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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Polynésie~\decofourright\\septembre 2011}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :} 

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
%Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, \textbf{une seule est exacte}.}
%
%\medskip
% 
%Pour chacune des cinq questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A ,B, C ou D correspondant à la réponse choisie.
%
%\medskip
%
%\renewcommand\arraystretch{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.9cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\no	& Question &A &B &C &D\\ \hline 
%1 &$\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{5}$ est égal à : &$\dfrac{11}{2}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{- 1}{8}$&0,46\\ \hline
%2&$\sqrt{25} + \sqrt{169}$ est égal à :& 18 &$\sqrt{5}+ \sqrt{13}$& $\sqrt{194}$&174\\ \hline 
%3 &$2 \times 10^{-3} \times 10^5$ est égal à :& $2 \times 10^{-15}$& $2 \times 10^2$& 0,2&0,02\\ \hline 
%4&Les solutions de l'équation $(3x - 4) (x + 5) = 0$ sont :& $-1$ et $6$&$\dfrac{4}{3}$ et 5& 1 et 6 &$\dfrac{4}{3}$ et $- 5$\\ \hline
%5& $(x - 1) (x - 2) - x^2$ est égal à : &$x^2$& $- 3x- 2$& $3x + 2$& $- 3x+ 2$ \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5}{3} - \dfrac{6}{5} = \dfrac{25}{15} - \dfrac{18}{15}  = \dfrac{7}{15}$. Réponse B.
\item $\sqrt{25} + \sqrt{169} = 5 + 13 = 18$. Réponse A.
\item $2 \times 10^{-3} \times 10^5 = 2 \times 10^{2}$. Réponse B.
\item Ou $3x - 4 = 0$ ou $x + 5 = 0$, soit ou $x = \dfrac{4}{3}$ ou $x = - 5$. Réponse D.
\item $(x - 1) (x - 2) - x^2 = x^2 - 2x - x + 2 - x^2 = - 3x + 2$. Réponse D.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}
  
%À bord d'un bateau de croisière de passage à Tahiti, il y avait \np{4000}~personnes, dont aucun enfant.
%
%\medskip
% 
%Chaque personne à bord du bateau est : soit un touriste, soit un membre de l'équipage. Voici le tableau qui donne la composition des personnes à bord de ce bateau. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
						&Hommes 	&Femmes 	&Total\\ \hline
Touristes 				&\np{1400} 	&\np{1700}	&\np{3100}\\ \hline 
Membres de l'équipage 	&440 		&460		&900\\ \hline
Total					&\np{1840}	&\np{2160}	& \np{4000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Recopier puis compléter le tableau ci-dessus.
Voir ci-dessus. 
\item %On choisit à bord du bateau, une personne, au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item %Peut-on dire qu'il y a plus d'une chance sur deux que ce soit un homme ? Justifier.
Il y a plus de femmes que d'hommes ; il y a donc moins d'une chance sur deux de choisir un homme. 
		\item %Quelle est la probabilité que cette personne fasse partie des touristes ?
La probabilité de choisir un touriste est $\dfrac{\np{3100}}{\np{4000}} = \dfrac{31}{40} = \dfrac{15,5}{20} = \dfrac{77,5}{100} = 0,775 = 77,5\,\%$. 
		\item %Quelle est la probabilité que cette personne ne soit pas un homme membre de l'équipage ?
		Il y a $\np{4000} - 440 = \np{3560}$ personnes qui ne sont pas des hommes membres d'équipage. La probabilité est donc égale à $\dfrac{\np{3560}}{\np{4000}} = \dfrac{890}{\np{1000}} = 0,89 = 89\,\%$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :}

%On propose le programme de calcul suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\renewcommand\arraystretch{1}
%\begin{tabular}{|l|} \hline
%Choisir un nombre.\\
%Soustraire 6.\\ 
%Calculer le carré du résultat obtenu.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit le nombre $- 4$ au départ, montrer que le résultat obtenu est $100$. 
$- 4 \to - 4 - 6 = - 10 \to (- 10)^2 = 100$.
\item %On choisit 15 comme nombre de départ, quel est le résultat obtenu ?
$15 \to 5 - 6 = 9 \to 9^2 = 81$. 
\item %Quel nombre pourrait-on choisir pour que le résultat du programme soit le nombre $144$ ? 
%Justifier la réponse.
169 est le carré de :

$\bullet~~$13 ; or $13 + 6 = 19$, ou 

$\bullet~~$$- 13$ ; or $- 13 + 6 = - 7$.

On arrive à 169 en partant soit de $- 7$ ou de 19. 
%\textbf{(Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation).}

\emph{Autre méthode} : soit $n$ le nombre de départ ; on veut que :

$(n - 6)^2 = 169$ soit $(n - 6)^2 - 169 = 0$ ou encore $(n - 6) - 13^2 = 0$ et en factorisant 

$[(n - 6) + 13][(n - 6) - 13] = 0$ soit $(n + 7)(n - 19) = 0$ ; d'où $n + 7 = 0$ ou $n - 19 = 0$.

