000} + \np{3000} = \np{4000}$. \item %Si on dispose de \np{6400}~F, combien de billets peut-on acheter au tarif B ? En enlevant le prix de la carte il reste \np{5400}~F pour acheter des billets à 600~F, soit $\dfrac{\np{5400}}{600} = 9$ (billets). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip %Les droites ci--dessous représentent les prix payés en fonction du nombre de billets suivant les deux types de tarifs. \medskip \psset{xunit=1.3cm,yunit=0.001625cm} \begin{pspicture}(-1,-400)(8,5200) \multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0)(\n,5200)} \multido{\n=0+200}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)} \multido{\n=0+400}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000]{->}(0,0)(8,5200) \psplot{0}{6.5}{782 x mul}\uput[d](3.2,2400){$(d)$} \psplot{0}{6.75}{1000 x 600 mul add} \uput[u](3,2800){$(d')$} \uput[u](7,0){nombre de billets} \uput[r](0,5200){$y$} \uput[r](0.4,5200){prix} \psset{arrowsize=3pt 4} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,2800)(3,2800)(3,0) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,4297)(5.495,4297)(5.495,0) \end{pspicture} \medskip \begin{enumerate} \item %Laquelle de ces deux droites correspond au tarif A ? Justifier. La droite $(d)$ correspond au tarif A car le prix est une fonction linéaire du nombre de billets. \item %Que représente l'abscisse du point de (d$'$) d'ordonnée \np{2800} ? Donner sa valeur. 3 est l'abscisse ; 3 billets au tarif B coûtent \np{2800}~F. %Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique. \item %Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles. déterminer à partir de combien de billets le tarif B est plus avantageux que le tarif A. On constate que les droites sont sécantes en un point dont l'abscisse 5,5. On en déduit que : $\bullet~~$de 1 à 5 billets il vaut mieux prendre le tarif A ; $\bullet~~$à partir de 6 billets il vaut mieux prendre le tarif B. \end{enumerate} %\begin{center}\textbf{Attention : toutes les feuilles du sujet sont à joindre à la copie} \end{center} \end{document}