On retrouve les deux solutions $- 7$ et $19$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

%Vous ferez la figure sur votre copie en suivant les indications de l'énoncé.
 
\begin{enumerate}
\item ~%Construire un triangle ABC tel que AB = 13~cm ; AC = 12~cm et BC = 5~cm.
On trace un segment [AB] de longueur 13~cm et les cercles centrés en A et B de rayons respectifs 12 et 5~cm qui se coupent en C.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(14,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(13.5,0.5)(11.59,5.13)%ABC
\uput[dl](0.5,0.5){A}\uput[dr](13.5,0.5){B}\uput[u](11.69,5.13){C}
\uput[ul](6.03,2.8){M}\psarc(0.5,0.5){6.5}{-5}{5}
\psarc(0.5,0.5){12}{15}{30}\psarc(0.5,0.5){6.5}{15}{35}
\uput[dr](6.5,0.5){P}
\psarc(13.5,0.5){5}{100}{130}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
On a $13^2 = 169$ et $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

Donc comme $169 = 144 + 25$, on a $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 
\item %Compléter la figure de la question 1 : 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6~cm.
Voir ci-dessus 
		\item %Construire le point P du segment [AB] tel que AP = 6,5~cm.
Voir ci-dessus		
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que les droites (BC) et (PM) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{AM}}{\text{AC}} = \dfrac{6}{12} = 0,5$ et    $\dfrac{\text{AP}}{\text{AB}} = \dfrac{6,5}{13} = 0,5$. Donc :

$\dfrac{\text{AM}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AP}}{\text{AB}}$ qui montre d'après la réciproque de la propriété de Thalès que les droites (MP) et (CB) sont parallèles.

Comme (AC) est perpendiculaire à la droite (CB) il en résulte que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (MP) : le triangle AMP est rectangle en M
\item %Montrer que PM = 2,5cm.
D'après Thalès on a aussi $\dfrac{\text{MP}}{\text{CB}} = 0,5$, donc  $\dfrac{\text{MP}}{\text{5}} = 0,5$, d'où MP = 2,5~cm.
\item %\textbf{Dans cette question}, parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur votre copie celle qui permet de montrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires:

%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. 
%\item[$\bullet~~$] Si deux droites perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. 
%\item
$\bullet~~$ Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. 
%\item[$\bullet~~$] Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

%\parbox{5.75cm}{
%Dans cet exercice, la figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur et ne reflète pas la réalité.
%
%Soit un cube ABCDEFGH de 6~cm de côté et I le milieu du segment [BF].
% 
%On considère la section AIJD du cube par un plan parallèle à l'arête [BC] et passant par les points A et I.
% 
%Recopier sur votre copie, la (ou les) bonne(s) réponse(s) à la question :
% 
%La section AIJD du cube est-elle :} \hfill \parbox{5.75cm}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.25)(7,7)
%\psline(0,0.6)(5,0)(6.8,1.2)(6.8,6.2)(1.8,6.8)(0,5.6)(5,5)(6.8,6.2)%ABCGHEFG
%\pspolygon[linecolor=chamois](0,0.6)(5,2.5)(6.8,3.7)(1.8,1.8)%AIJD
%\psline[linestyle=dashed](0,0.6)(1.8,1.8)(1.8,6.8)%ADH
%\psline(5,0)(5,5)%BF
%\psline(0,0.6)(0,5.6)%AE
%\psline[linestyle=dashed](1.8,1.8)(6.8,1.2)%DC
%\uput[dl](0,0.6){A} \uput[dr](5,0){B} \uput[dr](6.8,1.2){C} \uput[ul](1.8,1.8){D} 
%\uput[ul](0,5.6){E} \uput[u](5,5){F} \uput[ur](6.8,6.2){G} \uput[ul](1.8,6.8){H} 
%\uput[dr](5,2.5){I} \uput[r](6.8,3.7){J} 
%\end{pspicture}}
%
%$\Box$ un losange ; $\Box$ un rectangle ; $\Box$ un parallélogramme 
%ou $\Box$ un carré ?
% 
%Justifier votre réponse. 
La section est un rectangle : c'est un parallélogramme car les côtés opposés sont parallèles, et deux côtés consécutifs sont perpendiculaires car faisant partie de faces perpendiculaires. Ce n'est pas un carré car AI{} $\ne${} IJ. 
\begin{enumerate}
\item ~%Dessiner en vraie grandeur le triangle AIB, et la section AIJD.
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(7,9.8)
\pspolygon(0.5,0.5)(6.5,0.5)(6.5,3.5)%ABI
\uput[dl](0.5,0.5){A}\uput[dr](6.5,0.5){B}\uput[r](6.5,3.5){I}
\psline(6.5,3.5)(3.5,9.5)(-2.5,6.5)(0.5,0.5)
\uput[ur](3.5,9.5){J}\uput[ul](-2.5,6.5){D}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %Montrer que l'aire du triangle AIB est égale à 9 cm$^2$.
$\mathcal{A}(\text{AIB}) = \dfrac{\text{AB} \times \text{BI}}{2} = \dfrac{6 \times 3}{2} = 3 \times 3 = 9$~cm$^2$. 
\item %La partie basse ABIDCJ du cube est un prisme droit. 

%Le volume d'un prisme droit, en cm$^3$, est obtenu par la formule $V = \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base, en cm$^2$, du prisme et $h$ la hauteur du prisme, en cm. 

%Calculer le volume du prisme droit ABIDCJ en cm$^3$.
$V = \mathcal{B} \times h = \mathcal{A}(\text{AIB}) \times \text{BC} = 9 \times 6 = 54$~cm$^3$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Problème \hfill (12 points)}
 
\begin{center}\textbf{Partie 1} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer PGCD (78~;~130), en précisant la méthode employée et vos calculs. 
Par l'algorithme d'Euclide :

$130 = 78 \times 1 + 52$ ;

$78 = 52 \times 1 + 26$ ;

$52 = 26 \times 2 + 0$

On a donc PGCD$(78~;~130) = 26$.
\item %Manuarii est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et ses biscuits dans des boîtes identiques.
 
%Chaque jour il peut fabriquer $78$ chocolats et $130$ biscuits.
 
%Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, d'une part le même nombre de chocolats et d'autre part le même nombre de biscuits.
Il peut faire 2 ou 13 ou 26 boîtes identiques. Ce nombre est un diviseur commun à 78 et à 130 : on a vu que le plus grand est 26. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $26$ est le maximum de boîtes qu'il peut obtenir.
Il peut faire 2 ou 13 ou 26 boîtes identiques. Ce nombre est un diviseur commun à 78 et à 130 : on a vu que le plus grand est 26.  
		\item %Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits dans chaque boîte ?
On a $78 = 3 \times 26$ et $130 = 5 \times 26$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie 2} \end{center}

%On désigne par $x$ le nombre de boîtes produites sur un mois.
% 
%La fonction définie par $f(x) = \np{180000} + 200x$, donne, en Francs, le coût total de la production de $x$ boîtes sur un mois.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'image de $26$ par la fonction $f$.
$h(26) = \np{180000} + 200 \times 26 = \np{180000} + \np{5200} = \np{185200}$. 
\item %Sur la feuille annexe, on a représenté graphiquement la fonction $f$. 
%Pour toutes les lectures graphiques vous ferez apparaître les tracés utiles sur la feuille annexe et vous écrirez la réponse sur votre copie. 
	\begin{enumerate}
		\item %Lire graphiquement l'image de $150$ par la fonction $f$.
On lit à peu près \np{210000}.		 
		\item %Lire graphiquement l'antécédent de \np{190000} par la fonction $f$.
On lit à peu près 50.		
	\end{enumerate} 
\item %Justifier l'affirmation suivante: \og $f$ est une fonction affine. \fg
$\bullet~~$La représentation graphique de $f$ est une droite ; ou 

$\bullet~~$$f(x)$ est bien de la forme $ax + b$
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 3} \end{center}
 
%Manuarii vend chaque boîte \np{2000}~Francs.
 
%On désigne par $g(x)$ le montant en Francs perçu par Manuarii pour $x$ boîtes vendues sur un mois. 

\begin{enumerate}
\item \textbf{Recopier} et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&\black 0	&\black 120			&\red 20			&\black 150\\ \hline 
$g(x)$	&\black 0	&\red \np{240000}	&\black \np{60000}	&\black \np{300000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la feuille \textbf{annexe}.
Voir en bas.
\item %Combien de boîtes, Manuarii doit-il vendre dans le mois, pour obtenir un montant supérieur ou égal au coût de production ? 
Il faut que les points de la représentation de $g$ soient au dessus de ceux de la représentation de $f$, donc si $x > 100$.

Par le calcul : on a :

$\np{2000}x > \np{180000} + 200x$soit si $\np{1800}x > \np{180000}$, donc si $x > 100$.

Manuarii gagne de l'argent si elle vend plus de 100
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=0.055cm,yunit=0.000047cm}
\begin{pspicture}(-10,-10000)(205,310000)
\multido{\n=0+5}{41}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,300000)}
\multido{\n=0+10000}{31}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(200,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=2000000]{->}(0,0)(205,310000)
\multido{\n=0+20000}{16}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,180000)(200,220000)
\uput[u](185,0){Nombre de boîtes} \uput[r](0,310000){En Francs}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](150,0)(150,210000)(0,210000)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,190000)(50,190000)(50,0)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{150}{2000 x mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}